Свойство подтверждения и аксиоматизация наименьшего ядра Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2010. Вып. 1

УДК 519.834 Е. А. Лежнина

СВОЙСТВО ПОДТВЕРЖДЕНИЯ И АКСИОМАТИЗАЦИЯ НАИМЕНЬШЕГО ЯДРА

Цель исследования кооперативных игр - нахождение правил распределения выигрышей между игроками. Пусть задана произвольная игра (М, у) из множества игр € Я. Тогда вся большая коалиция, т. е. множество игроков N, может располагать выигрышем у(М) (или меньшим). Поэтому исход кооперативной игры - вектор из множества

Решением a(N, v) кооперативной игры (N, v) называется некоторое подмножество

Правила, по которым формируется выбор множества формализуют есте-

ственные понятия оптимальности и справедливости. Свойства решений, формализующие такие понятия, можно определять как для одной фиксированной игры, так и для некоторых классов игр. Рассмотрение классов игр позволяет установить большее количество «хороших» свойств решений, чем для одной игры. Такими классами являются, например, классы всех ТП игр с произвольным, но фиксированным множеством игроков. Возможно также исследовать свойства решений для класса игр с переменным множеством игроков.

К основным понятиям оптимальности относятся следующие:

1. Индивидуальная рациональность. Вектор х € Xназывается индивидуально рациональным, если х^ ^ у({г}) Уг € N. (Каждый игрок получает не меньше величины, которую он мог бы заработать сам.)

2. Коллективная рациональность (Оптимальность по Парето, эффективность). Вектор х € Xназывается коллективно рациональным, если ^х^ =

3. Анонимность (Равноправие игроков). Пусть €Я, п : N ^ N - произ-

вольная перестановка игроков. Через п обозначим игру п = пу), где пу(Б) = у(пБ). Решение а называется анонимным, если

для любой игры €G и для любой перестановки игроков п.

Лежнина Елена Александровна — старший преподаватель кафедры математического моделирования энергетических систем факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 8. Научные направления: кооперативная теория игр, аксиоматизация кооперативных решений. E-mail: [email protected].

© Е. А. Лежнина, 2010

a(N,v) С X(N,v).

v(N).

a(N, nv) = na(N, v)

4. Симметричность. Если игроки i,j G N в игре G G имеют равные возможности, т. е. v(S U {i}) = v(S U {j}) для всех S С N,i,j G S, то xi = Xj для любых x G o~(N, v). В этом случае игроки i и j называются симметричными.

5. Ковариантность относительно стратегически эквивалентных преобразований. Пусть , (N, v') - две стратегически эквивалентные игры, т. е. для любой коалиции S С N

v'(S) = av(S)+Y^ bi, a> 0,b G RN.

ies

Тогда a(N, v') = aa(N, v) + b.

6. Инвариантность относительно сдвига. Решение а инвариантно относительно сдвига, если для любого числа a и любой игры рассматриваемого класса

a(N,va ) = a(N,v),

\v(N), если S = N, где va(S )=<

I v(S) + a, для остальных S С N.

7. Макс-инвариантность. Решение а называется макс-инвариантным, если для любых игр , (N,w), таких что v(N) = w(N) из x G a(N,v) П a(N,w), следует x G a(N, max{v,w}), где max{v, w}(S) = max{v(S),w(S)} для всех S С N.

8. Инвариантность. Решение а удовлетворяет свойству инвариантности после ухода болвана, если для любой игры (N,v) gG, в которой игрок i G N является болваном, справедливо соотношение

PiKN\{i}a(N,v)= a(N \{i},v),

в котором PrRN\{i}a(N,v) - проекция множества a(N,v) на пространство MN\M, а (N \ {i}, v) - под-игра игры (N, v) с множеством игроков N \ {i}.

9. Согласованность в определении Дэвиса—Машлера. Одноточечное решение а называется согласованным в произвольном классе G' С G, если для всех (N,v) G G', S С N, S = 0 выполняются соотношения

(S,vX) GG' и (a(N,v))s = a(S,vS).

Здесь (S, vXX) - редуцированная игра в определении Дэвиса-Машлера игры (N, v) на множество (остающихся в игре) игроков S относительно вектора выигрышей x:

jv(N) — x(N \ S), если T = N \ S,

1 maxQCN\s{v(T),v(T U Q) — x(Q)}, в остальных случаях.

10. Свойство подтверждения. Решение а на множестве G обладает свойством подтверждения, если для любой игры (N, v) из x G а(N, v), yN\s G а(N \ S, vN\s) следует (xs, yN\s) G а(N, v), где vXX - характеристическая функция редуцированной игры на множество N \ S относительно вектора выигрышей x, xs - решение, определенное для коалиции S.

Это свойство под термином «flexibility» сначала использовалось для характеризации арбитражных решений [1].

Если решение а является согласованным и обладает свойством подтверждения, то оно называется сильно согласованным. Сильно согласованные решения можно определить следующим образом: для любой игры G Gn и для любых x G а(N,v), S С N

а(^^)\хм\3 = а(^х3), где а^,'")\хм\S = {ys \(ys, xN\s ) G

vsx(T)

Легко видеть, что одноточечные согласованные решения являются сильно согласованными.

C-ядром игры называется подмножество (возможно, пустое) множества дележей, которые устойчивы в том смысле, что ни одна коалиция не может обоснованно противопоставить каждому такому дележу какой-нибудь другой, более выгодный для нее: C(N, v) = {x е R" : x(N) = v(N), x(S) > v(S) для всех S С N}, где x(S) = J2i€S xi.

Но C-ядро существует далеко не во всех играх. Поэтому, с одной стороны, одним из направлений развития теории решений кооперативных игр стали поиски «расширений» C-ядра, т. е. непустых решений, которые совпадали бы с C-ядром в случае его непустоты. С другой стороны, шли поиски решений «минимального» размера, вплоть до одноточечных, содержащихся в C-ядре. Наиболее популярным примером второго направления являлись n-ядра, вычисления которых происходили последовательной лексикографической минимизацией эксцессов, на каждом шаге сужающие множества «оптимальных» исходов, которые можно трактовать как «промежуточные» решения. Они будут определены и исследованы в статье.

Наименьшее C-ядро, пред n-ядро и промежуточные решения. Для любой коалиции S и любого распределения выигрыша x эксцессом называется функция e(x,S) = v(S) içs xi. Она показывает, насколько выигрыши, получаемые членами коалиции, не соответствуют их ожиданиям.

Рассмотрим задачу минимизации (по векторам выигрышей) максимального (по коалициям) эксцесса:

max(v(S ) — x(S)) ^ min (1)

S xeX(N,v)

Ее решение существует для всех игр с трансферабельной полезностью (ТП игр) и есть подмножество C-ядра (если оно непусто). Оно называется наименьшим C-ядром (LC). Действительно, если C-ядро непусто, то оптимальное значение задачи (1) не положительно, т. е. достигается на векторах из C-ядра.

Пусть x - произвольный вектор выигрышей игры (N,v). Обозначим через Si(x) набор коалиций, на которых достигается максимальное значение эксцесса:

Sx(x) = {S С N : v(S) — x(S) = max(v(S') — x(S')) = n(x,v)}.

Определение 1. Набор коалиций S называется слабо сбалансированным, если существуют такие неотрицательные числа XS, S eS, что

XS = 1 для всех i е N.

SeS S3i

Теорема 1. Для того чтобы x е LC(N,v), необходимо и достаточно, чтобы набор Si(x) был слабо сбалансирован.

Доказательство см.в [2].

Итак, наименьшее C-ядро не пусто для всех игр и относится к множественным решениям. Его можно далее уменьшать, повторяя процесс минимизации значений эксцессов: рассмотрим задачу

min max (v(S) — x(S)) (2)

x£LC(N,v) saN S£si(x)

минимизации второго по величине эксцесса. Обозначим решение задачи (2) через 02(N, v). Очевидно, это решение также не пусто для любой игры и является выпуклым

многогранником. Если оно состоит более чем из одной точки, то процесс последовательной минимизации значений эксцессов: третьего по величине и т. д. можно продолжить. Шмайдлером [3] было показано, что последовательной минимизацией эксцессов на множество дележей мы придем к единственному вектору, названному п-ядром РЖ. Далее этот результат был распространен на минимизацию по всему множеству эффективных векторов выигрышей.

Так как процесс взятия лексикографического минимума состоит из конечной последовательности решения задач минимизации, получаем убывающую последовательность подмножеств векторов выигрышей, на первом шаге совпадающую с наименьшим С -ядром. Члены данной последовательности, т. е. решения соответствующих задач минимизации, будем называть промежуточными решениями и обозначать через а/(Ж,у), так что а1(Ж,у) = ЬС(Ж, у), а последний член этой последовательности, ат(Ж, у) = РЫ(Ы,у),т ^ п. Оказывается, все такие решения обладают одинаковыми свойствами: на классе всех ТП игр с конечным числом игроков наименьшее С-ядро и все промежуточные решения удовлетворяют следующим свойствам: непустота, ограниченность, эффективность, ковариантность, независимость от сдвига, макс-инвариантность, анонимность, аксиома болвана [2].

Из всех промежуточных решений только пред п-ядро является согласованным, но все они обладают свойством подтверждения. Покажем это.

Лемма 1. Наименьшее С-ядро и промежуточные решения а2,а3,... удовлетворяют свойству подтверждения.

Доказательство. Пусть (Ж,у) - произвольная игра, х € ЬС (Ж,у), (Ж\ Б, Vх) - редуцированная игра в смысле Дэвиса-Машлера игры на множество игроков Ж \ Б относительно вектора выигрышей х,у € ЬС (Ж \ Б, Vх). Покажем, что вектор (хз,у) € ЬС(Ж, у).

Через 5Х(у) обозначим набор коалиций в редуцированной игре (Ж\ Б, Vх), отличных от Ж\Б, на которых достигается максимальный эксцесс в\(ух, у) относительно вектора выигрышей у.

Рассмотрим максимальный эксцесс для вектора (хз,у) в игре (Ж,у):

(хз, у)) = тах(у(Т) - х(Т П Б) - у(Т П (Ж \ Б)). (3)

Эксцесс (3) может достигаться на коалиции Т, такой что либо Т С Б, либо Т = Ж \ Б, либо Т С Ж \ Б, либо Т П Б = 0,Т П (Ж \ Б) = 0. Из определения редуцированной игры следует, что в третьем и четвертом случаях

вг(у, (хз, у)) = у(Т) - х(Т П Б) - у(Т П (Ж \ Б)) =

= гг1ах (у(Т') - х(Т' П Б) - у(Т' П (Ж \ Б))) =

= тах ^ (у(Т" и д) - х&) - у(Т")) = (4)

Т " сМ\з

= тт8£хз(уХ(Т") - у(Т")) = е±(ух,у) < в1(ух,х)= в1(у,х).

Последнее равенство формулы (4) имеет место ввиду того, что Т П (Ж \ Б) = 0. Из (4) вытекает (хз ,у) € ЬС (Ж, у).

Если же Т С Б (и вообще П (Ж\ Б) = 0 или Ж\ Б), то е1(у, (хз, г)) = в1(у, х) для любого вектора выигрышей г редуцированной игры, в том числе и для у. И в данном случае получаем (хз,у) € ЬС(М,у).

Рассмотрим теперь промежуточные решения а2,..., am = PN. Введем обозначения: для 1 ^ к ^ m

Sk(v,x) = arg max e(v,S,x).

Siu^sj (v,x)

Словами, на наборе коалиций Sk (v,x) достигается k-е по величине значение эксцессов e(v,S,x). Обозначим его через ek (v,x). Соответствующие наборы коалиций для редуцированной игры будем снабжать верхним индексом x : Sx. В приведенных обозначениях для к > 1

ак(N,v) = {x е ak-i(N, v) | ek(v,x)= min ek(v,y)}.

yi&k-i(N,v)

Пусть, как и ранее, x е ak(N, v), y е ak(N\S, vx). Нам нужно показать, что (xS, y) е ak(N,v). k-й Эксцесс для редуцированной игры ek(vx,y) равен

ek(vx,y) = max (vx(T) - y(T)) = max (v(T U Q) - x(Q) - y(T)).

T <ZN\S T <ZN\S,QcS

Ttuk-lsfivxy) Tiuk-1sx (vx ,y)

Рассмотрим следующие случаи:

1. Для всех j = 1,...,к Sj(v,x)N\S = 9,N \ S. В этом случае все эксцессы рангов j = 1,...,к относительно вектора x в исходной и редуцированной играх совпадают:

ej (v,x)= ej (vx,xN\s). (5)

А так как y е ak (N \ S, vx), равенство (5) можно продолжить:

ej(vx,xn\s)= ej(vx,y), Vj = 1,...,к. (6)

Из равенств (5) и (6) следует, что (xS,y) е a(N,v).

2. Для всех j = 1,...,к Sj(v, x)N\s = 0 или N \ S. Это значит, что для вектора x все эксцессы ei(v, x),..., ek(v, x) достигаются только на коалициях из S или на N \ S (один из эксцессов) соответственно, а тогда все эксцессы редуцированной игры меньше минимального из этих значений, т. е. ei(vx, y),..., ek(vx, y) < ek(v, x) (так как эксцесс большой коалиции N \ S редуцированной игры не влияет на величину ej(vx,x)). Следовательно, найдутся такие Q С S,T С N \ S, при которых

e(v, T U Q, (xs, y)) = v(T U Q) - x(Q) - y(T) < ek(v, x),

а это означает, что (xs,y) е ak(N,v).

3. Сюда входят все остальные случаи, т. е. множество {1,...,к} разбивается на два непустые подмножества Ki U K2, такие что для всех j е Ki Sj(v,x)N\s = 0 или N\ S, для всех j е K2 Sj(v,x)N\s = 0,N \ S.

Введем в рассмотрение фунцию l : {1,..., m} ^ N, определяемую следующим образом:

l(1) = min{j ISj(v,x)N\s = 0, N \ S},

l(j) = min{p > l(j - 1) | SpIn\s = 0, N \ S для j> 1}.

Таким образом, l(j) ^ j для всех j и l(h) > к. Из определения функции l следует,

что

Sj (vx, xn\s) = Sj (v,x),

Сз (ух,хм\з) = в1(^(у,х) для всех ] = 1,...,т. (7)

Подставим в (7) 1(2) = к. Тогда получим, что

С1-1(к) (ух,хм\з)= вк(у,х), где 1-1(к) < к. (8)

Так как у € ак (Ж \ Б,ух), минимальное значение всех ранговых эксцессов ез (ух,г), 2 = 1,...,к, достигается (среди прочих векторов ) на г = у. Поэтому из (8) вытекает, что

ек(v, (хз,у)) < е1-1(к)(ух,у) < е1-1(к)(ух,хм\з) = ек(у,х). (9)

Так как х € ак(Ж, у), неравенство в (9) превращается в равенство, и мы получаем

(хб,У) € □

Наименьшее С-ядро будет охарактеризовано как наибольшее (по включению) решение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, вместе со свойством подтверждения.

Аксиоматическая характеризация наименьшего С -ядра. Как уже указывалось, наименьшее С-ядро не обладает свойствами согласованности и обратной согласованности, но удовлетворяет свойству подтверждения. Последнее свойство применялось только для одной из аксиоматизаций С-ядра [4] и для новой аксиоматизации пред п-ядра [5], в которой оно заменило собой два свойства - одноточечность и согласованность - в известной аксиоматике А. Соболева [6].

Так как доказательство основной теоремы будет проводиться индукцией по числу игроков, сначала нужно охарактеризовать наименьшее С-ядро для игр двух лиц.

Лемма 2. Если решение ф для класса Я2 всех игр двух лиц удовлетворяет аксиомам непустоты, ограниченности, ковариантности и инвариантности относительно сдвига, то ф является стандартным решением.

Доказательство. В теории игр стандартным решением для игр двух лиц называется решение, при котором прибыль от кооперации игроки делят поровну.

Пусть (М,у) € Я2 - произвольная игра двух лиц, х € ф(М,у), М = {1, 2}. По ковариантности решения ф достаточно доказать лемму для игр в 0-1 редуцированной форме: у(1) = у(2) = 0, у(1, 2) = 1,-1 или 0.

1. у(1, 2) = 1. Пусть (х1,х2) € ф(0, 0,1) (т. е. у(1) = 0,у(2) = 0,у(1, 2) = 1). По аксиомам ковариантности и инвариантности относительно сдвига для любого А > 0

(А - 1 А - 1 Л ч (А - 1 А - 1

Ах е ф(0, 0,А) = ф ( —2~, —2~.А) = !) +

(А А\ + + /А-1 А-1 Л

Таким образом, (г/1 , г/2 ) = I -'-А~ I 6 ^ V 2 ' 2 '1 ) и п0 ин~

вариантности относительно сдвига (уА,у2) € ф(0,0,1). Следовательно, из (х1,х2) € ф(0,0,1) вытекает (уА,у2А) € ф(0, 0,1) для любого А > 0. Если х1 = х2, то для А ^ 0 уА, у2 ^ ±сю, что противоречит ограниченности ф. Остается только случай х1 = х2 = х. По ковариантности и инвариантности относительно сдвига

х — в х — в \

-—,-— € 9?(0, 0,1

1-2/3' 1-2/3У ^ ' ' '

х - в

для всех /3. Если х ф 1/2, то --—— —> оо при /3 —> оо, что противоречит ограниченно-

1 - 2в

сти. Следовательно, ф(0,0,1) = (1/2,1/2) - стандартное решение.

2. Случай у(1, 2) = -1 рассматривается аналогично.

3. о(1, 2) = 0. Предположим, что х € ф(0, 0,0), х = (х\,х2) = 0, х\ = —х^. Этот случай сводится к случаю 1 следующим образом: по ковариантности (х\ + Ь,х2 + Ь) € ф(Ь, Ь, 2Ь) = (по инвариантности относительно сдвига) = ф(0,0, 2Ь) для любого Ь. Если Ь > 0, то приходим к случаю 1. д

Для того чтобы получить характеризацию наименьшего С -ядра для игр трех лиц, необходимо описать ряд свойств решений, удовлетворяющих некоторым из вышеуказанных аксиом.

Определение 2. Игра (N,0) называется симметричной, если ее решения зависят только от количества игроков п = N |.

Лемма 3. Если решение ф удовлетворяет свойству подтверждения на некотором классе игр, то его замыкание также обладает свойством подтверждения.

Доказательство. Пусть (N,0) - произвольная игра, х € ф(Ы,у). Редуцируем игру на множество игроков N \ г относительно хг. Обозначим редуцированную игру через N \ {г},ох*). По свойству подтверждения (хг \ {г},ох*)) С ф^,о). Аналогичное включение выполняется и для замыканий:

(хн\ {г}, Vх*) = х\ {г}, Vх*)) С ф(^, о).

Последнее включение означает, что замыкание решения ф удовлетворяет свойству подтверждения.

Лемма 4. Если решение ф удовлетворяет свойству подтверждения, замкнуто и стандартно для игр двух лиц, то для симметричной игры )

)/п,...,о8^)/п) € ).

Доказательство проводится индукцией по числу игроков п = N |. Для игр двух лиц утверждение леммы выполняется по условию. Предположим, что оно справедливо для всех игр с числом игроков, меньшим или равным п — 1. Пусть - произвольная симметричная игра и х € ф(^,ов). Редуцируем игру на множество игроков N \ г относительно х. Заметим, что любая редуцированная игра симметричной игры также симметрична.Тогда по индукционному предположению

п — 1 п — 1

и по свойству подтверждения

Хг, -:-, • • • , -:- € ср{М, v).

п — 1 п — 1

Редуцируем исходную игру еще раз на множество игроков N\{з},з = г, относительно

)-х* -гт

выигрыша игрока ], равного та_1 ; и продолжим этот процесс. По свойству подтверждения на каждом шаге будем получать новый вектор выигрышей из множества решений ф(^,ов), у которого по крайней мере одна компонента /к(хг) на к-м шаге удовлетворяет уравнению

Ш) = «т-д-.ы

п — 1

Устремим к к бесконечности. В пределе, так как множество ф(^,ов) замкнуто, получим, что (хг) = )/п. Редуцируем еще раз игру относительно эгалитарного вектора выигрышей (о(М)/п,..., о(М)/п). В редуцированной игре эгалитарный вектор

принадлежит решению по индукционному предположению. Следовательно, по свойству подтверждения решения у мы получаем утверждение леммы. ^

Лемма 5. Пусть решение а удовлетворяет аксиомам непустоты, ограниченности, ковариантности, инвариантности относительно сдвига и макс-инвариантности. Если х € а(К, у), то х € а(К, у'), где у'- произвольная характеристическая функция, удовлетворяющая следующим условиям:

у'(Б) = у (Б), для Б €Б1(х,у),

с ^ у'(Б) - х(Б) = Ь < /л(х,у), для остальных коалиций, где с - второй по величине эксцесс: с = тах (у(Т) - х(Т)).

Т(х,у)

Доказательство. Для любой симметричной игры (М,ув) с у (Ж) = 0, 0 € а(М,ув) по лемме 4 и по ковариантности х € а(М,ув + х). Далее из аксиомы макс-инвариантности следует х € а(тах{у,уэ + х}). Рассмотрим симметричную игру , для которой ув(М) = 0, ув (Б) = Ь для всех Б С Ж, и пусть число Ь удовлетворяет неравенствам

и(х,у) >Ь> тах (у(Б)- х(Б)). (10)

з^в1{х,у)

Обозначим через

у' = тах{у, + х}, (11)

где удовлетворяет (10). Тогда

у'(Б) - х(Б) = {если Б €Б1(х,у),

Ь, для остальных коалиций Б.

Итак, лемма доказана для характеристической функции у' (11). Очевидно, эта функция определяется единственным образом, поэтому доказательство завершено, д Лемма 6. Пусть решение а удовлетворяет аксиомам ковариантности и инвариантности относительно сдвига. Пусть для х € а(К,у) компоненты вектора эксцессов у (Б) - х(Б) принимают только два значения:

1а, для Б €^1 (х,у),

у(Б) - х(Б ) = , с

I Ь < а, для остальных Б. Для любой игры (Ж, т) и ее вектора выигрышей у из равенств

т(Б) - у(Б) = { С для Б € в1(у,т) = Sl(x,v),

1 й< с, для остальных Б

следует у € а(М,т).

Доказательство. По аксиоме независимости от сдвига, не ограничивая общности, можно считать,что а,Ь > 0. По ковариантности решения а: ах € а(ау) для

С - 3

любого а > 0. Положим а = --, /3 = с — а ■ а = 3 — а ■ Ь. Тогда по аксиоме

а- Ь

независимости от сдвига ах € а(Ж,ау + в), и эксцессы вектора ах в игре (Ж,ау + в) принимают только два значения с и 3, причем с равно максимальным значениям эксцессов из набора Б1(х,у). Так как ковариантные решения полностью определяются векторами эксцессов, из леммы 5 следует утверждение доказываемой леммы. ^

Лемма 7. Если решение а для класса Я3 С Яи игр трех лиц удовлетворяет аксиомам непустоты, ограниченности, ковариантности, свойству подтверждения, независимости от сдвига и макс-инвариантности, то а(^, о) С ЬС^, о), N = {1, 2, 3}.

Доказательство. Пусть х € а^, о). Обозначим = шах{е(Б, х)|Б € 2К, г € Б,] € Б}. Если (х) = в^(х) для всех г,] = 1, 2, 3, то х = PN(N,v) € ЬС

Пусть теперь (х) = в^(х) для некоторых г,] € N, например в12(х) > в 21 (х). Тогда {2}, {2, 3} ^ ¿1(х, о). Следовательно, эксцессы о(Б) — х(Б) могут достигать максимальных значений на коалициях {1}, {3}, {13}, {12}. Если коалиции {3}, {12} € то х € ЬС N, о), так как разбиение {3,12} сбалансировано.

Рассмотрим другие случаи, когда эксцессы достигают максимальных значений на коалициях {1}, {3}, {13} или их подмножествах и на {12}, {13}, {1} или их подмножествах.

1. Sl(x, о) = {1, 3}. По ковариантности 0 € а(^, о — х) и £1(0, о — х) = {1, 3}. По лемме 5 0 € а^,о), где характеристическая функция о определена следующим образом:

в(б) = {а для Б = {1,3}, (12)

\Ь<а, иначе.

Здесь а = о(1, 3) = о(1, 3).

Рассмотрим векторы е = (£1,£2,£з), такие что

3

^ег = 0, еиез > 0. (13)

г=1

По ковариантности е € а^, оВ+е) и е € а^, -В + е), где характеристическая функция о + е определена, как в (12):

ВГ+~е(Б) — е(Б) =[а + е1 + ез, для Б = {1 3}

I ЬЕ < а + е1 + е3, иначе.

Следовательно, по лемме 6 е € а({1, 2, 3}, ■) для любой характеристической функции л(М) = 0, эксцессы которой л(Б) — е(Б) принимают только два значения, максимальное из них достигается только на коалиции {1, 3}. Таким образом, можно положить ■ = о — х, т. е. е € а(^, о — х), и

х + е € а^,о). (14)

Равенство (14) справедливо для любого е, удовлетворяющего (13), что противоречит ограниченности а.

2. Б1(х,о) = {1,12,13}. В этом случае значения х2,хз определены однозначно: х2 = о(1, 2), х3 = о(1, 3) и шах^(о(Б) — х(Б)) = —х1.

Пусть х2 < 1. Рассмотрим редуцированную игру ох2 на множество игроков {1, 3}. По лемме 7 а - стандартное решение для игр двух лиц. Пусть у = (у1,уз) = а({1, 3},ох2). Тогда

о(1, 2) — у1 — х2 = о(3) — уз = —у1, (15)

и, по свойству подтверждения решения а, (у1 ,х2,уз) € а(^,о). Из (15) и равенства у1 +уз = х1 +х3 следует, что ((у1,х2 ,у3), о) = {1, 3}, и снова возвращаемся к случаю 1.

Если х2 > 1, то рассмотрим редуцированную игру на множество {2, 3} относительно у1. Тогда получим игру ({2, 3},уУ1). Пусть ее стандартное решение равно (х2,х3), г2 + = х2 + уз и Х2 < х2. По свойству подтверждения (у1,%2,хз) € а(Ж,у). Будем повторять процедуру редуцирования до тех пор, пока вторая компонента вектора решений не станет меньше 1.

Остальные случаи рассматриваются аналогично. ^

Пред к-ядром будем называть множество РК(у) = {х € X(х) = ¡^(х) для всех г,] € Ж, г = ]}.

Рассмотрим решение а1 , определяемое как

{у € а(Ы, у), или

Зх^, такое что (х^, у) € а (Ж и г, у),

где ух = у и 51(^^)^)1^} = 51 (у, у).

Очевидно, а1(Ж,у) Э а (Ж, у) для любой игры (Ж, у). Действительно, решение а1 является согласованным расширением решения а (см. [1]), хотя только для редуцированных игр относительно векторов выигрышей х, обладающих следующим свойством:

(л(х,у) = /л(х1 ,vХi).

Рассмотрим еще одно решение а, которое является максимальным согласованным подрешением решения РК П а1. Это решение не пусто, так как пред п-ядро принадлежит и пред к-ядру, и решению а1.

Покажем, что решение а в действительности состоит из одного пред п-ядра. Для этого достаточно доказать следующую лемму.

Лемма 8. Решение а одноточечно, т. е. является значением.

Доказательство следует доказательству одноточечности решения а теоремы 4.3 статьи [5]. Заметим, что решение а удовлетворяет почти всем аксиомам цитированной теоремы, за исключением, возможно, свойства подтверждения. Оно также эффективно и удовлетворяет свойствам, необходимым для доказательства:

х € ¿(Ж,у) Уг € Ж ЗБг, Б ® €51(х,у) такая, что г € Б,,г € Б1. (16)

Свойство (16) следует из включения а С РК.

Пусть (Ж, у) - произвольная игра. Рассмотрим реплику этой игры, т. е. игру (Ж *,у) с множеством игроков Ж * С М, N - универсальное бесконечное множество игроков, \Ж*\ = \Ж\ = п. Для любого числа а, удовлетворяющего неравенству а > (п2 + п) тахр^см (у(Р) - у (Я)), определим реплицированную игру (Ж и Ж * ,у):

У(Б и Т*) = \у(Б), если Т* = Б*,

-а, иначе,

где Б,Т С Ж, Б*,Т* С Ж *. Пусть % € а(М и Ж *,г>). Заметим, что в игре (Ж и Ж * ,г>) игроки г, г* симметричны, следовательно, по свойству симметрии решения а х^ = х^*. Из доказательства теоремы 4.3 работы [5] следует, что в редуцированной игре (Ж, и) (и = угм) на множество игроков Ж относительно х характеристическая функция и определяется равенствами

и(Б) = у (Б) - г (Б), УБ С Ж. (17)

Заметим, что доказательство этого факта в статье [5] не использует свойства подтверждения решения а. Пусть x G a(N,v). Тогда по ковариантности решения а x — zn G a(N, u).

Докажем теперь, что y = (x — zn, zn) G PK(N U N*, V). Пусть i G N, j* G N *. Покажем, что

max (V(S U T*) — y(S U T*)) (18)

S3i,T

достигается на коалиции S = T.

Из доказанного в [5] равенства (17) u(S) = v(S) — z(S) следует, что для всех S С N

v(S) — z(s) > —а — z(n_), (19)

где N_— множество всех i G N, для которых zi < 0. Если в (18) S = T, то

max (V(S U T) — y(S U T)) = —а — x(S) + z(S) — z(T)

для некоторых коалиций S,T С N. Очевидно, что для всех коалиций T С N z(T) ^ z(N_). Из этого неравенства и (19) получаем, что

v(S) — x(S) > —а — x(S) + z(S) — z(T),

а последнее неравенство означает, что

В(Б и Б*) — у (Б и Б*) > В(Б и Т *) — у (Б и Т *) (20)

для любой коалиции Т С N.

Из равенств и(Б) = о(Б) — х(Б) = В(Б и Б*) — у(Б и Б*) вытекает, что

(х,о)= в^* (у, о). (21)

Так как х € РК(^,о), имеем равенства (х,о) = в^(х,о) для всех г,] € N, вместе с равенствами (21) доказывающие промежуточное утверждение: у € РК(М и N*, В).

Так как пред &-ядро обладает свойством симметрии и игроки г г* ,г € N симметричны в игре N и N *, о), получаем равенство х — гN = , откуда следует х = 2гN.

Дальше с использованием В(Б и Б*) — у(Б и Б *) = о (Б) — х(Б) и неравенства (20) имеем В(Б и Т *) — у (Б и Т *) = —а — х(Б) + г(Б) — г(Т) для Б = Т.

Так как вектор х был выбран произвольным из множества а(^, о), он определяется единственным образом, т. е. решение ¿""(-/V, у) = х одноточечно. ^

Теорема 2. Если решение а для класса Я с универсальным бесконечным множеством игроков N удовлетворяет аксиомам непутоты, ограниченности, ковариантности, независимости от сдвига, подтверждения и макс-инвариантности, то для любой игры € Я а^,о) С ЬС

Доказательство. Ранее было показано, что наименьшее С -ядро удовлетворяет всем перечисленным аксиомам. Достаточно показать, что максимальное по включению решение, удовлетворяющее всем аксиомам, заявленным в формулировке теоремы, совпадает с наименьшим С -ядром. Для простоты будем обозначать это максимальное решение также буквой а. Из лемм следует, что а = ЬС для класов игр двух и трех лиц. Докажем, что а1 ^ ЬС.

Рассмотрим сначала класс игр двух лиц. По определению решения о\ из х € следует, что либо х € = ЬС(Ы,у), и в этом случае доказательство

завершено, либо найдутся такие игрок г €М и игра трех лиц N и {г}, л), для которых (уг,Х1 ,Х2) € а(Ы и{г},л), = V и

/л(х,у) = /((уг,х),т). (22)

По лемме [7] а(М и {г}, л) = ЬС(Ы и {г}). Следовательно, набор кладиций Б1 ((уг, х), л) сбалансирован или содержит сбалансированный поднабор, и по (22) этим же свойством обладает набор Б1(х, V), т. е. х € ЬС(Ы, V). Так как для игр трех лиц а = ЬС и для любой игры а(Ы, V) С а^(Ы, V), то имеем а^(Ы, V) = ЬС(Ы, V) для всех игр двух лиц. Предположим, что а\ ^ ЬС для всех игр с числом игроков, меньшим п. Пусть х € а!(Ы^). Если набор Б1(х^) сбалансирован или содержит сбалансированный поднабор, то х € ЬС(Ы, V). Пусть для некоторого г € N

/(х, V) > /(хг, Vх ).

По определению редуцированных игр это возможно, когда набор состоит из коалиций {г} и/или N \ {г}. Если такой набор содержит обе коалиции, то он сбалансирован и х € ЬС(Ы^). Если же он состоит только из N \ {г}, то рассмотрим редуцированную игру на множество игроков {г^} относительно х. Для редуцированной игры ({г, j},vx(ij))

Vхг) = хг + хз, Vх(г) - хг < Vх - хз <

и (хг,х3) не является стандартным решением редуцированной игры. Аналогично доказывается невозможность Б1(^, V) = {г}.

Остается рассмотреть случай /(х= /(хг ) для всех г € N .В данном случае по определению решения а\ хг € а\N\г, vxi) для всех г € N. Этот факт и индукционное предположение приводят к следующим соотношениям:

I Б1 (х^) слабо сбалансирован и/или х € а1(N,v) ^^ < .

I Уг € N, /л(х,'и) = /(хг) и набор Б1(хг,vxi) сбалансирован.

(23)

Таким образом, для того чтобы доказать равенство а1(N,v) = ЬС), достаточно показать, что х € аи из Б^х/и) = {{г, }, ^ \ {г}} следует х € ЬС^^).

Из определения решения а и леммы 8 вытекает, что решение а удовлетворяет свойствам непустоты, одноточечности, ковариантности, симметрии и согласованности. Следовательно, по теореме Оршана [7] а = PN.

Определим еще одно решение Р для класса Ям таким образом: для любой игры (N,v)

Р N, v) = {х € У N, V) | 83 (х) = 8ц (х) = /(х, V) Уг^ € N},

где У^^) = {х € х^) = v(N)}. Очевидно, решение Р может быть пустым для некоторых игр, но оно согласовано. Тогда решение PN и Р С а = PN, откуда

х € Р(N,v) х = PN(N,v). (24)

Пусть N, V), п ^ 3 - произвольная игра и х € а1 N, V), х = PN(N, V). По (24) это означает, что для некоторых г^ € N либо (х) = в^х), либо (х) = ¡^(х) < /(х, V).

Предположим, что (х),в^(х) < ¡л(х,о). Тогда

Б €^1 (х, о) г,] € Б или г, ] € Б.

Из соотношений (23) следует, что для любого г € N набор S1(xг,vXi) слабо сбалансирован. Это значит, что для любого г € N найдутся такие неотрицательные числа Хг3,Б С S1(x,v)N, Б = N \ {г}, что Хг3 = 1. Тогда из уравнений А^ = 1

Sэj 3£в1(х,у)

Бэг

вытекает, что А^ = 1, и набор чисел А^ обеспечивает слабую сбалансирован-

Бе81(х,у) Sэj

ность набора S1(x,v).

Пусть теперь для некоторых г, ] (х) < Sji(х) = (л(х, о). Тогда г € Б cSl (х, о) ] € Б. Таким образом, для любых к = г,]

]г а% > ^ а%=1,

Sэj Sэi

3е31(х,у) S€sl(x,v)

откуда имеем

Е АS = Е А%.

Sэi Sэj

S€sl(x,v) Sesl(x,v)

Из последнего равенства получаем, что для любой коалиции Б € Sl(x, о) либо г,] € Б, либо г, у ^ й*. Таким образом, Sji(х) ф /х(ж, у), потому этот случай невозможен. ^

Следующая теорема показывает логическую независимость аксиом, характеризующих наименьшее С -ядро в теореме 2.

Теорема 3. Аксиомы, описывающие свойства решений кооперативных игр для класса ТП игр Я : непустоты, ограниченности, ковариантности, подтверждения, инвариантности относительно сдвига и макс-инвариантности, являются логически независимыми.

Доказательство проводится путем приведения примеров (непустых) решений кооперативных игр, удовлетворяющих любым из пяти объявленных аксиом (кроме непустоты) и отличных от наименьшего С-ядра. Пусть € Я - произвольная игра:

1) без аксиомы ограниченности: а1(^,о) = У

2) без аксиомы ковариантности: эгалитарное решение а2(^,о) = )/п,...

)/п);

3) без аксиомы инвариантности относительно сдвига: положительное С-ядро а3(^о)= РС(^о);

4) без аксиомы подтверждения: пред к-ядро = РК(^,о);

5) без макс-инвариантности: решение Ф, определяемое как минимальное расширение значения Шепли, удовлетворяющее аксиоме подтверждения.

Обозначим через Ф значение Шепли. Для игр двух лиц положим Ф = Ф.

Для игры трех лиц N = {1, 2, 3},о) обозначим через о^д характеристическую функцию редуцированной игры на множество игроков N \ Б относительно х^. Введем в рассмотрение следующие решения:

Фк (ВД и ^ Ф(С\в)) )> Фк (у) = *к-1(у) и Фк (у),

всм ^е(Фк-1(у))з )

Ж

Ф(Я,у) = Ф(Я,у) ^У ФкN V).

к=1

Предположим, что решение Ф уже определено для игр с числом игроков, меньшим п. Определим решение Ф для игр п лиц так:

*1(ВД

Ф 1(ВД Ф

Фк(^у)

Ф

Покажем, что решение Ф удовлетворяет аксиоме подтверждения. Пусть у € Ф(М,у), гм\т € Ф(Ы \ Т,уУМ\т). Тогда по определению решения Ф (25) у € Фк(у) для некоторого к и, следовательно, у € Фк(у). Опять из определения (25) следует, что вектор (ут,гК\т) € Фк+1(у), т. е. (ут,гК\т) € Ф(у).

Так как значение Шепли удовлетворяет аксиоме инвариантности относительно сдвига, решение Ф также удовлетворяет этой аксиоме.

Ковариантность решения Ф очевидна. Остается показать его ограниченность. Для игр двух лиц решение Ф одноточечно. Предположим, что решение Ф ограничено для всех игр с числом игроков, меньшим п, и пусть для некоторой игры п лиц решение Ф(М,у) неограничено. Тогда найдется последовательность хт € Ф(у), члены которой содержат координаты, стремящиеся к т. е. для любого числа

А > 0 и для всех т > М(А) (хт)^ > А, (хт)1 < —А для некоторых подмножеств

и ((ФИ)в, Ф(М \ Б^»*)), Ф 1(у) = Ф(у) и Ф1(у),

всм

= и и (хв,Ф(К\в^)) |, Ф2М = Ф1ИиФ2(у),

всМ е(Ф 1(у))з

у ((Ф(у))я, (ф(<з))5)),

всМ

Ф(М,у) и Ф1(Я,у),

щ и (хв, Ф(м \ в^з)

Ф 1(М,у) и Ф2(Я,у),

и

У (хв, Ф(М \ )

всМ €(Фк-1(М,у))S

Фк-1(М,у) и Фк(^у),

(25)

= Ф(Ы,у) и и Фк^,у).

к=1

j G Ji, l G J2 (так как число игроков n конечно, не ограничивая общности, можем предполагать, что множества Ji, J2 не зависят от m).

По определению решения Ф (25) xm G Ф^т) для некоторого k(m). Тогда найдутся такие коалиции S (m), что

(xm )S(m) G Ф k(m)-1(N,v), (xm )N\S(m) G ^(N \ S(m) ,v'N\S(m)) '

Если бы (Ji U J2) П S = 0, то характеристическая функция vN\s была бы ограничена по индукционному предположению, и решение \ S,vN\s) было бы также ограничено, т. е. (J1 U J2) П (N \ S) = 0, что невозможно. Следовательно, (J1 П J2) П S = 0, и множество Фk(m)-i(N,v) неограничено.

Продолжая процесс построения неограниченных множеств Ф^^^) по заданным неограниченным множествам Фk(N,v),l < k, получим, что для некоторой коалиции S С N множество ^(N, v))s, (Ф(N \ S, vN\Si))s )) неограничено. Однако Ф(N, v) - значение Шепли игры (N, v), которое одноточечно, следовательно, характеристическая функция vN\S))S ограничена. Таким образом, по индукционному предположению множество \ S, vN^S^S ) также ограничено, и мы получили противоречие.

Литература

1. Thomson W. Consistent allocation rules. Rochester: Economics Department, University of Rochester, 2003. 202 p.

2. Печерский С. Л., Яновская Е. Б. Кооперативные игры: решения и аксиомы. СПб.: Изд-во Европ. ун-та в С.-Петербурге, 2004. 459 с.

3. Schmeidler D. The nucleolus of a characteristic function game // SIAM J. Appl. Math. 1969. Vol. 17. P. 1163-1170.

4. Yanovskaya E. Consistency for proportional solutions // Logic, Games and Social Theory: Extended Abstract of the Intern. Conf. St. Petersburg, 2001. P. 249-253.

5. Orshan G., Sudholter P. Reconfirming the Prenucleolus // Math. Oper. Res. 2003. Vol. 28. P. 283-293.

6. Соболев А. И. Характеризация принципов оптимальности в кооперативных играх посредством функциональных уравнений // Математические методы в социальных науках. Вильнюс: Ин-т математики и кибернетики АН Лит. ССР. 1975. Вып. 6. С. 94-151.

7. Orshan G. The prenucleolus and the reduced game property: Equal treatment replaces anonymity // Inter. J. Game Theory. 1993. Vol. 22. P. 241-248.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья принята к печати 24 сентября 2009 г.