Смешанный способ решения прямой плоской засечки Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 67, в. 2 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1951 г.

СМЕШАННЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ ПЛОСКОЙ ЗАСЕЧКИ

Б. Ф. КРУТОЙ

§ 1. Постановка задачи и возможные способы ее решения

Прямой плоской засечкой в геодезии называется задача по отысканию наблюденного положения 1 определяемой точки на плоскости посредством двух наблюденных примычных лучей Л2>1 и Л$.и пересекающихся в точке I и проведенных на эту точку с двух твердых примычных точек П Э 2, 3 плоскости (фиг. 1.1 и 1.2). Построение лучей Л2*1, Ль.х производится с помощью наблюденных углов т2> Тз* Эти углы в общем случае (фиг. 1.1) откладываются на примычных точках^ 2, 3 по ходу часов от двух твердых направляющих лучей Л2.± и про-

веденных с твердых примычных точек 2, 3 на соседние твердые направляющие точки Я Э 4, 6, В частном случае (фиг. 1.2) каждая из примычных точек П может являться одновременно направляющей Я для сосед-£ ней с ней примычной точки. По осно-^ ваниям, выясняющимся из последующего изложения, плоскость, на кото-Фиг. 1.1 рой расположены точки 1, 2, 3, 4, 5,

будет называться в дальнейшем о с-новной плоскостью.

Решение прямой плоской засечки, т. е. нахождение наблюденного положения определяемой точки 1 и примычных отрезков /71 на основной

____Фиг. 1.2

1) Знак Э показывает, что множество П примычных точек распадается на отдельные точки 2, 3.

плоскости, может быть выполнено двумя путями: 1) построитель и ым способом—быстро, но приближенно, 2) в ы ч и с л и т е л ь н ы м способом— более сложно, но зато точно. Однако вычислительное решение прямой засечки довольно громоздко, особенно, если_длина стороны 2.3 нам не дана, а известны только координаты точек 2, 3 . Поэтому нами разработан третий возможный способ решения прямой засечки—смешанный, который является сочетанием первых двух способов и дает результаты с заданной степенью точности, требуя при этом меньшей затраты труда, чем второй из указанных способов. Решение смешанным способом ведется путем последовательных приближений.

§ 2. Смешанный способ решения прямой плоской засечки

Пользуясь заданными координатами хт3уг твердых точек 7 D П,НХ) (т } щн\ пэ2, 3; нэ 4,5) основной плоскости и наблюденными привычными углами составим на миллиметровке точный рабочий чертеж засечки с относительным уменьшением 1: УМ (фиг. 2.1). Уменьшение У[0] выберем с таким расчетом, чтобы длины сторон засечки получались в пределах 50—150 мм.

Обозначим через 1[о1 точные положения на рабочем чертеже изображений твердых Т и определяемой 1 точек основной плоскости, причем лгМ з яМ, «[о]. Через обозначим полученные на рабочем чертеже

путем построения приближенные положения точек т\°\ которые на-

зовем построенными изображениями этих точек. Пусть далее на основной плоскости точкам рабочего чертежа соответствуют точки 1(°)—построенные в первом приближении положения определяемой 1

Знак } обозначает, что общее множество Т твердых точек прямой засечки распадается на 2 частных множества П} Я иримычных и направляющих твердых точек.

Первое приближение

JWv \UJ

Фиг. 2.1

и твердых Т точек засечки. Тогда ошибке У1[о1 в положении точки 1[0] на рабочем чертеже будет соответствовать ошибка V 1(0> в положении точки 1(0' на основной плоскости, причем: — длина отрезка НЧ ау 1(0) —дли-на отрезка 11(0). Очевидно,

УК VIЮ) (2.1>

При тщательном исполнении рабочего чертежа ошибка V П0] обычно не превышает 1 мм.

Измерим теперь по рабочему чертежу длины построенных -в первом приближении примычных сторон 1К Точные значения длин отрезков «м 1[о1 обозначим через Тогда между точными и приближенными длинами примычных сторон на рабочем чертеже будет иметь место соотношение:

:1 ^ V № / ЛО\ /Л гг

О л — д . — , (пэ 233), (2.2\

пЛ пЛ пЛ х 3 п 4

где Л поправка длины ¿Д0^ , обычно не превышающая 2 -ил/. На основной плоскости равенству (2.2) соответствует равенство:

Д„л - л}^ - А (пЭ 2,3), (2.3)

которое получается из (2.2) умножением обеих его частей на отсюда более развернуто получаем:

л,л-

¿з.г--40\==А4°\ (2-3.1)

Следовательно, в (2,3):

п. 1 п. I п. I

д(0) = у[0] _ д[0] (2А}

зка

.1 ~~ " ' П.1

ДД(0) =у[О].д0[°] п.1 п.

Очевидно, что Д . = Д , есть длина отрезка /У 1, —длина отрес

п.! п.1 г п.1 г

/7(°) 1(°)) а ЛД^ — поправка длины Д^, равная длине отрезка 1,1^.

Для нахождения поправок вычислим прежде всего направляю-

щие (дирекционные) углы } примычных лучей Лп р

Для принятого на фиг. 1.1 и 1.2 способа положительного отсчета углов (по ходу часовой стрелки) мы будем иметь: а) в прямой засечке общего вида (фиг. 1.1):

^1.3 = <2-5Л>

б) в прямой засечке частного вида (фиг. 1.1)

ti3 = + (2.5.2).

Умножим далее первое из уравнений (2.3.1) Haco$¿13, а второе— на cos t<2 1 и полученные равенства сложим. После этого умножим первое из уравнений (2.3.1) на sin¿2 v а второе—на sin^ 3 и полученные равенства снова сложим. В результате этого мы придем к следующим двум равенствам:

Д2 1 COSÍ, j +дзл cosí, 3-4°) cos¿2Л-Д$>\ cosí, з -

== д cos t2 cosí, з (С)

»

Д2Л 3Ы21+Л31 siní, 3-4°) siní2л -4°) siníj з =

siní2Л+ДД(°) siní5 з

Но

л2 jCOsí2 J^osí, 3 = ^~x2 = T23

-72Л siní2 j -f Л3 j siní, 3 = y3 — y2 = v)2 3, (2.6.1)

где a'2 _y2, лз, _уз—заданные координаты твердых примычных точек 2, 3. Кроме того, введем обозначения:

40)1 siní2.1 + 4°\ (2.6.2) а также обозначения:

ДЛ<°> COS^ t + ¿ 4°) сой^ з = де№) + A5f>)3 = Абрз АЛ^ siní21 4- А Л <°\ sin^ з = + ArjW = А^ (2.6.3)

Тогда исходные равенства (С) в принятых обозначениях более сокращенно могут быть записаны следующим образом:

С*3--2)~40)3 = Ц0)3 (2-7)

Исследуем геометрический смысл равенств (2.7). С этой целью на основной плоскости на лучах ^ 1» 1 от ПРИМЫЧНЫХ точек 2, 3 в направлении на определяемую точку 1 отложим отрезки 2.3. длины ко-

Z о

торых равны соответственно М(2°\, Д$\ (фиг. 2.2). Тогда фиг. 2.2 и формулы (2.6.3) показывают, что параллельные осям координат отрезки Cj°) и С{°) представляют собой суммы ASÍj^» проекций поправок

г. Изв. ТПИ, т. 67, в. 2 O'V

ЛД^Я, ДД^, на те же осн. При этом важно заметить; что вычисление сумм Д^з по Ф°РмУлам (2.7) не требует предварительного знания искомых поправок ДД^, примычных сторон. Отсюда следует,.

что после нахождения величин Д^з1 АЧ°з по Ф°РмУле (2.7) мы можем воспользоваться этими величинами для обратного нахождения поправок

ее

V

у

Фиг. 2.2

применив для этой цели простое построение, понятное из рассмотрения фиг. 2.2, Так как длины поправок ДД1°\ согласно (2.4)

могут достигать значительной величины в 2 у!°1 мм (если принять 1 Д^°\|наи6 мм), то указанное вспомогательное построение может быть

выполнено только при условии соответствующего уменьшения этих поправок до размеров, не превышающих, например, 100 мм, Легко видеть,

что это будет иметь место, если уменьшение ^^вспомогательного построения будет выбрано таким, чтобы длины | ДЕ^: УЩ, получились в пределах 60—80 мм.

Для определения возможного значения У^ при заданном значении подсчитаем увеличение К^ вспомогательного построения, которое определим двойным равенством:

у[°]

уш

мП1г «

п. 1]иаио п. 1 наиб

(2.8)

где

14°',

п 11наиб —наибольшее безусловное значение ошибки в длинах ¿^ примычных сторон, измеренных по рабочему чертежу;

| ^п \ наиб —соответствующее безусловное значение увеличенной в

ЯШ раз поправки (ДЩ)наиб — ( У<Й)ваиб. 34

Полагая (v^, )наиб =±2 ( Ьд®\)т6 =±100 лм, из (2.8) по-*лучям: " ^

КШ^-Л^бО. 0.8.1)

В ряде случаев Кможет быть доведено до 100.

Вспомогательное построение, выполняемое с уменьшением и служащее для отыскания поправок в первом приближении, выполняется следующим образом. Определив уменьшение уШ вспомогательного построения из условия, чтобы длины : У^|Дт12°з: »

не выходили из пределов 60—80 мм, на восковке от некоторой ее точки ll1' откладываем отрезок

дрЩ 1 Ag(0) =1[i] с[\]

у[ 1] * 2.3 2 С1

св соответствии с правилом:

вверх от точки если

вниз от точки если (2.9)

Далее от концевой точки с^ отрезка с^ под прямым углом к зему откладывается отрезок

ЧН-йп- ■ Н0,3= 4" 1[з"

:а соответствии с правилом:

вправо от точки ¿Д1', если AtqW^O

(2.10)

влево от точки если Дт)М3<0

Изложенный здесь способ построения поясняется на фиг. 2.3. Нанеся на восковку по указанным правилам двойку отрезков lí^^ и

г 1ÍH мы затем накладываем эту восковку на рабочий чертеж так, чтобы

Л'1

■Ъ о

V

tr>

О »W

Фиг. 2.3

м

шрезок ^ был параллелен оси X, а отрезок параллелен оси У.

Далее поступательным перемещением восковки по чертежу добиваемся

35

того, чтобы одновременно точка совместилась с лучом а точка 1—с лучом | з(0]Н<>] (фиг. 2.4 и 2.5). Измерив теперь

Фиг. 2.4

следующего правила. Если лучи I и = |

1) одинаково направлены, то $¿^>0,

»д

2) п'р о т и в о п о л о ж н о направлены, то одМ <; о

Тогда значения 8ДШ в первом приближении искомых поправок

п.| г яЛ

найдутся по формуле:

= уП1' МпА (2Л2)

Наконец значения в том же приближении длин Д ^ пришив-

ных сторон П 1 вычислим по формуле:

(2J3)

4

Знак ] означает, что берется направленный отрезок

Найденные описанным выше способом приближенные значения ДО

п. *

.дайн Д , вследствие ошибок построения и измерения отрезков

% п

будут ошибочны на величины ДД,

Можно считать, что возможные значения разностей | 8<?[Ц — А'ШддП],!

I П. 1 . п. 1|

вряд ли превзойдут 2'мм. Отсюда следует, что

V Д*1) й =|'8Д<|) - ИДЩ <2УШ

% ^п.1 наиб I 'п.! ^п.1 наиб

Но из (2.4) после замены поправок ошибками находим:

I уд[0] =2У[0] мм=\ Д(0) п.1 наиб I пЛ наиб . пЛ

ММ

(2.15)

наиб

Отношение величин

наиб

наиб И

наиб

(2.16).

наиб характеризует степень

уменьшения остаточных ошибок в длинах примычных сторон в ре-

зультате выполнения первого приближения. Формулы (2.15) и (2,16) показываю*^ что уменьшение

у[0]

—50 (2.17)

уИ0) =

^л'наиб

п.1 ]наиб

уш

равно увеличению К^ вспомогательного построения в первом приближении«

Вычислением значений примычных сторон первое приближение

заканчивается. Однако, если намерены ограничиться вообще одним первым приближением, то дальше вычисляют по каждому из примычных лучей ЛпЛ значения в первом приближении координат уг

точки 1. Координаты я*1], вычисляют по формулам:

л;

^ х + Д*1) со51п ! +

П.1- П к п.1 п< 1 П I П1 1

(1) =

^ п Л

У и + 41! 31п{х

и в качестве окончательных берут координаты л^ •формулами:

п.1

/I)

(п э 2,3) (2.18)

определяемые

1 2

у(1)

2.1 ' л3 у

у(1) 4- у(1) 2 \ -^2.1 у3.\

(2.19)

§ 3. Второе и последующие приближения

Второе и последующие £-ые приближения производятся в основном в той же последовательности и теми же способами, что и первое приближение. Только здесь в качестве исходных берутся величины, -полученные з предшествующих приближениях. Отсюда вытекает следующий общий

ч

порядок смешанного решения прямой засечки на е-ой ступени приближения.

Обозначив через Д^у1) длину стороны П полученную из

(е— 1)-го приближения, а через ДД^у1) —искомую попразку величины Д^у1), мы будем иметь для~(е — 1)-го приближения следующее исходное равенство, подобное равенству (2.4) в первом приближении:

Д . - ДД^Т1) (3.1)

п.1 п. I п.1 4

Но в соответствии с (2.17) мы можем написать:

^.Т^-^ + ^Т1^ (3.2)

где ЗД^у1)— поправка длины > найденная из {е—1)-го прибли-

жения. Поэтому (3,1) можно привести к виду:

ДиЛ -Дп.Т 2)-3^?.Т1) = А ДпЛХ) (ПЭ 2'3> ' (ЗЛ-1>

или более развернуто:

М2Л 2.1 2.1 2.1

• Д-6Л~ 4еА2)^Д{ЗЛ1>==ЩеТ1)

Важно заметить, что искомая поправка ДД^у1),' значение которой еще нужно найти из е-го приближения, на одну ступень малости будет выше поправки о

, уже найденной из (е — 1)-го приближения. Умножим теперь первое равенство (3.1.2) на со$^ а второе равенство (3.1.2)—на соэ^ 3 и полученные выражения сложим. Затем умножим первое из равенств (3.1.2) на эш^ ^ а второе—на эш^ 3 и полученные

выражения сложим. Тогда, вводя прежние обозначения (2.6.1), а также обозначения, близкие к (2.6.2) и (2.6.3):

4е72)с^2.1+Д?Т2) СО*,.3 = 5^)+6^2) = ^

4ет2) 51п12.1 +4ет2) з1п11 .з =="'4е72) + =т>

(е-2)

2.3

(3.2.1)

ЪД^) сов^ л + 8 Д^ СОВ! 1.3 =8 #Г1} + 8 = 1)

ЗД^-!) 5т121 + 8 81Ш1 з

Д4е.Т1}^<^2.1 + ДД^1) 0081; з = Д ^ + А^-П =

8Ш12л + АД^) 81111,.з=АЧ§-1) + Д == А-4е11}

получим:

= ДЕ(«-1)

(3,2.2).

Но в соответствии с (2,7):

V 3 V 2.3 '2.3

Поэтому предыдущие равенства могут быть записаны в следующем окончательном виде:

Вычислив суммарные поправки Л^"1), Д*']^1*, переходим

к по-

строению с их помощью отрезков направленные длины которых

обозначим через ЗдИ^ С этой целью на восковке так, как это описано

выше в отношении ^отрезков Ч^1!, ¿Ш ][1] ; строим отрезки

*

и сМ 1[е]) направленные длины которых и Дт^"1! найдем так^

^2.3 — у[е] *

Дт^1! »—-т.Аг!!6;:1)

(3.5>

'2.3 у[е] ' '2.3

При этом уменьшение уН выбирается таким образом, чтобы длины отрезков 1М не превышали 70—80 мм. Затем передвижением: восковки по чертежу добиваемся одновременного совмещения точек: 1ГМ, восковки с лучами рабочего чертежа при условии

параллельности отрезков сМ, с^ соответствующим осям координат. Тогда длины направленных отрезков 1М п0 величине и знаку будут равны искомым поправкам Зд^ длин д!6"1] примычных сторон. Знак поправки Зд^ найдется по правилу (2.11).

Отыскав поправки длин д^у1! примычных сторон на чертеже

с уменьшением У№, соответствующие им поправки ВД(е) на основной плоскости найдем по фс^муле (ср. 2.12):

ЗД<в\ — УМ . ЗдМ, (3.6)

п.1 п.1 4 '

Наконец значения длин примычных сторон в £-ом приближе-

нии найдем по формуле:

Д1*\ = Д^т^ + ЗДМ (3.7)

П.1 П.1П.1 ч/

На этом е-ое приближение заканчивается.

Сходимость <?-го приближения, определяемая величиной увеличения : *

* •.

= 1 (3.8)

, уМ

при переходе от (^—1)-го приближения к е-му приближению, будет того же порядка, что и для первого приближения. Это вытекает из рассмотрения следующей прямой формулы для подсчета увеличения № :

I I *

= — 1--п_-_1_|_наиб^ . (38Л)

п. 1 { наиб

Здесь: о —наибольшее значение увеличенной при <?-ом приб-

наиб

лижении в яМ раз длины ошибки V , которую мы допустили в (е— 1)-ом приближении при построении отрезка 1И и измере-

нии его длины на рабочем чертеже. Если ставить требование,

чтобы ЗдН I не превышало 100 мм, и учесть, что и(Яе\

и Л | наиб г п.1 наиб

вряд ли превзойдет 2 мм, то отсюда из (3.8.1) следует:

г 100 мм Г11 /СМ = _ъ-=50 = /^11

2 мм

Итак, мы получили для е-то приближения то же значение увеличения что и для первого приближения.

Признаком конца решения прямой засечки смешанным способом будет равенство нулю (в пределах точности вычислений) остатков д ^Г^

А^-Ъ в некотором п-ом приближении.

Тогда окончательные значения длин Дп 1 и приращений координат

"п 1' \ 1 п0 ПРЙМЫЧНЫМ сторонам П 1 найдутся по формулам:

д = д(°)

п. 1 п. 1 1 п. 1

€=1

п

е = 1

Полученные значения Дп1, \ 1 пР0ВеРим п0 формулам:

? , = Д \ eost ,

п. I п. I и. 1

7] .=Д sin t . (3.10)

'n.l П.1 П.1

Наконец, окончательные координаты хх, уг определяемой точки 1 вычислим дважды следующим образом:

Х\ =*х2 -|--Е2 3 " + Е

'3 ' "3.1

^1=^2+42.1 = -"8 + ЪЛ'

(3.11)

На этом решение прямой засечки смешанным способам заканчивается. Обычно решение засечки при длинах сторон до 10 км требует 2 приближений.

Соберем воедино формулы решения прямой засечки смешанным способом.

Сводка формул

1У*2Л=12Л+.Ь

ИЛИ

* 4-"

1 5.3 ■ '3

общий случай (фиг. 1.1)

Первое приближение

3)

4) 4°) - ]

частный случай (фиг. 1.2)

е-ое приближение

7)

о6<*

'3.1

8) Цв.т

,(0) ч.з

4°) З1п11 ,

1 .3

ог(е~ Ч .3

"2.3 "2.1 1 П.З

9)

2.3

т(0) '2.3

7)(°) ]2.1

г,(0)

оЛ

2.3

10) Д&т

2.3

= 54еТ!) со^].з = 8-4,!Г1) з1п12.,

= ?'д(£л"] ^1.3 '2.3

А^-Ц-1)

•2.3 2.3

Окончание вычислений

"> Дп.1 13) Х1 1 = 1

е— 1

тг—\

2) ; + V о ,0)5* .

П.1 П.1 ' п.1 п.1ч п.1

е™ 1

+^2.1 = -Уз +

'3.1

§ 4. Пример решения прямой засечки смешанным способом

Деловые указания. Заключение

Даем пример на решение прямой засечки смешанным способом для случая, изображенного на фиг. 1.2 (табл. 1). Рабочий чертеж (фиг. 4.1) был составлен на миллиметровке с уменьшением yf°] — 100 000. Измерения по чертежу в основном и вспомогательных построениях произво-

Уменьшение уМ = 100 000

„ ' ytn — iooo yf^io

Фиг. 4.1 (уменьш. в 2 раза)

íT я б л и и я 1

6 666741.56 —2083.29 ^2 Ч1', +51.71 + 34.48 «IV»

6 674653.74 —2373.16 Ч", + 57.68 —83.89

Х3~~Х2 +7912.18 — 289.87 4 «i + 0.71 + 0.97

^2,3 357°54'06"6 357°54'0У'6 ^2.3 542>I + 1.130 - 0.161) ■m

48 36 32.4 294 26 23.1 + 0.78 - 0.06 ■m

¿2.1 46 30 39.0 292 20,29.7 ¿1.3 + 0.82 + 0.15 "ñ

cost2.1 « +0.688218 +0.380128 costj з ^2.1 — 0.01 0.00

7820.001) 6420.001) 40)i 7900.63 6510.54

sint2 л -+0.725505 -0.924935 Sint1.3 É "2.1 +5437.35 +2474-.84

Е<0> 2.1 +5381.86 +2440.42 5(0) м.з \л +5731.95 —6021.83

л<°> '2.1 +5673.45 —5938.08 xx 6 672178.91 +3648.66 V-

4 & + 89.90 — 25.24 90 67

•'4", + 79.501) + 90.701) 840)>

1) Взято с рабочего чертежа прямой засечки 42

1-е приближение 2-е приближение

ДЛ, ; ( = + 89,90 *Дл.(1<2>С<2>) - =.+ <),7 Г

дл. (СО) 10)) = А,((0)з = _ 25,24 дл.(С|2) = А г,^ - + 0,9Г

ATt1] = 100; уП1 =1000 ' /<И=100; i'í2] = 10

уШ .дл. ( ll}] l[°])=y[W. ЗдШ = у[2] . дл. ( lM lfO]) = у[2] Ц2] =

= = +79,50 = ¿Д<2) = + 1,13

у[1] . дл.( im 1[0])ву[1]; Ц1].= уИ . дл.( 1И 1[0])=у[2]. Ц23 = • = = + 90.70 = 5 Д (2) = - 0,16

3-е приближение ДЛ. ( 1«>С«3)) = = — 0-01

ДЛ.(ср>1(3>) Д - 0.00

дились с точностью до 1 мм. Задача решена 2 приближениями. В*3 приближении были вычислены только значения величин А , Дт^2), близость которых к нулю служила показателем конца решения засечки. Последовательные построения на рабочем чертеже, выполнявшиеся в ходе решения засечки, показаны на фиг. 4.1. Необходимые основные и вспомо^ гательные вычисления расположены в виде табл. 1. Наконец значении измеренных по рабочему чертежу отрезков и значения сумм

^ H'Jl)> а также их геометрический смысл и значения умень-

шений УМ помещены под табл. 1.

В заключение укажем, что решение прямой засечки можно считать законченным, когда в некотором e-ом приближении дойдем до таких значений Д^""1), Дг^71"1) , которые оказываются того же порядка малости.

что и требуемая точность окончательных координат х{, у{ точки L

Таким образом, если бы точность этих координат в 1 м была достаточна то можно было бы ограничиться одним первым 'приближением.

Это, например, будет иметь место при обработке сетей угломерного (тригонометрического) нивелирования, где можно удовлетвориться точностью длин сторон в 1 м. Для вычисления же предварительных значений координат точек в треугольнице (триангуляции) при уравнивании se способом косвенных наблюдений придется делать два приближения,

В заключение укажем, что опытное сравнение различных способов полного решения прямой засечки, т. е. с вычислением сторон и координат, показало сокращение объема работ до 30% для смешанного способа по сравнению с общепринятыми.

ЛИТЕРАТУРА

1. Красовский Ф. Н. Руководство по высшей геодезии, часть L вып. tf, § 108, 1939.

2. Бутле р С. А, Уравнивание заполняющих тригонометрических сетей, стр. 63-64, 1936.