Двойная обратная засечка, ее обобщение и различные способы решения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТ И Я

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 67, в. 2 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1951 г.

„ДВОЙНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАСЕЧКА, ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ И РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ

Б. Ф. КРУТОЙ Введение

Двойная обратная засечка известна в старых курсах низшей геодезии под названием задачи Ганзена. В этой задаче отыскиваются координаты двух определяемых пунктов 1, 2 по известным координатам двух твердых (опорных) пунктов 3, 4 и измеренным в точках 1, 2 четырем углам

Р» Ъ 8 между направлениями на твердые и определяемые пункты (фиг. !)„ Двойная обратная засечка в такой постановке начальных условий имеет широкое применение на практике, например, при привязках. Для ее решения разработано довольно много способов, из которых мы приведем лишь главнейшие, указав их характерные особенности.

По характеру формул эти решения могут быть разбиты на 2 группы:

1) формулы, рассчитанные на применение логарифмов,

2) формулы для вычисления на арифмометре (натуральные формулы).

Формулы первого типа известны уже давно и имеются в некоторых

учебниках низшей геодезии; формулы же второго типа появились сравнительно недавно, что объясняется поздним введением арифмометров в вычислительную практику.

В § 1 настоящей работы мы дадим сначала краткий обзор решений с логарифмическими формулами, затем изложим сущность имеющихся в периодической литературе решений по натуральным формулам. Но двойная обратная засечка в указанной выше постановке начальных условий является одним из частных случаев так называемой обобщенной двойной обратной засечки. Поэтому после разбора различных способов решения частной двойной обратной засечки мы эту задачу в § 2 обобщим. Приведя два существующие способа решения обобщенной двойной обратной засечки, этим не ограничимся и в § 3 разовьем собственное решение указанной задачи, которое будет составлять основное соаержание настоящей статьи.

В заключение укажем, что настоящую работу можно рассматривать, как монографию по вопросу о решении двойной обратной засечки—частном и общего вида. Необходимость в такой работе вызывается тем обстоятельством, что из ббльшого числа различных способов решения двойной

обратной засечки частного вида обычно только один способу а именно— решение с вспомогательным углом, помещается в существующих руководствах по низшей геодезии. Решение же обобщенной двойной обратной засечки в существующих руководствах вовсе отсутствует. Между тем в настоящее время известен ряд способов решения двойной обратной засечки, каждый из которых в определенных условиях имеет те иди иные преимущества по сравнению с другими способами решения указанной задачи. Эти способы в основном опубликованы в различных периодических изданиях, не всегда доступных широкой массе производственников. Поэтому представляется полезным сделать сводку известных к настоящему времени и имеющих наибольшую практическую ценность способов решения двойной обратной засечки, снабдив их соответствующими критическими замечаниями. Это дает возможность производственнику в завися-мости от имеющегося у него вычислительного навыка и наличных вычислительных средств выбрать тот способ решения двойной обратной засечки, который приведет его к цели с наименьшей затратой труда. Опытным вычислитель выберет способ, не содержащий промежуточных поверок, но. требующий наименьшего количества вычислительных действий. Малоопытный же вычислитель предпочтет тот способ, который хотя и содержит большое количество действий, но зато эти действия надежно поверяются на промежуточных ступенях вычислений. Поэтому в конечном счете выбранный более длинный способ решения призедет малоопытного вычисли теля к цели с меньшей затратой труда, чем более сокращенный, но бес контрольный на промежуточных ступенях способ решения той же задачи

1) Со вспомогательными точками (формулы 1 -ые). Полагав задачу решенной, проведем через пункты 3, 4 и 1 (фиг. 2) вспомогательеущ окружность, которая в пересечении с линией 1.2 даст вспомогатель&укь

§ 1. Различные способы решения частной двойной

обратной засечки

Решения I тина (но логарифмическим формулам)

"М^Ль)

Фиг. 2

точку Л, Проведя подобную же окружность через пункты 3, 4 и 2, по* лучим в пересечении с линией 1.2 вторую вспомогательную точку В. Идея решения заключается в нахождении дирекционного угла линии АВ, совпадающей с линией 1.2, после чего не трудно найти координаты пунктов 1 и 2.

Ход решения таков. По координатам пунктов 3 и 4 находим дирекцион--шш угол и длину прямой, их соединяющей. Из решения А-ка 3 А 4, в котором углы при пунктах 4 и 3 равны соответственно а и р—а, что видно из фиг. 2, вычисляем дирекционные углы и длины линий ЗА и 4 Л. По найденным элементам определяем затем координаты точки А„ Совершенно аналогично вычисляются координаты точки В, мосле чего без труда находим днрекционный угол линии АВ. Используя последний, очень просто находим углы тл и пл при пунктах 4 и 3.Когда углы тх и щ найдены, из решения А-ка 4Л .3 вычисляем координаты пункта !. Аналогичным путем отыскиваем углы т2 и щ при точке В, координаты точки В и, наконец, координаты пункта 2.

«Указанное решение несколько длинновато, но зато выгодно в том смысле, что в нем имеется много контролей, поэтому может быть выполнено даже неопытным вычислителем.

2) Со вспомогательным углом (формулы 2-ые). Несколько короче будет решение, излагаемое ниже, но оно требует от вычислителя ^большей опытности. Решение ведем следующим образом.

Из треугольников 3,1.2 и 4Л.2 (фиг. 3) находим углы ^ и а из треугольника 3,4.2—полусумму углов <р и ф. Написав затем условие полюса ери точке 2 и перейдя к синусам противоположных углов, выделим из него отношение

Ж)

Фиг. 3

(1.1)

где (3— вспомогательный угол.

Преобразовав последнюю формулу с помощью производной пропорции, находим полуразность углов <р и ф; сопоставляя ее с вычисленной ранее полусуммой тех же углов, находим о и <|>. После эт0го из А-ка 3. 4.1 уже не трудно найти координаты точки 1, а из Д-ка 374.2 —- координаты течки 2.

3) С условным дирекционным углом и б а з и с о м (формулы 3-й). Сущность способа заключается в следующем. Принимая для линии 1.2

условный днрекционный угол = 0 и условную длину Д1.2=1, из треугольников 1.3.2 и 1.4.2 (фиг. 4) находим по этим элементам условные ко-

г^ го ✓■О

ординаты х19 уи х2, у2 точек 1 и 2, а также условный дирекционный угол и условную длину £>3,4 линии 3.4. Сопоставляя последние с их дей-

ствительными значениями, вычисляем угол поворота 0 tv2 и относительную поправку т длин сторон, учитывая которые переходим наконец от величин условных к величинам действительным. После этого действительные координаты точек 1 и 2 находятся обычным способом.

Фор м улы Ьые

Формулы

к решению частной двойной обратной засечки с помощью вспомогательных точек

1) tgi,, = ^ 2) А-4 = -V- = — -Г-

ХА — А3 Н3.4 sin 13.4 COS t^.b

лч , __ D3.4

3) 4) r2^

sin p sm 0

5) Д.л — /'1 sin a 9) — r2 sin у

6) D4.a = rx sin (¡3 — a) 10) D/.л = r2 sin (0 — 7)

7) = ^3-4 — (P — a) ]1) + T

8) /ГЛ = ¿4-3 + a 12) = 74.3 - (8 - T>

1 3) Хд = А'з -f- D3 л COS U.A — -f Д .A COS ¿4.д

14) Уд ——Уз + Д).л Sin ¿З.д = j;4 -f £>4.д sin ¿4.д

15) = x3-{- DS.B cos tB в = ¿V^cos i4.js

16) ув=Уг-\-&ь-в sin = Л + ^.ввт tlB

Ад — JC^ с^.д

18) = ¿д>3 — tA.B 24) /я2 — tB.z — ^.л

19) n{ = tA,B — tA.± 25) nz — tB.A — tB.4

20) = 73.4 + Я1 26) ¿3.2 = 4.4 - я2

21) t^^ — tA.b — ml 27) ?4.3 + Щ

22) D3.j = r* sin (8 — 7) 28) D3.2 = r2 sin a

23) DvX = /'! sin y 29) /Jt.2 = r2 sin (8 — a)

30) xx ~ a3 -f cos /"3.1 — a4 + Д-i cos /4>1

31) J>1 = J's + All Sin ¿3M + sin^.t

32) a2 = a3 + D 3.2 cos /3.2 = a4 4- Д..2 cos ¿4.2

33) у2 = Уз + Do.„sin = У4 + D4.2 sin ¿4.2

Ф о р м у л ы 2-ые

Формулы

к решению частной двойной обратной засечки с помощью вспомогательного угла

1) Т1 = 180°-(«! + ?,)

2) '¡2 — ! 80° — (с-2 + 82)

4) !>Н1 _ 1о- Q _ з1п «1 э'п ь

12) А.

эт (а, —с.п)

Д-4 (? Т1)

п — а2

2/

по, 7) _ /5а.4 81п'4»

БШ О

этосз этух

14) О,.

¿)4.2

3*4

вт (Р1-Р2)

5) * - (ср - ф) - tg у (? + с^ (45° + (?)

6)

3*4

15) соз ¿3 1 — л:4 +Д-1 С08 ¿4-*

7) = ¿¡.4 + ? + Тх 16) ух = + £31 Э1п ^3.1 = 3>4 + ^41 ^П ^.!

17) ЛЧ = Л'з 4" А-2 /3.2 = 4" А-2 СОЗ

8) —

4 I

9) = ¿4.3 — (ф— Т2) 1В) .у2 = ^з + Оз.2 81^3.2= у4 + £>1.2$т^.2 30) =

Формул ы 3-й

Формулы

к решению частной двойной обратной засечки с помощью условных дирекционного угла и базиса

Условно принимаем О^.2— 1 и ¿«.2 = 0. Тогда:

}) Ь,.я =

8Ш (а + 6) Я!!! а

2) В2.г — -

(а 5)

3) Тгз — + Д.зСОБа 4} Ч1.3 = —Д^звт а

г—' ^

6) Т)2.а — — Д..З БШ О

«V Т

7) Д..

8) д..4

5Ш(Р + Т)

¡3

ЭШ (Р + т)

Фиг. 4

15) =

9) е,.4 —ОцсоБр ю) Гц, =гд.4зш р

11) £2.4 =3 —О* 4 соз у 12) тГ2 4 — 02ч з1п ^

Поверка:

13) 1.3-1.3-^4-12 4-1

— ~ ^ '—'

1 4) Ч^з — 7)2.3 = ГИ.4 * Т]2.4 ~ 0 т|3-4 %4 — %>.3

С _ £ £ £

4 М'З ?3-4 ?2.-4 -

ГУ

16) Чч™--—— .......— — 18) — • —- —--—■~ 20) ш = ^

С03^3.4 S\nt3.A СОЗ£3.4 03.4

17) 19) = в =

Л'4 — А'з

Решения II типа (но натуральным формулам)

Решение Нуварьева (формулы 4-ые). Доцентом Иркутского гор ного института В. С. Иуварьевьш в 1936 г. было опубликовано ориги нальное решение двойной обратной засечки, рассчитанное на применение арифмометра. Сущность способа заключается в следующем,

Прежде всего для tga (фиг. 5) составляется его выражение через таи генсы дирекционных углов сторон, образующих этот угол, Исходная

Фиг. 5

формула, как это известно из аналитической геометрии, будет иметь следующий вид:

1 и. г

Далее тангенсы дирекционных углов в правой части равенства (1.2) заменяем их выражениями через координаты точек 1, 3,4 в частной системе координат с началом в точке 1 и осями, параллельными осям исходной системы. Считая в указанной частной системе в качестве неизвестных ко-координаты х'з, у'3 твердого пункта 3, а известными — координаты х\ = О, у\ =0 определяемого пункта 1, после некоторых упрощений приходим к уравнению второй степени с двумя неизвестными, которыми будут координаты х'г* Уз твердого пункта 3 в частной системе.

Для получения второго недостающего уравнения находят сначала по координатам концов в частной системе длину стороны 1.3, а из решении А-ка 1.3.2 — длину стороны 1.2. Далее по тем же координатам вычисляются sin ¿i.* и с osñ.4, зная которые находят затем sinfín eos t{.2 по формулам:

sin íi.2 = siп (¿i.4 + T)>

cos¿i.2 = cos (¿i.4-f-T). (1.3)

Наконец по длине стороны 1.2 и дирекционному углу ее t{.2 вычисляют е местной системе координаты х'2, у\ второго определяемого пункта 2. Выразив _затем координаты пункта 4 в зависимости от неизвестных координат Уз пункта 3 в частной системе и данных приращений X4~Xs = t¿.i,yt—J/:í=%.4 стороны 3.4, вычисляют по этим величинам tg ¿2-3 и tgt2.4.

В заключение составляют выражение для tgp по формуле:

1 1 t^T

которая после упрощений дает еще одно уравнение второй степени с теми же 2 неизвестными х'ЗУу\. Решив совместно оба уравнения (1.2) и (1.4), найдем искомые координаты х'3, у'3 пункта 3 в частной системе. После этого не трудно уже вычислить координаты первого определяемого пункта 1 в общей системе.

Для получения координат второго определяемого пункта 2 переносим начало координат в пункт 2, сохраняя попрежнему направление осей, параллельное осям общей системы. Меняя в предыдущих рассуждениях роли пунктов 3 и 4 и углов а и р. т и 8, т.е. полагая неизвестными координаты х\, у\ пункта 4 в частной системе, получим для координат второго определяемого пункта 2 в общей системе конечные формулы, вполне аналогичные формулам для координат первого определяемого пункта 1.

§ 2. Обобщенная двойная обратная засечка

Дальше мы приведем два решения так называемой о б о б щ е н н о й двойной обратной засечки. Дело в том, что двойная обратная засечка двух определяемых пунктов по двум твердым пунктам является лишь частным случаем более общей задачи, так как начальные условия исходной задачи могут быть расширены.

Первое обобщение заключается в том, что точку 4 мы считаем распадающейся на 2 точки: 4 и 5, соответственно чему в углеf сторона 2.4 переходит в 2.5 (фиг. 6). В этом случае число твердых пунктов равно 3, число измеренных углов остается прежним, равным 4.

Предполагая затем, что и точка 3 распадается на 2: 3 и 6, а сторона 2,3 переходит в 2.6, получим второе обобщение, при котором число твердых пунктов равно 4 и число измеренных углов тоже равно 4 (фиг. 7).

Дальнейшее обобщение начальных условий двойной засечки будет невоз-

-ч

Фиг. 6

можно, так как вторым обобщением мы достигли однозначного соответствия между опорными пунктами и измеренными углами. Поэтому при дальнейшем расщеплении опорных точек мы будем получать точки, вооб-

А

Фиг. 7

ще не связанные с определяемыми 1 и 2, если только число измеренные углов остается равным 4.

Достигнутое обобщение двойной обратной засечки по 4.опорным пунктам включает, очевидно, как частные, случай 3-й 2 точек. Если

ж

л

у

формулы для решения обобщенной двойной засечки отысканы, то этим самым мы разрешим и последние 2 случая. Решением обобщенной двойной обратной засечки геодезисты занялись сравнительно недавно, поэтому в периодической печати имеется лишь несколько способов, притом не всегда оригинальных. Так получилось, например, с решением Н. Назарова, помещенным в № 9 „Геодезиста" за 1935 г., повторившего, по незнакомству с геодезической литературой, опубликованный еще в 1896 г. способ Сосны. Мы приводим ниже 2 оригинальные решения обобщенной двойной обратной засечки, данные советскими геодезистами.

1. Решен и е Кабенина А. (формулы 5-ые). Прежде всего автор пишет выражения для тангенсов ди-рекциоыных углов сторон, соединяющих определяемые пункты между собой и с твердыми пунктами (фиг. 8)* В эти уравнения в качестве неизвестных входят координаты определяемых пунктов хиу\шх^у2 и дирекцион-ный угол стороны, связывающей определяемые пункты между собой. В качестве постоянных входят значения измеряемых углов. Используя далее выражения для тангенсов ди-рекционных углов направлений с определяемых пунктов на твердые, автор изгоняет из выражения для

неизвестные координаты определяемых пунктов 1 и 2 и прихода

Формулы 4-ые

Формулы

к решению частной двойной обратной засечки по Нуварьеву 1) — — Х3

/л

Фиг. 8

2) Ч8-4=У4—Уз

3) а=е,.4—

4) Ь = т]3.4 -Нз.^ а

5) с = (3.4— р

6) а = ц3.4+Т31^В

И) ^.8=^.3' 12) к2 = [ё123

13) х2 —

14) у2-

V_с-\-к 2с1

= К+1

у3 — к2 (л*о — х3) Поверка:

15) -•

У* —У 1

х

х

tg 16)

Уз

7) ® =

8) Л,=

9) х1 -Ш) у, -

180° -— (у -(- 8) (а — с) с1е о 4- о 3 4- с1-

(й — Ь) ср — £» с1§ о <г - а~\-к,Ь

М

N

17) £ "

Уз

А', — Л',

Л&и .

Ух

к\+1

к\ (х1 — х.)

18) «

19) л;.-л.4==т

20) — 21) — — Ь

Ф о р м у д ы 5-ые

Формулы

к решению обобщенной двойной обратной засечки по Кабеннму ' 1) (Xi — хг) sin р -f (у4 —yz) cos р — а

2) (х4 — xz) cos р — (yt —уг) sin р — b

. 3) - (х, — лг5) sin (v + 8) -f (yG —jf6) cos (у 4.8) = с

4) (xG - x.) cos (т -L 8) -j- (yG — V5) sin (y + 8) = d

„Уз—3;j а sin (а 4- S) sin o 4-с Sin a sin y 4- (j/6— Vi) sin а sin 8

o)--------— tg-^.o =--—--1----——L-----

x2 — xl ~ i) sin (а ¡j) sin g rf sin а sin y 4" — sin а sin 8

6) Xi —

7) x>

(yi —Уз) — (*4 — *») tg (¿1.2— P)

tgí^-Pí-tg^-Ca + p)]

Ge —уъ) — (*e —^5) tg [íj.2 4- (t 4-«)]

8)Л—У4 = (*] — *«) — (« + Р)] 9) у9 — у6 = (*2 — *б) tg (¿1-2 + т ) 10) .Хг—^ — аг4)4-Х4 12) х2 = (х2 — х6)4-*о

н) Ал) + У4 13) л =

к уравнению I степени с одной неизвестной После отыскания дирек-ционного угла £1<2, значение последнего вставляется в основную систему уравнений, откуда и находим координаты пунктов 1 и 2. Таким образом, мы видим, что-решение Кабенинз по идее очень простое. Некоторым не-

___- - - Д

в

Фиг. 9

достатком способа является то, что в формулы входит довольно много тригонометрических функций различных углов.

5. Р е ш екие Га и ь ш и н а (формулы 6-ые) основано на введении вспомогательного угла о ~ а4~? — 8 4~ что, по мнению автора, значительно

упрощает решение (фиг. 9).

Исходя из равенства вертикальных углов в точке О пересечения сторон 1.2 и 3.6, находим связь между углами треугольников 1.3.0 и 2.6.0* Далее определяем угол 1.4.3 в функции углов ¡о, ^и ,8, после чего из Д-ка 3,1.4 находим длину Ох.3 стороны 1.3, а из Д-ка 1.3.0 — длину Д{.0 отрезка 3.0. Аналогичным образом вычисляем длину Д.0 отрезка 6.0. Так как Д^-р -{-£)6.0 = Д3.6, причем длина ¿)3.0 известна, то, подставляя в последнее равенство значения Д3.0 и /?6.0 в функции известных углов а, р, у, § и вспомогательного угла (о, придем, наконец, к уравнению, из которого определится величина со. Когда угол а> найден, из треугольников 3.1.0 и 6.2.0 найдем координаты точек 1 и 2. Очень жаль, что автором не была приведена контрольная формула для вычисления угла со, что для практических; вычислений безусловно необходимо.

Формулы

Формулы 6-ые

к решению обобщенной двойной обратной засечки по Ганьшину

i)

2) р = 71.

СО

sin ас

3 4 5 6 | 1 1 2

х'4= Л'з У'ь~У:~Уз x'q—Xq—Л'з v'e=J'e—Л л'| =Л-!— л3 V'i-J^i- V3 i л^—х5— Л ф У'^Уг~Уз

= А'в — р CQS (Р - \}) — Q CQS (т —v)

Р sin (В it) -н Q sin (7 — v) 4) jx = 73.4 — F3.6

Дальнейшее решение задачи (после нахождения угла ш) сводится к обычному случаю решения треугольников по 2 углам и стороне. Дирек-ционные углы 73,4, ¿3.6, í65 и длины /?3.4,Д.6, Д.6 сторон 3.4,3.6, 5.6 находятся по координатам концов твердых пунктов 3, 4, 5, 6.

После такого беглого обзора существующих решений двойной обратной засечки, ниже приводится новое решение той же задачи, основанное на аналитических соображениях.

§ 3. Новое решение обобщенной двойной обратной засечки (но натуральным формулам)

Для облегчения выводов и упрощения формул один из твердых пунктов,, например, 3 (фиг. 7), принимаем за частное начало координат* Обозначив координаты точек относительно нового начала с индексом', получим следующую зависимость между старыми и новыми координатами, которую мы выразим в виде табл. 1.

Таблица I

х'А— Л3 v'i—V4—Уз

X 5—Л' з У'ь-Уь—Ул

X ü—Xq—Л'з

v'e= У а—у а

y'i—yi-y*

х'ъ—Х%— Л$,

У'^Уг-Уз

ia

Преобразовав координаты, найдем теперь зависимость между измеренными углами и координатами твердых и определяемых пунктов. Для этого воспользуемся приведенной ранее формулой (1.2). Необходимые для составления указанной формулы тангенсы дирекционных углов линий 1.3, 1.4, 1.5,2.6 выразим через координаты концов этих линий (табл. 2).

Таблица 2 г

1gi

о-у\

Ы-

О—X

Ух

Wi

У %-у 1

х' 2 — X i

У 4,—У 1 х\—х\

tzt

У Ь V 2

хЛ''г

-Уч

-х\

Найдя выражения для дирекционных углов линий, перейдем к составлению уравнений между измеренными углами и координатами точек, пользуясь формулой (1.2). Число этих уравнений будет равно 4—соответственно 4 измеренным углам. Но как показали наши исследования, далеко не безразлично, какую комбинацию этих углов мы возьмем для подстановки в формулу (1.2), так как от этого зависит большая или меньшая сложность окончательных формул для координат определяемых пунктов I и 2. Наиболее выгодной в указанном смысле является следующая комбинация (фиг. 7):

1) а; 2) а-Н; 3) + [180е - (а + 8)1; 4) т + 8

(3.1)

В третьей группе перед квадратными скобками стоит двойной знак -К Знак нужно выбирать таким образом, чтобы всегда удовлетворялось неравенство

±[180°-(а + 8)]>0, (3.2)

так как геометрически величина + [180э— (a -f-8)] есть численное значение угла [а, образованного в точке S пересечения продолженных направлений 1.3 и 2.5. Двойной же знак перед скобками получается потому,

что возможны 2 расположения точки пересечения S: SL и S2 (фиг. 10 и 11). Из рассмотрения треугольников^.! .2 и S2 А /2 и условия ^>0 получаем как раз общую формулу (3.2).

А

1

Фиг. 10

Фиг 11

м

Выразим теперь по формуле вида (1.2) тангенсы углов, входящих в комбинацию (5.1), вставив для этого в правую часть формулы (1.2) значения тангенсов соответствующих *дирекционных углов согласно табл. 2.

Произведя указанную подстановку, получим следующую систему 4 уравнений с 4 неизвестными х'и у!и х'2, уг2г

у 2 -у\ _ ?4—/1 _ «У*

1) = а= -> 2) + Р)"= ■Ь= -

! ; У 2—У 1 1 +У4-У1 , У]

1 л:'2— * х\

у'2-У' 6 /1

3) ^(±[180*-(а + 8)]| = г=я _

X 2

1 —

»X/ 2-X ^ «^С 1

Уб~У2 У 5-У:

А л X '> г........X

4) 18(Т += = -;-—

1 У е—У 2 ^ У ~У 2

X у X 2 X 5 X 2

Освобождаясь от знаменателей и перемножая сомножители, получим:

Л) а (х'2х!1—х'^+у'2у\—у\2) = х\у\—х\/1—у\х,2-{-х'1у'1==х'1у12—у'1х'2

2) Ь&\х\-х'г + у\у\-у\2) =у\х\ - х\у\-*л\+х\у\-=у\х\-х\у\

3) с (х\х'2—х\-х\ + У1У2—УсУЛ— У'Iх'2 —~х\у\—х^у'2 +у'йх'г

4) с! (л'5 х'о -х'5х\, - х'6х'2 + X',2Ч-У5Уо-УоУ2 -УеУ2 +У22) = *'6ув-

-х'-у', -!-У6*'3 + у\х!2—У5 х\; 4- УвХ'з+л'бУ'г—Уг-к'г Произведем следующую перегруппировку членов:

1) ах,12-(ах'2-У2К1 -(аУ2 + *'2)У1 Н-а/^ = О

2) ¿>х\2 - (бх',-/,)^+ ¿У? =0 (3.4)

3) [(сл'2 + у\ Ы^'е+Уо)] + [(су'2-х'2) -( Г/,-*,)] ^'1 = 0

4) мы* (^5-М'в)-Гу7б-Уб)рс'2Г[ й (У5+У6Ж^-*'5)]У24-<1(х'ьх\ -ЬУбУб) +(*'6У5-Уб А)] = о

Введем обозначения:

Ъх\ — у'А = г с *'е+Уб=£ (/е—у'й) =г

сУб—х'6 = Л (3.5)

¿(х'оХ'о+у\ У6) +(У5 х'(~х\у(.) = /г. В новых обозначениях система (3.4) запишется так:

1) ах']2—(ах'2—У^х') — (а_у'._. -¡- ^'2)У 1 + «УI2 = 0

-2) &х'2 ——/У1 + 6У12 = 0 (3.4.1)

3) (сх'2 + у'2-ё)х\ + (су',-х'2-к)у \ = 0

4) йх'? —г'х'2 -у>'2 + аУ22 + к = 0

Умножая уравнение 1-е на (—¿?), а 2-е на (+а) и складывая, найдем: (аЬхг2Г-Ьу,2—ае)х\-{-(аЬу2 + Ъх'2—а})у\ = 0. (3,6)

Из уравнения (3.6) и 3-го уравнения системы (3.4.1) получим:

у\ _ __ аЬх2—Ьу'2~^а е __сх'2+уг2—ё ^ ^

х\ аЬуг2-\~Ьх'2—а/ су'2—хг2—А

В уравнении (3.7) освободимся от знаменателей и перемножим трехчлены:

(аЬх'2—Ъу\— ае)(су'2—х'2—<К) = (аЬу'2 + Ьх'2—а/)(сх'2 +У2—£)

аЬсх'2у\ + Ьсу'22—асеу'2 + аЬх'г2 + Ьх'2уг2 аехг2—аЬкхг2 Ыьу'2 + аек —

— аЬсх'2у'2 + Ьсх22-~а/сх'2-{- аЬу'22 + bx,2y'2—afy'2—abgyr2--bgxf2 -}-

После сокращения подобных членов перенесем все члены в левую часть уравнения и сгруппируем по степеням х'2, у'2:

Ь{а + с)х'2 - \aicf-bh) + (ае + Ь§)]х'2-[а№~се) + (а/ + Ьк)у'2 +

+Ыа + ф'2* + а№-ек)= О (3.7.1)

Умножим уравнение (3.7.1) на (—с1), а уравнение 4-е системы (3.4.1) на 1?(а~\~с) и сложим их:

| а [а(с/—Ыг) + (ае + Ье)] - Ь(а | й [а^-се) + (а/+ Ьк) ] -

—Ь(а +ф'|Уо + [Ь(а + с)к - ай^—ей)] = О (3.8)

Введем обозначения:

с1[а{с/-Ь/г) + (ае + Ьё)]—Ь{а + с)1 = Р

d[a(bd—ce) + (af-\-bk)]—b(a + c)j=Q (3,9)

Ь(а +с)Ь—аа№ — ек) = Я В новых обозначениях уравнение (3.8) будет иметь следующий вид;

Рх',++ = О, (3.8.1)

откуда

= - ( )=« + "*'. Р-'О)

где

М=------Л( =--—. (3.11)

О с>

Заменяя в уравнении 4-м системы (3.4) у'2 через М-\-Мх'2, придем к квадратному уравнению с неизвестным х'2г

с1х'2~—1х',—ЛМ + Ых'2) + (ЦМ + Мх'2у + ¿ = 0

с1х'^—1х'2—]М— /Мх'2 а М- + ЫМЫх'2 + + Л = О

¿(1 + №)х2-—(/ 4- у'ЛГ 2йММ)х', + (¿Ш2—/7И + к) = 0 (3.12)

иди

—2 7л'2 + и = 0, (3.12.1)

где

d(l4-W2) = S

i + JN + 2 dMN =27 (3.13)

dAP—JM + k=U Решая, наконец, уравнение (3.12.1), найдем xf2:

x'2=~s~{ T±V T~su\ (ЗЛ4)

Проанализируем последнюю формулу. В ней перед квадратным корнем стоит двойной знак +, что вообще указывает на двойственность решения задачи. Но эта двойственность только кажущаяся, так как появление двойного знака в формуле (3.14) связано с наличием двойного знака в формуле (3.2). В отношении же последнего мы уже указывали, что в конкретной задаче возможен лишь один какой-нибудь знак: или+> или—. Поэтому в формуле (3.14) следует взять один какой-нибудь знак, и нам нужно лишь установить соответствие между знаками формул (3.2) и (3.14). Эту связь найдем, применяя формулу (3.14) к частному случаю: например, к случаю двух опорных точек. Тогда, во-первых, из формулы (3.14) получим:

Л = у (Т±П (3.14.1)

так как в этом случае U — 0, что вытекает из формул (3.5), (3.9), (3.11) и (3.13) при

X (•— 0 Xf 5

/з=/б = 0 У 4=У &

С другой стороны, решая при изменившихся условиях систему (3.4) непосредственно, найден:

2 Т

(3.15)

(вывода здесь не приводим ввиду полной его аналогии с предыдущим, для общего случая). Оба решения должны быть тождественно равны друг другу, т. е.

L{T±T) = JiLf (злб)

что осуществляется, если перед корнем взят знак +• Так как при 2 опорных точках в (3.2) мы также берем знак то отсюда заключаем, что соответствие между знаками формул (3.14) и (3.2) будет прямым, т.е.

перед корнем берем -}-, если 180° — (а +- 8)> 0,

(ЗЛ7>

перед корнем берем —, если 180° —(а + о)<0.

2. Изв. тпИ. т. 67. в. V -17

Найдя значения х?2 и у'2 по формулам (3.14) и (3.10) и перейдя от х'2,у'2 на основании таблГ 1 к х2,у2, полученное решение проконтролируем так:

+ = (3.13)

1 -у* Ьп

где

/ = У*—У* т = Л—У* , (3.19)

Хг0 х2 х2

На этом заканчивается первая ступень решения—отыскание координат У2 пункта 2.

Займемся теперь отысканием значений х\,у\. Подставив значения Я"'2,у2 в формулу (3.7), выразим у\ через х\*,

- 1 {сМ-к)-\-х'2{сМ— 1)

где

(с/И — /г) -}- х'2(сЫ — 1)

Вставляя затем найденное значение у\ в уравнение 2-е системы (3.4), придем к уравнению с неизвестной х\:

Ъх\*—ех\ - + ЬШ-х\* = Ь{ 1 + ^)х'г2—(е + ГМ)х\ = 0, отсюда:

х\= (3.22)

Ь{ 1 + Г2)

Отыскав неизвестное найдем из формулы (3.7):

Г - (323) су 2 — Л 2 — Л

Вычислив затем согласно табл. 1 координаты ^ пункта 1, найденные значения х^Ух проконтролируем по формуле:

№ + 4е ) = ь = (3.24)

где

г = (3.25)

Л'1 Х4 — Хх

Этим заканчивается решение обобщенной двойной обратной засечки. Нам остается еще собрать воедино необходимый аппарат формул (табл. 3, 4 и 5).

18

Таблица 3

I. Случай 4 опорных пунктов

1) tga = а

2) tg (a + Р) = 6

3) tg{ ±[180°-(«+Ч}.=0! S

Знак перед выбираем / з так, чтобы всегда I ®

{±[180°-(а + о)]}>0 1о

4) tg(T + B) = rf U

Переносим начало координат в точку 3, обозначив коорди наты точек относительно нового начала с индексом'. При но вом начале

Х'% -ЛГд — ЛГд = О

(фиг. 7)

-5) Ьх\—у\=е

6) by\-\~x\=f

7) cx'e+y'0=g ■8) су'й~л'6=/г

9)

10) d(?6+7e)+(?6-^'5) —7

»

12) d[a(cf-bh)+(ae+bg) -

—b (а + с) i=P

13) d\a{bg-ce)+(af+bh)-

-b(a+c)j=Q

14) b (a + c)k —

— ad (fg - eh) =R

R

15) -- = M

16)-- =iV

17) = S

* 18) /+7W + 2rfMiV«2 T

19)d№ -yM — £ = £/

1

20) *2 = *3 + — X

Г—SU =

74-

— +

где перед |/ берем -f, если 180° —fa + о) >0 и перед У берем — , если 180° — (« + &)< 0 W)y*=y*HM+Nx'9)=yb+?f ~Уъ У'2

22) I =

23) m =

Л'б — Л~2

Контроль 1

24) tg (v + o) = ^

TTfl — / 1 + //«

(Af-*)+*',(<? + *)

2 о)---= U7

(cM-h)+x'2(cN-1)

26) 27,

су 2—X 2—Л

28) — «г * 1

29)

Контроль 2

S — г

30) tg( а+ {*) = & =

1 +Г5

Таков аппарат формул для решения двойной обратной засечки при самых общих начальных условиях. Отсюда легко получим для случая 3 опорных пунктов, т. е. полагая

Уз —З'б. ¿ = 1§[180°-(а-И)] следующий комплекс формул:

II. Случаи 3 опорных пунктов

Т а б л и да 4

I) I= д

Ч = * Г«

3) [180°-(« + &)} «с

*) (т 4" —

Переносим начало координат в точку 3, обозначив координаты точек относительно нового начала с индексом7. При новом начале

л'3 — х3 — х3 — 0

(фиг. 6V

5) Ъх\—у\ = £

7) + У

9) асЦс/—е) Р

10) ¿/(а + г) == (5

11) ас1{Г — се)~и

12) + Я-О

15) ^з+Л/^'^ —/а

>5-.У*

16) /:

лг5~-ДГ2

13)

ДГ

14) Ха — ДГ3 -р

НЫ

У г х 2

Контроль 1

| 18) 1^7+0)=^ т—1 ~\ + 1т

19) сх\+у\~Т

20) х'г-су'^и

21) £

= дГз4-23) ух

=Уз+У\

Ух

24 ) — ~ г =М. Контроль 2

26)

Г

1 4- Г5

= Х$-\-Х о

Заметим, что здесь мы ввели кое-где иные обозначения по сравнению' с предыдущим случаем 4 опорных точек ввиду сокращения числа формул. Наконец, при 2 опорных точках, когда

Х3 — Х$ —. Х%

Л==Уе Уа*=*Уь будем иметь почти аналогичную со 2 случаем схему решения.

Таблица 5

III. Случай 2 опорных точек

1) tga = я

3)«8 [(180°-(а+ &)]=*

Переносим начало координат з точку 3, обозначив ко ординаты точек относительно нового начала с индексом' При новом начале

х'ъ

У 3

= — дг3 = О Уз — У3 = 0

(фиг. 1)

5) Ьх\ —у\ = £

8) ¿у'4 — Р4 = Л

9) аа(с/+е) = Р 10)д*(а + с) = (3

11)а</(Л-= Я

12) ЬП(а + с) = 8

13 )-^Л^

5 - /г

14)лг«=ЛГ2 4-

15)^2 =У*+М"х'% = = У*-У<2

ДГ4 —Л*2

У' 2

17) т =— = N

х\

Контроль 1

18)

т — 1 ~~ 1 л_ 1т

19) сх\+у\ = Г

20) — су'2 V Т

21) 1=2 Л!

} и

22) х1=х3-\-е.+/М

23 )Ух=Уз+МхГ1 ==

— 7з+У1

У1

24)—= г=Л1

А

дг4 - ^ Контроль 2

5 — г

5Г

Двойная обратная засечка по 2 пунктам (для арифмометра) По Б. Ф. Крутому

Приложение 1

Ч е р т е ж

Форм у л ы

1 59 +6221940.335! 60 У1 -63408.317

36 X* +6223975.646! 37 Уз -69365.641

1 х[ +6222263.350 2 Ул -62168.674

3 +6223241.151 4 У* -64086.985

57' Х\ -1300.816 58' У'х + 678.668

34' Х'ъ + 734.495 35' У'2 • +1721.341

1 5 Х\ — 977.80! 6 У7* +1918.311

7 Ь у\ —8344.1215 9 Ьх\ +4253.1635

8 (1 у' 4 +6457.1250 10 -3291.3241

И -9321.9225 13 Ьх\ —у\=е +2334.8525

12 й у\ — -г 7434.9260 14 —1373.0131

15 +5972.227 18 ЬН -32339.869

+4.7501453 19 а+с + 14277.364

17 с/ -119937.440 20 се +30040.609

21 с/+е -117602.587 24 /—се —39362.532

22 аа(с/+е)—Р -558629.376 25 аа(/—се)—Р —186977.745

23 + 85267.655 26 ЬП(а+су=5 —461728.076

21 Р-0 —643897.03 ■ 28 —274750.33

102°56'50".3 94°26'39". 4 85°33'20" .6 73°27'14".9

Переносим начало координат тальных точек относительно

в точку 3, обозначая при этом координаты ос-иового начала_с индексом/ При новом начале

1) tgз.—a

2) 18(о

3) 18(180°-

4) _

5) Ьх\—у'±

6)

1) йх\+у\-=%

8) ¿у\-х\=Л

9) аа(с/+е)=Р ЩЪАа+с)=0

12)

V л

3 Я

а х

п сг

О Я

X Р»

о <и

г ОС

13 )-

14)

¿Г+бА' ¿(Ил/а)

15) ,Ув= й+Л*', =Й»4У» У*-У2

16 /=

— Х->

17) г Д'

(«+&)] = +12.86617=с 18(г-И)= +3.366047=*/

Контроль 1-й

т-1

18) tg^^+Ъ)=d~

\-lrn

19) сх'2+у'г—Т

20) х\-су\—и

71)

е+/М

22)х\ — л'» 4---=

= *з+*',

23)

У1

24)— = г л: !

25)-^- = , Контроль 2-й

26) («+»=*=

8—Г

\i-rs

Решение

57' 34' 5

X2

*3

+6221940.33 +6223975.646] +6222263.350 + 6223241.151

Л 2

Ь у\ Л у'4

а(1 с/

Р—О

— 1300.816

+ 734.495

- 977.80!

—8344.1215 +6457.1250

-9321.9225 -г 7434.9260

+5972.227 +4.7501453 — 119937.440

— 117602.587

— 558629.376 + 85267.655

—643897.03

58'

35' 6

28

У1 Уз Ул

У*

У'х

У 2

У7<

Ьх\ йх\

ьн

а+с се

/—се Ша+с)=5

—63408.317 -69365.641 —62168.674 -64086.985

+ 678.668 +1721.341 +1918.311

+4253.1635 -3291.3241

+2334.8525 —1373.0131

-32339.869 + 14277.364 +30040.609

—39362.532 —1869/7.745 —461728.076

—274750.33

N -

Р-0

пи

№

g+hN

У4Г-Уг х4—х^

I

т

т—1 1т 1 +/т

т~-1 1+//и

<т+»)'

+2,343571

+17424.277 +5.492325

+16051.264 +21.853471

+734.495 +1721.341

+ 196.970 +1712.296

—0,115033 4-2.343571

+ 2.458604 —0.269588 +0.730412

+3.366051

73°27'15\0 +0".1.

50

51

57

58

68

69

70

СХ 2

су\

+9450.1375 +22147.066

£*'а+Уа= Т х\—су'2~и

Т

м== ~й т №

е+/М Ь1\+М*)

Мх\=*у\

У*—Уг х4—х1

5—Г К 1+Г8

$-Г

(«+Р)'

т>

+ 11171.479 -21412.571

- 0.521725

4 4863,480 +0.272197

+7198.332 -5.533705

—1300.816 +678.668

-1239.643 -323.015

43.837725 -0.521725

+4.359450 —2.002237 -1.002237

-4.349720

Ю2°56'50\3 0*0

Приложение 2

Двойная обратная засечка по 3 пунктам

(для арифмометра) По Б. Ф. Крутому

Чертеж Формулы

л * Переносим начало координат в точку 3, обозначая при этом координаты остальных точек относительно нового начала с индексом'. При новом начале ху~ х_з— хз= 0 У'в—Уз Уз ~ 0

ч 1) iga—a 2) 3) 18[18<Г-(«+*)]=* 4) tg(y+Ъ)^d 5) Ь~х\—у\=е 6) 8) (¡У'ь— х'ъ—Н 0\ Л1 а\~-0 о 3 3 я я К , К в* о я X « о о 5 РЗ Я-С? « 13) г. „ = ЛГ 15)" Уг—Уз +^'2=У8+у'2 16)/= л-л хъ — Х<) Ул 17) т^—у— = N X 2 Контроль 1-й ш—/ ,8) + 19 сх\+у'г=Т 20) х'ч—су2—и Т 21) — „ е+/М 22) **=«+Н1+ММ) 23) 24)^, Уг 25) ^ = , Контроль 2-й 26) 1+Г5

, а ; Р ч ь 54°40'40".3 ас+р 48*16'10" .0 а+& 92° 14'35". 9 180°—(а+6) 39'45'59М 7-И 102 56'50".3 94*26'39".4 85°33'20".6 132°00'35".0 V) ии^у 7 о )—. 10) Ь^а+сУ=Я 11) лдГ{/—с^>=/? 12) ЬН{а+с)=5

+1.41!194=а 1д[180°—(а—6)} = +12.86717~с tg(а + - 4.349723=& tg(Y+&)= -1.110233=*/

Решение

: бз 40 : 1 ; з ** Ч хА *3 +6221989.779 +6223839,235 +6223054.149 +6222263.350 +6223241.151 64 41 2 4 6 VI Уз Уъ У± Ум - 63519.425 —62439.505 -60965.324 -62168.674 -64086.985 33 34 35 р-<? Я-/? hN № +2.754596 —9031.684 +7.587.799 52 53 сх\ СУ'2 +7695.0504 • +2196.7578

54 сх'2-\гу'%— Т х\~су\-=и +9312.5304 —20598.6738

36 37 g+hN 1+т -5702.407 -9.534458 55

Т -=м /м М2 —0.4535500 +4227.9579 +0.2057076

1 61' 38' | 7 : 8 х'\ х'г х\ х\ —1251.3715 +598.084 + 187.002 —977.801 62' 39' 9 10 У1 У2 У'ь У\ +567.5595 +1647.480 +3121.661 + 1918.311 38 39 X 2 Ых'2—у!2 +598.084 -Г1647.480 оо 57 58

42 43 Уь-Уг ХЪ—Хо -1474.181 +785.086 59 60 е±/М ф+ЛГ2) +6562.8105 —5.2444941

п ; 12 Ъу\ -8344.1215 — 3465.7711 13 14 Ьх \ а? 5 +4253.1635 + 207.6158 44 45 / т —1.877732 +2.754596 61 62 х'\ У' 1 -1251.3715 +[,67.5595

: 15 16 — 9321.9225 -3278.7691 17 18 Ьх\ —у'4=е +2334.8525 +3329.2768 46 47 48 т—1 1т 1+/т +4.632328 -5.172393 —4.172393 65 66 У1—У1 Дк} —1350.7515 —273.5705

19 20 21 Ьё ай с/ —14481.432 — 1.5668541 —119937.440 22 23 24 Ыг а + с се +4261.737 +14.277364 +30040.609 67 68 г +4.937489 -0.453550

49 50 51 т—/ —— = а 1 +1т <г+9' т2 -1.110233 132°00'35"0 0".0

69 70 71 ¿—г 1+Г5 +5.391039 —2.239398 —1.239398

25 26 27 ш/(с/+е)—Р Ь^а^с)- — 117602.587 +184254.335 -206256.676 28 29 30 /—се -39362.532 +61671 408 +203620.010

72 73 74 «У —г -2= ¿7 1+Л* -4,349724 102°56'50" .3 0"0

31 1 р-о +391011.01 1 32 | 5-/? +141948.60

Что касается действительного вычисления координат точек 1 и 2, то оно производится с помощью арифмометра, причем исходные величины. а, b, с, d берутся с 5,6 или 7 десятичными знаками, что определяется точностью наблюдений. То же замечание относится и к необходимому числу знаков в промежуточных вычислениях, причем можно посоветовать брать везде на один десятичный знак больше, чем это требуется в окончательном результате.

Ниже приводятся 2 формуляра с решенными примерами на двойную обратную засечку: 1-й—для случая 2 опорных пунктов, 2-й —для случая 3 опорных пунктов (приложения 1 и 2).

ЛИТЕРАТУРА

1 . Ольховский Е. М. — Вертикальная съемка, Томск, 1929.

2. Курс геодезии, под редакц. проф. К paco век о г о, вып. 3, 1934.

3. Чеботарёв А. — Полигонометрия, записки лекций, 1927.

4. Нуварьев В. С. — Решение задач Потенота и Ганзена на плоскости и в координатах Гаусса — Крюгера, ГОНТИ, 1935.

5. „ГЕОДЕЗИСТ", № 3 — 4, 1934.

(о. „ГЕОДЕЗИСТ", № 5, 1935.

.7. „ГЕОДЕЗИСТ*, № 9, 1935.