CC BY
227
УДК 519.2
Г. А. Скоробогатпов
Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2003, вып. 1 (№4)
ПОЛНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
1. Неполнота стандартной квантовой механики. Согласно метаматематике [1, 2] любая формально-логическая система, если избегать порочного круга, должна начинаться с неопределяемых (технических) терминов и недоказуемых предложений (аксиом). Далее по правилам логики и правилам вывода, принятым в указанной системе, строятся определения (слова) и доказуемые утверждения (теоремы). К примеру, евклидова геометрия основывается па таких терминах, как «точка», «движение», и пяти группах аксиом (сочетания, порядка, движения, непрерывности, параллельности), ньютонова механика —на терминах «материальная точка», «масса» и трех аксиомах (трех законах Ньютона) [3], квантовая механика (КМ) — на терминах «состояние», «наблюдаемая» и т.д. и девяти аксиомах [4], а согласно [5]—на одиннадцати аксиомах.
Формализованные теории строятся для формализации теорий, уже заданных интуитивным образом. В какой степени достигается такая цель, удается ответить лишь тогда, когда формализованная теория получает интерпретацию, в результате чего формализованная система становится интерпретированным исчислением. Интерпретация теории Т называется правильной, если в ней все истинные предложения Т оказываются истинными в структуре, определяемой этой интерпретацией. Такую структуру называют моделью данной теории [2]. Формализованная теория представляет интерес лишь в том случае, если она свободна от противоречий. Ее называют формально непротиворечивой, если не каждое предложение Т истинно. Одним из способов доказательства непротиворечивости теории состоит в том, чтобы доказать в ее метатеории, что эта теория «имеет модель». Из соображений удобства разные авторы в своих моделях одной и той же теории Т могут брать разные наборы терминов и аксиом (объявляя некоторые термины и аксиомы другой модели определениями и теоремами). Теория Т называется мономорфной, если все ее модели изоморфны между собой. Класс аксиом называется неизбыточным, если каждая входящая в него аксиома независима; в противном случае он называется избыточным.
После вышеуказанных сведений из метаматематики можно привести теорему Геделя о неполноте [2]:
Каждая логистическая система Т, настолько богатая, чтобы содержать формализацию рекурсивной арифметики, либо ш-противоречива, либо содержит некоторую неразрешимую (хотя и истинную) формулу, т. е. формулу, которую в Т нельзя ни доказать, ни опровергнуть, но истинность которой доказывается в метатеории Т' Э Т.
Иными словами, любая данная ^-непротиворечивая система Т указанного типа неполна и даже непополнима (в рамках старого языка). Для определения использованного здесь понятия (^-непротиворечивости потребовались бы дополнительные сведения из метаматематики. Для нас в дальнейшем будет важно то, что ш-непротиворечивость влечет формальную непротиворечивость [2].
Какой же должна быть логическая система, чтобы оказаться полной? На этот вопрос отвечает теорема Геделя о полноте [2]:
Определенного рода функциональные исчисления первого порядка полны относительно интерпретации этих исчислений в области натуральных чисел.
(с) Г. А. Скоробогатов, 2003
Из представленного экскурса в метаматематику следует, что каждая физическая теория, достаточно богатая, чтобы содержать дифференциальное/интегральное исчисление, либо неполна, либо внутренне противоречива (если она полна). Этот вывод справедлив, в частности, по отношению и к классической, к к квантовой механике. К примеру, небесная механика (т.е. механика п материальных точек, взаимодействующих по закону всемирного тяготения) неполна при всех п > 2 [6]. Классическая механика не содержит внутренних противоречий (типа высказываний А и не-А одновременно [7]), в результате чего, согласно теореме Геделя, является неполной. За последние 300 лет классическая механика пополнялась неоднократно. Особенно значительными были произошедшее на рубеже XVIII и XIX столетий пополнение ньютоновой механики концепциями геометрической оптики, на рубеже XIX и XX столетий — нерелятивистской ньютоновской динамики до релятивистской механики [3] и происходящее последние 30 лет пополнение детерминистской классической динамики вероятностными законами и методами [8-11]. Расширенная таким способом классическая механика не содержит внутренних противоречий и открыта для дальнейших обобщений, расширений, пополнений в полном соответствии с теоремой Геделя о неполноте.
Странное дело, но адепты стандартной КМ (СКМ) в ее общепринятой ныне копенгагенской интерпретации очень болезненно реагируют на утверждения о том, что КМ неполна [12] или что она содержит внутренние противоречия типа А и не-А одновременно (корпускулярно-волновой дуализм, редукция волнового пакета, и т.п.) [13-16]. Вот типичный пассаж из одной такой работы [17, с. 619]: «Сейчас, по прошествии многих лет, ознаменовавшихся успехами квантовой механики во всех областях... сомнения в полноте квантового описания вряд ли звучат актуально». И эта мысль повторяется повсеместно [18, 19]: с одной стороны, адепты копенгагенской интерпретации КМ пишут об отсутствии в ней каких-либо внутренних противоречий или в принципе неразрешимых ее методами проблем, а с другой — утверждают абсолютно необоснованно (в силу теоремы Геделя), что СКМ полна. Более того, процедуру пополнения СКМ они рассматривают как некую трагедию или катастрофу: «.. .для введения "скрытых" параметров требуется коренная ломка квантовой механики» [18, с. 470].
Но теорема Геделя была опубликована в 1931 г. [20], и за истекшие 72 года адептам копенгагенской интерпретации следовало бы сделать из нее надлежащие выводы. А они таковы: либо СКМ полна, но тогда содержит внутренние противоречия или ряд проблем, принципиально неразрешимых ее методами, либо СКМ внутренне непротиворечива, но тогда неполна. Отсюда следует, что в обоих случаях возможно создание более полной метатеории, в которой разрешаются трудности и внутренние противоречия СКМ. Эту программу Д. И. Блохинцев выразил символической пропорцией:
х _ кинетическая теория материи , .
> I')
квантовая механика термодинамика
«где х — неизвестная, более полная теория» ([14, формула (16.1)].
Попытки реализовать программу (1) делались неоднократно [13, 21-26], однако они либо оказались ошибочными [21-23], либо не были доведены до успешного завершения [13, 24-26]. Лишь недавно в серии работ [27-31] программа (1) была, наконец, реализована.
2. Полная квантовая механика. Рассмотрим уравнение Шредингера [32] для волновой функции ф(х,1), сопоставленной частице с массой т, находящейся в потенциальном поле и(х):
^О-^хЖх.О-^^-о, Р>
где /3 = К/2т, К — постоянная Планка. Согласно Маделунгу [33], преобразования
[ 5+ , ( 6 2 п /ОА
** = а9ХР а>° (3)
реализуют взаимно однозначное соответствие между парой сопряженных уравнений (2) и двумя уравнениями «гидродинамического представления»
дги \—-V д
+ Е
дХг
д
т
ди) ( „ 5 + <11У гу\7х — от \ т
V?
го
гу
1 / Ухц) 21 ш
£/(гу) + Л5 - О,
(4)
(5)
где к == +1, Л — коэффициент трения, и> (х, <) = (х, 4) | и 5 (х, — потенциал полной скорости [22]:
д_ / _ д_ дх{ \т) дх^
т
Ь дги
■ --.
V) ОХ;
(6)
В (6) введены потенциал <5 «диффузионного тока» (—ЬУ^Лпги) и потенциал в «скачко-вой составляющей» а.
Показательно, что, по Б. Т. Гейликману [34], почти те же уравнения (4), (5) описывают процесс броуновской диффузии, если положить к = — 1 и /3 = Д (коэффициент диффузии). Единая запись (4), (5) позволяет видеть сходства и различия между броуновским (к = —1) и квантовым (к = +1) случайными блужданиями [35]. Пару уравнений (4), (5) мы назвали [27] уравнениями Маделунга—Гейликмана.
Аналогично тому, как диффузионные уравнения (4), (5) для к = — 1 выводятся из марковского транспортного уравнения Крамерса—Фоккера—Планка [36], квантовые уравнения (4), (5) для к — +1 должны выводиться [37, 38] из немарковского квантового транспортного уравнения. Согласно [27] (суб)квантовое транспортное уравнение (КТУ) имеет следующий вид:
+ -Чхр (Р, X,«) = АУР (рР (р, X, 0) + (х)) ЧрР (р, X, Ь) + ох т
+ - (р - (Р>) УЖР (р, х, 0 - - (V, (р)) Р (Р, х, I), (7) т т
где Р (р, х, £) — плотность вероятности в фазовом пространстве и использовано обозначение
|fp(p,x,t)d3p
({) = (Ох =
(8)
Действительно, прямой проверкой нетрудно убедиться, что два уравнения (4), (5) при к, = +1 получаются из КТУ (7) как уравнения для двух первых моментов (нулевого и первого):
(9)
V) х,
С,«) = I Р(р,х,*)сг3 = ^ <р) = / рР (р'х'**
где
' т
(10) (П)
В формулах (9)-(11) принято обозначение (8). Кроме этого использован тот общий для нормальных процессов факт [39]; что второй момент (р2) выражается через два предыдущих:
и1
-V,
IV
т
и)
V??
го
1 /V ,ги
2 I и)
(12)
В свою очередь, чисто скачковое КТУ (7) должно выводиться из немарковского (суб)квантового кинетического уравнения, аналогично тому, как диффузионное уравнение Крамерса—Фоккера—Планка — из марковского кинетического уравнения Больцма-иа [40, 41]. В [27] показано, что в роли (суб)квантового кинетического уравнения (ККУ) следует использовать не поддающуюся «диффузионизации» версию линеаризованного по сдвигу уравнения Колмогорова—Гихмана—Скорохода [42]:
дР( р,х,0 р
дЬ
+ —[ [с1(е,р,х,<)УрР + с2(е,р,х,0УхР-Р]П(сгв), т ]
(13)
где Ш(с1е) = Мп (£, е), тт — пуассоновская мера от случайного процесса е. Действительно, прямой проверкой можно убедиться, что ККУ (13) порождает КТУ (7), если положить
/
П(¿е) = - V* (р) = У2Х (V)
для интенсивности скачков,
J с\ (е, р, х, £)П(с?е) = У*1/(х) для средней амплитуды скачков в импульсном подпространстве,
с3(е1р>х,4)П(йе) = 2(у-<у))
(14)
(15)
(16)
для средней амплитуды скачков в координатном подпространстве.
При этом мы отличаем класс «недиффузионизируемых» чисто скачковых уравнений Колмогорова—Гихмана—Скорохода от уравнений Колмогорова—Феллера, которые, хотя и придуманы для описания разрывных процессов, но всегда могут быть аппроксимированы [43, 44] диффузионным процессом.
Теперь рассмотрим уравнение Клейна—Фока—Гордона [45] для амплитуды вероятности х> сопоставленной частице с массой тп, находящейся в поле 4-потенциала
д
ге
дх., Не
д
ге
+ ТА" Ь-7 + т-Л Х +
дх^ Не
т2с2
X = 0.
(17)
Здесь е —заряд частицы, с —скорость света, — компоненты 4-пространства (гс£, х), причем греческие индексы пробегают значения 0, 1, 2, 3, а латинские — 1, 2, 3. С помощью преобразований [46]
X = р1/2ехр | г-
1
тс \ дх
дБ
~сА>1
(18)
(19) 33
паре комплексно-сопряженных уравнений (17) сопоставляется во взаимно однозначное соответствие пара уравнений «гидродинамического представления» Такабаяши [47]:
F) (п
' чг " =0, (20)
д (х"/с)
(Ж.-ЛГ«-!*)* - ) -»V. (21,
\dxß с J \dXfi с ) 4р\ дхадхf 2рдх^дх^ Если положить
то уравнение (21) можно переписать следующим образом:
сК) = El _ П + Л-^- (6"а д2р - , (22)
dxv тс тс с дх„ \ р dxadxß 2р2 дхи dxß) '
где к = +1, ß = h/2m, г" = 0.
Интересно, что для броуновского движения релятивистской частицы массы т с коэффициентом диффузии D и 4-силой трения г^ Гото [48] получил почти ту же пару гидродинамических уравнений (20), (22) с тем отличием, что /3 = D и к = — 1. Поэтому в [27] мы назвали пару уравнений (20), (22) уравнениями Такабаяши—Гото.
Аналогично тому, как диффузионные уравнения (20), (22) для к = — 1 вытекают из марковского линеаризованного релятивистского кинетического уравнения Больцма-на [49], квантовые уравнения (20), (22) для к = +1 должны выводиться из немарковского релятивистского транспортного уравнения. Согласно [27] релятивистское (суб)квантовое транспортное уравнение (РКТУ) имеет следующий вид:
дР дР F* ЭР diu")
d(xv/c) v х д(хи/с) тс du*1 d(xv/c)'
в котором Р = Р(х, и) — плотность вероятности в 8-мерном пространстве {xv ,uv) и использовано обозначение
Действительно, прямой проверкой нетрудно убедиться,'Что Два уравнения (20), (22) для к = +1 получаются из РКТУ (23) как уравнения для двух первых моментов (нулевого и первого):
р = т^+(ч-)(ч„) J pfg-, (25)
В формулах (18), (19), (25), (26) использовано обозначение (24). Постоянная Планка h появляется в уравнениях в результате сведения [27] в тензоре напряжений Р/и/ второго момента к первому и нулевому:
/ к - К)) К - = = (-У pf^- (D = ±), (27)
J "и" \с ) OXpOXv \ zmу
в результате чего зацепляющаяся цепочка уравнений для моментов обрывается на втором уравнении (22) для первого момента {и"). Соотношение (27) аналогично нерелятивистскому соотношению (12).
В свою очередь, чисто скачковое РКТУ (23) должно выводиться из немарко некого релятивистского (суб) квантового кинетического уравнения (РККУ). В [27] показано, что в роли РККУ следует использовать не поддающуюся «диффузиониза-ции» версию линеаризованного релятивистского уравнения Колмогорова—Гихмана— Скорохода:
дР(х, и) хд{и»Р) дР(х, и)
и
д (ицР) дР(х, и) [ и. ЛТТ/_, .
I Ь*{х,и,£)Щ(1Е) -Р(х,и) У Щ<к). (28)
д [х»/с)
дР(х, и)
ди»
Действительно, если положить [27]
/
П = ^ (М)
для средней интенсивности скачков,
/
1 017 Р^
Ъ»{х,и,е) П((к) = —£- = -— (30)
тс ох у, тс
для средней амплитуды скачков в 4-пространстве (им) и
а"(х,и,е)П{(1£) = 2 {и" - {и»)) (31)
для средней амплитуды скачков в 4-пространстве (х„), то РККУ (28) порождает РКТУ (23). Нетрудно видеть, что соотношения (29)—(31) в нерелятивистском пределе переходят в соотношения (14)—(16).
Перейдем к рассмотрению уравнения Паули [32] для частицы массы т с собственным моментом количества движения (спином) а в электрическом и магнитном полях и внешнем потенциале и (х):
„аФ(М) П2 / ге \2 т/ . гП—= V--А Ф(М)-
дЬ 2т \ г]с
еН
- (о- ■ ГОЬА) Ф(х, Ь) + еу>Ф(х, г) + и(ж)Ф (х, г), (32)
где Ф — двухкомпонентный спинор Ф = (^р^ > — > е —заряд частицы, А —
векторный, (/?— скалярный потенциалы электромагнитного поля, с —скорость света. Уравнение (32) вместе с его сопряженным взаимно однозначно соответствуют трем уравнениям «гидродинамического представления» Бома [50]:
^ + (ш • у) = 0, (33)
- ка-Vx [w (rots ■ rots + ((1VX) s) • ((IV*) s))] + w
+ —vx (s • H) + eE+ -V x H+ - (v ■ Vx) A - Vx£/+ (A - ц)у, (34) me с с
ds
dt
— [s x H] H—— [s x Vx (w • divs)], me mw
(35)
где 1 —единичный вектор, Е — напряженность электрического поля. Взаимопревращение уравнений (33)-(35) и пары сопряженных уравнений (32) осуществляется подстановкой [51, 52]
Ф = а ехр
2 т(3)
— )
2 т(3)
(cos в/2) ехр ^-(S + v/2)
г (sin 0/2) ехр ( - (S - <р/2) \V
а2 > О,
Ф* = а ехр с использованием обозначения
v(x,i)
(cos 9/2) ехр — (5 + ip/2) ) , -i (sin в/2) ехр — (S - <р/2)
V*S 1 е
——- + -— cos Ovxip--А.
то 2 m с
Удивительно, но почти такие же уравнения (33)-(35) были предложены В. А. Желно-ровичем [53] для описания классического движения намагниченных сред с собственным моментом количества движения, включая и броуновскую диффузию, если считать к — —1, ¡3 = 0. Это позволяет по аналогии с (4), (5) объединить в форме (33)-(35) уравнения классического движения намагниченной среды с собственным моментом количества движения и квантово-механического движения частицы со спином, добавив в них для общности коэффициент трения А и релаксационное слагаемое ¡л, которые могут быть не равными нулю [54] и в некоторых квантовых процессах в материальной среде (т.е. не в вакууме). Единая запись (33)-(35) дает возможность четко видеть сходства и различия между классическим (к = — 1) и квантовым (к = +1) случайными блужданиями. Уравнения (33) - (35) логично называть уравнениями Бома—Желноровича.
Прямая проверка показывает [29], что квантовые уравнения (33)-(35) порождаются следующим спинорным (суб)квантовым транспортным уравнением (СКТУ) для плотности вероятности Р(х,\г, в пространстве (х, V, э, £) частицы с массой т, зарядом е и спином в:
дР dt
+ (V • Vx) Р = 2 (v - (v)) VXP - 2 (Vr (v)) P+
+ ^ [(rot (s) • rot (s)) + ((1VXJ (s)) • ((1VX) (s))] V„ (VXP) + + £ К"* <s> • rot <5» + (av.) (s)) ■ ((IV,) (s»]) VvP-
me
(Vx ((s) • H)) VvP - (eE) VvP + (Vx?7) VvP+
+
V„ (- [v x HJ p) + Vv (- (v ■ vx) A • p) + (A - Ai)V„ (vP) + — V3 ([s x H] P)
\ с ' ^ с ' тс
+ - Vs ([s x Vx (div <s))j P) + - [<S> X Vs (VxP)j (div <s>).
m
m
При этом (33) оказывается уравнением для нулевого момента
-f сю
а (34), (35) — уравнениями для двух первых моментов
+оо +оо
(V)
x,t
~ J vP (x, v, s, i) dvds, (s)Xit = ——y J sP (x, v, s, i) dvds.
(37)
Уравнения для вторых моментов не требуются, так как последние в конечном виде выражаются через нулевой и первый моменты. При этом «бесспиновое» соотношение (12), т.е.
(v2)-<v>2 = V>W
должно быть обобщено [29]:
<v2)-(v)2 = V2ln™ + <b2>-<b)2,
где Ь—«спиновая скорость». Если (b)2 = cos2 в (Vf)2, то «спиновый потенциал» sin2 в (V»2 + (VÛ)2 получается при условии (b2) = (Vé>)2 + (V<p)2.
По аналогии с (13) можно записать спинорное (суб) квантовое кинетическое уравнение (СККУ), порождающее СКТУ:
<9Р(£, x, v, s) m
+
•"-J
cj>x(t, x, v, s, e)VxP + cjjV(t, x, v, s, e)VpP + cjjS(t, x, v, s, e)VSP+
+ Cj}XV(t, x, v, s, e)Vx (VvP) + Cj,xs(i, x, v, s, «)'Vx (VSP) - P Действительно, если ввести
rr(t,x,v) = J П(de), X(i,x,v,s) = J CjiX(i, x, v, s, e)n(de) V(i,x,v,s) = J Cj,v(i, x, v, s, e)n(de) S(i,x,v,s) = J CjtS(t, x, v, s, е)П(с(е)
xv(i,x,v,s)= f CjiXV(i, x, v, s, er)n(de) j
xs(i,x,v, s) = J CjiXS(t, x, v, s, е)П(йе)
n(de). (38) (39)
(40)
то СККУ приобретает вид СКТУ (36), если в последнем коэффициенты трения Л и релаксации /I равны нулю:
дР
т
+ уЧхР = 7ХУХР + + 2е\7еР 4- (УХР) + гхяЧа (УХР) - тгР. (41)
Теперь получится в точности СКТУ (36), если в (41) в качестве интенсивности скачков (39) и амплитуд скачков (40) взять [29]:
тг («, х) = 2УХ (V)--[1ухН]--(1У ■ Ух) а--— [1в х Н] - — [1. х Х7х ((Ну (в))], (42)
с с тс т
2х(*,Х,у) = 2(У-(У)),
Л2
2у Х'У) = 2^ (Ух [(Г°4 <8) '104 (8>) + ((1Ух) (5)) ' ((1Ух) (8))]) + еЕ+
г. (4, х, в) = — [а х Н] 4- — [а х Ух ((Ну (в))], тс т
Х) = £ ([(Г°'(3) ' {5)) + ((1Ух) <3>) ' ((1Ух) (5))])'
2x5 (¿,х) = — (СНУ (в)) ■ (Б) , т
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
где (у), (в) — соответственно средняя скорость и средний спин согласно (37), 1У = (у) / |(у)| — единичный вектор по направлению (у), = (в) / |(з)| — единичный вектор по направлению (в). Таким образом, СККУ (38) с параметрами (39)-(47) порождает СКТУ (36) и квантовое гидродинамическое представление (33)-(35) для к = +1 в полной аналогии с линеаризованным кинетическим уравнением Больцмана, порождающим для классической броуновской спинорной частицы уравнение Крамерса—Фоккера— Планка и гидродинамическое представление (33)-(35), где к = — 1.
Наконец, рассмотрим релятивистское спинорное волновое уравнение — пару уравнений Дирака [5] для 4-спинора ф и его сопряженного ф:
7 "д~ф + кф = 0, д+ф-у" — кф — 0.
(48)
Здесь 7„ — матрицы Дирака, к = гпс/Н, с—скорость света в вакууме, масса гп является релятивистским инвариантом [3]. С помощью подстановки
Р = \/(ФФ)2 - (Ф15Ф)2
Ъи = -гф^ф
Р
- —ф-у^у^ф
= -¿^7 ф Р
(49)
восьми уравнениям (48) для 4-спинора ф и его сопряженного ф можно поставить во взаимно однозначное соответствие уравнения «гидродинамического представления» Така-баяши [55-57]:
д, (Рк= - (^р) (50)
~ oT^" (("V"4) dl>ewv + i£napfvaw0dyV~^} | + TjF^V^ - Г(51)
'■"И V. \ \
kuduWn
2 к
K + 1
zvdu6 ■ w
-щри |P + iEnap-iVaWpdyW^j | + nF^w^, (52)
где к = +1, F^ — тензор электромагнитного поля, г/ = e/mc2, £м«/з7 — символ Леви— Чивита, k,j. = . cos в + i - w^v») див - ^е^ар-удд (pvpw7) = /jqWm, zv =
—VftdvWfj, — w^dvVp, r^ — 4-сила трения.
Для описания классических релятивистских вязких намагничивающихся жидкостей и газов В. А. Желнорович [58] получил ту же самую систему уравнений (50)—(52), с теми же обозначениями (49), но с тем отличием, что к — — 1, к = const, /см = ^^v^ cos в +
+ + iKEapysVaWpdyVs^J . Объединенные уравнения (50)-(52) мы
назвали [29] уравнениями Такабаяши—Желноровича.
Обозначим (/) среднее значение величины /, равное интегралу в 9-пространстве от плотности вероятности Р — Р(ха, va,wa,9) в 11-пространстве (xa,va,wa,0):
(/) =
SfP%
'-¿в
fP^^dd
В частности,
d3v d3w
d9
If d3vd3u
{wa)=1-J
p J Vй wu
de
d3vd3w waF—--—d0
v° w°
(53)
Объединенное спинорное релятивистское транспортное уравнение (СРТУ) имеет вид [29]
к + 1
+
2
1 -к
(■Vv) cos (в) +
М + ^ М (() W + iK£c/3-yS Ю Ы) dy (vs)
1_ /к + 1 ~2к
((г„)д„(9))Р-
1 /к + 1
2 к
{{г„)ди{в))д^ (vpP)-
2 к
к+1
{{г„)д„(в))дL К?) +
+ ¿<9, [{(«„ К) - "г <«/.» ШР] +
+ a01 (va) (wp)) (Wf.du (гу7) - v^dv <v7))} Р] +
+ dv (р (zv)) двР - (Ы dv^P+ К) £>^Р) + (т^Р), (54)
где к — —1, А; = const для релятивистской броуновской диффузии, к = +1, k — rnc/h для релятивистского квантово-механического движения.
Действительно, если проинтегрировать по (d3v/v0)(d3w/w0)d6 обе части квантового СРТУ (54), то выводим в точности уравнение (50) для нулевого момента. Если же обе части СРТУ (54) домножить на 4-скорость vjJL (либо на 4-спин wfi, либо на 9), проинтегрировать по (d3v/v0)(d3w/w0)d9 и положить к = +1, k — mc/h, то с учетом (53) получим соответствующие уравнения для первых моментов, совпадающие с (51), (52). А поскольку уравнения (51), (52) полностью эквивалентны уравнениям Дирака (42), то ясно, что (суб)квантовое СРТУ (54) включает в себя всю релятивистскую квантовую механику частицы со спином в электромагнитном поле.
Аналогично из СРТУ (54) при К = — 1 получаются магнитогидродинамические уравнения Желноровича. В свою очередь, классическое СРТУ (54) можно вывести из линеаризованного спинорного релятивистского уравнения Больцмана. Поэтому следует ожидать, что и (суб)квантовое СРТУ (54) является следствием релятивистского спинорного немарковского обобщения чисто разрывных («недиффузионизируемых») уравнений Колмогорова—ГихМана—Скорохода
дР
'д(х»/с)
f р hv +au(xl/,vv,wl/,e,e);vu + bv(xv,vv,wv,9, е);\ _ J + у ui„ +c„(xu,vv,wv,e,£y,e+ d(xv,va,wv,e,e) J
Щек). (55)
Разлагаем приходный член в ряд Тейлора, в котором вторые производные отсутствуют, поскольку диффузионная (марковская) составляющая в интеграле уравнения (55) считается уже удаленной. Отбрасывая все производные выше 2-го порядка, получаем релятивистское спинорное обобщение уравнения Колмогорова—Гихмана—Скорохода, которое является искомым спинорным релятивистским (суб)квантовым кинетическим уравнением (СРККУ):
/
vvdvP - dV)i (t^VvP) =
р fai> +au{xv,vv, wv,9, tz)-,vv + bv(xv,vv,wv,e,e)-\ _ . ^ ^ 0)1 n(tfe) = + ^ Wv +C1/(xv,Vv,Wv,9,E)\Q + d(xl„Vl/,Wv,e,£) J v> v, u, )J \ )
= dvP J au(xv,vv,wv,e,e)Yl(de) + dV/xP J bl/(xv,vu,wu,9,£)Il(d£)+ dWflP Jcu(xv, vv,wv,e, е)П(ск) + двР Jd{xv,vv,wv,0,e)TL(de) - P J Yl(de). (56)
+
По аналогии с (39)-(47) положим
J = J U(de) =dv (K) + ~ (zv) д„ (9) - {(«„ <«,„) - Wfi („„)) dv (0)} -
- {(*£ма/3-y .(va) {wp)) (w^dv {wj) - V^dv (v7>)}
¿It
для средней интенсивности скачков,
/
уи,и>„, 9, е)П(ск) - - (к„) + (ги^) - ги^ (ум))д„(в) +
+ (гем«/3т (ис>) <»„)) (гу7) - г^ (г>7))
для средней амплитуды скачков в 4-пространстве (х„),
/
М2^ и*, 0, е)П(^е) = - (г>м) Рм„ - <9М (0)
для средней амплитуды скачков в 4-пространстве (им),
/
для средней амплитуды скачков в 4-пространстве (гир.) и
для средней амплитуды скачков в пространстве В итоге из СРККУ (56) получаем спинорное релятивистское (суб)квантовое транспортное уравнение (СРКТУ) (54) для плотности вероятности Р = Р(ха, уа,ъиа,в) в 11-пространстве (ха,уа, ъиа, 9).
3. Движение свободной частицы в полной квантовой механике. Рассмотрим одномерное движение нерелятивистской микрочастицы массы т под действием постоянной (во времени и пространстве) силы, равной — УхС/(х) = КТУ (7) является интегродифференциальным уравнением, в котором среднее значение (р) (см. формулу (10)) зависит от функции Р(р,х, которую еще предстоит найти. Однако в случае свободной частицы имеется возможность подобрать (р) без знания функции Р(р,х, £), исходя из второго закона Ньютона:
сРх
т^ = * (")
Решение задачи Коши для уравнения (57) с начальными данными х — хо, V = Уо при £ = ¿о приводит к следующим средним значениям:
(р) = (ту) = дЬ + тУо (х) = + у0Ь + х0
(58)
Отсюда
= У (59)
х/ <Й \(И / ту0 + дг К '
Вязкая среда отсутствует (А = 0).
С помощью соотношений (58), (59) интегродифференциальное КТУ (7) может быть сведено к частнодифференциальному уравнению первого порядка
дРи,х,р) (2дЬ п 'р\дР дР 2 д
-+ — + 2и0 ^ — + Э1Г =--Р, 60)
31 \т ту ах ар туй +
методы решения которых хорошо разработаны [59].
Решив задачу Коши для уравнения (60), из полученной функции х, р), находили средние (р) и (х), чтобы проверить правильность выбора (58). Оказалось, что среднее (р) следует уточнить, что привело к изменению функции (59) и уравнения (60). Для нового уравнения (60) снова была решена задача Коши и найдены (р) и (х). После нескольких итераций самосогласованные значения (р) и (х) были определены только для случая отсутствия внешней силы (д — 0):
= тУо(Ахо)2 + (х-хо)(Ауо (Ахо)2 + (АУО)2*
(х) =х0 + «о*, (62)
где Ах о и Ауо — неопределенности начальных значений координаты и скорости части-
Самосогласованные функции (61), (62) позволяют для случая д — 0 записать КТУ (7) в такой форме:
Ц. + =--Р, (б3)
дг Vй т) дх (Ажо) + (Д«о) ¿2
В соответствии с алгоритмом [59] составляем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующую уравнению (63), интегрирование которой дает три интеграла:
/1 : х — х0 +
2 2 у0 (Ах0) + (х - х0) (Ауо) £
/2 : р = т--—^---—
(Ах0)2 + (Ау0)2^
И '■ Р — ,. ча
• (64)
(ДхоГ+ (Д«о)
Из интегралов (64) вытекает [59] следующее общее решение КТУ (57) в неявном виде: Т? ( * ^ + - ®0) Д^ г, °"2 ^ П /дгN
где для компактности введены сг = Джо и Д = Дъ'о.
Вид функции Р определяется ее начальной формой Р(х — ж о, и — Уо,Р — 1) = 0, в качестве которой примем произведение нормальных распределений по импульсам и координатам
^ _ (:.-*о)г I _ (р-рр)-2
Р(0,х,р) = , е -—-—е . (66)
v ^ У2тгД:го л/^гДр^ ^ 7
Выбор распределения (66) с первого взгляда может показаться каким-то частным или субъективным. Однако это не так. Во-первых, из всех непрерывных распределений с заданной дисперсией нормальное распределение обладает максимальной энтропией по Шеннону, т.е. максимальной неопределенностью [60]. Во-вторых, ордината случайной функции и скорость ее изменения в тот же момент времени являются некоррелированными случайными величинами, а для нормального процесса — и независимыми величинами [39, 61]. Поэтому двумерное нормальное распределение Р(0,х,р) допустимо разбить на произведение двух одномерных распределений (60). Правда, можно подумать,
что для микрочастицы между скоростью и координатой все-таки существует какая-то корреляция или, скорее, антикорреляция. Однако и в таком случае путем поворота осей х и р (т.е. путем выбора подходящей инерциальной системы отсчета) двумерное нормальное распределение всегда сводится [62] к произведению двух одномерных нормальных распределений.
Итак, начальное распределение (66) — самое общее распределение в фазовом пространстве для свободной микрочастицы. Но мы еще не применяли соотношение (12), которое и позволяет ввести постоянную Планка Н в уравнения полной квантовой механики (ПКМ). Для свободной микрочастицы вместо (12) достаточно использовать соотношение неопределенностей Гейзенберга [63], которое устанавливает связь между дисперсиями обоих нормальных распределений в (66):
(Дро)2 = т2 (Д«0)2 = ^
4(Д*0 У
(67)
Наконец, переходя от (66) к полному решению (65) с помощью (64) получаем искомую плотность вероятности в фазовом пространстве
Р(г,х,р) = ги(1;,х)р^,х,р),
(68)
где
х)
ехр
(х—хр—урЬ)2 ' 2(<г2 + д2<2)
л/2п(а2 + АЧ2)
1/2'
р(г,х,р)
\/2^Д
ехр
[Р ~ т-)
2Д2
Прямым интегрированием определяем из (68)-(70):
+ оо
дв 1 [
-^~ = {Р)= и \ / РР(*>Х>Р)<1Р =т дх гу(4, х) J
Уо<72 + (х — х0) A2t о2 + АН2 '
(69)
(70)
(71)
+оо
= —-г / xP(t,x,p)dx =х0 + vot,
(72)
что подтверждает правильность выбора (61), (62).
Если подставить (при д = А = 0) функции (69) и (71) в левую часть уравнения (5), получим производную по времени от фазы 5
та2 А2 (х - х0)2 (а2 А2 - АН2) - (х - х0) а2 АЧ - у0а4 + у0а2АЧ2
& ~ а2 + ДЧ2
+ т
2 (а2 + АЧ2У
(73)
Интегрирование функции (73) дает квантово-механическую фазу для свободной частицы:
2г>о (х - х0) а2 - + (х - х0)2 АЧ И (А
т-
2 (<т2 + АЧ2)
- arctg
(74) 43
где (см. (67))
П
= (76)
т
По формуле (3)
х) = уЯ^Уехр (77)
из (69), (72), (74), (75) конструируем волновую функцию
/ <7 \1/2 / „, 9 (х - х0 - 2га2ко) . , ч
^ = еХР ° ~ + ; ' (?8)
которая точно совпадает с волновой функцией (15) из работы [64], полученной в результате решения уравнения Шредингера для свободной частицы (д = 0)
^+=-дхф- (79)
Таким образом, из функции распределения (68)-(70) в фазовом пространстве вытекает волновая функция (78), т.е. вся квантовая механика свободной частицы. Решить КТУ (60) для частицы в постоянном внешнем поле пока не удалось. Но и решение уравнения Шредингера (79) для случая д ф 0, представленное в [65], ошибочно: полученная в этой работе формула (8) для фазы 5 не переходит в нашу формулу (74) при д = 0, а потому волновая функция (77), сконструированная в [65] из плотности вероятности ю и фазы 5, не удовлетворяет уравнению (79).
Формула (71) позволяет найти интенсивность скачков (14) в ККУ (13), соответствующем КТУ (63):
г .»у. О- 2(»'7 - 2 (УЧА*.)')'« , т
1 + (£)2£2 1 + (й/2 т(Дхо)2)2^2 Из (80) выводим среднее время между двумя скачками
<М = (81)
Далее, из плотности вероятности (68)-(70) с учетом формулы (71) вычисляем математическое ожидание квадрата скорости
(и2) = (Дг»о)2 + {у)2 = ^ + (V)2. (82)
4 т (Дхо)
2'
Отсюда для дисперсии амплитуды скачков (16) в пространстве конфигураций следует
П2
т2 (Дхо)2
Я2 {А} 3 4 ((, - (,))2) = 4 (>2) - (V)2) = (83)
Наконец, из дисперсии (83) получаем среднеквадратичный разброс амплитуд скачков
(84)
В теории броуновского движения [40] среднеквадратичная случайная скорость частицы массы т равна
где к — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура термостата. Приравнивая правые части (84) и (85), получим кажущуюся температуру Т «субквантового термостата», вызывающего случайное движение квантово-механической частицы с интенсивностью (80) и средней амплитудой (84):
Обсуждение: начало конца копенгагенской интерпретации. Из п. 2 видно, что все известные в СКМ волновые уравнения (2), (17), (32), (48) являются следствием более общих (суб)квантовых транспортных уравнений (7), (23), (36) и (54) соответственно для обычной (классической) плотности вероятности Р. В свою очередь, (суб)квантовые транспортные уравнения — это следствие более общих (суб)квантовых кинетических уравнений (13), (28), (38) и (56) соответственно, имеющих структуру немарковских («недиффузионизируемых») уравнений Колмогорова—Гихмана—Скоро-
хода [42]. Набор уравнений (7), (23), (36), (54), (13), (28), (38), (56) образует фундамент
Естественно возникает вопрос, может ли ПКМ дать новые экспериментально проверяемые предсказания, отличные от предсказаний СКМ? Не только может, но даже обязана, ибо ПКМ является метатеорией для СКМ. Где же следует искать такую новизну? Для этого проследим за формализмом извлечения уравнений СКМ из уравнений ПКМ на примере нерелятивистской бесспиновой частицы. В этом случае субквантовые уравнения (7) и (13) записываются для плотности вероятности Р(р,х,£) в фазовом пространстве. Как и положено в стандартной (колмогоровской) теории случайных процессов [39, 42-44, 62], сама плотность вероятности Р(р,х,£) есть экспериментально ненаблюдаемая величина, а измерениям поддаются только моменты: нулевой (9), три первых (10), второй (р2), третьи моменты г,г) = ((р* - (р»))(р^ - <Р7-))(Рк - (Рк))), четвертые моменты и так до бесконечности. Бесконечная цепочка зацепляющихся дифференциальных уравнений для всех моментов эквивалентна по информационной емкости одному нелинейному интегродифференциальному КТУ (7) или ККУ (13). Чтобы получить в явном виде теоретический закон для временной эволюции моментов, необходимо проинтегрировать бесконечную цепочку уравнений для моментов. Для этого следует поступиться строгостью и на каком-то п-м моменте оборвать вышеуказанную цепочку, аппроксимировав (п + 1)-й момент алгебраической комбинацией предыдущих п моментов. Такая процедура обычна и в теории интегрирования иерархии уравнений ББГКИ [41], и при выводе дифференциальных уравнений переноса из интегродиффе-ренциального кинетического уравнения Больцмана [40]. Например, в 5-моментном приближении Греда из уравнения Больцмана выводят 5 уравнений: одно —для нулевого момента, следующие три — для трех компонент скорости и пятое уравнение — для температуры [40]. В 13-моментном приближении Греда дополнительные восемь уравнений
(85)
8кт (Даго)2
(86)
ПКМ.
описывают вязкость и теплопроводность газа. Разработано и 20-моментное приближение [40].
С точки зрения теории случайных процессов уравнение Больцмана и вытекающие из него уравнения переноса — эти уравнения для марковских (диффузионных) процессов. А субквантовые уравнения (7) и (13) описывают чисто разрывный «недиффузио-низируемый» случайный процесс. Но математическая процедура обрыва бесконечной цепочки уравнений для моментов в обоих случаях одинакова. Теперь понятно, что, записывая соотношения (9)—(12), мы ограничились только тремя первыми моментами: нулевым моментом (9), тремя первыми моментами (10) (или (11)) и вторым моментом (р2), а цепочку уравнений оборвали на пятом уравнении, выразив (р2) через нулевой и три первых момента по формуле (12). Кстати, именно при этой процедуре в теории появилась постоянная Планка (/3 = К/2т в (12)). В результате от всей бесконечной цепочки уравнений для всех моментов остались два уравнения (4), (5) для нулевого (9) и трех первых моментов (11). А уравнения (4), (5) уже полностью эквивалентны двум линейным сопряженным уравнениям Шредингера (2).
Согласно теории случайных процессов [39, 62] для исчерпывающей характеристики нормального процесса достаточно задать два его первых момента. Следовательно, два сопряженных уравнения Шредингера (2)—это простейшее линейное приближение для немарковского процесса, описываемого субквантовыми уравнениями (7) или (13), когда случайный процесс Р(р,х,£) оказывается нормальным, т.е. для его исчерпывающего описания достаточно двух первых моментов. Теперь понятно, где следует искать экспериментально проверяемые предсказания ПКМ, отличные от предсказаний СКМ, — искать их следует в таких экспериментальных ситуациях, в которых линейное приближение становится незаконным.
А есть ли какие-нибудь намеки на существование какого-то круга физических явлений, где СКМ перестает работать и требуется, если не использование полномасштабной ПКМ, то хотя бы введение первых нелинейных поправок? Да, это все те явления, для описания которых последние 40 лет предлагалось модифицировать СКМ путем введения либо квантового пространства—времени [66, 67], либо фундаментальной длины [68-70], либо нелокального поля [67, 71), либо нелинейного поля [71-73]. Все указанные попытки фактически делались «вслепую», без четкого руководящего критерия. Последнее, по-видимому, не очень бросалось в глаза, поскольку сама СКМ носит рецептурный характер —в ней уравнения движения получаются из классической функции Гамильтона путем замены ее переменных на подходящие операторы. В духе этого рецептурного метода можно миллионом способов математически «обобщить» волновые уравнения СКМ, добавив туда тот или иной нелинейный член или группу таких членов. Но теперь ясно, что с физической точки зрения оправданными являются только такие обобщения, которые лежат в рамках ПКМ. Например, любая попытка нелинейного обобщения уравнения Шредингера означает, что вместо приближения (12) используется более точная аппроксимация второго момента (р2) через другие моменты. Для этого, как минимум, в новую аппроксимацию помимо постоянной Планка Н, должна войти еще одна фундаментальная постоянная, скажем фундаментальная длина /0 [68]. Либо постоянная Планка должна стать комбинацией других более фундаментальных постоянных, к примеру (Н/2тт) = г0А, где г0 — фундаментальная длина, А —фундаментальный импульс [70]. Более строгим является подход, в котором вообще отказываются от аппроксимации второго момента (р2) другими моментами, а вместо этого «честно» рассматривают пять уравнений для трех первых моментов. Но в таком случае обратное преобразование (.3) уже не позволит получить какое-либо волновое уравнение, даже
с нелинейными добавками, т.е. наступит полный отход от СКМ. Постоянная Планка при этом обязательно пополнится иными фундаментальными постоянными или даже исчезнет, превратившись в комбинацию других более фундаментальных постоянных. Еще больший отходит СКМ наступит, если перейти к 10-, к 13-моментному приближению и т. д.
ПКМ целиком включает в себя математический аппарат СКМ. Хотя ПКМ и основана на теории немарковских случайных процессов, она является ветвью обычной (классической) теории вероятностей, а потому теория квантовых измерений [74] трактуется в ПКМ на языке теории фильтрации [75] и выделения сигнала на фоне шумов [14, 16]. Таким образом, вопреки опасениям адептов копенгагенской интерпретации СКМ, никакой «коренной ломки» [18] СКМ и ее математического аппарата создание ПКМ не влечет (естественно, в том круге явлений, где достаточна аппроксимация (12) или (27), т.е. в теорию не вводятся никакие фундаментальные постоянные, кроме постоянной Планка). Более того, волновые уравнения (2), (17), (32), (48), как линейные дифференциальные уравнения, более удобны для решения задач на собственные значения (а это главнейшая задача для современной физики), чем нелинейные интегродифферен-циальные (суб)квантовые транспортные уравнения (7), (23), (36), (54). В том круге явлений, где законна линейная аппроксимация ПКМ нормальными процессами, т. е. уравнениями СКМ, математический аппарат СКМ полностью сохраняется, и в этом круге явлений ПКМ не дает предсказаний, экспериментально отличимых от предсказаний СКМ, в смысле «прямых измерений», (Хотя ПКМ допускает еще и «косвенные измерения», по Мандельштаму—Блохинцеву [67].) Но создание ПКМ, т.е. включение квантовой механики в стандартную (колмогоровскую) теорию случайных процессов, означает конец копенгагенской интерпретации СКМ и прочей идеологической позитивистской «шелухи», которой обросла квантовая теория.
Прежде всего становится ненужным «принцип дополнительности», который Н. Бор придумал для объяснения тех сторон поведения квантовых объектов, которые на самом деле являются проявлением немарковского характера их поведения. Например, из формул (81) и (84) видно, что интенсивность и амплитуда квантовых блужданий оказываются тем выше, чем в более узкий пространственный диапазон (хо) оказалась «зажатой» микрочастица под действием внешних полей или других частиц, независимо от того, имеют ли эти поля и другие частицы естественное происхождение, или они организованы экспериментатором. К примеру, если внешние силы локализуют электрон в линейной области (хо) = 5,3 • Ю-9 см (радиус первой боровской орбиты в атоме Н [76]), то среднее время между толчками со стороны «термостата», согласно (81), будет составлять 4,8- Ю-17 с, средняя интенсивность толчков, согласно (86), будет соответствовать температуре 124000 К = 11,3 эВ, а средняя длина свободного пробега будет равна 1,06 ■ Ю-8 см. Электрон в кулоновском поле протона испытывает немарковские случайные блуждания с вышеуказанными параметрами, независимо от того, находится ли он под наблюдением экспериментатора или нет. Как не по-копенгагенски заметил Р. Фейнман, в атоме водорода электрон можно рассматривать «как свободную частицу, время от времени испытывающую рассеяние на кулоновском потенциале ядра» [77, с. 201]. Причем в отличие от обычного броуновского движения толчки со стороны субквантового термостата направлены не во вне (когда к = — 1 в уравнении Маделунга,—Гейликмана), а внутрь системы (к = +1 в уравнении (5)). Это приводит к тому, что осмотические тензоры для классического броуновского движения и квантово-механического блуждания имеют противоположные знаки («отрицательный коэффициент диффузии» в квантовом блуждании [78]). Именно эти субквантовые толчки с
«антитемпературой» 11,3 эВ (точнее, 13,6 эВ), направленные преимущественно по направлению к протону, держат электрон вблизи ядра в области с диаметром порядка 1,06- Ю-8 см. И чтобы выгнать электрон из области притяжения протона, нужно «разогреть» электрон на АТ = 158000 К = 13,6 эВ, что как раз и составляет потенциал ионизации невозбужденного атома водорода.
Если внешние природные силы или экспериментатор заставят электрон локализоваться в области размером (Дхо) =5,3- Ю-9 см, но рядом не окажется потенциальной ямы глубже 13,6 эВ, электрон только в течение времени порядка (¿1) (см. (81)) будет испытывать случайные толчки с частотой (81) и амплитудой (84). Затем интенсивность скачков начнет падать по закону (80), а неопределенность координаты — возрастать по закону [79, 80]
Дх = у! (Дхо)2 + (Дг>о)2<2 = у/(Ах0)2 + (Ар0/т)2^, (87)
неотличимому от закона расползания пакета вероятностей классической свободной частицы той же массы т. (Квадрат формулы (87), т.е. дисперсия координаты свободной частицы по Мурахверу—Фоку, точно совпадает с дисперсией плотности вероятности (69).)
Следует заметить, что случайные квантовые блуждания микрочастиц с параметрами (80)-(84) и «антитемпературой» (86) не имеют ничего общего со скрытой термодинамикой Л. де Брой-ля [24, 81]. К примеру, в [24] каждой частице массы то сопоставлена температура
= (88)
которая равна 5, 9 • 109 К для электрона, 1,09 • 1013 К для протона, 8, 5 • 1014 К для молекулы бензола и т.д. Очевидно, что (88) является ничем иным, как выражением массы частицы в г радусах Кельвина, и не отражает каких-либо свойств «скрытого термостата», введенного в [24]. А никаких других свойств субквантового термостата в [24, 81-83] не представлено.
Хотя в той области явлений, где законна линейная аппроксимация уравнений ПКМ уравнениями СКМ, предсказания ПКМ и СКМ неразличимы в «прямых измерениях», все-таки ПКМ как метатеория для СКМ позволяет разрешить неустранимые внутренние противоречия последней. Мы не будем здесь останавливаться на тезисе Эйнштейна— Подольского—Розена [12] о неполноте СКМ, поскольку Д. И. Влохинцев [14, 16] уже проводил анализ парадокса ЭПР с позиций, противоположных копёнгагенской трактовке СКМ. Создание ПКМ (см. п. 2) полностью подтверждает правоту Эйнштейна, Подольского и Розена и делает понятным, что суть данного парадокса состоит в доведении до абсурда марковского характера СКМ (аддитивность амплитуд вероятности [84] СКМ, аналогичная аддитивности вероятностей в марковском функциональном уравнении Колмогорова—Чепмена [43, 62]). Выявленное в [12] разложение исходного ансамбля Ф (жх, Ж2) на исключающие друг друга ансамбли (один раз по признаку р\, другой раз по признаку х\) свидетельствует о немарковском поведении микрочастиц, что естественно в исходно немарковской ПКМ, но никак не вытекает из СКМ, носящей марковский характер, точнее марковский характер в гильбертовом пространстве [85, 86]. Хотя при более глубоком анализе [87] эффекты «памяти», т. е. немарковость, обнаруживаются и в рамках аппарата СКМ.
Остановимся подробнее на известных неравенствах Белла, в изучение которых оказались вовлеченными сотни исследователей, и экспериментаторов, и теоретиков. Прежде всего при интерпретации соблюдения или нарушения неравенств Белла [88] отчетливо проявляется непонимание немарковской природы квантово-механического движения. К примеру, выражение неравенств Белла в форме (А) в обзоре [17] есть в точности
выражение марковости квантово-механического процесса в гильбертовом пространстве. Поэтому обнаруженные экспериментально нарушения [17] неравенств Белла означают немарковость поведения квантовых объектов, а не нелокальность «скрытых параметров», коими являются [18] координаты и импульсы микрочастицы в функции распределения Р(р, х, £) в фазовом пространстве. Действительно, лишь немногие авторы четко понимают, что квантовое движение —это немарковский процесс [89, 90]. Большинство же физиков-теоретиков, обнаружив в квантовой механике отсутствие марковской корреляционной функции или марковской переходной вероятности, делают вывод [17, 18, 91] о том, что весь аппарат стандартной (колмогоровской) теории случайных процессов неприменим к квантово-механическому движению. Наиболее прозорливые теоретики [19, 92, 93] пишут о нелокальном характере квантовых объектов, но и они не видят, что это — некорректное описание немарковских свойств квантовых объектов. Так, в [94] доказана теорема о том, что неравенство Белла в его традшщонной форме может быть получено вообщебез гипотезы о локальности, исходя лишь из условия неотрицательности функции распределения вероятностей [94]. Из теоремы Белинского [94] следует непричастность предположения о локальности к нарушениям неравенств Белла, т. е. из нее следует отсутствие в СКМ положительно определенной марковской плотности вероятностей. Поясним это следствие способом, независимым от [94].
Основное свойство марковских процессов состоит в выполнении закона аддитивности переходных вероятностей (функциональное уравнение Колмогорова—Чепмена [43, 44, 95]):
Р(х1,£1|х3,£3) = уР(х1,£1|х2,£2)Р(х2,£2|хз,£з)^х2, (89)
где Р(х„,£п|хт,£т) — условная вероятность того, что случайная величина Х(£) примет значение хТп в момент времени если в момент времени £„ < £т она имела значение хп. Для чисто разрывного процесса функциональное уравнение (89) можно записать в дифференциальной форме (уравнение Колмогорова—Феллера [44, 95]):
^Р (г, Цу, г) = /V (г|х, £) Р (X, £|у, т)-Ш (х|г, £) Р (г, £|у, г)] ¿х, (90)
где И^(х|г, £) = ^Кт^ Р (х, £ + А£|г, £) /Д£ означает вероятность того, что случайная
функция Х(£), принявшая в момент времени £ значение г, в течение промежутка времени г/£ претерпит скачок и примет значение в промежутке [т,,г + ¿г].
Возьмем теперь готовое решение одномерного диффузионного уравнения [39, 43, 96] и подставим в исходную и конечную переходную вероятность уравнения (89):
схо (*ГХ1) £°ехр Г- <ХГХ1 1
-, , г = / -. = Ч-Рх2,£2\х3,г3)(1х2. (91)
(£3-£1) 3 а^Ъг (£2 - £х)
— оо
Уравнение (91) можно рассматривать как уравнение Фредгольма 1-го рода. [96] относительно искомой функции Р(х2,£2|хз,£з). Оказывается [43, 95], что единственным решением уравнения (91) является то же самое решение диффузионного уравнения [39, 43, 96]
Р(Х2,£2 |хз,£З)
(хз—х2)2
2<г'(г3-г2)
ау/2ж (£3 - £2)
обладающее всеми свойствами классической (колмогоровской) вероятности, т. е. изменяющееся в пределах от 0 до 1 и нормированное к единице.
Если попытаться проделать аналогичную процедуру с квантово-механической плотностью вероятности, те, подставить функцию (68) вместо P(z,t|y.т) и Р(х,t jy,г) в уравнении (89), то полученное уравнение Фредгольма удается удовлетворить не положительно определенной функцией W(z|x, t), а лишь знакопеременной функцией (синусоидой, функцией Бесселя и т. п.). Но отсюда вовсе не вытекает, что классическая (кол-могоровская) теория случайных процессов неприменима к квантово-механическому движению, а следует лишь немарковский характер последнего. Действительно, как было показано выше (см. п. 3), плотность вероятности (68), будучи вполне доброкачественной (положительно определенной и нормированной к 1) классической плотностью вероятности, удовлетворяет немарковским уравнениям (7) или (13), но не имеет никакого отношения к марковским уравнениям (89), (90).
Итак, экспериментально обнаруженные Нарушения неравенств Белла [17-19] не доказывают [94] нелокальный характер «скрытых параметров», а подтверждают лишь немарковость квантово-механического движения. Полученная выше в явном виде плотность вероятности (68)-(70) в фазовом пространстве является явной функцией Р(р, х, £) от локальных «скрытых параметров» — координаты х и импульса р. И теорема фон Неймана [97] не помеха существованию функции (68)-(70): во-первых, потому что последняя получена не в рамках СКМ, а в рамках ее метатеории —ПКМ, во-вторых, потому что в доказательстве фон Неймана [97] обнаружен логический пробел [98[.
Автор благодарит С. И. Свертилова и Б. Э. Дзевицкого за плодотворные дискуссии. Summary
Skorobogatov G.A. Complété quantum mechanics.
Ail known quantum wave équation, e.g. Schroedinger eq., Klein—Fock—Gordon eq., Pauli eq., and Dirac eq. are generalized up to corresponding (sub)quatum transport équations. Latters are among the non-Markovian stochastic équations for classical (non-negative) probability density. Thus a complété quantum mechanics is created and Copenhaven interprétation may be rejected.
Литература
1. Клини С.К. Введение в метаматематику / Пер. с англ.; Под ред. В.А.Успенского. М., 1957. 2. Френкель А.А., Бар-Хпллел И. Основания теории множеств / Пер. с англ.; Под ред. А. С. Есенина-Вольпина. М., 1966. 3. Синг Дж.Л. Классическая динамика / Пер. с англ. Л. С. Полака. М., 1963. 4. Макки Дж. Лекции по математическим основам квантовой механики / Пер. с англ.; Под ред. А. А. Кириллова. М., 1965. 5. Дирак П.А.М. Прииципы квантовой механики / Пер. с англ.; Под ред. В.А.Фока. М., 1960. 6. Дишкант Г.П. О формализации физических теорий. Днепропетровск, 1968. 7. Шиханович Ю.А. Введение в современную математику. М., 1965. 8. Синай Я.Г. // Природа. 1981. №3. С. 72-80. 9. Чириков Б.В. // Природа. 1982. №7. С. 15-25. 10. Кадомцев Б.Б., Рязанов А.И. // Природа. 1983. №. С. 2-11. 11. Заславский Г.М., Сагдеев Р.А. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М., 1988. 12. Эйнштейн А., Подольский Б., Розен Н. // Эйнштейн А. Собр. научи, трудов. М., 1966. Т. 3. С. 604-611. 13. Яноши Л. / j Вопросы причинности в квантовой механике: Сб. переводов / Под ред. Я. П. Терлецкого, А.А.Гусева. М., 1955. С. 289-333. 14. Блохин-цев Д.И. Принципиальные вопросы квантовой механики. М., 1966. 15. Андраде э Силва Ж., Лошак Ж. Поля, частицы, кванты / Пер. с фр.; Под ред. А. С. Компанейца. М., 1972. 16. Бло-хинцев Д.И. Квантовая механика. Лекции по избранным вопросам. М., 1988. 17. Гриб А.А. // Успехи физ. паук. 1984. Т. 142, вып. 4. С. 619-634. 18. Ахиезер А.И., Половин Р.В. // Успехи физ. наук. 1972. Т. 107, вып. 3. С. 463-487. 19. Спасский Б.П., Московский А.В. //
Успехи физ. наук. 1984. Т. 142, вып. 4. С. 599-617. 20. G о del К. // Monatsh. Math. Ph. 1931. Vol. 38. P. 173-198. 21. Böhm D. // Phys. Rev. 1952. Vol. 85. P. 166-179. 22. Fenyes I. // Zs. fur Physik. 1952. Bd 132, N 1. S. 81-106. 23. Мойэл Дж. // Вопросы причинности в квантовой механике: Сб. переводов / Под ред. Я. П. Терлецкого, А А.Гусева. М., 1955. С. 208-343 24. de Broglie L. // Ann. Inst. Henri Poincare. 1968. T. 9, N 2. P. 89-108. 25. Тмпкин A.A. // Философские вопросы квантовой физики / Под ред. М. Э. Омельяновского. М., 1970. С. 139-180. 26. Vigier J.Р. // J. Phys. (India). 1985. Vol. 25, N 4. P. 397-418. 27. Скоробогагпов Г.А. jj Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1999. Вып. 4 (№25). С. 66-78. 28. Скоробогагпов Г.А., Свертилов С.И. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия, 2000. Вып. 4 (№28). С. 13-34. 29. Скоробогатов Г.А., Свертилов С.И. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия, 2001. Вып. 4 (№25). С. 53-68. 30. Skorobogatov G.A., Svertilov S.I. // Intern. J. Theor. Physics, Group Theory & Nonlinear Optics. 2002. Vol. 8, N 4. P. 367-397. 31. Skorobogatov G.A. // Intern. J. Quant. Chem. 2002. Vol. 88, N 5. P. 614-623. 32. Фок В.А. Начала квантовой мехмшки. M., 1976. 33. Madelung E. // Zs. fur Physik. 1926. Bd 40, N 3/4. S. 322-326. 34. Гейлтc-ман Б. T. //' ЖурН. экспер. и теор. физики. 1947. Т. 17, №9. С. 830-832. 35. Скоробогатов Г. А. И Журн. физ. химии. 1987. Т. 61, №4. С. 984-989. 36. Chandrasekhar S. // Rev. Mod. Phys. 1943. Vol. 15, N 1. P. 1-89. 37. Skorobogatov G.A., Svertilov S.I. // Phys. Rev. (A). 1998. Vol. 58, N 5. P. 3426-3432. 38. Скоробогатов Г.А., Свертилов С.И. // Ядерная физика. 1999. Т. 62, №2. С. 285-290. 39. Свешников A.A. Прикладные методы теории случайных функций. М.,
1968. 40. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов. М., 1971. 41. Гуров К.П. Основания кинетической теории (метод Боголюбова). М., 1966. 42. Гихман И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев, 1968. 43. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения / Пер. с англ.; Под ред. А.Н.Ширяева. М.,
1969. 44. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках / Пер. с англ.; Под ред. Р. Л.Стратоновича. М., 1986. 45. Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля / Пер. с англ.; Под ред. Я. А. Смородинского. М., 1963. 46. Janossy L., Ziegler-Naray M. // Acta Physica (Acad. Sei. Hung.). 1964. Vol. 16, N 4. P. 345-353. 47. Takabayasi T. // Progr. Theor. Phys. 1952. Vol. 8, N 2. P. 143-182. 48. Goto K. // Progr. Theor. Phys. 1958. Vol. 20, N 1. P. 1-14. 49. Dudynski M. 11 J. Stat. Phys. 1989. Vol. 57, N 1/2. P. 199-245. 50. Böhm D., Schiller R., Tiommo J. //II Nuovo Cimento. 1955. Suppl. Vol. 1. Ser. X, N 1. P. 48-66. 51. Janossy /,., Ziegler-Naray M. // Acta Physica Hung. 1966. Vol. 20. P. 233-251. 52. Huszar M., Ziegler-Naray M. 11 Acta Physica Acad. Sei. Hung. 1969. Vol. 26, N 3. P. 223-237. 53. Желнорович В.А. Теория спиноров и ее применения в физике и механике. М., 1982. 54. Razavy M. // Can. J. Phys. 1978. Vol. 56, N 3. P. 311-320. 55. Takabayasi T. // Progr. Theor. Phys. 1955. Vol. 13. P. 222-224. 56. Takabayasi T. II Phys. Rev. 1956. Vol. 102. P. 297-298. 57. Takabayasi T. // Progr. Theor. Phys. (Suppl.). 1957. Vol. 4. P. 1-80. 58. Желнорович В.А. Модели материальных сплошных сред, обладаюпщх внутренним электромагнитным и механическим моментом. М., 1980. 59. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Л., 1955. 60. Бочвар Д.А., Станкевич Н.В., Чистяков А.Л. // Докл. АН СССР. 1963. Т. 149, №1. С. 68-71. 61. Леей П. Стохастические процессы и броуновское движение / Пер. с фр.; Под ред. Н.Н.Ченцова. М., 1972. 62. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М., 1961. 63. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М., 1976. 64. Blinder S.M. // Amer. J. Phys. 1968. Vol. 36, N 6. P. 525-526. 65. Vandegrift G. // Amer. J. Phys. 2000. Vol. 68, N 6. P. 575-576. 66. Вялъцев A.H. Дискретное пространство-время. M., 1965. 67. Блохинцев Д.И. Пространство и время в микромире. М., 1970. 68. Pavlopoulos T.G. // Phys. Rev. 1967. Vol. 159, N 5. P. 1106-1110. 69. Кадышев-ckuü В.Г., Матеев М.Д., Мир-Касимов P.M. Масштабные преобразования и фундаментальная длина: Препринт Объед. ин-та ядерных исследований, №Р2-8877. Дубна, 1975. 12 с. 70. Фомин П.И. //Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1976. Т. 7, вып. 3. С. 687-725. 71. Блохинцев Д.И. // Успехи физ. наук. 1957. Т. 61, вып. 2. С. 137-159. 72. Нелинейная квантовая теория поля / Под ред. Л. Д. Иваненко. М., 1959. 73. Гейзенберг В. Введение в единую полевую теорию элементарных частиц / Пер. с англ.; Под ред. Л. Д. Иваненко. M., 19G8. 74. Прохоров Л.В. II Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1968. Вып. 4 (№22).
С. 29-35. 75. Герценгитейн М.Е., Волошин И.А. // Зарубежная радиоэлектроника. 1996. №4. С. 67-74. 76. Бете Г., Солпитера Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами / Пер. с англ.; Под ред. Я. А. Смородинского. М., 1960. 77. Фейнман Р. Квантовая электродинамика / Пер. с англ.; Под ред. В.П.Силина. М., 1964. 78. Garbaczewski Р. // Phys. Lett. ¡ (А). 1992. Vol. 162, N 2. P. 129-136. 79. Мурахвер Ю.Е. // Докл. АН СССР. 1965. Т. 165, №3. С. 526-529. 80. Фок В.А. Квантовая физика и строение материи. J1., 1965. 81. And.ra.de е Silva J., Vassalo Pereira J. // Intern. J. Theor. Phys. 1970. Vol. 3, N 1. P. 67-76. 82. de Broglie L. // Compt. Rend. 1962. T. 255. P. 807-809. 83. de Broglie L. // Ibid. P. 1052-1054. 84. Фейн- j мап P., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям / Пер. с англ.; Под ред. В. С. Барашенкова. М., 1968. 85. Garczynski W. // Bull. Tacad. Polon. sei. Ser. math., astr., phys. ; 1969. Vol. 17, N 4. P.251-256. 86. Garczynski W. // Ibid. P. 257-261. 87. Wassef W.A. // Can. J. ! Phys. 1989. Vol. 67, N 5. P. 493-496. 88. Wigner E.P. // Amer. J. Phys. 1970. Vol. 38, N 8. P. 1005- j 1009. 89. Gillespie D.T. // Phys. Rev. (A). 1994. Vol. 49, N 3. P. 1607-1612. 90. Gillespie D.T. 11 Phys. Rev. (A). 1997. Vol. 56, N 4. P. 3304-3306. 91. Grabert H., Hänggi P., Talkner P. // Phys. Rev. (A). 1979. Vol. 19, N 6. P. 2440-2444. 92. Rastall P. // II Nuovo Cimento (В). 1981. Vol. 62, N 1. P. 175-189. 93. Zambrini J.C. // Phys. Rev. (A). 1986. Vol. 33, N 3. P. 1532-1548. 94. Белинский A.B. // Успехи физ. наук. 1994. T. 164, №2. С. 231-234. 95. Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков. М., 1974. 96. Смирнов В.И. Курс высшей математи- \ ки: В 5 т. М., 1957. Т. 4. 97. Фон Нейман И. Математические основы квантовой механики / Пер. с англ.; Под ред. Н.Н.Боголюбова. М., 1964. 98. Schulz G. // Ann. f. Physik. 1959. Bd 3, N 1/2. S. 94-104.
Статья поступила в редакцию 15 апреля 2002 г.
