Солитонные решения уравнений полной квантовой механики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2 Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2005, вып. 1

Г. А. Скоробогатов, С. И. Свертилов

СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОЛНОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

В предыдущих работах [1-6] была построена полная квантовая механика (ПКМ), которая является метатеорией для стандартной квантовой механики (СКМ) [7-10] и порождает последнюю в двухмоментном пределе. Ситуация аналогична кинетической теории газов [11, 12], в которой для получения уравнений тепло- и мас-сопереноса из кинетического уравнения Больцмана разработаны приближения Греда: 5-моментное, 13-моментное и т.д. При этом кинетическое уравнение Больцмана в линейном приближении порождает транспортное уравнение Крамерса-Фоккера-Планка, которое в 2-моментном приближении дает два уравнения [13] броуновского случайного блуждания (уравнение сохранения плотности вероятности и уравнение движения). Так и в ПКМ, субквантовое кинетическое уравнение (СКУ) в линейном приближении порождает субквантовое транспортное уравнение (СТУ) [1], а последнее в 2-моментном пределе дает два уравнения «гидродинамического представления» Маделунга [14], полностью эквивалентные паре сопряженных уравнений Шредингера. Далее, релятивистское субквантовое кинетическое уравнение (РСКУ) в линейном приближении порождает релятивистское субквантовое транспортное уравнение (РСТУ) [3], которое в 2-моментном пределе дает два уравнения Такаба-яши, полностью эквивалентные паре сопряженных уравнений Клейна-Фока-Гордона. Спинорное субквантовое кинетическое уравнение (ССКУ) порождает спи-норное субквантовое транспортное уравнение (ССТУ) [5], а последнее в 4-моментном пределе дает четыре уравнения гидродинамического представления Бома [15], полностью эквивалентных паре спинорных уравнений Паули [9]. Наконец, релятивистское спинорное субквантовое кинетическое уравнение (РССКУ) в линейном приближении порождает релятивистское спинорное субквантовое транспортное уравнение (РССТУ) [5], которое в 8-моментном пределе дает восемь уравнений гидродинамического представления Такабаяши [16], полностью эквивалентных паре спинорных уравнений Дирака [8].

Итак, уравнения ПКМ теперь известны, но из-за их сложности не видно, к каким новым (по сравнению с СКМ) экспериментально наблюдаемым следствиям они приводят. В [6] был сделан первый шаг в этом направлении, а именно: получено обобщение плоской волны де Бройля для свободной нерелятивистской бесспиновой частицы. В настоящей работе сделан дальнейший отход от линейных волновых уравнений СКМ: выявлены стационарные солитонные решения [17-19] для кубично- и квинтально-нелинейных нерелятивистских волновых уравнений для одной частицы в рамках 3-моментного приближения к СТУ.

1. Цепочка уравнений нерелятивистской ПКМ в 3-моментном приближении. Исходим из нерелятивистского СТУ для одной частицы [1]

дР{Рд'*'г) + £у*Р(р,х,0 = АДР (рР(р,х,*)) + (У*С/(х)) УрР(р,х,0 + ,

+ - (Р - (Р>) ЧХР (р, х, 0 - - (Ух (р>) Р (р, х, 0 . (1)

© Г. А. Скоробогатов, С. И. Свертилов, 2005

Введем обозначение для моментов:

_ ;гр(р,х,0сРр

Тогда для двух младших моментов (нулевого и первого) формула (2) конкретизируется в виде

= I Р(р,х^)<13р, (3)

, = - (р) = -7 77 / рР (Р, х, <*3р, (4)

4,1 т тю (х, Ь) У

Для второго и третьего моментов имеем соответственно

<т> - ==^г)!^'-^ <5>

<-3>».. = = та (6)

Выведем уравнение для второго момента. Для этого умножим обе части уравнения (1) на v2 и проинтегрируем по v:

д_ д1

I у2Рс*у + Уг I у3Рс*у = А Iу2У+ (х) I у2Уу.(Р)+

+ 2 у* у3УхР<*у -2 (у) J у2У*Р<*у -2УХ (V) J \2Р(Ь/. Отсюда, используя обозначения (3)-(6), получим

|(г.Т) + Уг (,,,<у3)) =

= —2\юТ - (х) ги (v) + 2УТ (ад (у3)) - 2^УХ ((у) Т) - 2™ (у) УтТ. (7)

Для стабильной частицы следует учитывать уравнение неразрывности [9, 10]

|^ + сНУМУ)) = 0, (8)

так что из (7) вытекает уравнение для Т :

дТ 2

ю— + ю (у) УгТ = —2\гиТ - -ю (у) УтС/ (х) + Уг [ю ((у3) - (у) Т)]

или

дТ

+ (у) УХТ = -2АТ - - (у) Ухи (х) + -V, [и> ((у3) - (у) Г)] .

дЬ ' ' т ' ' ' и)

Запишем соотношение Маделунга-Гейликмана [20] для второго момента:

(9)

■ии

т"

^ ^ / п2, N ^ г,

4т2,ш

или с учетом обозначения (5)

У2Ц> _ 1

ш

го

С помощью уравнения для (у)

+ (V) V, (v) = -А (v) - 1ухи (х) + -У, \ю ((v2) - (v)2)" от т и) I \ ) -I

путем подстановки (П) в (У) получим уравнение для второго момента

(10)

(П)

(12)

4т2

+ (v) <1 2 (v) У г (v) + -^У2 ( -У,^ 1 = -2 (v)2 v* (v) - 2А (у)2 - - (у) У хи (х) +

и> П2

т

= —2АТ - - (у) Ухи (х) + —Уз [го «у3> - (у) Т)] . (13)

Чтобы (13) превратилось в тождество, т.е. чтобы уравнение для третьего момента оказалось не нужным, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1) равенство нулю диссипативного члена (ибо без этого момент Т должен "быть равен (у)2, что противоречит (11));

2) соблюдение равенств

1у^(<у3)-(у)3) Я2

(у) У21п„) + (у) Ух (иУ21пи>) -

У, (у) У21пи; - ¿У, (У* (у) УдЛт/;) - ¿Ух (У2 (у» =

4т2

4т2

Ш2 К1 К2

(у) У2 (™У21п™) - — V, (У, (у) Чх\тт) - — Ух (У2 (у)) . (14)

4 т2

4т2

Выражение (14) для третьего момента обобщает соотношение Маделунга-Гейликмана (10) для второго момента. Использование (14) позволяет аппроксимировать тремя уравнениями ((8), (12) и одно из двух первых равенств в (13)) бесконечную зацепляющуюся цепочку дифференциальных уравнений для моментов, эквивалентную одному немарковскому СТУ (1).

2. Соотношения для второго и третьего моментов в нелинейной квантовой механике. Рассмотрим нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) для волновой функции ф(х,Ь), соцоставленной частице с массой т, находящейся в потенциальном поле и(х). Для стабильной частицы принимаем естественное условие сохранения тока, т.е. выполнение уравнения неразрывности (8). Обозначим нелинейную добавку в уравнении Шредингера как Р(ф). Умножим на ф* уравнение для ф и на ф - сопряженное уравнение для ф*\

= -Ц-Ъ2хф(х,1) + и(х)ф(х,1) + Р{ф),

Ы 2т

(15)

дЬ 2т

Ф*

ф

Если сложить оба уравнения в (15), то для сохранения тока необходимо, чтобы

Р{ф)ф* = фР(ф*). (16)

Представим Р(ф) как комбинацию

Р(ф) = Ф(ф) + АЧхф + В\/2хф + СУгхф + •' ■ • (17)

В свою очередь, Ф(ф) можно представить как ряд по степеням ф:

со

Ф {ф) = ^Скфк. (18)

к=1

Поскольку комплексную волновую функцию всегда можно представить в виде

ф = \Дйе*5, ф* = (19)

то, учитывая (18), соотношение (16) для слагаемого Ф(ф) в (17) может быть представлено следующим образом:

= е^е-^'5. (20)

Из (20) следует, что -5 + кЯ = 5 - кЯ, т.е. к — 1. Таким образом, ток сохраняется, если в правую часть уравнения Шредингера добавлены только линейные по ф слагаемые.

Рассмотрим теперь слагаемые с производными типаУх^- Для простоты положим го = 1. В этом случае из (16) и (19) следует

п К

т.е. Ух5 = 0 и соотношение (16) выполняется только для тривиального случая. Если же ю ф 1, то (16) тем более не будет выполняться, если У25 ф 0. Аналогичные рассуждения справедливы и для слагаемых с производными более высоких порядков.

Таким образом, чтобы выполнялось уравнение неразрывности, нелинейная добавка Р(ф) должна быть линейной по ф, т.е. Р(ф) имеет вид

р(ф) = Ф(Ф) = а\Ф\)Ф, • (21)

в котором С в общем случае.можно представить следующим образом:

оо

С = £ (С„о№Г + V, (Сш\ФП + У2 (СтЖ) + V* (Спз\Ф\п) + ...), №

п=1

где СП:?- действительные числа.

Рассмотрим теперь обобщение соотношения Маделунга-Гейликмана в случае нелинейного расширения уравнения Шредингера с использованием нелинейной добавки вида (21), (22). Поскольку из (19) следует, что \гр\ = д/ги(х, ¿) является функцией только х и Ь. то член (21), (22) выглядит подобно слагаемому с потенциалом. Тогда второе уравнение «гидродинамического представления» Маделунга [20] можно записать так:

ол2_ К2

дь ~ 4т2

У2ги 1 /У2 2

IV

ю

и- С,

(23)

а вместо (12) будем иметь уравнение для первого момента

У 1-ш 1 / Ути;

IV

IV

--УхС--УхС/. (24) т ■ т

Сравнивая (23), (24) с уравнениями (10) и (12) (без диссипативного члена), получаем

-V, [т* ((V2) - (у)1

4т2

У2ги 1 / У хьи

XV 2 \ ю

т

■УхС

(25)

или

у3

ю (v

(26)

Выражение (25) или (26) - это и есть обобщенное соотношение Маделунга-Гейликмана для второго момента, которое с учетом обозначений (5) можно также записать в виде

где х подчиняется соотношению тХ7х(хы) — гоУ^С или х = / ги^тС-Продифференцируем (27) по t:

дг 4т'2 х и- дг / Ы '

С учетом уравнения неразрывности формула (28) принимает вид

- 2 (у)

Ы х ' дЬ 4т2

Дифференцирование (27) по х дает

П2

дг

УХТ = 2 (v) У, (v) + -^У 1\пги -

Из (29) и (30) получаем 30

(27)

(28)

(29)

(30)

К2~П (-^х (V))) + ^ (V) V3lш^; - (V) Ух* - (31)

4т2 Т \ го 1 4 4т2 х ' 1 х ' А д1

С помощью уравнений (9), (24). (26) и (27) (без потенциального и диссипативного членов) из (31) выводим соотношение

* 1 (V) V, ^.У21пи0 - -¿^У2 (го (V») + (V) У31пго-

2 т2и)" ' х х ' 4т2 х V го 4 4 '' 4 т

- -2 (v) УХС - (v) У.х - ^ = -V, (го ((у3) - Г (у))) . (32) т т ги ■

т. е.

V, (го ((у3) - (V)3)) = ^У* (го (у) У21пго) +

П' гоУх (V* (у)) - 12го (у) - 2т (и) УхХ - XV, (го (у)) - иЖ (33)

4ш2 т ^ п 1А А п 81

или с учетом соотношения тУх(х-го) ■= гоУх£

V, (го ((V3) - (V)3)) = ¿V, (го (V) У21пго) +

/г2 /I2 /I2

+ ^г (V) Уг (гоУ21пго) - (у) Ух1пго - (V* (у) Ух1пго) -

П .7/,УХ (У2 (V)) - 2 (у) Ух (?/;*) - 2го (у) Уху - уУг (и- (у)) - го^. (33*)

4т2~ -ух»,, , , ~ х . , .. - - . ,, ш

Формула (33) (или (32)) и является искомым обобщением соотношения Маделунга-Гейликмана для третьего момента. Нетрудно видеть, что в линейном случае, т.е. когда С = 0, х = 0, оно превращается в соотношение (14). Выявленная совместимость нелинейных добавок (21). (22) с уравнением неразрывности (8) позволяет теперь производить селекцию «физических» и «нефизических» нелинейных добавок к уравнению Шредингера. Рассмотрим конкретные случаи.

1) 2Ф, что приводит к кубичному уравнению. Шредингера-Гинзбурга [19].

При этом (26) и (33*) сводятся соответственно к следующим соотношениям:

V, - (v)2)] = ¿V,- (^У21то) + =■ {и>Ъ2х1мо) + (34)

V, {ю ((V3) - (V)3)) = ^ (V) Ух -

- ¿«Ух (Ух (V) УхЫги) - ¿иУ, (У; (V)) + (V) УхиЛ (35)

2) -Р(^) = — 1о\-ф\2-ф — что приводит к квинталъному уравнению Шредингера-

Гинзбурга [21, 22]. При этом (26) и (33*) приобретают соответственно вид

Ух [«, «V2) - (V)2)] = ¿Ух (г,У21т,) + + (36)

Ух.(ги ((V3) - (v)3)) = ^ (V) Ух (и,У211Ш,) - ¿гоУх (V, (у) У^пги) -

- +^ м+^г (<у> Ух™3" (у>) • (37)

± а-ф

3) = Тл-ГТТ2Т> ПРИ этом

Т )

Vx [ти «V2) - (V)2)] - (™У21гш) ± ™ .Vх'го. (38)

1 4т2 т (1 + го)

Ух (ги ((V3) - (V)3)) = Ух {ги\71\пь)) - ¿^У, (Ух (у) У^хш) -

- -^гоУх (У2 (V)) ± ± ± (+ 21п (1 + Ух (у) . (39)

4т2 V /у т(1 + го)2 т^ (1+ги)2 ^ 7

Соотношения (34)-(39) позволяют последовательно все далее отходить от линейных уравнений СКМ к нелинейным уравнениям ПКМ.

3. Солитонное решение одномерного кубичного НУIII для свободной нерелятивистской частицы. Так как связанные состояния получаются только при отрицательной потенциальной энергии, т0 кубичное НУШ будет иметь солитонные решения, если верхнее уравнение (15) принимает форму

(40)

Поскольку мы ищем стационарные решения, то можно ограничиться случаем г/?(х, ¿) = С}(г)</?(х); тогда в (40) разделяются переменные:

А К 1 2 & 2 ,

Пусть принята нормировка |<3|2 = 1; тогда

. 1 (К} Я 1 ¿п I ,9 /

Интегрируем левую часть:

1 dQ Г dQ f , ,

— —- = ¿const; / — = zconst / at; lnQ|g0 = г const • i,

ц/ ac J Ц/ J

Q(t) =Q0elconstt. (42)

Из (41) следует

Г2 2т

У2</? + 2т^</?|</?|2 - const — <р = 0, (43)

где / | <р (¿ж = 1.

— оо

Далее ограничимся одномерным случаем, так что (43) упрощается:

ё+2т1Ч^-|соп81)=0- <44)

Уравнение (44) перепишем в канонической форме

для которой известно [23] решение в элементарных функциях

2П (l + У1 - iplmllk/h2 const 2m)

(l + yj\-^mllhfh2 const 2m) e±V™st2m/hx + (^gmigft/ft2 const 2m) ет^сопЛ2т/л* Выберем условие

1 + yl - vlml'lh/h2 const 2m j = ^т^Ь/Н2 const 2m,

тогда

Подстановка (46) в (42) и (45) дает

„(х) =_^_=_<£2__(47)

е±)/т(ч>о1о/П)х + еЪ\/т(1р01о/11)х СЬ Х^

Согласно начальным условиям, при х, Ь — 0 имеем ф(0, 0) = С}оф{0) = = Фо, а.

так как |<Э|2 = 1, то фо = с^о.Таким образом, из (47) следует функция

(45)

const = ^r-. (46)

2п

Нормируем ее:

оо оо , . оо

,2 г . /^7 £о!о

^ ^/ШЩ^ ] л/т/о У

У^3^ У сЬ2^^) ^о У сЬ22

— оо \у л ) -оо

и, ,,оо 2т/>0/1 / , Фо^о

■у/т/о 00 л/т/0

т.е. -00 = лМ^л-

При этом из (48) получаем искомое солитоннос решение НУШ (40):

,7 Л ^'о ^ Ь) — \/т

2 П

сЬ

Найдем для (49) первые два момента:

ос оо

— оо

оо оо

/ о, /' О , ,■> , 77?/п Л Ж (¿X , ТГ2Я4 = у х- IV - <»: - ^ ] тгтд-! " = ^

ёх

сЬ2 (Щ —О

Из (50), (51) вытекает формула для дисперсии

а'2=({х -{х))2)=

Поскольку

3 ($»)

-е «»¡а

ах2 8^5 сЬз

то для средней энергии имеем

оо

(Е) = ф * Тфйх = --— ф * Ч2ф(1х = / -1-¿г =

К2 /' т/й / 1 ~ йЬ2г , т/д

1щ } ' * Ш2 У сЬ4г 24Я2

— оо — ОС — ОС-

Из (52), (53) следует

- (Е) - т1°

24/г2' 34

а из (54)

п V т

Теперь уравнение (40) можно записать как

дф(х,г) . h . 0. 6(Е).,, .|2

-г —V^(x,i) = 0. (56)

ot 2т V m

Если считать, что вся масса частицы обусловлена энергией, заключенной в солито-не, то можно положить (Е) = тс2. Тогда из (55) следует

= 24h:2 с2 = 24\1т2сА, (57)

где Ас = h/mc - комптоновская длина для рассматриваемой частицы. При этом уравнение (56) приобретает вид

дф(х^) _ 2гс\/б|^(х, г)|2^(х. ¿) -0. (56*)

ot 2т

Таким образом, введение нелинейной поправки к стандартной (линейной) квантовой механике приводит к появлению в теории, помимо /г, новой мировой постоянной, в данном случае скорости света с, хотя рассматривается нерелятивистская частица.

4. Солитонное решение одномерного кубично-квинтального НУШ для свободной нерелятивистской частицы. Уравнение Шредингера с нелинейностью пятой степени в теории сверхпроводимости называют квинталъным уравнением Шредингера-Гинзбурга [21, 22]:

дф(х,Ь) . h о Jn, ., ., - .Сь, ., ,, ,ч

—dt--г 2m ~ 1 - г — \ц>{х,г)\-гр{х,1) = и. (Oö)

В [21, 22] было найдено частное солитонное решение (Ansätze) кубично-квинтального уравнения (58):

,, . , Jksh(ka)

ф(хЛ) = Фо—/= V. \==. - (59)

у/chk [х - xq) + ch(ka)

Если положить 0q = 0, хо = 0, sh(Ara) = 1, выражение (59) примет вид

ф{хЛ) = фо =. (60)

Подставляя (60) в (58) и приравнивая слагаемые с одинаковыми степенями по ^/ch(fcx) + 2, получаем следующие соотношения дня шик:.

Из (60)-(62) находим

ip(x,t) = гро

lo\/m

ei?

hsj2

Ch (gx) + yft

(63)

Нормируем функцию (63):

oo /

IV'I2 dx - Ф1т1>

oo * /

2 J

-dx =

ch (?#*) + У2

Отсюда

^o = lln"1 (V2 + l) , = ^

2ф2 In j - 2In (l + л/2) = 1.

m

8AJ

e 8 л

V ' ""

Для средней энергии солитона, согласно [19], имеет место выражение

(64)

+ оо <в)=- /

2771

дф

дх

-|ж4-у И6

(65)

В случае кубично-квинтальных нелинейных поправок к уравнению Шредингера подобное (65) соотношение может быть получено из формулы (27). Действительно, поскольку рассматриваются решения в сопутствующей системе отсчета, то (у) = 0; тогда для Г в (27) можно записать -

Т=4

где величина х Для «случая 2» (см. п. 2) может быть представлена в виде

_ ¿о _ 2/1 2т Зт

Так как при (у) = 0 величина Т - это среднеквадратичная скорость, то средняя энергия равна

+оо +оо

<Я) = у J w{x)T(x)dx = \ J

T—wVi In го + l-£-w2 + ^w3 4m 1 2 3

(65*)

Обозначим /] = Съ- Раскрывая по частям интеграл от первого слагаемого в квадратных скобках (65*) и учитывая нормировку и) (ги 0, если х —> ±оо), а также то, что в

представлении (63)

= vf' получаем

+оо

2т

дф

дх

I n , , ,4 С;

'о I , |4 I , ,6

- J М ~ у М

dx.

(65**)

Выражения (65) и (65**) совпадают с точностью до числового коэффициента при слагаемом т2 в подынтегральном выражении. Это различие связано с тем, что формула (65) получена авторами [19] для гамильтониана, т.е. полной энергии системы, в то время как (65**) выведена из выражения для дисперсии средней скорости. В рассматриваемом случа« отсутствия внешних сил и условия (у) = 0 дисперсия средней скорости равна среднеквадратичной скорости, а средняя энергия солитона - кинетической^энергии, определяемой среднеквадратичной скоростью, т.е. выражением (27), включающим и нелинейные слагаемые. В [19] же подразумевается, что при отсутствии внешних сил нелинейные добавки дают, напротив, вклад в потенциальную составляющую гамильтониана. В дальнейшем в качестве выражения для средней энергии солитона в случае ПКМ будем использовать соотношение (65**).

Из (64) и (65**) вытекает

дф дх

т

4П2 1п [у/2+ 1)

т3/б

зЬ2

(Щ

16Л«л/31п (л/5+1) (сЦ^+^У

, (66)

Представляя для компактности ф(х, £) в форме (60), учитывая (66) и обозначая = кх = г, перепишем (65**) как

(Е)

+оо

ч

Н2ф1к2 эЬ2г 12ф40к

+

с5ф$к

61,2

¿2 =

8т (сЬг + У2)" ' 4 (сЪг + у/2)' ' 3 (сЬг + ч/2)'

= Л!+Л2+Л3, (67)

где [24, 25]:

+ оо

^ Г гйг

8т ] (сЬг + уД) V V ;; 8 т

а2 =

12ф*к

-оо

+ 0О

йг

Л. =

4 I (сЬг + \/2)' С.«*" Г ¿г

— ОО

+ оо /

(сЬг + лДу

С учетом (61), (64) и (68)-(70) формула (67) приобретает следующий вид:

. т/д 11п (4/2 + 1) +ЗУ21п (у/2 + 1) -4 тСъ 51п (у/2 + 1) -\Е) = т^тгт I --.. о / гг----Ь

Ш2

41п2 (л/2+1)

4К2 1п3 (у/2+1)

(68)

(69)

(70)

(71)

Если считать, что вся масса частицы обусловлена энергией, заключенной в солитоне, то можно использовать универсальное соотношение [8-10] {Е) = тс2. При этом получим из (71) формулу для констант /0 и С5

2 _ (1п2 (у/2 + 1) + Зу/21п (л/2 + 1) - 4 тСь 51п (л/2 + 1) - Зл/2\ тС 1п2 (>/2 + 1) + К2 1п3(>/2 + 1) )

24 ,4 ^ 1п2 (л/2 + 1) + Зл/21п (л/2 + 1) - 4 | АсШ ' ~ { 641п2 (л/2 + 1) +

тС5 51п(У2+1) -3^ / пп«7тСь \

+ 641п3 (л/2 + 1) 1Л°тЬ + °'°067-^-)- (?2)

Если учесть полученное в п. 3 выражение (57) для 1о, то из (72) следует

_ П2 (5/3) 1п2 (л/2 + 1) - Зл/21п (л/2 + 1) + 4 ^ 5 ~ т 5-Зл/2/1п(л/2 + 1)

и 8,3472— = 8,3472 — Яс = 8,3472 • 137г0Йс,, (73) т тс

где го- классический радиус электрона.

С учетом (73) исходное уравнение (58) можно-записать в форме

^¿^ - - 2гсл/б|'0(х, ¿)|2 (1 + (1,7039 х а"1 )г0|^(х, г)|2) УМ = 0,

(58*)

в которой а - постоянная тонкой структуры.

Найдем аналог соотношения неопределенностей для свободной частицы, описываемой одномерным кубично-квинтальным уравнением Шредингера-Гинзбурга. Поскольку в исходных условиях положено (х) = 0, (р) = 0 (во = 0), то соотношение неопределенностей (х2) (р2) — 2т(х2)(Е). Для энергии (Е) имеется соотношение (71). По аналогии с (51) для момента (гс2) находим

,оо оо

я4 Г г2 И? й4 Й4

= 4т1 / / /» = 6,166098—^ » 2тг4^. (74) т211 у сЬг + \/2 т2/^ ттг2^

— оо

Из (71) и (74) получаем

(х2) (р2) = 2m (х2) (£) = 4тг/г2 ( 0, 010382 + 0,003748^^

или

Ах Ар sa /Ц / 0,13 + 0,047

137r0mc ñ '

5. Обсуждение результатов. Из уравнения (58*) видно, что введение двух нелинейных поправок к волновым уравнениям стандартной (линейной) квантовой механики приводит к появлению в теории, помимо h, двух дополнительных мировых постоянных - скорости света с и постоянной тонкой структуры а. Если же рассматриваемая частица является электроном, то это эквивалентно появлению в нерелятивистской теории соответственно комптоновской длины Ас = h/тс и классического радиуса электрона r0 - ah/тс ~ h/lZ7mc.

Вообще, как указывалось в [б], введение каждой новой нелинейной поправки к волновым уравнениям СКМ должно приводить к появлению в теории новой (в добавок к К) мировой постоянной. Рассматривая НУШ с двумя нелинейными добавками, мы получили теорию с двумя дополнительными мировыми постоянными - скоростью света с и постоянной тонкой структуры а. Несомненно, при дальнейшем добавлении нели-нейностей к волновым уравнениям СКМ новая теория будет включать новые мировые постоянные, но сейчас трудно сказать, какие именно. Это определяется тем, будет ли иметь солитонные решения новое нелинейное обобщение уравнения Шредингера (если ограничиваться случаем нерелятивистской частицы). Вряд ли очередной мировой постоянной будет масса электрона, потому что последние исследования показывают, что электрон (как и другие лептоны) является составной частицей, состоящей из трех «преонов» [26, 27]. Но вот поиск солитонных решений, соответствующих «преонам», возможно, окажется более простой задачей, хотя и требующей перехода к релятивистским и спинорным уравнениям ПКМ.

Summary

Skorobogatov G. A., Svertilov S. I. Soliton solutions to the équations of complete quantum mechanics.

The cubic and quintic Schroedinger-Ginzburg équations are the simplest non-linear équations of complete quantum mechanics. We obtaine the soliton solutions both to the cubic and quintic Schroedinger-Ginzburg équations in the case of free non-relativistic particle.

Литература

1. Скоробогатов Г. A.// Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1999. Вып. 4 (№ 25). С. 66-78. 2. Скоробогатов Г. А., Свертилов С. И. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2000. Вып. 4 (№ 28). С. 13-34. 3. Skorobogatov G. А. // Intern. J. Quant. Chem., 2002. Vol. 88, N 6. P. 614-623. 4. Skorobogatov G. A., Svertilov S. I. // Intern. J. Theor. Phys., Group Theory, Nonlinear optics. 2002. Vol. 8, N 4. P. 367-397. 5. Скоробогатов Г. A., Свертилов С. И. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2001. Вып. 4 (JV® 28). С. 50-65. « Скоробогатов Г. А. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2003. Вып. 1 (Л*8 4). С. 66—78. 7. Бете Г., Солпитпер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами / Пер. с англ.; Под ред. Я. И. Смородинского. М., 1960. 8. Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики / Пер. с англ.; Под ред. В. А. Фока. М., 1960. 9. Фок В. А. Начала квантовой механики. М., 1976. 10. Влохинцев Д. И. Основы

квантовой механики. M., 1976. 11. Силин В. П. Введение в кинетическую теорию газов. М., 1971. 12. Гуров К. П. Основания кинетической теории. М., 1966. 13. Гейликман Б. Т.// Журн. эксп. и теор. физики. 1947. Т. 17, № 9. С. 830-832. 14. Madelung Е. // Zs. fur Physik. 1926. Bd 40, N 3/4. S. 322-326. 15. Böhm D., Schiller R., Tiommo J. // II Nuovo Cimento. 1955. Suppl. Vol. 1, N 1. P. 48-66. 16. Takabayasi T. // Progr. Ttïor. Phys. 1955. Vol. 13. P. 222-224. 17. Ведерко А. В., Дубровская О. Б., Марченко В. Ф., Сухорукое А. П. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3: Физика, астрономия. 1992. Т. 33, № 3. С. 4-20. 18. Новокшенов В. Ю. Введение в теорию солитонов. М.; Ижевск, 2002. 19. Ахмедиев H. Н., Анкевич А. Солитоны / Пер. с англ.; Под ред. Н. В. Островской М., 2003. 20. Скоробогатов Г. А. // Журн. физ. химии. 1987. Т. 61, № 4. С. 984-989. 21. Van Saarlos W., Hohenberg Р. С. // Physica (D). 1992. Vol. 56. P. 303-367. 22. Marcq P., Chate H., Conte R. // Physica (D). 1994. Vol. 73. P. 305-317. 23. Камке Э. К. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Пер. с нем. С. В. Фомина. М., 1961. 24. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1962. 25. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М., 1981. 26. Dugne J.-J., Fredriksson S., Hansson J. // Europhys. Lett. 2002. Vol. 60, N 2. P. 188-194. 27. Koike K. // Progr. Theor. Phys. 2002. Vol. 108, N 6. P. 1165-1170.

Статья поступила в редакцию 16 сентября 2004 г.