CC BY
117
УДК 539.12
Динамика солитонов во внешних полях и квантовая
механика
Ю.П. Рыбаков, С. А. Терлецкий
Кафедра теоретической физики Российский университет дружбы народов Россия, И 7¡98, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
Анализируется проблема согласованности динамики солитонов во внешних полях и квантовой механики. В рамках солитонной концепции Эйнштейна — де Бройля солитоны рассматриваются как образы протяженных квантовых частиц. Обсуждается гравитационный механизм реализации корпускулярно-волнового дуализма в развитие идеи Д. Бома о нелинейном резонансе. Показывается, что в линейном пределе (для точечной частицы) восстанавливаются основные принципы квантовой механики. При этом роль волновой функции играет суперпозиция солитонных решений, отвечающих различным реализациям наблюдаемой системы. Обсуждаются особенности динамики солитонов в модельных задачах, иллюстрирующих волновое поведение солитонов: дифракция солитонов на прямоугольной щели, солитон в прямоугольной потенциальной яме, солитон в осцилляторном потенциале. В заключение обсуждается солитонная модель атома водорода.
Ключевые слова: quantum mechanics, soliton, dynamics of solitons.
1. Введение
Яков Петрович Терлецкий был убежденным сторонником концепции, выдвинутой в свое время Эйнштейном [1] и де Бройлем [2] и получившей известность как причинная интерпретация квантовой механики. Выясняя природу статистического характера квантового описания, Я. П. Терлецкий пришел к выводу о неизбежном нелинейном происхождении «правил квантования» (3). В основе этого подхода лежало представление о частице как о сгустке материального поля, подчиняющегося некоторым фундаментальным нелинейным уравнениям. Регулярные решения уравнений поля, описывающие такие сгустки, получили впоследствии название части-цеподобных, или солитонных. Впервые представление о частицах — сгустках было введено в физику в работах Г. Ми [4-6] и активно развивалось многими авторами [7-16]. В малой окрестности частицы — солитона уравнения поля существенно нелинейны, что и обуславливает существование устойчивых локализованных решений, описывающих структуру частицы. Однако вдали от центра частицы, т. е. в области «хвоста» солитона, поле быстро убывает, что приводит к эффективной линеаризации уравнений поля. Де Бройль предполагал, что линейная асимптотика уравнений поля совпадает с известными уравнениями, используемыми в физике элементарных частиц. В частности, в нерелятивистском пределе должно возникать уравнение Шрёдингера, и, по мысли де Бройля, поведение центра частицы — солитона должно определяться именно линейной асимптотикой полевой функции, которой в обычной теории придается смысл амплитуды вероятности. Цель настоящей работы — показать, что солитонная концепция Эйнштейна — де Бройля совместима с принципами нерелятивистской квантовой механики. В частности, можно построить аналог амплитуды вероятности, позволяющей вычислять средние значения наблюдаемых как эрмитовы квадратичные формы в гильбертовом пространстве, порождаемые соответствующими самосопряженными операторами.
Работа выполнена при поддержке научной программы «Униоерситеты России - фундаментальные исследования», грант УР.01.01.035.
Структура статьи предполагается следующей. В пункте 2 будет дана иллюстрация принципа нелинейного резонанса, выдвинутого Д. Бомом, на примере нелинейной скалярной модели типа Синга [15]. Кроме того, будет показано, что возможен гравитационный механизм реализации этого принципа, следствием которого является соотношение Планка — де Бройля, выражающее корпускулярно-волновой дуализм.
В пункте 3 обсуждается структура амплитуды вероятности в солитонной схеме Эйнштейна — де Бройля и в линейном пределе точечной частицы выводятся основные правила квантовой механики, в том числе дается обоснование связи спина со статистикой (принцип Паули).
В последующих пунктах рассматриваются конкретные модельные задачи, иллюстрирующие волновое поведение солитонов. В частности, в пункте 4 рассматривается задача о дифракции солитонов на прямоугольной щели и показывается, что возникающие при этом статистические распределения центров солитонов на экране регистрации напоминают известные из волновой оптики дифракционные картины Френеля и Фраунгофера, в зависимости от расстояния между экраном и щелью.
В пункте 5 рассмотрена задача о движении солитона в прямоугольной яме, а в пункте б — в осцилляторном потенциале. В пункте 7 рассматривается солитонная модель атома водорода с учетом собственного электромагнитного поля электрона
— солитона. Показывается, что в стационарных состояниях вектор Пойнтинга не имеет волновой асимптотики, т. е. электромагнитное излучение отсутствует. В заключительном пункте 8 подводятся итоги проведенного исследования.
2. Принцип нелинейного резонанса Д. Бома и его
гравитационный механизм
В качестве точки отправления рассмотрим одну интересную задачу, поставленную Д. Бомом. Много лет назад Д. Бом обсуждал в своей книге [17] возможную связь корпускулярно-волнового дуализма в квантовой механике с предполагаемым нелинейным характером фундаментальных уравнений в будущей теории элементарных частиц. Для иллюстрации хода рассуждений Бома рассмотрим в пространстве
— времени Минковского простейшую нелинейную скалярную модель, задаваемую лагранжевой плотностью вида
С = д^'д^фт]13 - {тс/К)2 ф*ф + Г (ф'ф). (1)
Здесь ф — комплексное скалярное поле, г, з = 0,1,2,3, ^ - сИав(1, -1, -1, -1), а нелинейная функция ведет себя при з -+ 0 как в", п > 1, и предполагается такой, чтобы соответствующие уравнения поля допускали существование частице-подобных решений, т. е. регулярных конфигураций, локализованных в пространстве и отвечающих конечной энергии. В частности, если выбрать ^(а) = дв3^, д > 0, то (1) соответствует модели Синга [15], которая допускает стационарные решения вида
ф0 = и{г) ехр(—н^оО, г ~ |г|. (2)
Здесь вещественная радиальная функция и(г) всюду регулярна и экспоненциально затухает на пространственной бесконечности, что обеспечивает конечность энергии конфигурации
Е = I ¿лхТ${фа), (3)
где Т) - тензор энергии - импульса. При этом безузловые конфигурации устойчивы по Ляпунову при условии фиксации заряда [18]. Поэтому существуют возмущенные солитонные решения, слабо отличающиеся от стационарных решений (2):
ф = ф0 + Ф,г). (4)
Отметим, что возмущение £ в (4) мало по сравнению с фа лишь в области локализации солитона, однако вдали от его центра фа пренебрежимо мало и можно положить ф и £.
Бом поставил следующий вопрос: возможна ли такая нелинейная модель, в которой пространственная асимптотика солитонных решений представляла бы собой колебания с характерной частотой и! = Е/Ю Иными словами, для искомой модели основная фурье-амплитуда поля при г -»сю должна соответствовать частоте ш, связанной с энергией (3) солитона формулой Планка — де Бройля:
Е = Ьи. (5)
Заметим, что для модели (1) на пространственной бесконечности, где ф —♦ О, уравнение сводится к линейному уравнению Клейна — Гордона
[□ - (тс/й)2)] 0 = 0, (6)
и поэтому соотношение (5) выполняется лишь для солитонов с единственной энергией Е — тс2, определяемой зафиксированной в (1) массой т. Таким образом, в модели (1) нарушается универсальность соотношения (5), что говорит о необходимости ее модификации. В свете универсальности соотношения (5), в котором частота ш определяется массой системы, представляется естественным использовать в новой, модифицированной модели гравитационное поле, пространственная асимптотика которого также определяется массой рассматриваемой локализованной системы. Таким образом, для решения проблемы Бома предлагается привлечь гравитационное поле [19].
Будем задавать новую модель лагранжевой плотностью С — Сд + Ст, где Сд = с4Я/( 1б7гС?) соответствует эйнштейновской теории тяготения, а Ст выбирается в виде
Ст = д^Ъфд" - 1{дц)ф*Ф + Р(Ф*Ф)- (7)
Критическим моментом в этой схеме является построение инварианта 1(д^), зависящего от метрического тензора д^ риманова пространства и его производных. Этот инвариант должен обладать тем свойством, чтобы в окрестности солитона с некоторой массой т выполнялось соотношение
Нт 1(д^) = (тф)2. (8)
Нетрудно видеть, опираясь на (8), что из лагранжиана (7) асимптотически получается нужное нам уравнение (6), имеющее уже универсальный характер, т. е. справедливое для солитонной конфигурации любой массы.
Убедимся, что инвариант I со свойством (8) можно построить из тензора кривизны Дц/и и его ковариантных производных
1={1Ц11)сЧ-*0-\ (9)
где ¿? — ньютоновская гравитационная постоянная, а инварианты и /2 имеют вид:
1у = Кцк1#*ы/4&, к = -Яуы;„Лу*'!7432.
Оценивая Яцк1 на больших расстояниях г с помощью метрики Шварцшильда, справедливой для островных систем солитонного типа, найдем
Д = С2т2/(с4гб); /2 = С2т2/(с4г8). (10)
Поэтому из (9) и (10) сразу следует нужное нам свойство (8).
Таким образом, в модифицированной модели (7) для всех массивных частиц, описываемых регулярными локализованными решениями, автоматически выполняется соотношение Планка — де Бройля (5). Это означает, что в рамках принятой солитонной схемы Эйнштейна — де Бройля справедлив принцип корпускулярно-волнового дуализма, согласно которому соотношение (5) реализуется как условие нелинейного резонанса.
Выполнение принципа соответствия солитонной схемы Эйнштейна — де Бройля с квантовой механикой обсуждалось в работах [20-25]. В них было показано, что в рамках указанной схемы в пределе точечных частиц восстанавливаются основные квантовые постулаты: в частности, показано, что из физических полей, имеющих солитонную структуру, можно построить амплитуду вероятности, а средние можно вычислять как скалярные произведения в подходящем гильбертовом пространстве с помощью введения соответствующих операторов наблюдаемых. В настоящей работе указываются новые возможности этого подхода, позволяющие, в частности, обосновать связь спина со статистикой.
3. Структура амплитуды вероятности в рамках
солитонной схемы
Пусть некоторое физическое поле задаваемое несколькими компонен-
тами, описывает систему п частиц. Это означает, что уравнения поля допускают существование регулярных решений с п локализованными в некоторых областях конфигурациями, отвечающими сильной концентрации материи и определяющими структуру отдельных частиц. Предположим, что при некоторых условиях (по крайней мере для тех времен, когда соответствующие частицы существуют) допустимо разбиение полевой функции ф на одночастичные функции
п
г) = (г, г), (11)
(г=1
и при этом области опрёделения функций ф№ не пересекаются. Заметим, что, возможно, некоторые из одночастичных функций имеют только компактные носители. Считается также, что аналогичное разбиение (с теми же областями определения) справедливо и для канонического импульса ж, определяемого из лагранжевой плотности С(ф,д{ф):
Построим на основе (И) и (12) вспомогательные комплексные одночастичные функции (¿^(^г), положив
<рМ(1,г) = , (13)
где числа ик определяются «условием нормировки»
2
= | с!3*^«! . (14)
В качестве волновой функции, или амплитуды вероятности в конфигурационном пространстве п частиц {гь г2,..., г„} £ Н3", предлагается рассмотреть следующую конструкцию
адгыг, ...,г„) = (/1пЛГ)-2 £ П Лг*), (15)
где N — число испытаний, производимых в нашей системе частиц с целью измерения тех или иных наблюдаемых, г — номер испытания, у?^ — одночастичная функция (13) в г-том испытании. При этом предполагается, что N » 1 и объем АУ соответствующей одночастичной пространственной ячейки, определяемой допустимой точностью измерения координаты, намного превышает собственный объем У0 отдельной частицы, т. е.
ЛУ>У0. (16)
Чтобы убедиться в том, что конструкция (15) может играть роль амплитуды вероятности встретить систему п частиц в некоторой области (АУ)п С К3п, вычислим величину
' /v n
"у I 1
(AV)n pN = / Л \Ы2 = Еа» + £ а
{Л\т v=1
где использовано обозначение
k=1av
С учетом (14) имеем
(AVFpu^itrNy'itrAN + S), 5 = Х)ач' (17>
где AN — число испытаний, при которых центры частиц — сгустков оказались в выделенной области (АУ)п.
В силу независимости испытаний и произвольности начальных конфигураций (в частности, фаз функций величины при i ф j можно рассматривать как независимые случайные величины с нулевыми средними. В таком случае можно использовать неравенство Чебышева [26], чтобы оценить вероятность того, что величина |5| превосходит hnAN:
P(\S\>hnAN)^(hnAN)"2(S2). (18)
С другой стороны, в силу независимости испытаний
<s2> = £(4| (19)
Так как сгустки эффективно перекрываются, если их центры располагаются в области собственного объема V0, то с учетом (14) и (19) имеем
(S2)^aVi2n~Ly?AN, (20)
где а ~ 1 — коэффициент «упаковки» ближайших соседей. Подставляя (20) в (18), найдем с учетом (16) следующую оценку:
Р (|5| > hnAN) < (aVQ/АУ)п « 1. (21)
Применяя оценку (21) к равенству (17), можно утверждать, что с вероятностью, близкой к единице, справедливо соотношение
сAV)nfjN = AN/N, (22)
означающее, что конструкция (15) действительно является амплитудой вероятности распределения координат для системы почти точечных частиц, так как величина /эдг в (22) совпадает с соответствующей плотностью вероятности.
Допустим теперь, что измеряется некоторая наблюдаемая А, порождаемая, согласно теореме Нетер, некоторым эрмитовым генератором Мл представления соответствующей группы. Так, импульс Р порождается генератором сдвига МР = ~iV, момент импульса L - генератором поворота Мь = J и т.д. В результате, из (11) и (12) выводим для j-того испытания значение наблюдаемой А:
Aj = [d^iМАЩ = J2 [dVf'M^Vf.
k=lJ
При этом среднее значение А по всем испытаниям принимает вид
w-bt^'jittf^ü!^-
J=1 JVj=Xfc=l-'
Учитывая (15) и повторяя рассуждения, приведшие к оценке (21), это выражение можно преобразовать к следующему, совпадающему с ним с вероятностью, близкой к единице:
(Л) = Jd3nx^Ä^N, (23)
где введен оператор
(24)
fc=i
Таким образом, получается принятое в квантовой механике выражение (23) для среднего, в котором роль оператора наблюдаемой выполняет оператор (24), построенный из одночастичных генераторов.
Выясним теперь, как появляется в солитонной схеме связь спина и статистики. Если рассматриваемые частицы одинаковы (тождественны), то соответствующие
профили могут отличаться лишь случайными составляющими, т. е. в основном фазами. В таком случае перестановка двух частиц с центрами ri и га означает поворот двухчастичной конфигурации на 7г вокруг оси, проходящей через середину отрезка rj - гг перпендикулярно ему. Однако вследствие протяженности структур
ip\k\ чтобы возвратить их в прежнее состояние, необходимо произвести дополнительные обратные повороты на ж вокруг собственных осей частиц — сгустков. Заметим, что последняя операция эквивалентна относительному развороту частиц
на 27г. Если функция tp^ преобразуется по неприводимому представлению веса «7 группы 50(3) пространственных вращений, то поворот на 2тг эквивалентен умножению на (-1)2,7. При естественном допущении, что вес J представления связан со спином частицы, отсюда делаем вывод о симметричности многочастичной функции (15) относительно перестановок двух одинаковых частиц, если спин частиц целый, и антисимметричности, если спин полуцелый.
Таким образом, связь спина со статистикой в солитонной схеме является следствием протяженности частиц. Однако в квантовой механике частицы считаются точечными, и поэтому свойство симметричности или антисимметричности мнбгоча-стичной волновой функции относительно перестановки частиц необходимо вносить в рецепт ее построения,(пример: процедура Хартри — Фока).
Обратим теперь внимание на то, что в соответствии с нелинейно-резонансным механизмом квантования Бома, выражающимся в соотношении (8), в окрестности ¿-той частицы выполняется уравнение Клейна - Гордона (6) с массой частицы гщ, тогда как на больших расстояниях от системы частиц справедливо то же уравнение
(6), но с массой М, равной полной массе всей системы. Поэтому условно можно разбить вспомогательное поле на две части, положив
= № + (25)
где узд^ описывает ближнюю структуру (быстро затухающая функция), а роо — дальнюю (медленно спадающая функция). При этом, согласно (6), в собственной системе отсчета имеем асимптотические зависимости от времени вида:
<рЮ ~ <р£) ~ (26)
Подставляя (25) в (15), найдем при г^ —» оо
= (27)
<¡=1 кф]
Из (26) и (27) следует, что при —> оо в собственной системе отсчета
фм „ е~'Мс21/П (28)
С другой стороны, принимая, что уравнения поля могут быть записаны в канонической форме с гамильтонианом Н[ф, 7г], эволюцию функции (13) можно определить из уравнения Гамильтона
\д^{к) (29)
Поэтому из (15) и (29) выводим уравнение эволюции для аналога амплитуды вероятности ^д?:
т*» = п± (зо)
к=1 ]=\ &ч>1 Щ
имеющее форму стандартного уравнения эволюции квантовой механики, с некоторым обобщенным оператором Гамильтона Я, сохраняющим, согласно (28), смысл оператора полной энергии системы. Опираясь на оценку (21), можно заключить, что в пренебрежении структурой частиц (т. е. с вероятностью, близкой к единице) уравнение (30) эквивалентно некоторому линейному уравнению - уравнению эволюции для амплитуды вероятности [21]. В нерелятивистском пределе это уравнение должно совпадать с уравнением Шрёдингера для системы п частиц.
В самом деле, в окрестности А:-той частицы, согласно (6), справедливо уравнение вида
ОрМ = (ткс/Н)2ч>М + ик(ф,тг), из которого после подстановки
ф{к) _ и{к)е-ткс*1/Н
в нерелятивистском пределе получаем уравнение
2 тк
Поэтому для функции
\hdtuW » + и'к.
я/)дг = ехр \mkcHlhj
получаем уравнение Шрёдингера со стандартным нерелятивистским гамильтонианом.
Таким образом, мы убеждаемся в совместимости солитонной концепции Эйнштейна — де Бройля, дополненной нелинейно-резонансным механизмом квантования Бома, с фундаментальными принципами квантовой механики.
4. Волновые свойства солитонов: дифракция на
прямоугольной щели
Проиллюстрируем основные положения солитонной концепции Эйнштейна — де Бройля на некоторых модельных задачах. Рассмотрим простейшую модель скалярного поля (1) типа Синга, в которой солитонное решение (2) безузлового типа устойчиво и имеет характерный размер (в единицах Л = с = 1)
е=(т*-и>1)-1/\ (31)
убывая при г > £ экспоненциально. Устойчивость по Ляпунову имеет место в области частот
т2 > и>1 > ш2/2
при условии фиксации заряда солитона [18].
Покажем, что солитоны в моделях указанной структуры действительно могут быть сопоставлены с квантовыми частицами, т. е. обладают волновыми свойствами. С этой целью рассмотрим задачу о дифракции трехмерных солитонов типа (4), т. е. возмущенных, на бесконечной прямолинейной щели, вырезанной в поглощающем плоском экране [27,28].,Примем, что ширина щели 2ё » £, т. е. намного превышает характерный размер солитона, что позволяет пренебречь структурными эффектами, т. е. считать, что вклад нелинейных членов в лагранжиане (1) ничтожно мал на расстояниях порядка ¿.
Здесь уместно сделать замечание о том, что если бы на экране со щелью рассеивались невозмущенные солитоны типа (2), то в силу экспоненциального убывания функции и(г) дифракция не наблюдалась бы, а солитон вел бы себя как классическая частица. Однако реальный солитон всегда возмущен, и роль «хвоста» £ в (4) для обнаружимости волновых свойств безусловно является ключевой.
Для упрощения задачи будем считать возмущенное поле солитона также сферически-симметричным, т. е. ф = ф(Ь,г). Кроме того, в силу устойчивости солитона при воздействии на него со стороны щели его собственное поле будет значительно меняться лишь в области г > £. Поэтому можно считать значение поля ф на сфере г = £ заданным, не зависящим от внешних условий:
= ^ У сЬ^ехрН^). (32)
Н<т
Область интегрирования в (32) выбрана из условия регулярности возмущения £ 6 (К3). В дальнейшем для каждого отдельного рассеяния солитона на щели, задаваемого разными начальными условиями, будет вводиться своя функция ¿), или же фш, и по всем реализациям фш будет проводиться усреднение, которое будем обозначать (). Рассматривая ф(Ь,£) как стационарный случайный процесс, воспользуемся теоремой Винера — Хинчина [26], согласно которой коррелятор для фш представляется в ви^е
м:)=ст2 м^-о/), (зз)
где о(ш) — некоторая непрерывная вещественная функция.
Далее, в области г > I поле ф(Ь, г) свободного солитона можно считать решением линейной задачи (6) с граничными условием (32) при г~£,т. е.
Ф(^г) =
2тг г
У с1ы<^ехр (£-г)(т2-ы2)1/2-Ш
(34)
Ы<т
Расположим теперь в плоскости П — {г = 0} непроницаемый экран со щелью 50 = {г| г = 0, х 6 [-(1,(1]}, обозначив через полное поле солитона при наличии щели, а через хр — поле во внешней области солитона г > £. Зададим за экраном граничное условие
Пш д-1р(1.т)= 1ип у?(£,г) = 0, г € Я\50,
г—>+0 г—»+0
(35)
отвечающее приближению Кирхгофа в оптике. Удобно представить исходную задачу в интегральной форме:
+ОС
(-со
¥> = ^п +9 I м I |у/| + I ¿С £ с!5' - фХС), (36)
—оо V' —оо 5
где ¡у — {р (£', г'), О = О (£ - г - г') — запаздывающая функция Грина операто-
Рис. I. Схема дифракционного опыта: солитоны падают на щель 5о в экране Я со скоростью г>, параллельной оси Z
ра Клейна — Гордона □ -т2, а области интегрирования V и 5 = сЖизображены на рис.1. С учетом граничного условия (35) в интегральном уравнении (36) остается поверхностный интеграл лишь по области 5о щели. Задачу решаем методом итераций, т. к. <1 » £, и поэтому солитон лишь «хвостом» задевает края щели. Итак, полагаем <р — + <Р(1) + ..., выбирая в качестве нулевого приближения поле свободного солитона, движущегося со скоростью у вдоль оси Z. В качестве нулевого приближения для ф возьмем поле (34), преобразованное по Лоренцу:
"Фа г)
2тгЛ
/
с!и> фш ехр
|и>|<т
(£-К) (т2 - иг)2
где
(37)
Л =
\х - х0)2 + (у - уо)2 + 72 (г - *,£)2] 2 , 7 = (1 - .
Здесь у — начальная скорость солитона (при £ —» -оо); ж0, у0 — координаты точки щели, проходимой центром солитона в момент времени £ = 0. В первом приближении из (36) находим
+ °С +0О
-оо V7
где ¡Р(о) — поле свободного солитона, удовлетворяющее уравнению
(0)
Р(0) = ¥>|„
+оо ТОО
-ос .<?
-г-оо
/ Ж' I ^-(С&^-^О)
-оо v
С учетом последнего находим
+ 00
VI1) = - ^
-ос п\во
и аналогично для внешней области солитона:
+ ОС
ф1 = - I М I ¿в' (Сд'пгр'0 - ф'0д'пС), I > 1/у. -оо п\бо
Подставив (37) в (38) и вычислив возникающий интеграл методом стационарной фазы при большом параметре (!/(., получим
(38)
V-»!
о-ч| /
6и> I £>>/2 г ,
ГУМ ——~ [^7 ('•' + */£>) +
ш<т
(ц^тг)3'2™! Я
+ 72« (4 - Ц) [1 + Л (т2 - и;2)1/2] (1 + уг/й) ЯГ2 +
+ г/ (2Б2)} ехр (* - Л) (т2 - и;2)1/2 - + ¡Л И £>
х'-Л
, (39)
х'^-Л
где
Д =
Я =[(*'-г)2 + г2] Л V - л:0)2 + (у - г/о)2 + 72*2 (« " :
к (и) = (о;272 - т2)1/2 signu^
и в области интегрирования 1т&(и)) > 0.
Вычислим теперь поперечный импульс Рх, приобретённый солитоном по прохождении щели. Для этого перейдем в систему отсчета, движущуюся со скоростью у вдоль оси и воспользуемся тензором натяжений в первом порядке по
= Ле + дцР'АФо + 5<к [Г0Ф\ ~ VV^V0l - т2^]} •
В результате поперечный импульс солитона получается интегрированием п'Т1Х по поверхности сферы радиуса где п' — единичный вектор нормали к сфере, и последующим интегрированием по времени:
+оо
/а/»'
О r=t
TlxdS
оо
-2£2Re Jdt j> сШ [дгф'0дхф! + nx - ?n2i/^i)] • (40)
о т=е
Подставляя (37) и (39) в (40), выполняя интегрирование по сфере г = I с учетом разложения подынтегральной функции в ряд Тейлора ввиду малости отношения Е/й и, наконец, производя усреднение по всем реализациям фш с учетом (33), приходим к интегралу по времени, который можно вычислить методом стационарной фазы в предположении Ы » 1.
Заметим, что оставшийся в среднем переданном импульсе (Рх) интеграл по и>
Г 1 /91
содержит быстро затухающие множители типа ехр -7«? (ш2 — и2) , и поэтому
основной вклад в него дают частоты |ш| « то. Впрочем, подобный вывод можно было бы сделать уже из формулы (34), описывающей спектральное разложение солитонного «хвоста». В связи с этим, предполагая, что интеграл вида
J dw a2 (u>) ехр -7До ("i2 — w2)
,2ч 1/2
M<m
слабо зависит от £>о = |х' - хо| Для наиболее вероятных значений хо, находим по теореме о среднем следующую оценку для поперечного импульса солитона:
(Рх)
(cos v + v sin v) 2 (тгД,)372 79/2
1 +
jD0
sm(kDo)
x'=d
(41)
где V = г»72; к = 'уть.
Для получения интенсивности рассеянных солитонов необходимо знать закон распределения случайной величины Рх — (Рх). Пусть Ь — расстояние от щели до экрана регистрации, Р — 77711; = к — импульс падающего солитона. Введем безразмерную величину
Ч = (Рх[ф.}-(Рх))Ь/(Рс1)
(42)
и параметры s — x0/d; £ — x/d, где х, у — координаты центра солитона на экране регистрации. Примем в качестве наиболее правдоподобного нормальный закон распределения случайной величины rj, а для упрощения выкладок допустим, что дисперсия А — (ту2)1</2 слабо зависит от s. Введем обозначение
(.Px)L/(Pd)=ef(s),
где в соответствии с (41)
е = ttL (сто/7)2 (£/T7d)6/2 (cos и+ v sin у)/(2Р); -./? f sin tfcd (1" + ^ „ I sin N ^ - *) - ^ 1
f{s) ~ W2l kd(l-tf> v+ J^f2 j
t=s
t——s
гту--
це.
V-
о
-V-
--—
Рис. 2. Функция /(s) = -f(-s), определяющая средний поперечный импульс рассеянного солитона в ЗАВИСИМОСТИ от точки прохождения шели
График функции f(s), определяемой формулой (43), для v = 0,1; £ = Ю-5; Ы= 10, т. е. при d/i = 102, представлен на рис. 2.
Аппроксимируя траекторию солитона от щели до экрана регистрации отрезком прямой линии, т. е. принимая
Px = P(x-x0)/L=(Pd/L) {(-s),
находим с учетом (42) плотность вероятности зарегистрировать центр солитона в точке £ при условии, что его начальная координата была равна s:
wtf,s) = (ôlt-s~Px(r1)L/{Plr)})v =
= (6{Ç~s-ri-ef(s)})„ = —!1==cxv{-—-Л. (44)
WJ/" A\/2n ^ \ 2ZV2 — s — er/ (s)]2 J
Далее, если Io(s) — интенсивность падающих солитонов, то интенсивность рассеяных солитонов равна
l—ai/d
7(0» j dsw(t,3)I0(s), -1+at/d
где параметр а ~ 1 учитывает размер солитона (эффекты на краях щели). В частности, для равномерного начального распределения солитонов, когда /0 = const, имеем, согласно (44),
1 -al/d .
/ dsexp {-ïhlZ-'-zfW}- (45>
-l+Q l/d
При анализе формулы (45), ввиду сложности функции /(s), ограничимся двумя предельными случаями: А О, А оо. Так как А ~ е, согласно (43), первый случай осуществляется при е « 1, L ~ d и соответствует дифракции Френеля, а второй случай реализуется при е » 1, L » d и отвечает дифракции Фраунгофера.
В первом случае для вычисления интеграла (45) можно применить метод Лапласа, который дает
/(iWoii+cmoir1, («j
где главная точка перевала а(£) находится из уравнения
Рис. 3. Интенсивность рассеянных солитонов при малом расстоянии до экрана регистрации (аналог дифракции Френеля) в случаях £ < 0,9 (а) и £ > 0,9 (б)
£ = а+ е/(а). (47)
Так как /(£) — четная функция, достаточно рассмотреть значения £ > 0. Тогда из (47) и структуры /(й) видно, что формула (46) верна при £ ^ £0 = £тах ~ 0,988. Поэтому обрезающий фактор а, учитывающий краевые эффекты, выберем равным 3/2, чтобы выполнялось неравенство я < 5о = 1 - 2>1/(2й) и 0,985. Соответствующая максимальная интенсивность оказывается равной
I Ко) ~ 205/о = /тах. Если же £ - £о » А, то воспользуемся разложением
Ь- + £-/(л) = 50 (а0)] + ..., /г = 50 - в,
и тогда интеграл (45) оценивается следующим образом:
1 и ^ / (1/1 ехр [е - Со + Ь [1 + е /' (в„)]]2} «
^ 70Лехр [-(е-£0)2/(2Л2)] * ' (48)
Ход кривой /(£). отражающей зависимости (46) и (48), представлен на рис. 3, а, б при А = 2е. Как видно, картина очень напоминает дифракцию Френеля в оптике [28].
регистрации (аналог дифрлкции Фраунгофера)
Во втором предельном случае, когда А — 2е —* оо, формула (45) также немного упрощается. Обозначив = у, найдем
7 с1вехр{-[у- /Ы]а/8}. (49)
-«о
Зависимость 1(у) была найдена Шахиром [29] с помощью численного интегрирования согласно (49). График соответствующей функции Z(l/) = 1(у)2Е\/2п/1а (рис. 4) качественно действительно напоминает дифракционную картину Фраунго-фера в оптике.
5. Солитон В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ЯМЕ
Задача о динамике солитонов во внешнем потенциальном поле обычно рассматривается в рамках теории возмущений, т.е. в предположении о слабости поля [30-35]. Нас в первую очередь будет интересовать проблема согласованности поведения центра солитона и его «хвоста» вне указанного допущения.
Рассмотрим одномерный внешний потенциал 11(х) и взаимодействие с ним комплексного скалярного поля у? (£, х) зададим лагранжевой плотностью
С = 1 |сМ2 - \дМ2 ~ (тс/П)2 И2 - и (х) М2 + 1-9 И*, (50)
где д > 0 — некоторая постоянная связи. Известно, что при и = 0 уравнения модели (50) допускают солитонное решение вида
<р0 = Ле-^весЬ (ах), (51)
где амплитуда солитона А и его размер £ = а-1 определяются соотношениями:
А = а (2/д)1/2 , а = [(тпс/П)2 - (ш^с)*]"2 . (52)
Решение (51) описывает неподвижный солитон, а движение его задается преобразованием Лоренца. Будем предполагать, что выполнено условие устойчивости [18]
т2 > П2ыЦс4 > т2/2
и в соответствии с принципом нелинейного резонанса можно считать о>о % тс^/Н, или а < тс/К. Кроме того, если потенциал и (х) имеет некоторую характерную ширину а, будем принимать, что а » £, т.е. размер солитона £ удовлетворяет оценкам вида
П/{тс) <£ £ < а. (53)
В нерелятивистском приближении после подстановки
тс2
VJ = expl-i—£1 V
приходим к уравнению типа нелинейного Шрёдингера:
= (д1ф - и (х) ф + д IVI2 ф) ■ (54)
Если х ~ C(t) — траектория центра солитона, то разумно рассмотреть две области изменения переменной х: «внутренность* солитона (или его «ядро») \x-~C(t)\ <£и его «хвост» |х - С (£) I > £ В области «ядра» полагаем
0 = и (х - < (£)) exp (iS/h). (55)
Подставляя (55) в (54) и разделяя действительную и мнимую части, приходим к уравнениям:
д*и = —-дхидх3 - —д^З, (56)
т 2 тп
(2т/П2) гД6' = д2хи - и
1(ЗД2 + 1/(л;)-5и2
(57)
Уравнение (56) интегрируется, если учесть, что <9ги = ~(дхи, откуда находим
5 = т(х + /(*)• (58)
Подставляя (58) в (57), приходим к соотношению
+ ри3 - и (^С2+ £/(*)
(59)
2 гп
которое может быть удовлетворено, если ограничиться приближением
и(х)*и(0 + и'(0 (х-С)
и положить
тС = -^'(С). (60)
Уравнение (60) задает закон движения центра солитона х — С (£) как частицы с массой гп в поле потенциала
Используя интеграл движения
+"(О-<?£-«—
и ограничившись разложением вида
«(х-О^Со-С! (х-С)2,
из (59) получим уравнение для / (¿):
тСС + / = ^ (-2С1/С0 + <?С02 - С),
решение которого имеет вид
• Г V
/ (4) = -гпСС + + —* (<?С2 - 2^/Со), (61)
о
где Ь (г) = уС2 — V (С) — лагранжиан частицы в поле V.
Полученная таким образом структура (55) «ядра» солитона может быть уточнена, если учесть более высокие степени разложения по х — С. а также считать коэффициенты разложения функциями времени.
Рассмотрим теперь область «хвоста» солитона, в которой д мало, и поэтому получаем краевую задачу с подвижными границами:
ШФ± = ~ (д1ф± - и (х) ф±), (62)
= = = (63)
где ф0 - внутреннее решение (55), а функции определены в полупространствах
х > С (0 +1 и х < с (0 - е.
Рассмотрим потенциал типа прямоугольной ямы с бесконечными стенками:
с/М=(0' [*!<«■
оо, |х| > а.
Удобно ввести оператор Гамильтона со спектром
Л2тг2п2
~ 8та2 ' п = 1,2,3,...
и переписать уравнение (54) в виде уравнения Шредингера с нелинейным источником:
№<ф - Щ =-9~Щ2 ф. (64)
¿т
Так как мы ищем «хвост» солитона, то источник в (64) можно заменить на ¿-образный:
А£(х-С(г))е-^(, (65)
где учтен принцип нелинейного резонанса и выбрано стационарное состояние с частотой шп. Постоянную А можно найти из согласования с невозмущенным решением (51):
А = I Ах\щ\3 = ¿Л3 - тга2\/2<Г3/2. (66)
В связи с этим искомое решение удобно записать через запаздывающую функцию Грина уравнения Шредингера:
V = Cni/)„e~iu'n£ - ^ / di' ídk exp 7717Г J J оо С
i hk*
-i<¿nt'+—-(t'-t) ¿m
Gfc(®,C(í')), (67)
где фп (x) — собственная функция Н с собственным значением Гшп, а резольвента Gk имеет вид:
Gk (х < С) = . sink(x + a) sin А; (С - а) > sin 2ка
Gfc (з > С) = • Í,- sin fe (С + а) sinfc (х - а) . sm 2ka
Контур интегрирования С в комплексной fe-плоскости изображен на рис. 5. Если интересоваться асимптотическим поведением решения при t —► оо, то из (67) видно, что основной вклад отвечает значению t' -»t. Поэтому интеграл в к-плоскости может быть вычислен методом стационарной фазы в результате замены переменной интегрирования
fc = a(É -t')"1 •
Рис. 5. Контур интегрирования в ¿-плоскости
В результате найдем
Ф = Спфп*
_^— 1
(68)
где использованы обозначения: = <*2 = 1,
аз = а4 = -1,
й = й(4а-|х-<|)2; о2;
Если ограничиться случаем, когда солитон находится вдали от стенки потенциальной ямы, то график функции £(£') можно аппроксимировать отрезками прямых линий и после замены переменной интегрирования х = \/1 — V получаем табличный интеграл [36]
ПС /
2 V 26
так что (68) приводится к виду: а) при х < С (¿)
Кп
ехр (\к[+) (За - О) вш [к{+] (х + а)) -- ехр (а + 0) яп (к^ (х + а))] , (69)
б) при X > С (О
■ф+ = Спфп (х) е-'"»4 - [ехр (а - С)) яп (££+> (х - а)) -
кп
где использованы обозначения: Пк*
ехр {гк^ (За + С)) зт (* - а))] , (70)
2 \ 1/2
При этом величина скорости центра солитона определяется из условия нелинейного резонанса
г т
fan = уС .
откуда
1<Г - lb к - — 1 in 1 ~ 2а'
Наконец, чтобы удовлетворить граничным условиям (63), необходимо уточнить структуру «ядра» солитона, которое только в первом приближении имеет вид (55). Более строго, необходимо полагать
что приведет к более сложным уравнениям для функций S, и после подстановки в (54) и разделения действительной и мнимой частей. Найдя уточненное «ядро» солитона, можно из граничных условий (63) уточнить структуру «хвоста» и т.д. По существу, мы пришли к задаче с подвижными границами, которая в форме (62) и (63) может быть поставлена только при условии, если известна функция Фо (£, х), или функции rpQ (i) = фа (£,£ (£) ± £), а также задан закон движения границ х± = С(£) определяемый законом движения центра солитона.
6. солитон в осцилляторном потенциале
Рассмотрим теперь внешний потенциал осцилляторного типа
и(х) = 72х2, (71)
который отвечает эффективному потенциалу
У^ = &ги{х)=12кх2
с коэффициентом упругости к ~ /1272ш"1. В этом случае ядро солитона можно описать так же, как в п. 5:
[Со-СМх-С)2]«?^), (72)
где
С = (М=1пЯпшс<, шс = Ггут-1, (73)
t
5(£,х) =тС(х-0 + ^ + уМ4, (74)
о
Ь=\т?-\кС,\ (75)
Здесь ыс обозначает собственную (классическую) частоту осциллятора.
Для описания хвоста солитона в уравнении движения пренебрегаем нелинейным членом (<7 —♦ 0) и полагаем
Ф± = А±трп(х~ С)ехр(^, (77)
где — нормированная собственная функция стационарного состояния, т. е. фп (х) = {а2пп\^)~1/2 Нп{х/а)ехр
где Нп — полином Эрмита, а = 7-1/2.
При этом фазовая- функция £ имеет вид (74) при ограничении
С = Ьи)п = (1 + 2п). (78)
Ограничившись непрерывным сшиванием функций (72) и (77) при х - С = ±£, видим, что условие (78) выражает квантование энергии солитона, так как
С = ~тС2 + ^К2 = ^ты^п- (79)
Из (78) и (79) находим амплитуду колебаний центра солитона
хп = а\/1 + 2 п, (80)
а из (76) и (78) находим постоянную С\\
Су = ¿С0
а*
(81)
где, как обычно, п = 0,1,2,..., в зависимости от характера возбуждения системы. Далее, условия непрерывного сшивания приводят к связи вида:
А+фп(е) = с0-с1е2 = Л-фп(-е), (82)
из которой можно определить постоянные А±, если, например, отождествить постоянную Со с амплитудой свободного солитона, т. е. положить
Со = а^. (83)
Условия (82) и (83) могут быть обобщены, с учетом в том числе и гладкого сшивания на границе \х - С| = если представить ядро солитона в виде степенного ряда по \х — с коэффициентами, зависящими от времени.
7. солитонная модель атома водорода
Будем рассматривать электрон как солитон, центр которого движется по круговой орбите радиуса ао с некоторой угловой скоростью и вокруг кулоновского центра с потенциалом
= г = |г|. (84)
г
Солитонное решение будем описывать комплексным скалярным полем </>(£, г) и собственным электромагнитным полем ^ = -дjAi, выбрав лагранжиан вида
С= + (^)2Ф*Ф + Р(Ф'Ф), (85)
где И^ф = д^ф - + е = е(Лс)-1 — константа связи, Р(ф'ф) -
некоторая нелинейная функция. Как и ранее, рассмотрим нерелятивистское приближение, положив
ф = 1/>ехр I-1—^—1. (86)
Из (84), (85) и (86) вытекает система уравнений
h2 Ze2 h2
№<ф + -гр = -—/(А, .40, cV) v.
¿т г 2т
□А0=-4тгр, ПА = — —j,
с
(87)
где обозначено
771С
/ф = 2ie (AV) ф + 2e—Aoip + ie^divA + F' {\р*у) у,
- j = —2e2A |i/;|2 + ie [ф*Чф - фЧф*). с
Кроме того, накладывается условие Лоренца
dtA0 + cdivA = 0,
согласующееся с законом сохранения электрического заряда с?г/?-bdivj = 0. В задаче возникают две характерные длины: размер солитона (31)
. h . 2 2\-V2 I = - (m2 - wfi)
и боровский радиус
h2
а =
т/?е2'
с очевидным соотношением ао ~ а > I. Принимая, что траектория центра солитона — электрона задается уравнением
г = £(£), (88)
для ядра солитона имеем выражение
ф = и( г-С(0)е*р(»|).
(89)
Ло = Л0 (г - С), сА = СА0(г-О- (90)
Подставляя (89) и (90) в (87) и пренебрегая поправками порядка ¿с-1, приходим к уравнениям:
<9|>
Д5 + 1 - т<) • V« = 0, (92)
ДЛ0 = 8тг^и2. (93)
п.*
Предполагая функцию S медленно меняющейся в окрестности центра солитона, из (92) выводим
5 аз тлС • (г - О + Cat + х (0 , С0 = const. (94)
Учитывая уравнения движения заряженной частицы в кулоновском поле
С
и используя разложение
1 ~ 1 С-(г-С)
из (91) и (94) выводим
m ;2 Ze2
+ — = L(t),
откуда
t
X(t) = J L(t)dt, (95)
о
где L (t) — лагранжиан заряженной частицы в кулоновском поле. Кроме того, функция и (г - С) подчиняется уравнению вида
h2 (fu + Auj = 2mCou,
которое должно решаться совместно с (93).
Наконец, для описания «хвоста» солитона делаем в (87) подстановку
¡ф = \ exp (-iwnt) 6 (г - С (t)), А = const, (96)
где tkJn — собственное значение кулоновского гамильтониана. В результате «хвост» солитона представляется в виде
ф(^т) = Спфп (г) е~'Ып( 4-
+ ^ j dw J dt' exp [-iut + it' (w - wn)] G (г, С (О ; ш + io), (97)
где G (г, С; u>) — резольвента кулоновского гамильтониана, т. е. решение уравнения
2kv ,,
Д +-+ к
г
G (г, r';w)=<Kr-r'),
а фп — собственная функция кулоновской задачи.
Для наших целей удобно воспользоваться следующим представлением [37] резольвенты:
00 + 10
\к г / ч 4- 1 \
= _ — у ^(тгт) ^р[\кз(г + а0)}Ш, (98)
14-10
где /0 — модифицированная функция Бесселя,
. , /2ттш\1/2 т , , ,
\~~R~) ' 1тА;:>()> ^ = (47гЬ) \
д --
собЯ = эт^собса- Щ, т] = — 21агсой-уга0(«2 - 1).
Здесь г, т5, а — сферические координаты.
Интегралы в (97) и (98) могут быть вычислены методом стационарной фазы, если считать, что г —> ос, £ —► оо, и если воспользоваться известным интегральным представлением функции Бесселя:
7Г
/„(*) = ~ I егсоз ас13.
о
В результате «хвост» солитона представляется в виде:
Ф = СпФп (г) ехр {-\uJnt)
лта кг! -1/2 С.-3/2 / • , с /2т \
* '«Р^*-^ —^ (99)
где обозначено
Д = |г-С(£)| = (а^ + г2 -2оогсо5 0)1/2
и принимается, что эт!? Ф 1, т. е. точка наблюдения располагается вне плоскости орбиты электрона.
Так как для круговой орбиты
то из условия непрерывного сшивания функций (99) и (89) при |г - С (£)| = I получаем уравнение для определения постоянной Сп:
а также выводим условие квантования энергии:
4 1 ^ 3 .о, ¿?2е4т тп п о т 2
- Со + -тпП а1 = = + — =
Принимая для объема солитона значение Уо = постоянную Л определим из условия
= I а3х/и.
А
При этом найдем С0 - -т172а§ и следующие параметры орбиты:
О2
Интересно оценить собственное электромагнитное поле солитона [38-41]. Ясно, что для больших времен |и>„|£ » 1 4-потенциал содержит только стационарную часть
При этом в волновой зоне напряженности полей имеют вид
Е=Л(Е++Е_), В = ^((п_Е_]-[п+Е+]), (100)
где обозначено
Е_ = Еге|, Е+=Еа(|\ п± = Ъ±111\ К± = г-С(«±). В свою очередь, 1± представляют собой корни уравнений
Заметим, что из (100) следует, что проекция вектора Пойнтинга в = ^ [ЕВ] на направление вектора N = п+ +п_, совпадающее при г —> оо с направлением п = г/г, имеет вид
= 16^/5 {Е1 ~ Е2+) (1 + П+'П_)1/2' (101)
Так как в волновой зоне п± = п + С(г-1), то после усреднения по сфере выражения (101) найдем
<^»=0(г'3)- сю2>
Поэтому, согласно (102), электромагнитное излучение в солитонной модели атома водорода в стационарном состоянии отсутствует.
Приведем асимптотические выражения составляющих вектора Пойнтинга в сферических координатах:
х ■ 1 п ■ ~ / n • ( 2/?Г\
5Г = бш х) БШ 2 (а - Ш) вт г1
= 8Ш (—) О (Г"3) ,
где обозначено
с
_ е2а%ПА
УС —
167ГС3
Таким образом, существуют сферические поверхности, на которых Э = 0.
8. Заключение
В представленной работе показано, что солитонная концепция Эйнштейна — де Бройля, согласно которой элементарные частицы рассматриваются как стабильные локализованные образования, может быть согласована с основными принципами квантовой механики и поэтому Имеет право на существование. При этом в рамках солитонной схемы удается не только обосновать основные положения квантовой механики (как, например, правило вычисления средних), но также вывести и связь спина со статистикой (принцип Паули), которая является естественным следствием протяженности частиц.
Предлагаемая солитонная модель частиц является реализацией принципа нелинейного резонанса Д. Бома, в основе которой лежит гипотеза о гравитационном происхождении волновых свойств материи. В рамках солитонной модели атома удается также обосновать постулаты Бора о существовании устойчивых стационарных состояний электрона в атоме. На возможность такого объяснения указывали еще Богуславский [42] и Четаев [43].
Совершенно в новом свете предстает солитонная концепция Эйнштейна — де Бройля, если рассматривать ее в рамках статистической теории нелинейных полей Я. П. Терлецкого [3], позволяющей учесть стохастические свойства солитонов. На широкие возможности такого подхода указывается и в ряде работ П. Вербоса [44, 45].
Литература
1. Einstein A. The Meaning of Relativity. — Princeton, 1955.
2. de Broglie L. Une tentative d'interprétation causale et non linéaire de la mécanique ondulatoire: la théorie de la double solution. — Paris: Gauthier-Villars. 1956
3. Терлецкий Я. П. // Докл. АН СССР. - Т. 133. - 1960. - С. 568.
4. Mie G. // Ann. d. Physik. - Vol. 37. - 1912. - P. 511.
5. Mie G. // Ann. d. Physik. - Vol. 39. - 1913. - P. 1.
6. Mie G. // Ann. d. Physik. - Vol. 40. - 1913. - P. 1.
7. В. Б. Гласко, Ф. Лерюст, Я. П. Терлецкий, С. Ф. Шушурин // ЖЭТФ. — ■р ßg _ 1958 _С 452
8. Rosen N. // Phys. Rev. - Vol. 55. - 1939. - P. 94.
9. Menius A. C., Rosen N. // Phys. Rev. - Vol. 62. - 1942. - P. 436.
10. Rosen N.. Rosenstock H. В. // Phys. Rev. - Vol. 85. - 1952. - P. 257.
11. Derrick G. H. // J. Math. Phys. - Vol. 5. - 1964. - P. 1252.
12. Hobart R. H. // Proc. Phys. Soc. - Vol. 82. - 1963. - P. 201.
13. Wakano M. // Progr Theor. Phys. - Vol. 35. - 1966. - P. 1117.
14. Rosen G. // J. Math. Phys. - Vol. 8. - 1968. - P. 2400.
15. Synge J. L. // Proc. Roy. Irish Acad. Sei. , Ser. A. - Vol. 62. - 1961. - P. 17.
16. Skyrme T. H. R. // Nucl. Phys. - Vol. 31. - 1962. - P. 556.
17. Бом Д. Причинность и случайность в современной физике. — М.: ИЛ, 1959.
18. Рыбаков 10. П. Итоги науки и техники. Классическая теория поля и теория гравитации. - М.: ВИНИТИ, 1991. - Т. 2, С. 56.
19. Rybakov У. Р. // Proc. 10th Int. Coní. on General Relativity and Gravitation. — Vol. I. - 1984. - P. 125.
20. Rybakov Y. P. // Int. J. Theor. Phys. - Vol. 5. - 1972. - P. 131.
21. Rybakov Y. P. // Found, of Phys. - Vol. 4. - 1974. - P. 149.
22. Rybakov Y. P. // Ann. Fond. L. de Broglie. - Vol. 2. - 1977. - P. 181.
23. Рыбаков Ю. П. В кн.: Философские исследования оснований квантовой механики: К 25-летию неравенств Белла. — М.: Из-во филос. об-ва СССР, 1990. — С. 112.
24. Рыбаков Ю. П. В кн.: Дискуссионные вопросы квантовой физики: Памяти В.
B. Курышкина. - М- Из-во УДН, 1983. - С. 83.
25. Рыбаков Ю. П. // Вестник РУДН. Физика. - № 3, вып. 1. - 1995. - С. 130.
26. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: ГИФМЛ, 1961.
27. Рыбаков Ю. П. // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. — Вып. 17. - 1986. - С. 161.
28. Рыбаков Ю. П., Шахир М. // Изв. ВУЗов. Физика. - Т. 25, № 1. _ 1982. -
C. 36.
29. Шахир М. Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. — М.: ВНИИФТРИ, 1982.
30. Каир D. /., Newell А. С. // Proc. Roy. Soc. Ser. A. - Vol. 361. - 1978. -P. 413.
31. Karpman V. /., Maslov E. M. // Phys. Lett. Ser. A. - Vol. 61. - 1977. - P. 355.
32. Kälbermann G. // Phys. Rev. Ser. E. - Vol. 55. - 1997. - P. R6360.
33. Kosevich A. M. // Physica. Ser. D. - Vol. 41. - 1990. - P. 253.
34. Enz U. H Physica. Ser. D. - Vol. 17. - 1985. - P. 116. - Vol. 21. - P. 1.
35. Ванин E. В., Смирнов А. И. // ЖЭТФ. - Т. 110. - 1996. - С. 1136.
36. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. - М.: Наука, 1969. - Т. 1.
37. Hostler L. // J. Math. Phys. - Vol. 5. - 1964. - P. 591.
38. Rybakov Y. P., Saha В. // Ргос. of the 11th Intern. Conf. "Problems of Quantum Field Theory" / Efl. by В. M. Barbashov, G. V. Efimov, A. V. Efremov. - Dubna: JINR 1999 _P 262
39. Rybakov Y.P., Saha B. // Phys. Lett., Ser. A. - Vol. 222, No 1. - 1996. - P. 5.
40. Rybakov Y. P., Saha B. // Found of Phys. - Vol. 25, No 12. - 1995. - P. 1723.
41. Rybakov Y. P., Saha B. // Ann. Fond. L. de Broglie. - Vol. 20. - 2001. -P. 381. — Special Issue.
42. Богуславский С. А. Избранные труды по физике. — М.: ГИФМЛ, 1961.
43. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. — М.: Изд-во АН СССР, 1962.
44. Werbos P. J. // Appl. Math. Comput. - Vol. 56. - 1993. - P. 289.
45. Werbos P. J. // Intern. J. of Bifurcation and Chaos. - Vol. 12, No 10. - 2002. -P. 2031.
UDC 539.12
Solitons' Dynamics in External Fields and Quantum Mechanics
Yu. P. Rybakov, S. A. Terletsky
Department of Theoretical Physics Peoples' Friendship University of Russia 6, Mikluho-Maklay str., Moscow, 117198, Russia
The problem of self-consistence o( solitons' dynamics in external field and quantum mechanics is analyzed. According to the soliton concept by Einstein and de Broglie, solitons are considered as images of extended quantum particles. The idea of D. Bohm on nonlinear resonance being developed, the gravitational mechanism of realization of wave-particle dualism is discussed. It is shown that in the linear limit (for the point-like particle) the main principles of quantum mechanics are restored, the wave function's role being played by the superposition of solitonian solutions corresponding to different realizations of the observed system. We discuss the peculiarities of solitons' dynamics in some mode! problems illustrating the wave behavior of solitons: the diffraction of solitons on rectilinear slit, the soliton in square well, the soliton in oscillator external potential well. In conclusion the soliton model of the hydrogen atom is discussed.
