Субоптимальные методы обработки сигналов нетеплоизолированных калориметров и датчиков давления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Т о м X

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

19 7 9

№ 5

УДК 512.2:533.6.07.08

СУБОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ НЕТЕПЛОИЗОЛИРОВАННЫХ КАЛОРИМЕТРОВ И ДАТЧИКОВ

ДАВЛЕНИЯ

Н. А. Колганов

Рассмотрены различные субоптимальные алгоритмы определения параметров сигналов нетеплоизолированного калориметра и датчика давления с учетом инерционности пневмотрассы (при малых перепадах давления). Проведено сравнение точности субоптимальных и оптимальных оценок. Анализируются условия, при которых погрешность субоптимальных алгоритмов (простых в аппаратурной реализации) незначительно превышает минимальную погрешность оптимальных алгоритмов.

Современный аэродинамический эксперимент характеризуется направленностью на максимальное повышение информативности. Шумы, которые сопровождают полезную информацию, затрудняют определение интересующих экспериментатора величин. Как показано в работе [1], повышение информативности аэродинамического эксперимента может быть достигнуто благодаря применению современной статистической теории оценки [2, 3].

Для характерных условий аэродинамического эксперимента оптимальным методом определения параметров сигналов датчиков на фоне шумов является метод максимального правдоподобия [1], который дает строгое решение обратной задачи статистической теории оценок [2—4]. Метод максимального правдоподобия позволяет определять искомые параметры с заданной погрешностью за минимальное время или находить эти параметры с минимальной погрешностью при заданном времени измерения.

Оптимальные решения важны для получения предельных оценок минимально достижимой погрешности. В некоторых случаях целесообразно использовать так называемые субоптимальные алгоритмы оценивания, которые имеют большую погрешность по сравнению с оптимальными, но зато более просты в аппаратурной реализации. Ряд примеров субоптимальных алгоритмов приведен в работе [5] При использовании субоптимальных алгоритмов для оценивания искомых параметров необходимо указывать степень их эффективности, т. е. насколько их точность ниже точности оптимальных алгоритмов.

В настоящей статье рассмотрены различные субоптимальные алгоритмы определения параметров сигналов нетеплоизолированных калориметров и датчиков давления с учетом инерционности пневмотрасс при малых перепадах давления.

1. Передаточную функцию нетеплоизолированного калориметра при определении теплового потока и датчика давления с учетом инерционности пневмотрассы (при малых перепадах давления) можно аппроксимировать характеристи-

8—Ученые записки № 5

113

кой инерционного звена первого порядка [1, 6—7]. Соответственно уравнение, которому удовлетворяет сигнал указанных датчиков, эквивалентно следующему: 1 .

—- Л: (/) + л: (/) = »1 + (/), 0 </</ft,

ц

х (0) = 93 = const.

Здесь t — время, tk—интервал времени наблюдения, 1 /fx—известная постоянная времени датчика, — измеряемое постоянное входное воздействие (искомый параметр), »2—начальное условие, (t) — входное пульсирующее воздействие аэродинамического характера.

Полоса пропускания Am=fj. используемых датчиков обычно много уже характерной ширины спектра аэродинамических пульсаций. Поэтому, как показано в [I], шум «i(i), вызванный аэродинамическими пульсациями, можно считать белым шумом с корреляционной функцией Bt (т) = S (т), где iVj — спектральная плотность эквивалентного белого шума, 5 (х) — дельта-функция Дирака.

При регистрации сигнала датчика существенны шумы приемной аппаратуры, которые могут быть учтены аддитивным белым шумом со спектральной плотностью N2, приложенным к выходу датчика [1]. Предположим также, что шумы rii(t) и я2(/) независимы и распределены по нормальному закону.

Суммарный выходной сигнал датчика можно записать в следующем виде:

y(t)=x (/) + п2 (/) = S (/, »„ »2) + e(i) = »iS1(i) + »252 (i)+S(i), 0<t<tk, (1)

где Sj (t) = 1—S2(t) = e~lit; 5 (/) — нормальный случайный процесс с корреляционной функцией.

= + (2)

Задача оценивания параметров сигнала ставится следующим образом: требуется по реализации сигнала датчика у (/) (1) на интервале времени (0, tk) определить неизвестное входное воздействие ftj. В общем случае величина §2 также неизвестна и является мешающим параметром.

Оптимальная оценка векторного параметра » = [»/], / = 1, 2, полученная по методу максимального правдоподобия [2], рассмотрена в работе [1]. Она определяется из уравнения максимального правдоподобия:

Г Д 1

Lv W »opt J

sup / [у (О

О

»1, ОС'С'а-

где максимум находится по области допустимых значений д. Здесь /[.у(/)|&] — функционал отношения правдоподобия, который определяется следующим образом [2]:

/г /,m"SI 1- w(y\> ■••'Ув!») ' [У (О I »1 = I'm -— ,

W(yi, .... уп | Ь0)

где W (yj, ..., уп | 8) — совместная функция распределения многомерной выборки у!.....уп при заданном значении параметра 8 (функция правдоподобия

этой выборки )',yi—y(ti), ti = ^ j ^ (/ — 1); /=1,2,..., /г; &0 — некоторое

фиксированное значение параметра

Приведенное выше уравнение максимального правдоподобия эквивалентно следующему уравнению для логарифма функционала отношения правдоподобия:

ln/[y(<) »"opt ] = sup In(/)]?]•

д

Если существуют частные производные 1п /\у (/) | »], то уравнение

максимального правдоподобия может быть записано в следующем виде:

у^1п/[у(/)|»] = 0,

&

где —оператор градиента по компонентам вектора

&

Решение этого уравнения относительно параметров &2, сигнала датчика у (0 при указанных выше предположениях о шуме с((), сопровождающем полезный сигнал датчика, имеет вид [2]:

Opt

= S

-1

Г,

(3)

где матрица Sr и вектор Ут

= Vi(t)Sj(t)dt\- 1= 1,2, у = 1, 2;

YT=l J Vi(t)y(t)dt\ ; i=l,2.

■Функции Vi(t), i= 1, 2 являются решением системы неоднородных линейных интегральных уравнений

'ft

js(i-u) Vi(u)du = Si(t)\ 0/=1,2.

о

Если помеха £ (t) имеет корреляционную функцию вида (2), то функции Vt (t) и V2(t) [1]:

V, (t) = (N, + {1 + (n2 - 1) G (ixnt) — (я2 + 1)G [цп (tk - <)}),*

V2(t) = 2N^lG[Fn (tk-t)], G (x) = [n ch (*) + sh (*)] • |(л2 + 1) sh (y.ntk) + 2n ch (н-л^)]-1, rP = 1 + ЛУМ,.

Как показано в работе [2], оценки (3) являются несмещенными, состоятельными и совместно эффективными. Корреляционная матрица оценок [2]

Л Л Л Л

м = ((»opt - (»opt)) (»opt - <»opt))T) = sj\ (4)

где »т означает транспонированный вектор С*) — математическое ожидание случайной величины х.

2. Рассмотрим однопараметрическую задачу, когда неизвестен только параметр Без ограничения общности можно положить »2 = 0. В этом случае оптимальная оценка входного воздействия и ее дисперсия, как следует из (3) и (4), соответственно равны

»1 opt :

Г 1

'П1

к

J F,(0 y(t)dt

s2 {»1 opt} = St Ii =

j V, (t) S, (t) dt о

i—i

-l

" 'ft "I"1

f Vx (<) Sx (t) dt .

(5)

(6)

Одним из достаточно простых субоптимальных алгоритмов определения параметров сигналов на фоне помех является алгоритм максимального правдоподобия, оптимальный при наличии белого шума. В случае однопараметрической задачи соответствующая оценка параметра имеет вид [2]

г U,

1 б. иг

J (0 у (f) dt

г и

f 5? (О Л

—1

(7)

Поскольку в данном случае шум i (t), сопровождающий полезный сигнал

датчика S (t, ») имеет корреляционную функцию вида (2), т. е. не является белым, то оценка (7) является субоптимальной. Сравним точность оптимальной и субоптимальной оценок (5) и (7). Можно показать, что дисперсия субоптимальной оценки (7)

(Л

| »1

I

б. ш I

= ¿ft 1 М F1 {,,tk) /7* (¡Xift) + N, V

—1,

где

/•*! (лг) = 1 + - 0,Ъе~2х - 0.75.*-1 (3 — \е~х + е~2х), е2(х) = 1 —2лг-1 (1 —е~х) + О,5л:-1 (1 —е~7х).

о3 ( о, я г

На рис. 1 показано отношение е, =-' 1 -■ при различном отношении

интенсивностей р = Л^/Л^ Видно, что погрешность субоптимальной оценки (7) приближается к погрешности оптимальной оценки при возрастании и уменьшении р.

Более простая субоптимальная оценка параметра 8, имеет следующий

вид:

С У ГО<«

(8)

5, (0 сК

Такой субоптимальный алгоритм является обобщением метода Хартли — Букера [8] на случай стохастических процессов. Очевидно, что оценка (8) является несмещенной. Дисперсия этой оценки

где

С2 {»Л = 1 [ЛГа + N. /=~2

/=■(>:)= 1 — дг_1(1 -е~х).

На рис. 2 показана зависимость отношения е2 ■

от для раз-

6.ш|

личных значений параметра $ = N¡¡N1. Как видно из этого графика, максимальное увеличение дисперсии по сравнению с дисперсией оценки (7) составляет £,> шах = ' >78.

3. Субоптимальный алгоритм (8) может быть обобщен на случаи двухпара-метрической задачи, когда неизвестно также и начальное значение )>2. в этом случае субоптимальный алгоритм определения параметров $2 заключается в следующем. Сигнал датчика у (/) (1) интегрируется и осредняется на двух интервалах времени (0, t^) и (¿2,

У1

= — Г у (О <И = ап 9! ак », + ?, К

О 0,1 0,4- 0,6 О,В

Рис. 1

Рис. 2

Уз= ., - , г [ У (О сИ = д21 О, + а22 »2 + ?2, ''л — ¿г; /

Га

где ву—интеграл от функции на г'-м интервале времени (г, у == 1, 2);

, Л

о

Субоптимальные оценки искомых параметров будем искать из следующей системы уравнений:

Л Л _

«и »1 + «12 »2 = Уи

Л Л _

«21 »1 + а22 »2 = У2-

(9)

Л

Оценку входного воздействия ^ запишем тогда в следующем виде:

Л ад^ 0

«11 «22 — «12 «21

Эта оценка является состоятельной и несмещенной. Дисперсия этой оценки

д2 >£ ; - (£1> Д12 (£1) - «22 <Ё1 («11 «22 — «12 «21>2

Чем больше интервалы интегрирования (0, tí) и (¿2, (при условии, что ¿ = 1, 2), тем меньше дисперсия величин 1 = 1, 2 и, следовательно, тем меньше и числитель дроби (11), но при этом система (9) становится плохо обусловленной и ее детерминант (1 — ап а22 — «12 «21 уменьшается. Таким образом, существует разбиение интервала наблюдения (0, на такие интервалы интегрирования (0, на такие интервалы интегрирования (О, <1Н!) и (¿2*, ¿й), при которых дисперсия (11) оценки (10) параметра достигает минимума.

Пусть длительности интервалов интегрирования равны, т. е. = — £2. Ограничимся для простоты случаем, когда УУ2. Шумом, который вызван

аэродинамическими пульсациями, можно пренебречь. Тогда имеют место следующие соотношения:

о при ¿хС*.,

<5. & = ( ^ ((1 _ _ ¿-I = ¿-2 при *2. л,

Обозначим через ^ оценку параметра 9] в том случае, когда интервалы

» > А„

интегрирования (0, t■í) и (¿2, пересекаются, а через —оценку когда интервалы (0, и ¡к) не пересекаются.

Рассмотрим первый случай, т. е. /,'>¿2- Дисперсия оценки (10) входного воздействия

1 !*2>1 L («12 —«22>2

(12)

где

a'12=al2(t'l) = (ilt[r10-e

«22 = в»(<1) («"^'Ф -г"1"*).

Если выполняется неравенство ц/ftCl, то из формулы (12) приближенно получим

Л, 2 N, а2 {».} == -70-5-—• (13)

Минимум этого выражения достигается при ij, = и приближенно ра-

О

вен

2

2ц» '

Таким образом, для получения оценки (10) параметра с минимальной дисперсией необходимо сигнал датчика проинтегрировать на интервалах

(т'* Ч-

Дисперсия (4) оптимальной оценки параметра при тех же предположениях

Л 12ЛГг

°2 {W) ~ ■

' 'А

Таким образом, отношение погрешностей субоптимальной и оптимальной оценок входного воздействия fy при указанных условиях составляет

Л,

®min {»]}

= 1 .06.

К")

Л

0 {»1 opt}

Рассмотрим теперь случай, когда интервалы интегрирования не пересекаются, т. е. <!Дисперсию оценки (10) параметра можно записать в следующем

виде:

Л', N* Г, , 2а12а22

J. } = Ъ I J "Г * " „ [ («П-а22)3

где а12 = а12 (í2), а22 = а22(/1).

Отметим, что в случае, когда t[ = = tk — iv выполняются соотношения

И Н I г и п I I

а12 ~~ а22 а12 а22' а\2 — а22 а12 й22' Л „ .Л,

и, следовательно, аз {9 ^ > а2 {8 j}.

Л„

Если выполняется условие ¡л^ <С 1. то дисперсия оценки а 1

Л„ 2Л'»

При tx = tk—tx выражение (14) переходит в (13).

Следовательно, выражение (14) достигает минимума при ¿¡# = ^ — т. е. когда интегрирование производится на интервалах |0, и (В ре-

Л, л„

зультате, оценки и в] при указанных условиях имеют одинаковую дисперсию.

Использование рассмотренного выше оптимального алгоритма максимального правдоподобия для оценки параметров сигналов нетеплоизолированного калориметра и датчика давления с учетом инерционности пневмотрассы при малых перепадах давления требует достаточно полного и точного знания априорных данных о характере помехи (в частности, знания корреляционной функции шума В(т)). Приведенные субоптимальные алгоритмы оценки параметров сигналов датчиков не требуют таких полных и точных априорных знаний, вследствие чего их точность несколько хуже точности оптимального алгоритма. Однако субоптимальные алгоритмы весьма просты в аппаратурной реализации, а их эффективность существенно возрастает при увеличении времени наблюдения, что позволяет использовать эти алгоритмы для обработки показаний нетеплоизолированных калориметров и датчиков давления при малых перепадах давления.

Автор приносит благодарность Г. Л. Гродзовскому и М. Л. Дашевскому за постановку задачи и советы, высказанные в процессе работы над статьей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гродзовский Г. Л. Приложение метода максимума правдоподобия к задачам оптимизации обработки данных аэродинамического эксперимента. „Ученые записи ЦАГИ", т. 8, № 3, 1977.

2. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники, т. 2, М., .Советское радио*, 1975.

3. Идье В. и др. Статистические методы в экспериментальной физике. Перевод под ред. А. А. Тяпкина. М., „Атомиздат", 1976.

4. „По поводу трактовки основных проблем теории оценок". В книге Идье В. „Статистические методы в экспериментальной физике". Перевод под редакцией А. А. Тяпкина, М., »Атомиздат", 1976.

5. Гродзовский Г. Л., Иванов Ю. Н., Токарев В. В. Механика космического полета. М., .Наука", 1966.

6. Петунин А. Н. Методы и техника измерений параметров газового потока. М., „Машиностроение", 1972.

7. Петунин А. Н. Измерение параметров газового потока. М., .Машиностроение", 1974.

8. Химмельбау Д. Анализ процессов статистическими методами. М., „Мир", 1973.

Рукопись поступила 19! VII 1978 г.