CC BY
54
АВТОМОДУЛЯЦИЯ ОДНОМЕРНЫХ ВОЛН НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА С НЕКЕРРОВСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Иван Васильевич Алименков (доцент кафедры прикладной математики, e-mail: i-alimenkov@mail.ru) Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева
Аннотация
Показано, что нелинейное уравнение Шредингера с некерровской нелинейностью имеет решение в виде локализованного импульса, движущегося с постоянной скоростью без дисперсионного уширения. Данное решение найдено прямым методом, основанном на теории гамильтоновых систем, и содержит в себе, как частный случай, известное решение кубичного нелинейного уравнения Шредингера.
Ключевые слова: нелинейное уравнение Шредингера, нелинейность пятой степени, теория гамильтоновых систем, канонические преобразования, уравнение Гамильтона-Якоби, солитонные решения для степенной нелинейности.
Введение
Перечень физических приложений стандартного нелинейного уравнения Шредингера (НУШ)
idyl dt + Э 2yl dx2 + 2h\y\ \ = 0, описывающего в
общем случае эволюцию огибающей несущей квазимонохроматической волны в слабо нелинейной системе, и связанных с ним нелинейных уравнений в настоящее время чрезвычайно обширен, и вряд ли можно сомневаться в их физической значимости. Нелинейный кубический член \\\ в
различных физических моделях, описываемых этим уравнением, возникает обычно из степенно -
го разложения некоторой физической величины
2
nNL, зависящей от интенсивности I = y\ . Это разложение имеет вид:
n
(I) = n21 + n412 +.... = n 2\y" + n 4\y\4 +....
2
NL *
К примеру, в нелинейной оптике пщ^ - нелинейная часть показателя преломления п = п0 + пЩц. Стандартный безразмерный вид НУШ, приведенный выше, записан при учете наинизшего члена разло-
При этом коэффициент
жения n
■■n 21 = П2 \У
нелинейности г пропорционален п2 .
Функция нелинейного отклика системы яж(7) на внешнее воздействие несущей квазимонохро -матической волны в общем случае имеет сложный вид, определяемый конкретным физическим механизмом взаимодействия системы с полем несущей волны. Для нахождения явного вида яж(/) часто требуется квантовомеханический расчет, не позволяющий определить аналитическую зависимость функции отклика от интенсивности в широ -ком диапазоне. Функция отклика должна обладать двумя очевидными свойствами, а именно: обращаться в ноль при I = 0 и выходить на насыщение при I >>1. Степенное разложение, указанное выше, применимо при малых значениях интенсивно -сти, но даже в этом случае, если ось I является правой касательной к графику функции пж (I) в
нуле, то разложение начинается только с члена n412 = n4\y 4 , что приводит к НУШ
idyl dt +d 2yl dx 2 + 2r\\ \ = 0
с нелинейностью пятой степени.
Чтобы включить в решение и керровскую нелинейность третьей степени, рассмотрим более общее уравнение
idyldt + d2yldx2 + 2Гу\ \ = 0.
(1)
При V = 1 уравнение (1) очень хорошо изучено [1] и его решение имеет вид
ехр {[их/2 + (и2-ь2)/4 + ]}
y = A-
ch — (x - x0 - ut)
где и = 2А^. Здесь А,ь,х0,^0- свободные параметры.
Основной формализм Целью данной работы является решение уравнения (1) при произвольном V > 0 (не обязательно целом) прямым методом, основанном на теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка и теории гамильтоновых систем. Подстановка полевой функции у вида
у = Лехр{(хь/2 -1д + ф0)}, (2)
где ь,3,ф0 - свободные параметры, в (1) приводит после отделения мнимой и вещественной частей к двум уравнениям
Ы Ы п
+ ь = 0, (3)
от ах
2IЦ - {^ I = a 212 - 8hV+2. dx2 I dx J '
где
= u2 - 4d
(4)
(5)
Уравнение (3) является линейным однородным уравнением первого порядка с детально разработан-
2
a
2009
Компьютерная оптика, том 33, №3
ной теорией [2]. Как известно из теории таких уравнений, общим решением (3) является любая дифференцируемая функция I = и(«(х, /)}, где s(x,/) - левая часть первого интеграла уравнения характеристик, имеющая, как легко проверить, вид
5 = X — Х0 .
Подстановка I = и(«) в (4) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка
......~ (6)
преобразование
2u(s)u '(s) — u' 2(s) = a 2 u 2(s) — 8ruv+2(s)
Упрощающее масштабное
( 2 A a
1/v
f(t), t = as приводит (6) к виду
2f f — f 2 = f 2 — 8f v+2,
(7)
где / = 4/(г)/4г.
Как легко проверить, (7) следует из нормальной системы гамильтоновых уравнений
/ = дН / др/, р/ = —дН / д/ с функцией Гамильтона
H = — f|1 — 2pf I + fv+1/(v +1).
(8)
Решение уравнения (7) можно провести с помощью канонических преобразований и теории Га-мильтона-Якоби. Как следует из теоремы Якоби-Пуанкаре, если существует принадлежащая классу
С2 функция £(/, р, г), такая, что д 2 £ / д/др\ Ф 0, то преобразование (/, р/) « (д, р), генерируемое этой функцией: р/ = д£ / д/; д = д£ / др , является
каноническим, а новая функция Гамильтона имеет вид
Н(д, р, г) = Н(/(д, р, г), р/ (д, р, г), г}+
+-д£ (/ (д, р,г), р, г}.
дт
В теории канонических преобразований для двумерного фазового пространства можно исходить из четырех типов производящих функций [3]. Для дальнейших целей наиболее подходящей является функция Е = Я2(р/,д,г). Тогда явный вид преобразований найдется из разрешения уравнений
/■ дЕ дЕ
/=^—; р , (9)
др/ дд
а новая функция Гамильтона
Н(д, р, г) = Н(/(д, р, г), р/ (д, р, г), г}—
дЕ ( ( ) } . (10)
—^(р/д p,т), д,г}
дг
Перейдем от динамической системы {/, р/, Н } к представлению взаимодействия {д, р, Н }с помощью
производящей функции Е = 2дЛггИ4р/ — дг . Из уравнений (9) следует явный вид преобразований:
2 р + г.
f = 8qch 2
1 p + t
pf = — th--
f 4 2
(11)
(12)
а из (10) явный вид функции Гамильтона:
H = М^ ch 2(v+1) E±1 . v +1 2
На заключительном этапе совершим второе преобразование от {q, p, H} к {<2,P, H ° о}, откуда следует, что Q = const; P = const, а производящая функция преобразования F (p, Q,t) удовлетворяет уравнению H(dF / 5p, p,t) = dF / Эг. Теперь соотношения
q = dF / Bp, P = ЭF / Э2 (13)
в неявной форме задают первые интегралы гамиль-тоновой системы
q = ЭH /dp; p =—ЭH /Эq
(14)
Уравнение для производящей функции с учетом (12) имеет вид
(8ЭF / Эp )v+1 ch 2(v+1) Z±T = <F
(15)
п +1 2 дг
Покажем, что частное решение системы (14) для случая нулевых значений произвольных постоянных Q = 0, Р = 0 приводит к солитонному решению исходного уравнения (1). В этом случае производящую функцию можно представить в виде
Е (р, Q/г) = я (р,г) + Qh( р, г), (16)
ограничившись первой степенью по Q, имея в виду, что после составления уравнений (13) следует положить Q = 0, Р = 0 .
Подставляя (16) в (15) и удерживая только члены линейные по Q , находим
8v
v +1
f) + (v +1> (f
Q Э±
Эp
2(v+1)
ch
p + г
= ^g + Q ^
Эг Эг
отсюда следуют два уравнения для g и h:
8V+1 (jg)V+1 ch 2(v+1) p +t Jg v + 1 (Эp) 2 Эг'
8v+1|^gj dhch2(v+1) p + T =M
Э^ | Эp 2 Эг
Полагая g = g(p + г), из (17) находим
Эg (v +1)
1/v
Эp 81+1/v
ch
p + г
—2(1+1/v)
(17)
(18)
(19)
u =
r
2
2
Подстановка этого выражения в (18) приводит к линейному однородному уравнению первого порядка
дк дк
---(п +1)— = 0,
ат ар
простейшее нетривиальное решение которого имеет вид
к = p + (n + 1)t.
Соотношения (13) с учетом (16) дают:
q = *L + Q ^ . dp dp
(20)
P = к .
Полагая здесь Q = P = 0, с учетом (19) и (20), находим:
p = -(n + 1)t,
)1/П
-,1+1/n
q =
П1- (ck(nt/2))-2(1+1/n).
8
Подстановка последних двух формул в (11) дает решение исходной гамильтоновой системы с гамильтонианом (8):
f =
n +1
1/n
[ck(nt /2)]
-2/n .
(21)
pf = - — tk(nt/2)
Подстановка первой из этих формул в уравнение (7) обращает его в тождество.
Из приведенного выше масштабного преобразования и первой формулы (21) получается следующее выражение для интенсивности I :
I =
/ 2 \1/n
a (n +1)
8h
[ck(asn /2)]
l-2/n
Учитывая (5) и вводя обозначение a -= 8^A2v / (n +1), окончательно находим решение (2):
exp <i
y = A-
xu 2
V
A ln2^ n +1
t + <
f
ck
1/n
nAl
2h n +1
(x - x0 - ut)
которое является гладкой функцией, локализованной вдоль направления x(t) = x0 +ut, и представляет собой волновой пакет, движущийся без дисперсионного уширения с постоянной скоростью u. Очевидно, что при v = 1 последняя формула превращается в известное решение НУШ с кубичной нелинейностью [1].
Заключение Таким образом, модуляция нелинейной системой (со степенным по интенсивности откликом на квазигармоническое возмущение) несущей волны в последовательность локализованных импульсов, имеющих форму гиперболического секанса, возведенного в некоторую степень, является общей чертой НУШ с любой положительной степенью нелинейности.
Литература
1. Тахтаджян, Л. А., Гамильтонов подход в теории соли-тонов / Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев // М.: «Наука», 1986. - 528с.
2. Степанов, В.В., Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степанов // М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953. - 468с.
3. Шмутцер, Э., Основные принципы классической механики и классической теории поля / Э. Шмутцер, // М.: Мир, 1976. - 160с.
References
1. Takhtajan L.A., Faddeev L.D. Hamilton approach in theory of solitons. - Moscow: Nauka, 1986, - 528p.
2. Stepanov V.V. Course of differential equations. - Moscow: GITTL, 1953. - 468p.
3. Schmutzer E. Grundprinzipien der klassischen Mechanik und der klassischen Feldtheorie (kanonischer Apparat). - Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1973. - 160p.
4
8
AUTOMODULATION OF ONE-DIMENSIONAL WAVES BASED ON NONLINEAR SCHREDINGGER EQUATION WITH NON-KERR NONLIANERITY
Ivan V. Alimenkov (associatedprofessor, e-mail: i-alimenkov@mail.ru) S.P. Korolyov Samara State Aerospace University
Abstract
It is shown that nonlinear Schredinger equation with non-Kerr nonlinearity has a localized solution moving with constant velocity without dispersion. This solution is found by straight method based on Hamilton systems theory and it contains the well-known solution of cubic nonlinear Schredinger equation.
Key words: nonlinear Schredinger equation, nonlinearity 5Aorder, theory of Hamilton systems, canonical transformations, Hamilton-Jacoby equation, soliton solutions for degree nonlinearity.
В редакцию поступила 28.05.2009г.
