Согласованность SC-ядра и задача о минимальной редукции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8

В. В. Захаров, М. Б. Дементьева

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 4 (№25)

СОГЛАСОВАННОСТЬ SC-ЯДРА И ЗАДАЧА О МИНИМАЛЬНОЙ РЕДУКЦИИ

Введение

При построении принципов оптимальности для динамических кооперативных игр рассматривается вопрос о динамической устойчивости решений. В работах [6,9] построены процедуры регуляризации исходной игры с использованием задержек выплат игрокам при движении вдоль оптимальной траектории. В данной работе рассматриваются способы минимальной редукции игры, которые могут быть положены в основу регуляризации динамической игры. Идея такой регуляризации состоит в том, что при потере динамической устойчивости из игры выводится некоторая коалиция, игроки которой получают выигрыш, согласованный в начале игры. Оставшиеся игроки участвуют в редуцированной игре, продолжая реализовывать первоначально принятый план действий.

1. Согласованность й'С-ядра

Пусть (N, v) — кооперативная игра n лиц с трансферабельной полезностью (ТП-игра); здесь N — конечное множество игроков, v : 2N ^ R+ — характеристическая функция игры, v($) = 0.

Одним из свойств, характеризующих решения кооперативных игр, является свойство редуцированной игры, или согласованности (consistency), связывающее между собой решение исходной кооперативной игры и редуцированной игры, получающейся из исходной при выходе некоторой коалиции. Выигрыши уходящих игроков определяются согласно выбранному правилу редукции.

Определение 1. Решение M называется согласованным, если для любого £ G M(N, v) верно £n\r G M(N \ R, vR). Здесь (N \ R, vR) — редуцированная игра.

М. Дэвис и М. Машлер [3] предложили следующее правило редукции: пусть заданы ТП-игра (N, v), коалиция R С N, R = N, покидающая игру, и некоторый вектор выплат £ G RN, тогда игра (N \ R,vR) находится по формуле

Известно, что С-ядро согласовано относительно редукции по Дэвису—Машлеру [5].

Рассмотрим следующую задачу линейного программирования для кооперативной игры

S =

(1)

min^3

min

(2)

ieN

при условии £ £i > v(S), VS С N, S = N.

(З)

ies

Обозначим через X0(N,v) множество решений задачи (2), (3).

© В.В.Захаров, М.Б.Дементьева, 2003

SC(v, £0) = < £ = (£1,...,£n) | £i > £°,J2£i = v(N) \

I i£N )

называется SC-ядром кооперативной игры (N, v) относительно точки £0 G X0(N, v), а X 0(N,v) — основанием SC-ядра. Большим SC -ядром ТП-игры (N,v) называется объединение всех SC -ядер этой игры.

SC-ядро (subcore) и большое SC-ядро (grand subcore) были впервые введены в [7] и подробно исследованы в [1], [10], [11], где была, в частности, показана эквивалентность условий сбалансированности кооперативной игры и непустоты ее большого SC-ядра.

В данной работе рассматривается модификация редуцированной игры Дэвиса-Машлера. В МДМ-редукции [8] при вычислении характеристической функции новой игры для собственных коалиций S С N \ R значения £i, i G R, заменяются на соответствующие компоненты £0 вектора из основания SC-ядра £0 G X0(N, v). Тогда формула (1) принимает вид

( 0, S = %,

vRo (■) = vRo (S,£r) = I v(N) - J2iER £i, S = N \ R, (4)

[ maxTv(S U T) -J2iET £°} , в ост. случаях.

Перепишем задачу (2), (3) для МДМ-редуцированной игры:

min xi, (5)

ieN\R

ST.. ^ vR

ies

xi > vRo (S, £r), VS С N \ R,S = N \ R. (6)

Сформулируем условие, при котором ЙС-ядро согласовано относительно МДМ-редукции.

Теорема 3. Если для решения гр задачи (5), (6) выполняется условие

£ П0 > \ Я), (7)

\Я

то множество SC(v,£0) кооперативной игры (N,v) согласовано относительно МДМ-

vR v£<o

редуцированной игры (N \ R, vRo (■)).

Доказательство этой теоремы проведем при помощи двух предварительных утверждений.

Сужением хз вектора х Є на множество $ С N будем называть вектор у Є К5, составленный из элементов х^, і Є $.

Лемма 4. Если для £° Є X°^,у) выполняется условие (7), то (£°)N\я Є

х0N \ (■)).

Доказательство. Предположим, что лемма не верна. Пусть —начальная

кооперативная ТП-игра, N \ (■)) - МДМ-редуцированная игра, £ Є БС(ь,£0).

Допустим, что вектор п° = £%\я не является решением ЗЛП (5), (6). Это значит, что либо п° не удовлетворяет системе неравенств (6), либо не минимизирует сумму (5). При этом легко видеть, что так как для любой собственной коалиции Й С М\Я и произвольной коалиции Т С Я верно > у(Й и Т) -£гет е°, то

0

іЄЗ

£0 > ит) -Е£0) •

- І ІеТ )

Следовательно,

Еп 0 > ^*($ и т) -^ £0 •

ІЄБ - І ІеТ )

Таким образом мы приходим к выводу, что вектор п0, определенный выше, допустим в ЗЛП (5), (6). Следовательно, осталось показать, что он минимизирует сумму (5). Если это не так, то существует вектор гр, который является решением задачи (5), (6), причем

Е ^< Е 'Пі-

ІЄМ\К ІЄМ\К

Рассмотрим вектор, составленный из гр и следующим образом: £° = £д). Для

любой собственной коалиции Й С N\Я редуцированной игры и произвольной Т С Я

Е-°

ІЄЗ

п0 > т-к {у($и т) - Е£01

следовательно,

Е ?°>^ит).

геяит

Учитывая условие (7), можем написать

£$>«(£), га с м, й^м.

гея

Таким образом, вектор £ является допустимым в ЗЛП (2), (3). Однако, очевидно, что

Е®едг£® < Е*елгС°- ^Т0 противоречит исходному предположению, ЧТО £° €

Лемма доказана.

Лемма 5. При выполнении условия (7) из сбалансированности начальной игры ^,у)

пк

следует сбалансированность МДМ-редуцированной игры N \ (■)), £ Є $С(ґи,£°).

Доказательство. Сбалансированность игры ^,у) означает, что для любого £0 Є х°^,У) верно £ІеМ£0 < ). Для доказательства достаточно показать, что

Еіє№\я£0 < ^) - Езек£з (см. лемму 4).

Представим т. зек £з в виде Е зек £з = Т^зек (£°3 + аз ) -Е ІЄМ £ії), где

Езек аз Є [0,1]. Если У~]зек а з = 1, то требуемое очевидно верно. В случае

Езек аз = 1 мы имеем эквивалентные неравенства

Е £0 <^) - ££0 -Цаз ( ^£0 ) ^

30

£0 £з

Іем\к зек зек \ ієм

^ Е £г - )(1 - Е а) - Е£° + Е а' Е£0 ^

геЩЯ ]еП ]еП ]еП геЫ

^ Е £0 - Е а • Е £0 - ^ )(1 - е а) ^ Е £0 - ^).

гем зек гем $ея гем

Лемма доказана.

Доказательство теоремы 3. Пусть заданы исходная игра ^,у), вектора £0 €

X°№,у), £ € ЙС(у,£0) и МДМ-редукция N\Я,уЯ (•)). Необходимо показать, что

для любых заданных таким образом £0 и £ верно £м\я € ЙС(у*0 (•)£\я). Так как в условиях теоремы МДМ-редуцированная игра сбалансирована (см. Лемму 5), то ОЙСN\Я,уЯ (•)) = 0. Далее, из Леммы 4 следует, что гр = £0\я € X0N\Я,у^о (•)), а это означает, что вектор ц € ЙС(уЯ (•),П0). Теорема доказана.

2. Задача о минимальной редукции

В этом параграфе мы рассмотрим следующую задачу о минимальной редукции сбалансированной ТП-игры. Пусть задана кооперативная игра ^,у) с непустым С -ядром [4]. Выберем дележ £ = (£1,...,£п), который не принадлежит С-ядру. Какова может быть минимальная (по числу игроков) коалиция Т С N, которую можно «вывести» из игры с тем, чтобы редуцированный дележ £м\т принадлежал С-ядру редуцированной игры? Эта задача очевидно имеет решение. Поскольку вектор £ является дележом, то множество таких коалиций не пусто. Среди конечного числа этих коалиций всегда существует коалиция минимального размера. Для статических кооперативных игр эта задача не имеет большого значения. Однако, в условиях динамических игр при реализации игры вдоль оптимальной траектории минимальная редукция может оказаться одним из способов регуляризации исходной игры в целях сохранения динамической устойчивости решения [2].

Определение 6. Коалицию Т С N будем называть минимальной относительно дележа £ € Ф^, у) и редукции игры ^, у), если £м\т С фN \ Т, ут) и не существует коалиции Т' С Т такой, что £м\т' С фN \ Т', уТ ).

Зафиксируем произвольный дележ £ € С N, у). Пусть Т\,..., Тт — набор всех коалиций, для которых верно неравенство £* < У(ТГ), г = 1, то, и среди них есть

коалиция Т I) Тг, г = 1, то.

Теорема 7. Коалиция Т(£) = Т является минимальной относительно £ и редукции по Дэвису-Машлеру ТП-игры ^,у).

Доказательство. Предположим, что существует коалиция Т' С Т(£) такая, что £м\т' € С N \ Т ',Ут ). Это значит, что для произвольной коалиции Й С N \ Т', Й = N \ Т', верно неравенство

Е £ > уТ(Й) = у(Й и Я) - Е £г\ .

гея ~ I гея )

Следовательно, для Й = Т(£) \ Т' и Я = Т' можем написать

Е £ > V ((Т(£) \ Т') и Т') - Е £г,

гет(£)\т' гет'

что эквивалентно

Е & > У(Т(£)).

гет (£)

Данное условие противоречит исходному предположению, следовательно, теорема доказана.

Рассмотрим сбалансированную игру N, у) и дележ £, не принадлежащий большому ЙС-ядру этой игры. Допустим, что для некоторого вектора £0 € X°^,у) существует собственная коалиция К(£0,£) С N такая, что

£0 > £г, г € К(£0,£),

£0 - £г, г € N \ К(£°,£).

Назовем К = К(£0,£) коалицией «обиженных» относительно точки £0 € X°^,у) и дележа £. Тогда верно следующее:

Теорема 8. Пусть исходная игра ^,у) сбалансирована. Если выполнено условие (7), то вектор £м\к принадлежит множеству ЙС^к (•),£<^\к).

Доказательство. Непосредственно из леммы 5 следует, что £0\к € X\ К,уК(•)). Осталось показать сбалансированность заданной редуцированной игры, т.е. выполнение неравенства

Е £0 - уКо N \ к, £).

гем\к

Из сбалансированности исходной игры следует

Е £0 - ).

гем

Это эквивалентно

Е £0 - ) -Е £0.

гем\к гек

Из ограничения £0 > £г для всех г € К получаем

Е £0 - ) - Е £г,

гем\к гек

что и требовалось доказать.

Итак, выход коалиции «обиженных» дает возможность оставшимся игрокам в условии МДМ-редуцированной игры распределять доход в соответствии с недоминируемым дележом £м\к из ЙС-ядра ЙС(уко (•),£%\к) Очевидно, коалиция «обиженных» является минимальной относительно заданного дележа £ и МДМ-редукции.

Заметим, что если коалиция «обиженных» К(£0,£) С Т(£) для фиксированного £ € С N, у), то МДМ-редукция дает возможность выводить из игры коалицию не большую, чем ДМ-редукция.

Заключение

В первой части работы установлено условие согласованности SC-ядра кооперативной игры с трансферабельной полезностью относительно модифицированной редуцированной игры по Дэвису—Машлеру. Второй параграф посвящен задаче о минимальной редукции ТП-игры. В рассмотренном классе игр найдено решение задачи о минимальной ДМ-редукции для C-ядра, а также сформулировано условие, при котором сокращение числа игроков с помощью МДМ-редукции по крайней мере не больше, чем в случае использования ДМ-редукции. Этот факт имеет большое значение при рассмотрении динамически неустойчивых решений из C-ядра динамической кооперативной игры при сохранении сбалансированности оной.

Summary

Zakharov V. V., Dementieva M. B. Consistency of subcore and the problem of minimum reduction.

In this paper methods of minimal reduction of TU-games are considered. This methods can be used for a regularization of dynamic cooperative games. In the first part of the paper authors formulate a condition for consistency of the subcore in TU-game with respect to the modified Davis-Maschler reduction of the game. In the second part the problem of minimal reduction of the game is formulated and treated. For a given class of TU-games the solution of this problem is proposed for the core and DM-reduction. It is shown that the number of the players removed on the base of MDM-reduction is not more than in the case of DM-reduction.

Литература

1. Захаров В. В., Акимова А. Н. О некоторых селекторах C-ядра // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2002. Сер. 1, Вып. 3, 17. С. 10-16.

2. Петросян Л. А. Устойчивость решений в дифференциальных играх со многими участниками. // Вестн. Ленингр. ун-та. 1977. Вып. 4.

3. Davis M., Maschler M. The kernel of a cooperative game // Naval Research Logistic Quarterly. 1965. Vol. 12.

4. Gillies D. B. Solution to general non-zero sum games // Contribution to the Theory of Games IV, Tucker and Luce, eds., Annals of Mathematics Studies. 1959. Vol. 40. Princeton University Press, Princeton, NJ. P. 47-85.

5. Peleg B. An axiomatization of the core of market games // Mathematics of Operation Research. 1989. Vol. 14.

6. Villiger R., Petrosjan L. A. Construction of time-consistent imputations in differential games // Proceedings of the 2nd International Conference “Logic, Game Theory and Social Choice”. St. Petersburg, Russia. 2001.

7. Zakharov V. About selectors of the core in dynamic games // Proceedings of the 7th ISDG symposium on Dynamic Game and Applications. Kanagawa, Japan. 1996.

8. Zakharov V. V. Consistent optimality principles in cooperative games // Abstracts. Optimal Control and Appendices. International Conference Dedicated to the 90th Anniversary of L. S. Pontryagin. 1998.

9. Zakharov V., Dementieva M. Time-consistent imputation distribution procedure for multistage game // Proceedings of the International Conference ICM-GTA. Qingdao, China. 2002.

10. Zakharov V., O-Hun Kwon. Mathematical programming approach in cooperative games // Journal of Korean Mathematical Society. 1997. Vol. 2.

11. Zakharov V., O-Hun Kwon. Selectors of the core and consistency properties // Game Theory and Applications. 1999. Vol. 4.

Статья поступила в редакцию 8 октября 2002 г.