Определение параметров тепловых потоков калориметрическими методами с учетом статистической неопределенности измерения температуры Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XII 198 1

№ 2

УДК 512.2:533.6.07.08

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ КАЛОРИМЕТРИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ С УЧЕТОМ СТАТИСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ

Г. Л. Гродзовскгш

Рассмотрен метод тонкой стенки в условиях статистической неопределенности результатов измерения исходного поля температуры. Дано решение обратной задачи теории теплопроводности для стационарного распределения искомого теплового потока, удовлетворяющего условиям Дирихле. По критерию максимального правдоподобия определена разрешающая способность метода тонкой стенки при исследовании локальных тепловых потоков. Исследована оценка максимального правдоподобия величины местного теплового потока, определяемого с помощью типичного нетеплоизолированного калориметра с поперечным растеканием тепла.

1. Метод тонкой стенки в условиях статистической неопределенности результатов измерения исходного поля температуры.

Обнаружение и исследование локальных тепловых потоков являются важным аспектом проблемы аэродинамического нагревания при сверхзвуковых скоростях потока [1, 2]. Одним из эффективных экспериментальных методов исследования локальных тепловых потоков является так называемый метод тонкой стенки (рис. 1, а), в котором калориметрический термопреобразователь представляет собой достаточно тонкую стенку исследуемой модели. В начальный момент времени т=0 производится запуск аэродинамической трубы, либо модель быстро вводится в поток. Определение искомого теплового потока на внешней границе стенки по измеренному закону изменения по времени т поля температуры стенки Т является классической обратной задачей теории теплопроводности

[3—6]. Для стенки с достаточно малой толщиной к {^при достаточно больших значениях числа Фурье Р0 = где с —коэффи-

циент температуропроводности^ переменностью поля температур поперек стенки можно пренебречь; соответственно метод тонкой

стенки сводится к известному решению уравнения теплопроводности с внутренними распределенными источниками тепла но (х, х) = ат (х, т) ,

= —- (для примера рассматриваются одномерная постановка

и безграничная тонкая стенка):

д Т (.У, т) = д2 Г(дг, т) , т) .

дх ¿.V2 1 ср/г ’

оо<^л;<^оо, х^>0,

где а=^Х/ср, >. — коэффициент теплопроводности, с — теплоемкость, р — плотность материала стенки.

Для случая постоянной начальной температуры Т (х, 0)=Т0 решение прямой задачи имеет известный вид [3—6]:

Т (х, т) — Т0-(- ■

с рЛ

аь 0(х, с, т-*)?„(с, <)Л.

(1.1)

л

7* <Эс,Т>

Л

// д/

ад

^ с к

N

П'у / /А 3 ^ П У/ У//у

я) метод тонкой стенки для определения распределения теплового потока

б) микрокалориметр для определения местного теплового потока (г), /—пластина термопреобразователя, например из нихрома; 2—общий провод дифференциальных термопар (копель); 3—термопарные провода (копель)

Рис. 1. Калориметрические термопреобразователи с дифференциальными

термопарами

Здесь функция Грина в

2 У па (т — і)

-ехр -

[~

(х — I

4а (т — і)

Строгое решение рассматриваемой нами обратной задачи

*) = Ф[7Ч*. х); Цх, х)] (1.2)

существенно зависит от шумов ?, сопровождающих измеряемый термопарами полезный сигнал. Решение обратной задачи теплопроводности (1.2), как известно, является некорректным по Адамару: малые погрешности измерения температуры Т могут приводить к большим погрешностям восстановления искомого теплового

В ряде случаев для определения теплового потока используется удобная для практики приближенная формула

<7п~сРА 4^- 0-3)

Систематическое расхождение между точным и приближенным решением, вызванное перетеканием тепла по стенке модели [не учитываемым формулой (1.3)], в детерминированной постановке анализируется в работах [7, 8]. В работе [8] дана строгая оценка

величины указанного расхождения г при определении методом тонкой стенки интенсивности стационарного теплового потока <7^, (х, т) = qw (х). Показано, что при использовании приближенной формулы (1.3) с допустимой величиной е время измерения Ь должно удовлетворять условию

т* ^ ^ 2е9и1 (£)

^ ^ „ дЦя^х)] ■

дх2

При использовании метода тонкой стенки в работе [9] применено графическое сглаживание экспериментальных зависимостей производных температуры по времени и координате; отмечается область допустимого использования приближенной формулы (1.3) и область в районе пиков тепловых потоков, где необходим учет перетекания тепла по стенке на основе точного решения уравнения теплопроводности.

В современных исследованиях [10—14 и др.] изложена эффективная методика решения обратной задачи (1.2) с учетом шумов £, сопровождающих измерения температуры Т (х, т): для непараметрического случая—это метод регуляризации, для параметрического случая —это метод максимального правдоподобия. Ниже дано решение обратной задачи (1.2) для параметрического случая; решение получено для достаточно общей ситуации, когда искомое стационарное с момента времени т = 0 распределение теплового потока дт(х) на интервале (0, /) удовлетворяет условиям Дирихле и

аппроксимируется суммой линейного члена {ьоХ-\-Ь02^--^ и усеченным неполным рядом Фурье — тригонометрическим полиномом п-го порядка по синусам кратных дуг. При этом рассматривается калориметрический термопреобразователь длиною I, боковые грани которого контактируют с моделью, имеющей постоянную температуру Т0 (см. рис. 1, а). Функцию Цшп(х) запишем в виде:

Чшп (Х) = Ь01 + Ь

02

къх

к =1,2,

п.

(1.4)

к=1

Решением краевой задачи (прямая задача) является [6]:

дТ(х, -с) дт

а д2 Т (£, т) дшп (х)

0 т > 0,

дх2 с рЛ

Т (0, т) = Г0, Т(х,0) = Т0,

п

Т(х, т) = Т0 + Ь01501 {х, т) + Ь02 502(х, ")4-Х Ьь3Ах,

где •^01 (Х> т) —

к = 1

1

4Р х’і ___

Ш3 2-І (2р — I)3 р=і

1 — ехр

л2 (2р — I)2 йт

/2

эт

■к (2р — 1) х

302 {Х1 Т) :

2/2

Л/т3

т=1

р = і, 2, ...

*34*-«р

т = 1,2, ...

п

Б1П •

птх

х) =

51П X А/гау?

п.

Измерение с помощью термопар поля температуры стенки Т сопровождается шумом I, который для примера примем аддитивным белым шумом интенсивностью N0. Модель белого шума, как известно, хорошо описывает ситуацию, когда определяющими являются шумы усилителей сигналов термопар. При использовании дифференциальных термопар (рис. 1, а) непосредственно измеряется разность температуры в данной точке поля Т (х, х) и температуры модели Т0. Для рассматриваемого предельного случая непрерывного распределения термопар по оси л: совокупность измеряемых сигналов Т:!. (х, х) является случайным полем с постоянной спектральной плотностью Л/0 аддитивного шума Е (х, х):

Т:,{х, 1)=Т(х, т) — Т0 + 1(х, х) =

П

=Ь01501(х, х) + Ь02 502(х, х) + £ Ьк 8к (х, х)-И(х, х).

й=1

Таким образом, при измеренной реализации случайного поля Г* (х, х) на прямоугольнике (0<л:<;/, рассматриваемая

задача (1.2) сведена к общему случаю классической задачи опти-

л

мальной оценки параметров Ь амплитуд суммы детерминированных процессов и белого шума |(х, -с) [13]. Для рассматриваемой

л

нами задачи искомые оптимальные 'оценки Ъ и дисперсии этих оценок о2 составляют:

І і

5;(л:, т)5; (х, і)йх(іт.

о о

у' = 01, 02, 3, 2, . . ., п,

, ¿ = 01, 02, 1,2, ..., п,

Хт =

і г

| ^ (х, х) Т* (х, х) йхйх

о о

, ¿ = 01, 02, 1, 2, . . ., п\

Если в выражении (1.4) отсутствует линейный член (Ь01 = 0), то матрица 5г диагональная и соответственно:

N.

кк

кк

ІІ

а*\і

ї<)

/ І

11 (*> т) 7* (*> х) сіхсіх

При достаточно больших значениях эффективного числа Фурье аш|г>1 относительная погрешность оптимальной оценки пара-

метра Ьк составит

°к

А

Ьк

к? я2 Кк

Л

Ьк Iі

V

(1.5)

Соотношение (1.5) иллюстрирует известные положения теории информации: погрешность оптимальной оценки уменьшается при снижении мощности шумов и увеличении времени измерения. При заданных мощности шумов и времени измерения минимальная погрешность пропорциональна квадрату номера гармоники &2, поэтому имеется рациональный предел выбора порядка п полинома (1.4), например, по критерию типа Фишера — Снедекора.

Рассмотренный случай непрерывного по оси л распределения термопар описывает предельные возможности метода тонкой стенки. Аналогично получаем решение для случая равномерного дискретного распределения .V термопар по оси х (см. аадачу (3.1) в [13]):

2. Разрешающая способность метода тонкой стенки при исследовании локальных тепловых потоков. Результаты п. 1 показывают, что сопровождающие измерения температуры тонкой стенки шумы ? ограничивают возможности определения параметров высших гармоник искомого теплового потока qw(x). Разрешающую способность метода тонкой стенки с учетом статистической неопределенности результатов измерения исходного поля температуры исследуем в следующей постановке.

Будем рассматривать центральную часть калориметрического преобразователя большой протяженности (— оо <^х < оо). Пусть в точку х==С стенки с момента времени т = 0 начинает поступать стационарный поток тепла = const. Детерминированное распределение температуры стенки эквивалентно решению известной задачи о двух состыкованных полуограниченных стержнях, нагреваемых с торцов в точке х = 'С тепловыми потоками-^- [4]. При

постоянной начальной температуре Т (х, О) = Г0 = const решение, в соответствии с (1.1), имеет вид:

Подчеркнем, что в детерминированной постановке соотношение (2.1) элементарно определяет координату С локального подвода тепла и интенсивность потока тепла по измеренному распределению температуры тонкой стенки Т (х, х) в трех точках поля. Отметим также, что в этой задаче использование приближенной формулы (1.3) приводит к ошибочному результату

Т(х, х)=Г0+-^УатГ-^е-“а-«(1 -erf и)' = = 7’0 + S(*-C, х),

(2.1)

где

дх 2 У тшт

о наличии якобы в каждой точке х переменного по времени внешнего теплового потока, тогда как в действительности подвод тепла осуществляется только в точке х — (..

Как и в п. 1, совокупность измеряемых сигналов дифференциальных термопар

Т,(х, *) = Т(х, х)-Тй + Цх, т) = 5(л: — С, х) + ?(*, т) (2.2) будем рассматривать как случайное поле с постоянной спектральной плотностью N. аддитивного шума \{х, х). Рассмотрим задачу: по измеренной реализации Т^(х, х) на прямоугольнике (—

включающем точки С1 и С2, различить случай подвода заданного потока тепла <3^, (2.1) в точке от случая подвода С1т в точке С2. Сформулированная так задача сведена нами к проверке простой гипотезы, что среднее значение случайного поля (2.2) составляет 51 (х— (,х, х) против простой альтернативы, что среднее составляет 52(х — С2) х). Для критерия максимального правдоподобия, когда вероятности ошибок первого (а) и второго (¡3) рода одинаковы, можно показать, что алгоритм различения соответствует идеальному (по Котельникову) приемнику; принимается решение о подводе тепла в точке Сх, если выполняется неравенство:

I t 1 t

| [¿'х(х —Сь х) — Т*(х, х)]2сЬсягх< [52(х — С2, х) - Г* (х, х)]2й?х^х. -10 —10

В случае выполнения обратного неравенства принимается решение о подводе тёпла в точке С2. Вероятности ошибок перепу-тывания принимаемых оптимальных решений составляют:

а= р = 1 — /=■

Г (т):

1

У" 2 г.

'> аь

ії'т-щ- С |[52-5,]2^Л.

Если разложить функцию 5 (2.1) в ряд

5(* — С, х)= ----\£=±1+±

v ' Ш [ У*. 2 У ах '

и ограничиться первыми двумя

х — С)2

1 -а=1— {

Г

Хк

У

У к4ах

членами ряда, то приближенно вероятность правильного различения точек подвода локального теплового потока, разделенных расстоянием ДС = С2— С2, составит

8^о )'

где Р—интеграл Лапласа.

При заданной вероятности различения (1-а) разрешающая

способность -^гу- метода тонкой стенки при исследовании локаль-

ных тепловых потоков определяется по так называемым процентным точкам нормального распределения xai — f(\—а):

ДС

ХЛ -1 /"

х- V-

8/У0

и

1 — а 0,90 0,95 0,98 0,99 0,995 0,998 0,999 0,9995

1,282 1,645 2,054 2,326 2,576 2,878 3,090 3,291

Видно, что разрешающая способность метода тонкой стенки возрастает с увеличением времени измерения и, естественно, с уменьшением интенсивности шумов при измерении.

3. Калориметры для измерения местных тепловых потоков.

С целью дискретного измерения местных тепловых ПОТОКОВ <7да, воздействующих при аэродинамическом эксперименте на исследуемую модель, широко применяются заделанные в стенку модели калориметры [15 — 21 [. Простейшие калориметры представляют собой теплоизолированную массу с известной теплоемкостью, по темпу прогрева которой оценивается искомое значение [15—18]. В предположении изменения температуры только по оси г пластины термоприемника прямая задача определяется известным решением уравнения теплопроводности для неограниченной пластины толщиной /г, нагреваемой по поверхности г —к с момента времени т = 0 тепловым потоком <7ш(х) (задняя стенка пластины 2 = 0 теплоизолирована):

0<*<Л, ,>0;

п м___х дГ(к' дГ(°, т) _ 0

ЯIV ( ) д2 дг

Для случая постоянной начальной температуры Т (г, 0)=То решение прямой задачи имеет вид [3—6]:

Т(г, х)—Т0-\-^

0

г» 00 т

: 2 ж-ч / 1Ч ПК2 (* ,,ч Г а2 к2 п2 , -ч

+ т^г2(~1) С05~Н ?®^)ехр—

п=1 0 1

Отметим, что определение местного теплового потока

по измеренной зависимости от времени температуры в точке

калориметра является типичной обратной задачей типа (1.2), решение которой существенно зависит от шумов £(т), сопровождающих измеряемый (обычно термопарой) полезный сигнал:

?.00 = Ф [Т(г„ *) + ?(*)]. (3.1)

При использовании в детерминированной постановке приближенной формулы вида (1.3) имеет место известное систематическое расхождение [15—17], которое выражается через высшие производные температуры калориметра по времени [16]:

/ \ , дТ , 2 /Л2 \л-1 «5« Т

Я* СО = срк + срк 2 (2п — Туг ГГ -ЗГ-

п=2 4 '

Важные частные случаи постоянного теплового потока (т) = = Ум о и экспоненциально изменяющегося по времени теплового потока Чтщ (т) = о е~^ подробно рассмотрены в работе [15]:

а) при <7щ, (х) = 0, 1<0; (х) = 0, х>0

(2*) т) ' ' ^0 = Я-ш о

Л.

■Ш

/,2___Ч»2 °° о т?п^а~.

62 9 -/гг..

СОЭ

ср/г

_ ~| I

= ^о5(х) (3.2)

/г3

и соответственно

б) при дт{~) = О, Т<0; цт(*) = 0т>0

и соответственно

!|п/4

— 2е^ ^ (-1)я+1

(з.зо

п = 1

7С2 Я2Я

При этом обращено внимание на то, что с возрастанием числа Фурье члены ряда в правых частях уравнений (3.2) и (3.3)

быстро убывают и, например, для (3.2) при

с точностью до 0,5% ими можно пренебречь (следствие регулярного режима). Рациональный выбор глубины заделки термопары (примерно 2*~/г/]/3) уменьшает граничное значение Щ .

Соотношение (3.4) определяет конструктивные требования к калориметру, обусловливающие его работу в регулярном режиме. Для иллюстрации укажем, что в случае калориметра из нихрома (а = 0,033 см2,/с) при характерной толщине к = 0,003 см т* ^ ^0,00015 с. Видно, что при реально малой толщине калориметра регулярный режим его прогрева по оси г наступает весьма быстро.

Теплоизолированные калориметры вносят известные погрешности в измерение местных тепловых потоков из-за искажения обтекания, вызываемого резким температурным скачком у краев калориметра [19]. Поэтому в экспериментальной аэродинамике широко применяются так называемые инерционные тепломеры (рис. 1, б) с поперечным потоком тепла через нетеплоизолированную заделку калориметрической пластины в теле модели (или в специальной втулке — буфферной массе) [20, 21]. При выполнении условия (3.4) и рациональной глубине заделки термопары такой калориметр можно рассматривать как тонкую стенку (см. п. 1), в которой распределение температуры определяется решением вида (1.1). Для осесимметричного калориметра радиуса при

(3.4)

законах подвода тепла а) и б) имеют место следующие известные решения прямой задачи теории теплопроводности [3]:

а)

Т(г, .)- Т0 —

Я W о'

coh

R1 1 -

/•2

4я-с

2/о

Я» у,

ДТ 2d (Ranf Л (Я“л) е

R

Г

П=1

б)

Г (г, х)-г0 =

rs/гз

1=1 /?ЯЛ

{j- «£ -ij л (/?«„) J

= ?.05(г *);

/р (л КР/а) г~ _

/0 (/? К р/а)

— Яw о г, 1),

(3.5)

(3.6)

где /?аЛ — положительные корни уравнения /0(/?ап) = 0, /0 и Д — функции Бесселя нулевого и первого порядка.

На рис. 2 приведена зависимость от числа Фурье изменения безразмерной температуры в центре калориметра (г = 0) для

случая а) Тщ =

4lh[T (0, -с) - Г0] ,0Я2

, соответствующая точному решению

(3.5) и приближенной зависимости Т% « 1 — ехр ^ — 5,3-^р).

0,8

о,ч

ЧыО \ ь ^

А /

Г1 Я а у 4« а

0,2

0,4

0,6

0,8

1—точное решение; 2— Г* & 1 — ехр [ —5,3

°ТН0ШЄ'

ние теплового потока по приближенной формуле (1.3) к точному значению

Рис. 2. Перепад температуры Т* между центром и краем осесимметричного нетеплоизолированного калориметра при ступенчатом нагреве в зависимости от числа Фурье

Следует отметить, что для рассматриваемых нетеплоизолированных калориметров использование приближенной формулы (1.3) приводит к большому систематическому расхождению с точным решением. Так, согласно (3.5) при расположении измерительной

термопары в центре диска калориметра (г== 0) имеет место соотношение:

и дТ(0, z) 4n~cpti-----i = qwo

Зависимость от числа Фурье приведена на рис. 2.

Qw о ^

Для теплоизолированных калориметров строгое решение обратной задачи (3.1) с учетом шумов ?, сопровождающих измерение температуры Т (г*, т), дано в работах [22] — непараметрический случай — метод регуляризации, рассмотрены примеры подвода тепла по законам а) и б) — и [23] — оптимальная фильтрация Калмана — Бюсси. '

Типичные задачи экспериментальной аэродинамики являются параметрическими [14]: в случае калориметрии исследователя интересуют оптимальные оценки неизвестных параметров (тепловых потоков), информация о которых заключена в результатах измерения температуры заданной точки калориметра. В условиях аэродинамического эксперимента, когда дисперсия оценки искомого детерминированного параметра (погрешность измерения) много меньше дисперсии априорного распределения параметра, оптимальная оценка параметра достигается методом максимального правдоподобия [13]. Этим методом в работе [14] дано решение задачи а) для теплоизолированного калориметра и простейшего нетеплоизолированного калориметра с сосредоточенными элементами, описываемых обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Шум %{£) сигнала калориметра с учетом широкополос-ности аэродинамических шумов Nx и шума усилителя N2 можно рассматривать как нормальный случайный процесс с корреляционной функцией:

а) для случая, когда продолжительность измерения t много больше постоянной времени калориметра 1/р, либо воздействие аэродинамического потока на калориметр существенно до начала измерения,

B(t, u) = B(t — u) = B('0) = ехр (— рК I) + ЛГ2 о (т0); (3.7)

б) для случая, когда начало воздействия аэродинамических шумов на калориметр и начало измерения совпадают,

B(t, и) [ехр(— Н t — «I) — ехр (— «■(*+«))]+ Л'оЗЫ- (3-70

Анализ соотношений (3.2) и (3.5) показывает, что передаточная функция рассмотренных выше калориметров близка к характеристике калориметров с сосредоточенными параметрами [14].

Л

Поэтому для нахождения оптимальной оценки qw0 в случае постоянного теплового потока [задача а)] используем модель шума (3.7). В такой постановке задача определения местного теплового потока сведена нами к определению оценки максимального правдоподобия амплитуды детерминированного процесса qw0S(*) по наблю-

Е

п—1

Ran A (Ran)

даемой на интервале времени (О, V) реализации сигнала дифференциальной термопары калориметра Т* (х) (см. рис. 1,(5):

г

| У(т) Г, (г) с/л

*7® 0 == ~~ > °2 о/

1/(т)5(т)А

$ 1/(х)5(х)

(3.8)

где V (х) — решение интегрального уравнения г

\^В(Х— и) V {и) йи = 5 (х), х<;^.

Для теплоизолированного калориметра 5(х) определяется соотношением (3.2), для нетеплоизолированного калориметра 5(х) определяется соотношением (3.5) при г = 0.

Второе соотношение (3.8) показывает, что погрешность о опти-

Л

мальной оценки дш0 естественно убывает с увеличением продолжительности измерения примерно как —=- (при малых £).

Для нахождения оптимальной оценки параметров теплового потока в задаче б) в общем случае необходимо учитывать изменение по времени интенсивности аэродинамических шумов. Если рассматривается ситуация, когда определяющими являются шумы усилителя сигнала термопары А^, то двухпараметрическую задачу можно свести к определению оптимальных оценок параметров л л

дш о и р детерминированного слагаемого 9,а((|5(р, х): г

5 (р, т)Га;(-)^ ,

|-^-5(р, *)[ТА')-дто8(Р, х)]* = 0,

Я18) 0

р(Р, *)с1х

— 1

где 5(Р, х) определяется соотношениями (3.3) и (3.6) соответственно.

ЛИТЕРАТУРА

1. Боровой В. Я., Давлет-Кильдеев Р. 3., Рыжкова М. В. Особенности теплообмена на поверхности полу-конуса, обтекаемого сверхзвуковым потоком газа. Труды ЦАГИ, вып. 1106, 1968.

2. М а й к а п а р Г. И. Аэродинамическое нагревание подветренной стороны тела при сверхзвуковых скоростях. »Ученые записки ЦАГИ“, т. III, № 6, 1972.

3. К а р с л о у Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел.

М., „Наука“, 1964.

4. Л ы к о в А. В. Теория теплопроводности. М., „Высшая школа“, 1967.

5. Т и х о н о в А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., „Наука“, 1972.

6. Б у д а к Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. М., „Наука“, 1972.

7. Репик Е. У., Со сед ко Ю. П. Нестационарные методы измерения коэффициентов теплоотдачи. Труды ЦАГИ, вып. 1073, 1967.

8. МайкапарГ. И. О методике измерения теплового потока к моделям в аэродинамических трубах. Труды ЦАГИ, вып. 1106, 1968.

9. С о к о л о в а И. Н. Исследование теплопередачи осесимметричных тел вращения. Труды ЦАГИ, вып. 1178, 1969.

10. Тихонов A. H., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М., .Наука“, 1974.

11. Кутателадзе С. С., Томсон с Я. Я. Некоторые вопросы автоматизации теплофизического эксперимента. В сб. „Алгоритмы обработки теплофизического эксперимента“. Новосибирск, ин-т Теплофизики СО АН СССР, 1975.

12. Алифанов О. М., Батура Н. И., Беспалов А. М., Горшков М. И., Кузьмин Н. А., Майоров А. И. Применение новой методики'испытаний и обработки результатов эксперимента в тепловой аэродинамической трубе при исследовании процессов нестационарной теплопередачи. ИФЖ, т. XXXIII, № 6, 1977.

13. Л е в и н Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники, т. 2. М., „Советское радио“, 1975.

14. Гр о д зо век и й Г. Д. Приложение метода максимума

правдоподобия к задачам оптимизации обработки данных аэродинамического эксперимента. „Ученые записки ЦАГИ“, т. VIII, № 3, 1977.

15. К у д р я в ц е в Е. В., Ч е к а л е в K. H., Шумаков Н. В.

Нестационарный теплообмен. М., Изд-во АН СССР, 1961.

16. Burggraf О. R. Ап exact solution of the inverse problem

in heat conduction theory and applications. „J. Heat Transfer“, vol. 86,

ser. С, N 3, 1964.

17. Смольский Б. М., Сергеева Л. А., Сергеев В. Л. Нестационарный теплообмен. Минск, „Наука и техника“, 1974.

18. Лэдфорд Р. Датчик для измерения удельного теплового потока в гиперзвуковых аэродинамических трубах. В сб. „Современная техника аэродинамических исследований“. М., „Машиностроение“, 1965.

19. Колина Н. П. Влияние ступенчатого изменения температуры поверхности на теплообмен при ламинарном течении в пограничном слое. Труды ЦАГИ, вып. 1315, 1971.

20. Г е р а щ е н к о О. А. Основы теплометрии. Киев, „Наукова думка“, 1971.

21. Woodruff L. W., Н е а г n е L. F., К е 1 i h е г Т. J. Interpretation of asymptotic calorimeter measurements. „AIAA J.“, vol. 5, N 4, 1967.

22. К о л п А. Я. Определение нестационарного теплового потока по измеренной температуре. „Ученые записки ЦАГИ“, т. IV, № 6, 1973.

23. Г о л ь ц е в А. С., Симбирский Д. Ф. Идентификация нестационарного нелинейного теплового объекта с применением фильтра Калмана. „Автометрия“, 1975, № 1.

Рукопись поступала lOjí 1980