CC BY
20
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО1
ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
Том 118 ~ ~ 1963
ОБЩИЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ РАСЧЕТНЫХ ЗАДАЧ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМНОГО СФЕРОИДА
Г». Ф. КРУТОЙ
(Представлено научным семинаром кафедр маркшейдерского дела н геодезии)
1. Введем обозначения:
Bi9 L¿ — геодезические широта и долгота точки i земного сфероида;
AiK — геодезический азимут в точке i выравненной (геодезической)' кривой Гilc, проведенной на сфероиде через точку i и соседнюю точку К\
Sík — длина выравненной кривой rÍK между указанными точками ¿, к.
Тогда основными расчетными задачами на поверхности земного сфероида могут быть названы нижеследующие три задачи:
а) Прямая задача (/=1, к = 2). Даны Ви Lu Ai.2( S1.2; найти В2, L2, А2.1.
б) Обратная задача (i = 1, к = 2). Даны Bly Lx и В2, ¿2; найти Л 1.2, Л2.1, S1.2.
в) Прямая засечка (¿—1,2; /¿-=3). Даны Ви Lu Ai.;¡ и В2, U, Л2.з. Найти Въ, ¿g, а также Л3.1, S1.3 и Л-u, S2.3.
2. Для решения первых двух задач предложено более десятка частных способов [1, 2, 3], пригодных для расстояний s¡.2 не более 1000—ЗОСО км, и один общий способ, принадлежащий Бесселю,—для любых расстояний Si.2. Что касается способа A.M. Вировца [4], тона основании исследований Н. А. Урмаева [5] и А. В. Буткевича [6] его нужно считать лишь некоторым видоизменением того же способа Бесселя.
Ниже предлагается еще один общий способ решения первых двух задач, в котором вопрос о возможных соотношениях между исходными и определяемыми величинами рассмотрен с надлежащей полнотой. Выведенные здесь выражения применяются затем для решения третьей задачи.
3. В основу нового способа положен свод трех дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами, определяющий выравненную кривую Г\к сфероида:
1) М dB 4- 0ML - cos Ads + 0.dA - о
2) 0.dB + rdL — sin Ads + ОМА = 0 (1)
3) 0MB f sin BdL + 0Ms — 1 MA - 0
и вытекающее из этого свода известное уравнение Клеро 102
г
-sin Л = v = пост. (2)
а
Здесь М, г суть радиусы кривизны меридиана и параллели в переменной точке С заданной выравненной кривой Г} выходящей из С под азимутом Л.
4. Используя указанную совокупность равенств (1), (2), получим после некоторых преобразований следующие окончательные выражения, решающие первые две основные расчетные задачи на земном сфероиде:
1) rrsu2 = ар j
dy
(1 — A2 sin2 ср)3/* <pl
д'2.1
2) sle2 = av С l/ sinM " ese2 Ad А: J V sin* Л — V2
л1.2
3) TQ-AZi.2 = vp. J
<?2
(1 — tri1 sin2<p) УI —k2 sin2'
<pi A ' A 2.1
4) AIi.2 = fl/s'nM-gV dA
J V sin2 Л — V2 Л1.2
5) 2.АЛ 1.2 = arc sin [2v2(l — e2) sec2В — (1 - - 2<?V)] t;
Bi
5a) 2-АЛ 1.2=-- arc sin(l - 2sinMi.2) - arcsin(l - 2g2 sin2 Ль2);
6) ctg Л].2 = ■
7) — ctg Лг2л
l/2cos Bx — Vi cos Bx cos АЛ1.2 _ g — cos А Л1.2 Vl cos 52 sin А Л1.2 sin А Л1.2
__ Vi cos £2— V2 cos Вц cos А Л i.2 (l:g)—собАЛ^
V2 cos Bx этАЛ^ sin А Л1.2
« av ___vl/t
8) sm^b2--= л/
cos B^
• /1/ aV /-
9) sin Л 2.1 = -- y i—e?
r2 cos B2
10) L2 — Lx + A¿I.2; 11) Л2., =Л'2.1 ± 180е = (AU2 + MI.2)±180°.
В равенствах (3) введены обозначения:
(3)
\)V= У 1 е'2 cos2 В ;
оч г\ • Л /--cosi?, siiMi.2
2) V - — sin Л 1.2 - Y\+e/¿ -—- = vj.2;
a Vj
3) - ./ 1 , = ^ № 4) т2 = —-- =
У 1 - V 1--V2
5) k2 - e2\~2 k*\.2\ 6) m- =-- -
V, eos В
7) sin? ^sin B; 8) g
1/, eos B,
m 2 a2 — b2 a2 - é2
9) Í?2-- -:— ; 10) e - -----
b2
[+1, если И'а.1>-Л|.2)
1 1- 1, если (Л'ал < Л 1.2)
а и ¿--большая и малая полуоси земного сфероида.
Свод (3) обладает двумя примечательными особенностями:
а) равенство (3.1) для $1.2 имеет тот же вид, что и известное выражение для длины х\.2 дуги меридиана;
б) величины 51.2 и А/, 1.2 выражены не только через широту В в текущей точке С выравненной кривой Гг.2, но и в зависимости от азимута А кривой Г1.2 в той же текущей точке С.
5. Рассмотрим применение свода (3) для расчетных целей.
Интеграл (3.1) решается обычным разложением в ряд по степеням Щк2 < е2 = 0,0066934).
Интеграл (3.3), после разложения в ряд по степеням А2, решается по способу, предложенному в 1935 году проф. В. П. Ветчинкиным в [7].
Интегралы (3.2) и (3.4) являются эллиптическими интегралами общего вида, и их решение проще всего получить численным интегрированием по способу Гаусса или же разложением числителя (эШМ—е2^2)4* в ряд по биному Ньютона.
Рабочие выражения, вытекающие из свода (3) и их применение для решения прямой и обратной задач, а также другие используемые здесь соотношения, даны в приложениях 1, 2.
6. Для нахождения В2 и Д/.1.3, А£г.з в третьей задаче — прямой засечке—решаем последовательным приближением уравнение
Yj.A/.l.2 = Yj.A/,L;i - — V1.3¡J-1.3 Г—---------7¿------—
?t f ¿Ф
\--------------------—^ ,
(1 — m22.3Sln2^) J/1 — k\3sm2^ 1
где v¿y, k'.j, ni2и находятся согласно (4.2) —(4.6), а ® и О связаны соотношением
Sin 6 = sin (6)
х1.3
в котором подсчитывается по (4.4).
Действительное решение прямой засечки на сфероиде при разной постановке условия этой задачи дано в приложении 3.
7. Заметим, что приведенные эллиптические интегралы 3 рода П(ер. т2), входящие в (3.1), (3.3) и (5), содержат в силу (4.5) и (4.6) только две независимые переменные. Поэтому указанные интегралы могут быть представлены в виде таблиц с двумя входами, наподобие 104
приведенного эллиптического интеграла 1 рода F(<f, k). Наличие таких таблиц существенно облегчит решение предлагаемым способом всех трех указанных выше основных расчетных задач на сфероиде.
ЛИТЕРАТУРА
1. F. R, Helmert. Die mathematischen und physikalischen Teorieen der höheren Geodäsie. Г Theil, Leipzig, 1880.
2. Jordan-Eggert. Handbuch der Uermessungskunde, dritter Band. Stuttgart, 1923.
3. Ф. H. Красовский, Руководство по высшей геодезии, ч. II, Москва, 1942.
4. Н. А. Урмаев, Сфероидическая геодезия, Москва, 1955.
5. А. М. В и р о в е ц, Решение прямой геодезической задачи при значительных расстояниях между геодезическими пунктами, „Геодезист", № 4, 1935.
6. А. В. Буткевич и В. Н. Ганьшин, О решении прямой геодезической задачи на большие расстояния методами Бесселя и Вировца, Труды НИИГАиК, том XI, Новосибирск, 1958.
7. В. П. Ветчинкин, Новые формулы и таблицы эллиптических интегралов и функций, Изд. ВВА РККА, М, 1935.
Приложение 1
Решение
прямой задачи для выравненной кривой ГУ2
Условие задачи: даны Ви ¿и Л1.2, £¡.2; найти В2) ¿2, Л2.1.
I. Определение В2
1) V =г~ У 1 + е/1со^- В1 — из геодезических таблиц.
2) V = у ] + ¿2 ————— ; о) к- = — < £ ;
х-
1 — е2
3) Р = Т7==== : 6) 31П <Р! = X БШ В'
У 1 — ¿V
1 — Л2 1
4) ^ ^ -- 1; 7) т2 = -—- < 1;
/ 1 ') ' 9 '
I--V"
9) 'С2|,= ,, V С2изк№ (и 1,2,...,л):
/7
10) — = Д?1.2 ™ —— — (эт 2йф2 — эт 2иух)\
И) ср2 = срх Д91.2; 12) э!п = эт ср2.
В случае, если Д<р1.2 мало, то В2 вычисляется так:
2Р
11 а) ДД",.2 = ^ В, ср^Аср",^— (Дср\2 - Д£\2)
1
6р2
12 а) = Я, + р = 206264.8.
II. Определение ¿1.2
1) т).Д1,.2 = т
х=о х=о
2) 12 - + Мхх
Здесь:
а) = (- б) Ф(А) = Г ;
1 — тг бит?
в) = £(Х)Ф(Л).
Множитель -/]== + 1, если <р2 > 71=~~Ь если ?2<<Р1.
Из (б) значение Ф(0) =/4О) найдем прямым интегрированием, а для /^(Х) при Х>0 будем иметь следующее общее выражение:
Р(к) = £"(Х)[5(Х - 1)- Ф(1- 1)] =£(о, + 1)[5(ш) - ф(ш)],
(ш — X 1—0, 1, 2,...
где
( - (- 1 )Хн-1 24х—1 >;
т2
а) Е(к)
т1
б) 5(0) = (?2-Ф1;
92
2«Л со
в)5(Х-1)=5(о>) = +
*~> О 2 и)
91 ^
<0-1 /2ш
22'
^ )*А_[51п 2(со — *)ср2 — эт 2(ш — х)ср4 ]
(О - X
ы = X — 1 = 1, 2,...,я
Отсюда для ^ ДХ) получим последовательно:
V
[VI
1) ^/--(0) — I ! _ (Я \axzigpt2 - = V». Ф(0) = Д (0)
.2
1
е-
2) ^(1) = — (®2 — с?,) ——егЯ(0) = 2
^(Х ДО)
3)п^(2)
м з_ 16
-р"|/"1-еа(?2—1г О е2к
= ЯП)
1 1 (?2- ¥1) ——(8ш2ср, —втгсрО
4
5
4) Г(3) = — V;*— е2№ 16
1
1
3/8(^2 — ?)) ^ — (з1п 2 — в1п 2 <р,) 4
+ 22-(51П4Ф2~81П4С?1)
6
и т. д., причем: _
а) р 1 — /я2; б) * =
Если <?2 — *Р| = Асрк2 мало, то v[x/7(0) следует вычислять так:
ре тДсрК2
1а) ^(О) = 7—1/ 1 — г2 ^^с
СОБ 91 СОЗ<р2 —/> БН!®! 81п<р2
У 1-е2 агс ^
р э1п А91.;
соэ А<р1.2 — тЧ\п ср! з1п Ъ
III. Определение A2a
1) sin A!2.1 ^ У 1 — ё1
cos B y
2) Л2л - Л'2.1+1800 = (Л,.2 + ДЛК2) ± 180°.
Если Л'2л близко 90° или 270°, но (В2 - Вх) велико, то вместо А*2,1 вычисляют ДЛ].2:
3) g
I/., cos
l/jcos Я, '
4) 2.ДЛ1.2 = arc. sin(l — 2sinM 1.2) — arc sin(l - 2 g2 sin2 Л1.2).
Если (B2 — Bi) — Д5].г мало, то вместо Л'2л можно также вычислить ДЛ1.2:
, , cos 2Л 1.2
2. ДЛ",.2
Р
sin 2 Л
2зт22Л, о
i 1 + 2cos'2 2 Л 1.2 б sin^ 2Л 1.2
где 5) £ = 2(g2 — 1) sinMi.2
Приложение 2
Решение
обратной задачи для выравненной кривой Г12
Условие задачи: даны Ви L{ и В2, L2\ найти Лi.2) Л2л и 51.2. Первый способ определения Л 1.2 и Л2л (при Si.2 > 1000 км).
Прежде всего решаем 2 приближениями уравнение (см. приложение 1):
п п
7]. Д1к2 - va 2 - Víi ДО) + v¡, 2 Ffr) -
x~o
X=1
|/"T
Y 1-е2
é¿ [arctgpí2 — arctg/?^] + v^S^)
are tg
]/^COS2¿2 —F
n £
—are tg
x=i p sin В
Veos 2BX — p'
vu.
X=1
п
относительно неизвестного р, причем сумма у^^Р(Х) есть малость порядка £2.
Начальное достаточно точное значение Л<0^ азимута Л 1.2, входящего в вычисление величины находим из соотношений: (08
1) («'2.1 + -'!..) == - "----:----
81П
(В2 - в,
2) tg а,.2)
¿1
-1.(^ + 5,)
2_
соз ±-(Вг — Вх) 2
которые решаем относительно а\.2 и затем полагаем а.\,2 = Л^. Соответствующие приближенные значения неизвестного р и величин ^ и ¿?(0) определим тогда из выражений:
о р
1
сое В„ ^ эт соэ В, = /?<°\-
У1 — <?2 V2
2) ^ = - 3) А2 = е2 81п 50;
1.2
(0)
при р — Р
Улучшенное значение неизвестного р в итоге 5-го прибли-
жения найдем так:
Х=1
б)
йр
V 1-е-1-р*
(•V)
йр
Решив уравнение (*), вычисляем затем V, Л ¡.о, Л2.ь причем для величины V из (1) будем иметь обратно:
4)
У(1-е*)+р* *
Примечание. Если между концевыми точками 1,2 выравненной кривой Г\.2 находится ее вершина О, то уравнение (*) нужно представить в виде
п
•Ч-Д/.1.2 = + ^ 2 + 7'7Г'
Х=0 А=0
нричем широта В0 точки О определяется выражениями:
5)
ътВ
п
т
1-р*
6) соб В0 --= У 1 —т1 = р.
Второй способ определения А\п и А2л (при < 1000 км)
соз ±-(В2 + В,) - ^ 1) Ъ +«.л) =_\_=
Отсюда найти «1.2 и
2 81п ±-(В2 -в,) 2 2
1 в отдельнос-
1 /
бШ — (Во + ВЛ А, * 1
ОЧ + 1 / / ч 2 4 4 Аа'-2 I
2) ^ — (а 2.1 - -=:-—— =
2 соз \{В2-В{)
3) д = -- (^вШВ,- ^звтБО;
ЭШ А ¿1.2
4) оз.! - а'2Л ± 180° = (а,.2 + Да!.2) ± 180°
гч • со ъВ<> . лг соэ£,
5) эш ^1.2 — -81П А _2 —---зтА^кг
Бт ак2 эт а2д
соэ Вх
6) = — 7) ^Лс2.1 = ^а2л-<2
^соэ В, соэ В.>
У^соъВ!
8) <12= -^(Л2)381ПЛ1.2С08251(С08Л1.2- ^^ ^ йЛ
бр \ 4р /
9) = ^(а^19)25тЛ21со52лЛо5Л2л -
6о ' \ 4р /
10) Лк2- Л°1.2 — ^1.2
11) Л2.1=Л°2.1-Т^2Л
Определение $1.2
Вычисляем V, т, ¡х, Л2, ©ь ср2, С0 и С2а (й = 1, 2,...,/г) — как в прямой задаче.
п
10) 51.2 = С0а [1.(ср2 — ©!) + а!х .....^ 2а срА)
И—1
П р и л о ж е н и е 3 Решение прямой засечки на сфероиде
Возможны 2 постановки этой задачи: общая и частная. Общая постановка. Даны геодезические координаты Ви и В2> 12 лучей сГЛкз, с?Л2.з с точек 1,2 на определяемую точку 3. Найти геодезические координаты В30 13 точки 3. 110
Частная п ост а н о в ка — предполагается, что задан также засекающий угол у3 при определяемой точке 3, а расстояния S1.3, S2.s не превышают 300 — 400 км.
А) Решение для общего случая (при любых расстояниях $1.з> 52.з) Написав при Lx<iL2 основное соотношение
r¡MU2 = f¡.&Li.3 ~~r¡-№2.3 = V ! .з^Л i .з Z3*! .3(>w)
Х=0
^2.3^2.3 2 ^ -з(^)
х=о
и преобразуя его согласно приложения 1, приходим к уравнению
vi
Vl.3 |Vi.3|
arc tg
/>1.3 Sin Б3
V(l-pí3)-$in¿B.¿
arc tg
/>2.3 Sin В
V(l-pí3)-sin>Bz
+
(1)
+ [vi.314.3 S^-aW - ^2.3 i^sM] - w = Ф(£3) + г(В3) -w=0
X=1
X=1
с неизвестным причем поправочный член е(й3) есть малость порядка е2, а свободный член т определяется выражением:
w = -/¡.A Li.2 - уг\—е2
V2.3
arc tg
р2.з sin
V(I-Pis) -sin¿В2
Ь.З . Pl.3SinBt
— arc tg - у-.—
|vi.3l V{l-p2U3)-~sm2Bi\
(2)
Уравнение (1) решаем способом последовательных приближений и с этой целью основной член Ф(Вг) в отдельных приближениях представляем в виде
Ф(В8) ^ = + ФЧВГ(5 = 1,2,.../1), (3)
где найдено из предшествующего приближения, оВ(р — новое
неизвестное, а
1) Ф\Вг) = {\-е2) со
¡"Г Р^ sec" ?з
1.3
рх secd Фз
/ 2.3
l+^i-stg2^ 1 + P2.3 tg'^3
2) sin ср3 = т!.з sin £3 3) sin Од = т2.1 sin 53.
Начальное значение широты берем с карты.
Б) Решение для частного случая (при заданном угле у3)
eos B¿ sin A¿3
i
0) i = 1,2 = л, я;
1) V/з
1/¿V 1-е2
2) ctg Л3.1 = ^ cos ?з
3) ctg Л3.2 -
v2.3
cscy
vi.3
V1.3
eos y3 )cscy3
v2.3
Поверка: Азл = Л3.2 + Тз
4a) sin'B, = SinM3f -v2'3 ;
sinMsi — e2v2i3
46) eos(1 — e2) v2i3
sin2 Az¿ — e2 v2í3
4b) tg2¿?3 = ;
(1 —
eos (Вг — 5¿) 5) tg — A L = _í_tg — А Л ,
' s o ¿3 i & 9 /з'
sin -L-(B% + Bi) где АЛ = Л — Л +180°
/3 3/ /3-
Поверка: AI — AL = AL .
v 1.3 2.3 1.2
Примечание. Если длины sl 3, s2 3 превышают 250—400 км, то при особо точных вычислениях нужно в разности входящие в (5), вводить соответствующие ма-
лые поправки.
