Совместное определение калориметрическим методом температуры восстановления газового потока и коэффициента теплоотдачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVII 1986

№ 3

УДК 533.6.071.08 : 536.5/.6

СОВМЕСТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАЛОРИМЕТРИЧЕСКИМ МЕТОДОМ ТЕМПЕРАТУРЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ГАЗОВОГО ПОТОКА И КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛООТДАЧИ

, Н. А. Кузьмин, А. Г. Михальченко, А. В. Смирнов

На основе теории оптимальных статистических решений разработаны алгоритмы совместного определения калориметрическим методом математического ожидания коэффициента теплопередачи и температуры восстановления газового потока.

Для аэрофизического эксперимента при исследовании теплопередачи в пограничном слое на срезе сверхзвукового сопла показана быстрая сходимость итерационной процедуры численного решения задачи, в результате которой определяются оптимальные оценки математического ожидания коэффициента теплопередачи и температуры восстановления с минимальной дисперсией. Определение искомых параметров калориметрического эксперимента с заданной погрешностью за минимальное время обеспечив вается адаптирующимся алгоритмом.

Г. Л. Гродзовский

Применению калориметрических термопреобразователей для определения местных коэффициентов теплоотдачи а (от газового потока к поверхности исследуемой модели) посвящен ряд работ ('[1—5] и др.)-Простейшие калориметры представляют собой теплоизолированную массу т с известной теплоемкостью с0. По темпу прогрева массы т определяется искомое значение а. При использовании для описания калориметра детерминированного уравнения теплового баланса коэффициент теплоотдачи определяется известным соотношением

тс0

rf (In Є)

dt

Te-T(t) Te — T0

где Te — температура восстановления газового потока у поверхности исследуемой модели, T(t)—измеряемая температура калориметра, Г0 — начальная температура калориметра при £=0 (в момент ввода модели в поток, либо включения подогревателя тепловой аэродинамической трубы).

Для экспериментального определения а в работе [6] предложено аппроксимировать 1п0 параболой (In Ъ^Ац+А^+АЖ2), коэффициенты которой определяются -по методу наименьших квадратов; тогда

тс0 А,

F

При экспериментальном определении местного значения а важно знать соответствующую величину Те в пограничном слое. Для детерминированного уравнения теплового баланса калориметра

в работе [7] предложено совместно определять а и Те по измеренной зависимости Т (t) путем визуального совмещения экспериментальных данных и расчетной сетки экспонент.

Отметим, что фиксируемый сигнал от калориметра T(t) вследствие аэродинамических пульсаций и шумов измерительной системы является реализацией случайного процесса. Поэтому детерминированные подходы не извлекают всей содержащейся в эксперименте полезной информации об искомых параметрах, т. е. дают завышенную погрешность [8, 9]. Строгое решение задачи оптимального совместного определения Те и а для теплоизолированного калориметра методом максимального правдоподобия рассмотрено в работе [8]. Ниже приведено обобщение решения с учетом статистической неопределенности результатов измерений на случай нетеплоизолированного калориметра (см. рис. 3 в [8]).

1. Оптимальное совместное определение математических ожиданий коэффициента теплоотдачи а и температуры восстановления Те нетеплоизолированным калориметром в условиях статистической неопределенности аэродинамического эксперимента, обусловленной аэродинамическими пульсациями и шумами измерительной системы. В экспериментальной аэродинамике широко применяются калориметры с поперечным потоком тепла и дифференциальными термопарами, которые можно рассматривать как тепловые системы с сосредоточенными параметрами [10]. Соответственно уравнение теплового баланса для нетеплоизолированного калориметра запишем в виде:

me0 d[T(t)-~- + Х„ F\Т (t) - Т0] = aF[Te~T (01 + qn (t), (1)

at

где Яо — приведенное значение коэффициента теплопередачи от калориметра к модели, Го■—температура модели и начальная температура калориметра, <7пОО—пульсирующая часть теплового потока.

При использовании дифференциальных термопар [8] выходной сигнал калориметра —Т(і)—Т0 и соотношение (1) перепишем в виде

1 тса

где — = —^-------------постоянная времени калориметра,

р F {а + Х0)

Яя(/)

чЛ*)

— — нормированная пульсационная составляющая,

которую можно аппроксимировать эквивалентным белым шумом [8 — 10] с корреляционной функцией В^) = ЫХ 8(т), где — неизвестная до эксперимента мощность аэродинамических пульсаций.

Решение уравнения (2) запишем в виде суммы детерминированной частив(/,■&) и случайного процесса (см. [8, 11])

г* (0 = 5 (г, ») + 5(0;

= а, »2 = Т„ 3{(, &) = (1 - е~*);

1 + 4?-

а

Л£(‘с)-^1г(т) + ^гг(х), г(т)=4-г-?М;

(3)

М2'—■ известная интенсивность шумов измерительной системы.

Оптимальные оценки а и Те определяются методом максимального правдоподобия (11] по наблюдаемой на интервале времени (0, /с) реализации случайного процесса Т9 ({)

С

»)1Г*(0--5(Л Щ<н = 0, /=1, 2;

(4)

и) у{и, о)сгм = 5(/?, »), г(и) = й(^-й)=й(г), о<*<гс. (5)

Решение интегрального уравнения (5) для корреляционной функции (3) приведено в работе [12]. Матрица / представляет количество информации о параметрах &, содержащееся в результатах эксперимента элементы информационной матрицы

Л " 11 Ж У{-“’ У^’ В (к’ Ли ^ * = 1, 2; 7 = 1. 2. (6)

о о ‘ 1

Потенциальная точность оценок § определяется корреляционной матрицей М = 1~1, а дисперсии оптимальных оценок о2(&)—это диагональные члены матрицы М. Замыкающее уравнение для оценки мощности аэродинамических пульсаций Ы1 запишем в виде

с

здесь ер (() = ч\ | г (т) 9 (и) йи, г\т и <рт — собственные числа и функ-о

ции.

С увеличением продолжительности эксперимента и естественно растет количество информации / об искомых параметрах & и соответственно снижается дисперсия их оценок Соотношения (3) — (7)

обеспечивают адаптирующееся проведение калориметрического эксперимента с заданной погрешностью о0 за минимальное время; продолжительность эксперимента определяется соотношением

(8)

Приведенное значение коэффициента теплопередачи от калориметра к модели Ао может быть определено в градуировочном эксперименте при известном значении температуры восстановления газового потока Те.

2. Квазиоптимальное совместное определение калориметрическим методом математических ожиданий коэффициента теплоотдачи а и температуры восстановления Те газового потока. Для реализации в темпе эксперимента оптимального адаптирующегося алгоритма (3) — (8) необходимы весьма значительные вычислительные мощности. Целью ква-зиоптимальных алгоритмов является существенное снижение потребной для эксперимента вычислительной мощности при незначительной потери информативности.

Пульсации сигналов калориметра (как для линейной узко-

полосной системы) являются нормальным случайным процессом с экспоненциальной корреляционной функцией (3). В типовом автоматизированном эксперименте сигнал Т„У), с помощью аналого-цифрового преобразователя преобразуется в выборку п дискретных отсчетов через

и

интервалы времени (і1 — /,•_і) =

Если можно при-

п — і

нять независимыми результаты дискретных отсчетов температуры калориметра Т%(іі). Тогда метод максимального правдоподобия (4), как известно [11], переходит в метод наименьших квадратовий оптимальные оценки параметров & определятся по минимуму невязки 5

и—1

ШІП «5> = ГПІП X [Т* (її) — 5 ^)]2. :

і=0

1 + -

[1-е-

тс0

(9)

здесь параметр 4—момент времени ввода модели в поток, либо включения подогревателя.

Квазиоптималыные оценки искомых параметров а, Те и по тш 5 для рассматриваемой нелинейной задачи (9) находятся итерационной процедурой (например, методом Ньютона).

Для рассматриваемой задачи (9) в качестве оценки дисперсии сг2 расхождения результатов эксперимента Т* (^) и кривой регрессии 5 (ti, <4) воспользуемся известным из теории нелинейного оценивания [13] соотношением

-» ппп 5

я —3

которое является аналогом формулы для линейной регрессии, следующей из теоремы Гаусса—Маркова. Эту оценку дисперсии можно улучшить, введя согласно работе [14] поправку на экспоненциальную кор-релированность (3) результатов измерения температуры калориметра

А Л

дз _ [2 + р. ус — 10)] шШ £ кэ И (*с — *о) (« — 3)

С учетом асимптотических свойств оценок параметров нелинейной регрессии [15] дисперсионную матрицу оценок О (&) определим соотношением:

= Р)~\

(*1, д»! л ») 1 ЮЦи ») дЬ2 <Щ*1. л »)

л' л л

*) (<„. ») д5(*„. *>

5»! ’ дЬ2 а»,

где ( )т — символ транспонирования, ( ) 1 — символ обращения матрицы.

Соотношения (10) — (12) позволяют оценить погрешность квазиопти-

мального определения искомых параметров а, Те и /0 и в адаптирующемся режиме устанавливать минимальную продолжительность эксперимента тш tc, обеспечивающую заданную погрешность результатов ст0-

3. Совместное определение температуры восстановления газового потока и коэффициента теплоотдачи по измеренной (по времени) температуре поверхности модели, изготовленной из теплоизоляционного материала. Эта задача рассматривалась в работе [16] в детерминированной постановке, при фиксации с помощью термокраски температуры поверхности модели в два момента времени. В случае непрерывной регистрации температуры поверхности модели Тп(£) (например, с помощью тепловизора) большая информативность может быть реализована при использовании квазиоптимального алгоритма, аналогичного рассмотренному в п. 2. Для модели с малым коэффициентом теплопроводности материала Я, следуя [16], используем в качестве сигнальной

Рис. 1. Аппроксимация полиномом шестой степени решения уравнения теплопроводности для полу-ограниченного тела

функции 5(^, '9;) известное решение уравнения теплопроводности для полуограниченного тела:

л-1

Ш1П

in 5 = ШІП 2 ГТП * (*,) -S(t„ »)]«, Тп * (*,) = Тп {Q - 70;

/=0

А

а

W-

*Va(t-t0), &а = а, &2 = Тг, &з = /0>

(13)

здесь а — коэффициент температуропроводности материала модели, Ао — учитывает .возможную дискретную теплопередачу внутрь модели.

Указанная сигнальная функция хорошо аппроксимируется полиномом по степеням w (рис. 1):

9+1

Х0

1 +-J- Т = 1 а

(14)

Для типичного диапазона изменения w от нуля до 2,0 [16] среднеквадратичное отклонение (СКО) аппроксимирующего полинома от точного значения гр((о) с увеличением степени q быстро уменьшается, достигая минимума при ^~6 (см. таблицу, построенную по исходным данным [16] с четырьмя десятичными знаками 1(3).

СКО 7,217-10-2 1,921-10-2 4,865-10-3 1,120-Ю-з 2,386-К)-* 6,588-10“s

Коэффициенты аппроксимирующего полинома для q = § следующие: 51=9,9542-10-*5, Я2= 1,1247, В3 = —0,96862, В* = 0,64221, В5=—0,29898, Вв=8,3243- ЮЛ В7= —1,0128- ЮЛ

Приведенные данные и соотношения (13) — (14) позволяют находить

квазиоптимальные оценки искомых параметров а, Те и ?0 в рассматриваемой нелинейной задаче по гшп5 итерационной процедурой, аналогично задаче п. 2.

4. Итерационное решение нелинейных задач совместного определения калориметрическим методом математического ожидания коэффициента теплоотдачи а и температуры восстановления Те газового потока. Для численного решения по методу наименьших квадратов нелинейных задач (9) и (13) — (14) применен итерационный метод Ньютона Р7]. Комплекс программ совместного определения квазиоптимальных

оценок а и Те составлен на алгоритмическом языке Фортран-ГУ. Указанные алгоритмы и математическое обеспечение апробированы в агрофизическом эксперименте с теплоизолированным калориметром при исследовании теплопередачи в пограничном слое на срезе сверхзвукового сопла (рис. 2).

В эксперименте использовался калориметр из стали, температура которого определялась с помощью хромель-копелевой термопары. Температура холодных спаев термопары контролировалась с помощью термометра сопротивления, помещенного совместно с холодными спаями в общий термостат. Регистрация изменения температуры калориметра по времени Т (/) обеспечивалась информационно-вычислительным комплексом ИВК КОМПЛЕКТ-А [118] с мини-ЭВМ СМ-4, который работал в режиме цифрового осциллографа с дискретностью выборки {и — /*-1) = = 0,2 с. Каждый элемент выборки Г(^) представлял собой результат интегрирования реализации сигнала калориметра на интервале времени 0,02 с, что обеспечивалось использованием прецизионного мультиплексора ИВК- Сигналы термопары калориметра и термометра сопротивления масштабировались до стандартного уровня 0—10 В усилителями Ф7073 с гальваническим разделением. Прецизионное питание мостовой схемы термометра сопротивления осуществлялось от блока питания параметрических датчиков ИВК (П738) по компенсационной схеме- Прецизионный мультиплексор ИВК запускался примерно за to~2 с до подачи в сопло нагретого воздуха, что обеспечивало определение начальной тем-

1—срез сопла; 2—обойма калориметра; 3—хромель-копелевая термопара; 4—стальной калориметр; 5—теплоизоляционная втулка; 6—термостат; 7—термометр сопротивления; 8—масштабирующие усилители

Рис. 2. Схема эксперимента по исследованию теплопередачи в пограничном слое на срезе сверхзвукового сопла

Рис. 3. Результаты совместного определения коэффициента теплоотдачи а и температуры восстановления газового потока Те * калориметрическим методом

Рис. 4. Сходимость итерационной процедуры при совместном определении коэффициента теплоотдачи а и температуры восстановления газового потока Те * калориметрическим методом; I — число итерации

Рис. 5. Изменение относительной погрешности определения температуры восстановления_ от и коэффициента теплоотдачи аа в зависимости от продолжительности эксперимента Це — и ва —с поправкой

на коррелироаанность отсчетов

пературы калориметра Т0. Получаемая в результате эксперимента выборка результатов T(t{) обрабатывалась на мини-ЭВМ ИВК по методике п. 2.

На рис. 3 и 4 приведены результаты обработки данных типового калориметрического эксперимента по совместному определению математического ожидания коэффициента теплоотдачи а и температуры восстановления газового потока Те Разработанные алгоритмы и комплекс программ обеспечили в этом примере СКО аппроксимации результатов

Л

эксперимента кривой оптимальной линейной регрессии - Л° дг 0,12% ,

т 1 в *

при необходимом числе итераций 10-f-12. Определенное по соотношениям (9) — (12) изменение относительной погрешности значений температуры восстановления от и коэффициента теплоотдачи оа в зависимости от продолжительности эксперимента (tc—t0) показано на рис. 5; там же даны значения аг, и оат с поправкой на коррелированность результатов измерения Т$ (t,). Данные рис. 5 наглядно иллюстрируют процедуру последовательного применения алгоритмов (9) — (12)—по мере увеличения продолжительности эксперимента (tc—10) для адаптирующегося определения Тех и а с заданной погрешностью за минимальное время.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кудрявцев Е. В., Чекалев К. Н., Шумаков Н. В. Нестационарный теплообмен. — М.: Изд-во АН СССР, 1961.

2. Burggraf О. R. An exact solution of the inverse problem in heat conduction theory and application. — Y. Heat Transfer, 1964, vol. 86, ser.

C, N 3.

3. Лэдфорд P. Датчик для измерения удельного теплового потока в гиперзвуковых аэродинамических трубах. — В сб.: Современная техника аэродинамических исследований. — М.: Машиностроение, 1965.

4. Р е п и к Е. У., С о с е д к о Ю. П. Нестационарные методы измерения коэффициентов теплоотдачи.—Труды ЦАГИ, 1967, вып. 1073.

5. Смольский Б. М., Сергеев Л. А., Сергеев В. Л. Нестационарный теплообмен.'—Минск: Наука и техника, 1974.

6. Ю ш и н А. Я. Экспериментальное исследование теплопередачи к плоскому треугольному крылу с цилиндрическими передними кромками при числах Mo. = 3 и 5 в диапазоне углов атаки 0-ь30°. — Труды ЦАГИ,

1968, вып. 1106.

7. Р е п и к Е. У., С о с е д к о Ю. П., Ш и х о в Л. Г. Методика ускоренной обработки опытных данных при измерении коэфициентов теплоотдачи нестационарными методами.— Труды ЦАГИ, 1974, вып. 1599.

8. Гродзовский Г. Л. Приложение метода максимума правдоподобия к задачам оптимизации обработки данных аэродинамического эксперимента.— Ученые записки ЦАГИ, 1977, т. VIII, № 3.

9. Гродзовский Г. Л. Статистическая постановка задач аэродинамического эксперимента. — Ученые записки ЦАГИ, 1984, т. 15, № 3.

10. Гродзовский Г. Л. Определение параметров тепловых потоков калориметрическими методами с учетом статистической неопределенности измерения температуры.—Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. XII, №2.

11. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники.— М.: Советское радио, 1975.

12. А м и а н т о в И. Н. Избранные вопросы статистической теории связи.— М.: Советское радио, 1971.

13. Бард И. Нелинейное оценивание параметров.—М.: Статистика,

1979.

14. Виленкин С. Я. Статическая обработка результатов исследования случайных функций. — М.: Энергия, 1979.

15. Ермаков С. М., Бродский В. 3., Жиглявский А. А., Козлов В. П., Мал ютов М. Б., С еду лов Е. В., Федоров В. В. Математическая теория планирования эксперимента. — М.: Наука, 1983.

16. Кондакова В. П., Рыжкова М. В. Расчетные материалы для определения коэффициентов теплоотдачи с помощью термоиндикаторов.— Труды ЦАГИ, 1970, вып. 1175.

17. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике.—М.: Наука,

1974.

18. Гореликов Н. Н., Гродзовский Г. Л., Иванов В. Н„ Карпов В. А., Полонский А. М., Ростов Н. В., Рядчиков В. Е., С о л о в ь е в А. Г., Фомин А. Л., Т р а в и н Ю. В. Применение структуры прецизионного мультиплексора в аэродинамическом тен-зовесовом эксперименте. — Материалы конференции «ИИС-81». 4.1.— Львов, Изд. ВНИИМИУС, 1982.

Рукопись поступила 23/1У 1985