Полусимметричные ТП-игры Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.865

ПОЛУСИММЕТРИЧНЫЕ ТП-ИГРЫ

© 2012 г. А.Б. Зинченко

Зинченко Александра Борисовна - кандидат физико-математических наук, доцент, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8 а, г. Ростов-на-Дону, 344090, е-mail: zinch46@mail. т.

Zinchenko Alexandra Borisovna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Faculty of Mathematical, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8 a, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: [email protected].

Вводится понятие s-сбалансированности кооперативной игры с трансферабельной полезностью. Доказано, что s-сбалансированность игры с симметричными участниками необходима и достаточна для существования С-ядра. Для 0-редуцированных неотрицательных игр, симметричных относительно (ш-1)-элементной коалиции, получено явное описание условия существования С-ядра. Доказано, что это условие имеет сложность О(п), где п — количество игроков. Приведено три достаточных условия, при которых С-ядро (п—1)-сбалансированных игр состоит из единственного дележа. Рассмотрены примеры.

Ключевые слова: кооперативная ТП-игра, С-ядро, сбалансированность, симметричные игроки, симметричное ядро, одноэлементное С-ядро.

The notion of s-balancedness for cooperative transferable utility game is introduced. It is proved that s-balancedness of game with symmetric participants necessary and sufficient for existence its core. For 0-normalized non-negative games, symmetric with respect to (n-1)-element coalition, the explicit representation of non-emptiness condition for the core is obtained. It is proved that this condition has a complexity O(n), where n — number of players. Three sufficient conditions, under which the core of (n-1)-balancedgame is a singleton, are described. The examples are considered.

Keywords: cooperative TU-game, core, balancedness, symmetric players, symmetric core, singleton core.

Игры с трансферабельной полезностью (ТП-игры) ческих агентов, то основной концепцией является С-

N v), где N = {,...», Ve G = {g :2n = 0}, - ядро (core) [1] C(v) = {X eX(v)

наиболее изученный и практически значимый класс кооперативных игр. Выбор решения в каждой конкретной игре тесно связан с принципом формирования коалиций. Если выгодна коалиция всех экономи-

2 Xj >v(K), K eQ},

ieK

где

Q = 2N\{N,0}, X(v) = {X eRn

2 x, =v(N )} -

ieN

множество эффективных распределений v(N). Анализ кооперативной игры обычно начинается с проверки не пустоты ее С-ядра. Существует два основных

*

критерия. Первый f (x ) < v(N) включает оптималь-

*

ное решение x задачи линейного программирования f (x) = S xi ^ min, S x > v(K), K efi . (1)

ieN ieK

Второй критерий [2, 3], называемый условием сбалансированности, имеет вид

2^v(K) < v(N), ^еЛ", (2)

KeQ

где Л = extM" - множество крайних точек допустимой области M" двойственной к (1) задачи

g(X) = 2v(K)XK ^max,^

K eQ

SXK = 1, i e N, 0.

KeQ, ieK

(3)

Игра V), имеющая не пустое С-ядро, называется сбалансированной. Использование условия (2) затрудняет экспоненциальный рост количества вершин многогранника Мп при увеличении п (| Л3 |= 5, | Л4 |= 41, | Л5 |= 1031) и отсутствие описания множества Лп в общем случае.

Если некоторые из участников моделируемой ситуации имеют одинаковые возможности, то в кооперативной игре появляются коалиции 0 ф К с N с равными весами v(K) . Для таких игр ниже получены более простые, чем (2), необходимые и достаточные условия существования , а также выделены подклассы игр с одноэлементным С-ядром.

Игроки I,у е N симметричны в (^ V) , если v(K ^ г) =v(K ^ у) , К с N \{/, у} . Игра ^, V) симметрична относительно коалиции Б , 2 < |Б| < п , если все участники Б попарно симметричны. Игра ^, V) полусимметрична, если она симметрична относительно хотя бы одной коалиции Б. Игра, симметричная относительно коалиции N, называется (полностью) симметричной. Симметричные игры хорошо изучены. Критерий сбалансированности сим-

v(K) v( N )

метричной игры имеет простой вид: -<-,

| K | п

K е О.

В данной работе исследуются игры, симметричные относительно единственной коалиции Б (2 <| Б |< п -1). Они названы 5 -симметричными (5 =| Б |). Множество всех 5 -симметричных игр с п

участниками обозначим через 05!. Подмножество С-ядра С5= {х е С^)| хг = Ху; г ф у; г,у е Б}, удовлетворяющие аксиоме симметричности, назовем 5 -ядром, а игру v е 05, , имеющую не пустое 5 -ядро, назовем 5 -сбалансированной. Без потери общности, положим Б = {И, И + 1,..п}, И = п-1 Б | +1. Задача линейного программирования, соответствующая игре

v е G", получается из (1) введением дополнительных ограничений xi = Xj , i ф j , i, j e S , и удалением одинаковых неравенств:

fs (x) = S Xi + sxh ^min,

ieN \ S

S X, >v(K) , K eQ1;

ieK

S Xj + |K n S|xh >v(K) , K eQ2 ; ieK \ S

|K|xh >v(K), K eQ3 ;

где Q1 = {T eQ (TnS = h) v(TnS = 0)},

Q2 = {T eQ T S, T n S = {h, h +1...,m}},

Q3 = {TeQ: T = {h,h +1...,m}}, h +1 <m <и . Задача (3) принимает вид g(X) = Sv(K)XK ^max,

r>'

SX

KeQ1 wQ2, ieK

K

= 1, i e{1,...h-1},

SXK + S K nS XK + S K XK = s

K

KeQ1 , heK KeQ2

X> 0.

KeQ

(4)

Ее допустимое множество обозначим через М 5п . Количество неравенств в критерии 5 -сбалансированности меньше, чем в (2), так как при

переходе от Мп к М5! часть вершин отсекается, некоторые подмножества множества Лп стягиваются в одну точку "кеЛ15, а между оставшимися элементами Лп и Л" существует взаимно однозначное соответствие. Условие (2) становится еще проще, если игра имеет 0-редуцированную форму: v(i) = 0, г е N .

Множество всех 0-редуцированных игр v е 05, обозначим через (Оп )0.

Пример 1. Для неотрицательной игры v е О4 известное условие существования С-ядра [4] состоит из неравенств:

у(1) + у(2) + у(3) + у(4) < ),

у(1,2,3) + у(1,2,4) + у(1,3,4) + у(2,3,4) < 3v(N) ,

у(3,4) + у(1) + у(2) < у( N), у(1,2) + у(3,4) < у(N), у(1,3,4) + у(2) < у(N), у(1,3) + у(1,4) + у(3,4) + 2у(2) < 2у(N), у(1,3) + у(1,4) + у(2,3,4) + у(2) < 2у(N), 2у(1,3,4) + у(1,2) + у(2,3) + у(2,4) < 3у(N), у(1,2,3) + у(1,2,4) + у(3,4) < 2у(N)

и ограничений, полученных из (5) перестановкой игроков (всего 41 неравенство). Условие 2-

сбалансированности игры v е (О4)0 с симметричными агентами 3 и 4, выведенное с использованием (4), состоит из неравенств:

2у(1,2,3) + у(1,3,4) + у(2,3,4) < 3v(N) , у(3,4) < ), у(1,2) + у(3,4) < ),

(5)

(6)

у(1,3) + у(2,3) < у(Ш), 2у(1,2,3) + у(3,4) < 2У(Ш),

у(1,3,4) < ), 2У(1,3) + у(3,4) < 2У(N)/ 2У(1,3) + у(2,3,4) < 2У(N), 2У(1,3,4) + у(1,2) + 2У(2,3) < 3У(N), у(1,2,3) + у(1,2,4) + у(3,4) < 2у(N)

и аналогичных (6) ограничений, полученных перестановкой игроков 1 и 2 (всего 16 неравенств).

Практическое значение следующей леммы состоит в возможности доказывать пустоту С-ядра 5 -симметричных игр, используя более простые, чем в общем случае, условия.

Лемма 1. Для игры уеО^ понятия 5 -сбалансированности и сбалансированности эквивалентны.

Доказательство. Если С5,(у) Ф0 , то С(у) Ф0, так как С5 (у) с С(у). Предположим, что С(у) Ф 0 и

рассмотрим дележ х1 е С(у). Если х1 е С5 (у), то доказательство закончено. В противном случае существуют такие г, у е (гФ у), что ху > хг. Из определения 5 -симметричности следует, что х е С(у), где х2 = х1, х2 = х1, х2 = х1 для всех I е N \ {г,у}. Так как С(у) - выпуклое множество, то

x = -

1 2 x1 + x

2

многогранник (МП_1)0,

Покажем, что X = (Xk)

n _ 1

хЩ =

kK =

LI

K = L,

0, K e (Q4 uQ5)\ L,

1, K = U

n _ U\

K = L,

LI

0, K e (Q4 uQ)\{L,U}.

e C(v). Если x g Cs (v), то не более чем

за 5 -1 повторений описанной процедуры получаем )

х е С5 (у) .

Условие 5 -сбалансированности имеет наиболее простой вид для игр, симметричных относительно (п -1) -элементной коалиции. Теорема 1. Пусть п > 3,

П4 = {Т еП|Т = {2,..от}, 3 < т < п},

П5 = {Т еП| Т = {1,2,..е}, 2 < е < п -1} .

Игра у е )0 имеет не пустое С-ядро тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующей системе:

Щ у (и) + (п - и) у(Щ) < Щ уШ \

(п -1)у(Щ) < Щ| у(Ш), Щ еП4, и еП5.| (7)

Доказательство. Используя (4) и подставив И = 2

1 3

в формулы для множеств п1 - п3 , получаем, что

Для любых L e Q4 и U e Q5 векторы X, XLU не

отрицательны и удовлетворяют (8), а столбцы матрицы ограничений, соответствующие их положительным компонентам, - линейно независимы. Следовательно, XL, XLU e (ЛП_1)0 = ext (M^)0 . Пусть теперь X e (ЛПП_1)0. Система (8) содержит только два основных ограничения, поэтому возможны случаи:

1. X имеет одну положительную компоненту ~E > 0. Если E eQ5 , то ~ g (M^^_i)0 (противоречие). Если E eQ4, то ~ e (M^^_i)0 только тогда, когда X = XL , где L = E.

2. X имеет две положительных компоненты: XE > 0 и Xy > 0. Тогда X должна удовлетворять обоим ограничениям в (8) как равенствам. Легко проверить, что X e (МП_1)0 только для E e Q4 и T eQ5 ,

т.е. совпадать с XLU для L = E, U = T.

Заменив Л в (2) множеством (ЛП_1)0 и используя формулы Xe (ЛП_1)0, получаем, что условие

(n_1) -сбалансированности игры ve(G^)0 совпадает с (7). Использование леммы 1 завершает доказательство.

Следствие 1. Условие сбалансированности игры ve (G^n_1)0 содержит (n_ 1)(n_2) неравенств.

Доказательство. Согласно лемме 1, игра v e (Gn_i)0 сбалансирована тогда и только тогда, когда она (n _ 1) -сбалансирована. Количество неравенств в (7)

равно

(ЛИя-1)°

Q4

Q'

Q5

. Из определения мно-

жеств Q4 и Q5 получаем

Q4

Q5

= n _ 2. Следова-

соответствующий игре

тельно, (Лпп_1)0 = (n _ 1)(n _ 2).

v e (G^)0, кроме условий X > 0, определяется ограничениями

SXk < 1, (|Щ_1) SXk + Е ЩXk = n_1. (8)

KeQ5 KeQ5 KeQ4

5 является крайней

КеП4 иП

точкой (М^)0 тогда и только тогда, когда существует такая коалиция Щ е П4, что X = XЩ, или существует такая пара коалиций Щ е П4, и е П5, что X = XЩи , где

Существование С-ядра не всегда решает проблему выбора исхода кооперативной игры, так как С(у) может быть очень большим и даже совпадать с множеством всех дележей I (у) = {х е Хп\ х1 > у (г), г е Ш}.

Идеальным считается случай, когда С-ядро содержит единственный дележ. Для описания классов полусимметричных игр, имеющих одноэлементное С-ядро, будем использовать сбалансированные множества и их свойства. Множество Р = {р1,...,Рр} коалиций

Рг е П называется сбалансированным, если сущест-

+

вует такая крайняя точка X е Лп, что Xк > 0, если K е Р, и Xк = 0, если K г Р. Вектор а(Р) = (аь...,ар), где аг =Х р , 1 < г < р, называется весом Р (в литературе имеются другие названия). Условие (2) эквивалентно

Sai v(P) <v(N) , Р e^"

(9)

Р eP

уП

где ^ - семейство всех сбалансированных относительно N множеств.

Теорема 2. Пусть п > 4, v1, v2 е (0^-1)0, ~ 1 ~ 2 1

ы^ ) ф 0 , Ы^ ) ф 0, v удовлетворяет условию (п - 1)v(N \ {1, п)) = (п - 2)v(N) ,

2

а v удовлетворяет одному из условии п - 2

v(1,2) +-v(N \ 1) = v(N) ,

п -1

(п - 1)v(N \ п) + v(N \ 1) = (п - 1)v(N).

x1 = (0

v(N ) v( N)

П—1' 'П-1

),

x2 = (v(N) —v(N\1),v(N\1) ,...,v(N\1)) .

П —1

П —1

Доказательство. Рассмотрим множества: P1 = {{1},N\{1,2},...N\{1,п}}, P2 = {N\1,{1,2}...,{1,п}}, P3 = {N\1,...,N \ п}. Они принадлежат Шп [4],

Pl = п , l = 1,2,3 , и a(P1) = (1,^^,...,-^) .

п - 2 п - 2

a(P 2) = (П — 2 1

П —1 П — 1 П —1

1 ), а(Р3) = (. 1

П — 1 П —1

).

UL"

п — 2 v(N \{1, и})_ v(N)

v(U) <v(N) +

v(N \{1, и}). Согласно (10),

. Следовательно, v(U) < И—1 v(N) и — 2 и — 1 и — 1

и Еег/ х} > V(U) , т.е. х1 еЫ^1). Из (11) и опреде-

2 2 \А

ления х2 имеем = (v(N) -v(1,2)). Под-

п - 2

ставив и = {1,2} в первое неравенство из (7), получаем А v(1,2) + V(L) < - Д- v(Ы), т.е. ^геЬ х? > . п - 2 п - 2

2 I_ I

Кроме того, TieUxi = v(N) + —-v(N \1). Подста-

п -1

вив L = N \ 1 в первое неравенство из (7), имеем

И — и

U — и

и — 2

v(N \1) > v(U) — v(N).

(10)

(11) (12)

Тогда МУ) = {х1}, N(v2) = {x2}, где

Следовательно, ZleU xf >v(U) и x2 e N(v2) .

~ 2 2 2 Аналогично доказывается, что N(v ) = {x }, если v

удовлетворяет (12).

С-ядро сбалансированной игры v е 0п имеет нулевую размерность, если существует такое Р е Шп , что р| = п , и соответствующее неравенство в (9) выполняется как равенство [2]. Для игры v е (О^)0 справедливо v(N \ {1,у}) = v(N \ {1,п}), v(1,у) = v(1,2) , v(N \ у) = v(N \ п), у е N \ 1. Подставляя

1 3

а(Р ) - а(Р ) в (9) и заменяя неравенства уравнениями, получаем (10)-(12). Докажем теперь, что единственными элементами С-ядер игр v1 и v2 является

12 2 12 векторы х , х их. Очевидно, что х , х е X(V).

Используя второе неравенство из (7), получаем

Ее/Л1 = v(N) > v(L) , L е О4 . Пусть и е О5 , п -1

1 1 и -1

тогда Егеих = Егеи\1 х, = ' ' v(N). Подставив

п -1

L = N \{1, п} в первое неравенство из (7), имеем

Следствие 2. Пусть п > 4, vе (0^-1)0 и v) является игрой большого босса с игроком 1 в качестве 2

босса, тогда X совпадает с точкой босса.

Доказательство. Из свойства v(K) = 0, 1 г K, игры большого босса [5] и структуры ее С-ядра следует,

2 ~ что х = ^(^Д..^)еЫ(у). Этот дележ называется

точкой босса, потому что выигрыш первого игрока равен весу максимальной коалиции.

В [6] отмечено, что в играх большого босса единственный элемент С-ядра обычно не согласуется с моделируемой ситуацией, и рекомендуется использовать решения, не принадлежащие Ы(у). Содержательная интерпретация таких игр приведена в [7]. Пример 2. Условие сбалансированности игры

vе (О4)0 содержит 6 неравенств: 3v(2,3) < 2v(N), v(2,3,4) < v(N), v(1,2) + v(2,3) < v(N),

3v(1,2) + 2v(2,3,4) < 3v(N), 2v(1,2,3) + v(2,3) < 2v(N) , 3v(1,2,3) + v(2,3,4) < 3v(N). Сбалансированные мно-

1 3

жества Р - Р и их веса имеют вид

а(Р1) = (1,1,1,1}, 2 2 2

О ? 2 1 1 1

Р2 = {(2,3,4),{1,2},{1,3},{1,4}}, а(Р2) = ^у^} ,

Р3 = {(2,3,4},{1,3,4}, {12,4}, (1,2,3}}, 1 1 „

а(Р ) = . Им соответствуют первое, чет-

вертое и последнее из перечисленных выше неравенств. Таким образом, С-ядро сбалансированной игры v1, удовлетворяющей (10), имеет вид Ы^1) = {(0, , , , а для игры v2 , удо-

влетворяющей (11) или

Ы^2) = {М N) - v(2,3,4), ^^М!,...^)}.

Р1 = {{1},{2,3},{2,4},{3,4}},

(12),

Литература

1. Gillies D. Solution to General Non-Zero Sum Games // Annals of Mathematical Studies. 1959. № 40. P. 47-85.

1

2. Бондарева О.Н. Некоторые приложения методов линей-

ного программирования к теории кооперативных игр // Проблемы кибернетики. 1963. № 10. С. 119-139.

3. Shapley L. On Balanced Sets and Cores // Naval Research

Logistics Quarterly. 1967. № 14. P. 453-460.

4. Зинченко А.Б., Тенищев И.Е. Сбалансированные множе-

ства коалиций классической кооперативной игры // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2008. № 2. С. 8-15.

5.

6.

Muto S., Nakayama M., Potters J., Tijs S. On big boss games // The Economic Studies Quarterly. 1988. № 39. P. 303-321.

Provotorova P.A., Zinchenko A.B. On the extreme points of polytopes of some subclasses of big boss games // Game Theory and Management: Abstracts of the Fifth International Conference. St. Petersburg, 2011. P. 188-191.

Зинченко А.Б., Мироненко Г.В., Провоторова П.А. Консенсус-значение для игр с коалиционной структурой // Мат. теория игр и ее приложения. 2010. Т. 2, вып. 1. С. 93-106.

Поступила в редакцию

23 апреля 2012 г.