CC BY
20
УДК 519.833.5
свойства ядер дискретнои кооперативной игры
© 2009 г. А.Б. Зинченко
Южный федеральный университет, 344090, Ростов н/Д, ул. Мильчакова, 8а, dnjme@math. sfedu.ru
Southern Federal University, 344090, Rostov-on-Don, Milchakov St., 8a, dnjme@math. sfedu.ru
Дано описание C-ядра, D-ядра и СС-ядра дискретной кооперативной игры. Исследованы соотношения между этими множествами и ядрами трансферабельной релаксации дискретной игры. Получены условия непустоты ядер.
Ключевые слова: дискретная кооперативная игра, С-ядро, СС-ядро, D-ядро, сбалансированность.
Description of core, dominance core and cover core for discrete cooperative game is given. Correlations between these sets an d cores of transferable relaxation of discrete cooperative game are investigated. Non-emptiness conditions for cores are received.
Keywords: discrete cooperative game, core, CC-core, D-core, balancedness.
Наиболее изученным классом кооперативных игр являются игры с трансферабельной полезностью (ТП-игры) 0Т=(Ыу\ Ы={\,...,п}, п>2, у.2м
v(0) = 0, допускающие перераспределение полезности между игроками (побочные платежи). Платежи могут осуществляться в виде денежных выплат (премий, взяток) или как передача материальных ценностей. Предполагается, что индивидуальные полезности измеримы по одной шкале и могут передаваться от одного игрока к другому без потерь и ограничений. Однако существуют экономические ситуации, в которых не все побочные платежи возможны. Например, количества некоторых товаров могут выражаться лишь целыми неотрицательными числами. Для формализации таких ситуаций приходится использовать более сложную игровую модель с нетрансферабельной полезностью (НТП-игру) Онт =(^К), где V - многозначное отображение, ставящее в соответствие каждой коалиции непустое множество К^сй^ , содержащее |Л'| -мерные векторы выигрышей, допустимые для коалиции &
Пусть х(5)=Хге5хг для х(0)=О; =
= {х = (хг)ге5| хг е 7. / е S^,: 2 - множество целых чисел. Игру 02 = N У2 ) с характеристической функци-
ей
Vz(S)={xeZs\x(S)<vz(S)}, vz:2n^Z и це-
лочисленными исходами хе Z назовем дискретной. Возможны дискретные варианты игр рынка (market games), сетевых (flow games), инвестиционных (investment games), производственных (production games), игр о банкротстве (bankruptcy games) и др. Основные концепции решения НТП-игр являются обобщениями решений классических кооперативных игр. При таком переносе возникает неоднозначность и сложные задачи, связанные, например, с
формулировкой критериев существования и единственности решений. В литературе описано несколько вариантов обобщения вектора Шепли, различные условия сбалансированности НТП-игры, каждое из которых налагает ограничения на структуру множеств V(S) [1]. Существует два понятия выпуклости НТП-игры, до сих пор нет приемлемого в общем случае понятия эксцесса.
В данной статье исследуются свойства С-ядра, Б-ядра и СС-ядра дискретной игры, а также соотношения между этими множествами и соответствующими решениями трансферабельной релаксации СК2 = (V. у2 ), игры Ог.
При определении ядер игры используются множества дележей и двойственных дележей, которые
G, GB
имеют вид
h=IRZ
R1
7n
x(N) = vz(Ny, x, >vz(j),j^N};
для игр
= Iх'
1*2 = 4 п г" , ГК2 = {х е К" | х(Л0 = ^ (ЛО; Хг < у;(г),
/еЩ, где = ЗсЛГ. Как из-
вестно, 1К2 ^0 тогда и только тогда, когда
(1)
Если то 1к2 =сопу{/1,...,/"}, где
/ (/,...../,;>. Ы,
/! =vz(iV)-Zteдг\{I■}vz(¿)> ¡ем. (2)
Следовательно, условие (1) также необходимо и достаточно для непустоты множества дележей дискретной игры. Аналогично получаем необходимое и достаточное условие
£,еМу*2(0>у2(Ю (3)
непустоты множества двойственных дележей I * игры 02.
D-ядром (D-core, dominance core) кооперативной игры называется множество недоминируемых дележей, а С-ядро (core) составляют такие дележи х, что ни одна из собственных коалиций SczN не может самостоятельно получить выигрыш, больший, чем x(S). D-ядра и С-ядра дискретной и релаксированной игр игры имеют вид Dz = Iz \dom I z , DR2 = IRZ \dom IRZ ,
Cz = CRZ n Z , CRZ = {x e IRZ
Известны следующие соотношения между множествами CRZ и Drz : CRZ с Drz ; если DRZ ф0 и выполняются условия vz(S) + Z
ieN\S
vz(f)<vz(N),ScN,
(4)
то CRZ DRZ ■
если CRZ ф Drz , то CRZ =Q
Утверждение 1. Для игры ^ справедливо:
a)
b) условие (4) не является достаточным для ра-
венства CZ = DZ
для \S\=1, x*(S)>vz(S)-l для 2 < \S\<n-l. В [2]
доказано, что множество недоминируемых дележей дискретной игры совпадает с множеством целочисленных решений линейной системы x(N)= vz (N),
x(S) > vz (S) -|Sj +1, S<zN. Получаем x* e Dz и
x* g Сz , что противоречит предположению Сz = Dz .
В качестве решения ТП-игры с пустым С-ядром и D-ядром иногда используется СС-ядро (cover core), являющееся пересечением множества дележей с множеством двойственных дележей. Ана-логично определим СС-ядро дискретной игры CCz = Izr\I*z=CCR2r\ZN ,trq CCrz = IRZr^iRZ =
,iV I
JRZ RZ
* ,
c) если CZ*DZ , то возможно Cz ф0;
d) DRZr,ZNŒDz.
Доказательство. Соотношение а) доказывается аналогично вложению CrzœDrz [2]. Справедливость b) и с) доказывает пример дискретной игры
VZ(i) = 0}, i eN = {1,2,3},
VZ (1,2)={xeZ{1,2} ^ + x2 < 2}, Vz (1,3) = {xeZ{1,3}| xi+ Хз< 1}, [, (5)
VZ (2,3) = {x e Z{2,3} x2+ x3< 1},
VZ (1,2,3) = {x e Z(1,2,3}| x^x2+x3< 2} в которой vz (1,3) - i--z (2,3) - 1. I 'z (1,2) - I 'z (1,2,3) - 2 , y- (z) = 0, i <eN . Игра удовлетворяет (4), но 7Z = {(2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)}, Cz ={(1,1,0)}, Dz = 7Z\{(0,0,2)}*CZ. Вложение d) следует из соотношений DrzC)Zn = = (IRZ\domIRZ )r.ZNaiRz nZN)\dom(IRZ nZN ) = = 7Z \dom Iz = Dz .
Теорема 1. С-ядро дискретной игры GZ совпадает с ее D-ядром тогда и только тогда, когда CZ = IZ .
Доказательство. Если Cz = Iz , то из вложения Cz ç D,. с: Iz получаем Cz = Dz . Обратно, пусть ('у = i),. ф0. Предположим, что С2ф12. Тогда d{x*,y*)=min{YJl£N\x1 -y,\\xGlz \ CZ, yeC2} = 2,
* * v_i
xi = yi +et, e, e {0,1,-1} для всех isN, Хгел?ег =0 -Из >>gCz и x<eI2\C2 следует y*(S)>vz(S) для SœN; x*(S)<v2(S) для^еОс^ег^! 2 <\S\ < n -1} , Q*0, x*(S)>vz(S) для Se2N\Q. Если SeQ, то x*(S) +1=/(S) >vz(S), следовательно, x*(S) >vz(S)
= {хеДж| х{Ы) = у2{ыу, уга)<х1<у1а),1ещ -
СС-ядро релаксированной игры.
Утверждение 2. Для игры GZ справедливо:
a) С2сСС2;
b) существуют дискретные игры, для которых
CC.cz И,.
Доказательство. Соотношение а) следует из известного вложения СК2 с: ССК2 . Справедливость Ь) доказывает пример дискретной игры (5), в которой СС2 = {х ^ ZN\xl+ х2+ хъ =2, 0 < х1;х2 <1, х3 =0} = ={(1,1,0)}=С2с=/>2.
Теорема 2. СС2ф0 тогда и только тогда, когда выполняются условия (1), (3) и Vу (/') < \ 'у (/). г е N .
Доказательство. Если СС2ф0, то из СС2 сССК2 следует С'('л/ ф0. Условия теоремы вьшолняются, так как они необходимы и достаточны для непустоты множества ССК2 . Обратно, пусть выполняются условия теоремы, тогда ССК2 ф0, т.е. совместна система х{М) = (АО ; хг < у*2 (/'), - хг < -у*2 (/'), г е N. Множество СС^ , являющееся многогранником, имеет по крайней мере одну вершину ~. Соответствующий ~ базис В = (Ьу )1 состоит из строки (1,...,1) и (п- 1)-й строк, каждая из которых содержит единственный ненулевой элемент />,. = ±1, значит det В = ± 1. Так как функция
у2 целочисленна, то х е СС2, т.е. СС2 Ф0.
Необходимым и достаточным условием существования С-ядра ТП-игры является ее сбалансированность
Х5:ге5я5=1, геМ. (6)
Из С2 с СК2 следует, что условие (6) необходимо для непустоты С-ядра игры GZ, однако дискретной игре ^ с непустым Д-ядром может соответствовать ТП-игра GRZ, не имеющая Д-ядра. Например, дискретная игра трех лиц, определенная функцией У2(г,Л = У2(1,2,3)=3, У2(г) = 0,
геЫ = { 1,2,3}, имеет непустое £>-ядро £>2 ={(1,1,1), но ¡)К7 = (' н/ =0. Используя результаты из [3], получаем, что необходимым условием непустоты Б-ядра игры 02 является сбалансированность ТП-
игры СК2 =(Ы, у2 ), где у2 : 2м 2 , ¡7^ (ЛГ) = (ЛГ),
Для НТП-игр введено несколько типов сбалансированности: стандартная [4], ¿-сбалансированность [5], (¿.^-сбалансированность [6], ^сбалансированность [7], зависимая от исходов [1] и др. Все перечисленные типы сбалансированности являются достаточными условиями непустоты С-ядра НТП-игры, а последние два - также и необходимыми. Непосредственное применение условий сбалансированности НТП-игр к рассматриваемому нами частному случаю невозможно из-за требований, налагаемых на характеристическую функцию V. Например, все типы сбалансированности предполагают, что из хе уе ^ и у < х следует уе
Приведем достаточные условия непустоты С-ядра дискретной игры, выполняющиеся для некоторых классов кооперативных игр, возникающих в реальных экономических ситуациях. Пусть (у-,- )0 -О-нормализация функции v г , т.е. (у2) 0(я) = = у2 (5) - ^ (0 ' ^ Е а (у^ )0 - 0-нормализация функции у2 , двойственной к у2 .
Утверждение 3. Если выполняются условия:
a) т= =
b) к0(ЛО > 0, у0(5) < у0(Ю для ^ с у0(Я) < 0 для таких Л'с Л', что У'\Л'^0. то С2 = = со«у{/г|г'еГ}п2ДГ^0, где /! определены (2).
Доказательство. Как доказано в [8], при выполнении a), Ь) С-ядро игры 0К2 является (|г| -1)-
мерным симплексом ск2 = сопу{/' | / е т\ ^0. При
целочисленной функции у2 все /! цело численны. Справедливость утверждения следует из соотношения между множествами СК2 и С2 .
Утверждение 4. Если выполняются условия:
^ 7= п{Я е 2(у2)о(Я) = (У2)О(М)}*0 ;
Ъ) (^)о(ЛО >0, 04)0 (5) > 04)0(Л0 для ^сЖ, С^)0(5') > 0 для Хс^, Т\Б Ф0, то С2 = соиу^/еПпг" * 0, где ^ =
= »/'(Л), к* I, g'i = У(Ю - т{1}У*(к), /еЖ
Доказательство следует из утверждения 3 и соотношений двойственности для кооперативных игр.
Для формулировки следующего утверждения нужны векторы маргинальных вкладов т" = (т^), соответствующие перестановкам л множества Ы, где
< дг - коали-
ция, геЖ
Утверждение 5. Если существует такая перестановка 71, что
S*R? JeN,
(7)
то С-ядро целочисленной игры не пусто.
Доказательство. Из определения тл следует,
что vz(5') = ZH
для S= Rf , /' е N. Учитывая (7),
с2 , т.е. с2 * !
имеем т" е . При целочисленной характеристической функции все векторы маргинальных вкладов целочисленны, следовательно, т7'
Подмножеством игр, удовлетворяющих (7), являются ТП-игры, обладающие CoMa-свойством [9], в частности, выпуклые игры и невыпуклые игры, описанные в [9-11].
Литература
1. Bonnisseau J.-M., Iehle V. Payoff-dependent balanced-ness and cores // Games and Economic Behavior. 2007. Vol. 61. № 1. P. 1-26.
2. Branzei R., Dimitrov D., Tijs S.H. Models in cooperative game theory: crisp, fuzzy and multichoice games. N.Y., 2005. 134 p.
3. Azamkhuzhaev M. Kh. Nonemptiness conditions for cores of discrete cooperative games // Computational Mathematics and Modeling. 1991. Vol. 2. № 4. P. 406-411.
4. Scarf H. The core of an n-person game // Econometri-ca. 1967. Vol. 35. P. 50-69.
5. Billera L. Some theorems on the core of an n-person game without side payments // SIAM J. Appl. Math. 1970. Vol. 18. № 1. P. 567-579.
6. Keiding H., Thorlund-Peterson L. The core of a cooperative game without side payments // J. Optim. Theory App. 1987. Vol. 54. № 2. P. 273-288.
7. Predtetchinski A., Herings P. A necessary and sufficient condition for non-emptiness of the core of a nontransferable utility game // J. Econ. Theory. 2004. Vol. 116. P. 84-92.
8. Branzei R., Tijs S.H. Cooperative games with a simplic-al core // Balkan Journal of Geometry and Application. 2001. № 6. P. 7-15.
9. Assignment games satisfy the CoMa-property / H.J.M. Ha-mers [et al.] // Games and Economic Behavior. 2002. Vol. 38. P. 231-239.
10. Granot D., Huberman G. Minimum cost spanning tree games // Math. Progr. 1981. Vol. 21. P. 1-18.
11. Kuipers J. On the core of information graph games // Int. Journal of Game Theory. 1993. Vol. 21. P. 339-350.
Поступила в редакцию
5 марта 2008 г.
m
m
