CC BY
8
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО
ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
1963
Том 118
ГЛАВНЫЕ ВИДЫ УСЛОВИЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ В ПОВЕРХНОСТНЫХ ЛУЧЕВЫХ СЕТЯХ
Б. Ф. КРУТОЙ
(Представлено научным семинаром кафедр маркшейдерского дела и геодезии)
В настоящей статье будут рассмотрены с необходимой полнотой главные виды тех первообразных соотношений связи в поверхностных лучевых сетях, которые используются в качестве исходных при смешанном и прямом уравнивании этих сетей [2].
§ 1. Основные и дополнительные сетевые условия, их сущность и выражение
Дальнейшее исследование показывает, что в поверхностных лучевых сетях общего строения могут иметь место следующие четыре основных вида смешанных первообразных соотношений (1):
1) лучевые 3) вершинные
2) боковые 4) дополнительные.
Соотношения связи первых трех видов возникают в лучевых сетях любого строения, если только состав их исходных данных является расширенным. Поэтому указанные соотношения мы будем называть основными.
Что касается дополнительных соотношений связи, то они возникают лишь в лучевых сетях рода 5>0 [1]. Дополнительные соотношения имеют ту замечательную особенность, что они появляются в лучевых сетях рода 5 > 0 не только при расширенном составе исходных данных, но даже и тогда, когда исходные данные в этих сетях являются строго необходимыми.
Путем соответствующего преобразования, указанного в [2], смешанные соотношения связи (1) превращаются в прямые соотношения (3), которые не содержат дополнительных данных Отсюда следует, что прямые соотношения (3) распадаются лишь на три первых, вида: 1) лучевые, 2) боковые, 3) вершинные.
Согласно установившемуся обычаю, мы будем в дальнейшем первообразные соотношения связи (I)- (4) называть более кратко сетевыми условиями, соответственно — смешанными или прямыми.
Не рассматривая пока более подробно указанных выше 4 главных видов сетевых условий, выясним сперва причину возникновения этих условий в поверхностных лучевых сетях.
На ряде частных примеров нетрудно подметить, что такой причиной является наличие в поверхностной лучевой сети неоднознач-
Известия ТПИ, том lift.
81
ных частиц Р — лучей Лкч% боков Ькм или вершин К. Эти неод-
нозначные сетевые частицы Р имеют ту особенность, что для каждой из них может быть установлено по крайней мере 2 значения:
1) Я —принятое нами,
2) Я—полученное передачей вдоль сети по необходимым исходным и дополнительным данным, отправляясь от некоторой неточной сетевой частицы И той же природы, что и Р.
Неоднозначную сетевую частицу Р будем называть в дальнейшем расщепленной, а указанные выше два ее значения Я и Р назовем соответственно опорным и построенным. Рассмотрим эти два
значения частицы Р более подробно.
Нетрудно убедиться, что принятое нами опорное значение Я
расщепленной сетевой частицы Р может быть: а) твердым Я, б) заданным в тесных пределах, близких к его возможному значению, в) заданным совершенно произвольно. Случай (а) имеет место при РфИ, и тогда, очевидно, значение И должно быть также твердым: Й=-И. Последние же два случая возникают только при Р = И, причем требование (б) желательно соблюдать для боковых, вершинных п дополнительных условий, а требование (в) вполне приемлемо для лучевых условий.
Что касается второго, построенного значения Я расщепленной сетевой частицы Я, то оно может быть: а) или необходимым, и
тогда мы обозначим его через Я, б) или избыточным, и в таком
о г:
случае мы обозначим его через Я. Заметим, что неооходимым и является значение Я только в дополнительных условиях, и там Я будет представлять собой расщепленную вершину К для связанного с ней остаточного луча $ Лпк (см. § 2).
Каждая пара соответственных значений Я, Я расщепленной сетевой частицы Я дает одно какое-нибудь сетевое условие. В зависимости от природы взятой сетевой частицы это может быть или лучевое, или боковое, или вершинное, или одно из дополнительных условий.
Что касается сущности перечисленных выше 4 главных видов сетевых условий, то каждое из них заключается в требовании, чтобы для уравненной (внутренне согласованной) лучевой сети соответствующие значения Я и Я расщепленной сетевой частицы Я совпадали бы между собой. Значит, это требование можно выразить следующим кратким равенством
о. (13)
Допустим теперь, что в условие (13) вместо уравненных, согласованных значений Я, Я расщепленной сетевой частицы Я, мы вставим соответственно ее неуравненные (взаимно не согласованные) значения Я и Я, полученные указанным выше путем. Тогда, вследствие ошибочности необходимых исходных и дополнительных данных, условие 82
'(13) внесенными в него значениями Р и Р строго удовлетворяться не будет. Поэтому вместо (13) в таком случае окажется
Р—Р = чюрф 0, (13а)
тле чюр есть невязка соответствующего сетевого условия.
В зависимости от того, являются ли Я и Я различными сетевыми частицами одной и той же природы, или же эти частицы совпадают между собой, мы будем различать внешние и внутренние условия .в лучевой сети.
Если Й не совпадает с Р:
ЙФР, (14)
и, следовательно, И, Р являются обязательно твердыми Й, Р, то такое условие назовем внешним.
Если, же Й и Я—одна и та же сетевая частица:
Й = Р, (14 а)
то соответствующее сетевое условие будем называть внутренним.
Разбиение условий в поверхностных лучевых сетях на внешние и внутренние является существенным. Это следует из того, что на образование невязок чз)р внутренних условий влияют лишь ошибки наблюденных и приближенных дополнительных величин *), на невязках же еюр внешних условий отражаются также ошибки в принятых положениях И и Я неточной и конечной расщепленной сетевых частиц.
Данное здесь обобщенное представление об условиях, возникающих в поверхностных лучевых сетях, мы разовьем далее более подробно, рассмотрев во всех существенных чертах перечисленные выше главные виды таких условий. Это рассмотрение начнем с условий последнего вида — дополнительных, которые, несмотря на свои необычные свойства, никем до сих пор замечены не были.
§ 2. Дополнительные условия
Как указывалось выше, дополнительные условия возникают в поверхностной лучевой сети рода 5 при любом составе ее исходных данных (расширенном или необходимом), если только род сети 5 > 0. Этим своим свойством дополнительные условия резко отличаются от основных условий, которые могут появляться в любой лучевой сети (т. е. при 5 > 0), но лишь при расширенном составе исходных данных.
Дополнительные условия поверхностной лучевой сети рода 5 заключаются в требовании, чтобы каждый из ее 5 остаточных лучей
<$Лпк (или сТЛпк), построенных по необходимым исходным и дополнительным данным (или по необходимым уравненным данным), прошел бы совершенно точно через заданное положение К (К) соответствующей расщепленной вершины К. Например, в ненаправленной
Если приближенные значения ^ дополнительных данных согласованы с соответствующей необходимой совокупностью исходных данных С/, » то на невязки тр внутренних условий будут влиять только ошибки наблюденных величин С/
»6».
83
лучевой сети рода я 3, изображенной на рис. 1, три остаточных
луча Л5.{8, с?Л9-19 и должны пройти непосредственно через
принадлежащие им твердые вершины 18, 19 и 20. Отсюда следует, что в поверхностной лучевой рода 5 возникает ровно 5 дополнительных условий.
Дополнительные условия лучевой сети рода 5 можно выразить также несколько иначе, если учесть, что на каждом построенном
остаточном луче <$Лпк (или <$Лпк) находится второе, полученное передачей вдоль сети положение Кп(Кп) соответствующей расщепленной
Рис. I. Примеры невыполнения дополнительных условий.
вершины К (первое положение К (К) задано). Ввиду неопределенности'
расположения указанной точки Кп(Кп) на луче <?Лпк{<?Лпк) ничто не мешает нам считать эту точку лежащей в основании поперечника,
опущенного из точки К (К) на луч $Лпк{<$Лпк). Обозначая тогда через Т'тиЛТ'тж) направленный отрезок — стрелку ККп(ККп), т. е. поперечное смещение луча ¿Лпк(с?Лпк) относительно точки К (К), мы можем записать дополнительные условия следующим кратким образом:
а) при построении лучевой сети по необходимым исходным данным
Кп-К \Чгк -- 0. (15")
б) при построении лучевой сети по расширенным исходным данным
Кп-К=Ппк = 0. (15)
Рассмотрим теперь более подробно вопрос о написании дополнительных условий в обоих указанных случаях, а также разберем способы составления этих условий. __ 1. Предположим сперва, что совокупность исходных данных у^ в поверхностной лучевой сети 5-го рода является необходимой <з
С,; (16)
и потому связка С2>-..Д* в (16) должна удовлетворять указанному в [1] необходимому условию построимости лучевой сети. Тогда в такой сети при 5>0 возникает 5 смешанных соотношений связи (1) следующего частного вида:
Дпк (VI, V,,..., V,; с') = Дпк (с") = 1пк = 0. (15°)
Здесь з' получается из а выбрасыванием 5 угловых величин задающих направления 5 остаточных лучей $ Лпк. Что касается а", то
= .....(16.а)
Кроме того:
V — те 5 дополнительных данных лучевой сети рода 5, о которых говорилось в [1];
^ — наблюденные угловые величины, направления ^ или углы — твердые величины;
^пк — направленная длина соответствующей стрелки | ^пк.
Существенно заметить при этом, что входящие в (15е) значения V дополнительных данных считаются строго согласованными с соответствующей совокупностью с необходимых исходных данных [равенство (16)].
Замена в условии (15°) согласованных с а дополнительных данных их приближенными значениями приводит к нарушению указанного условия и замене лучей с? ЛПк смещенными остаточными лучами & Л^. В этом случае вместо (15°) будем иметь
Дпк *<о>,..., V*»; ^ уо> = ^ Ф 0, (15°.а)
где и'есть невязка условия (15°) (см. рис. 1 б, на котором не-
'' ^ л к
вязки чюдпк ~ изображены в действительную величину). Знак невязки чюдпк = установим в соответствии с правилом, указанным в [1|:
/ __ ___
> 0, если луч $ правее точки К
П!\ ' •> ПК *
- к(п1 < если луч с? левее точки К
Совместное устранение всех 5 невязок чюДпк в лучевой сети производится для данного случая общим способом, изложенным в [1].
2. Допустим теперь, что совокупность исходных данных в поверхностной лучевой сети рода 5 является расширенной 2. Тогда в такой сети кроме ряда основных условий (лучевых, боковых или вершинных) возникает еще 5 дополнительных условий вида, близкого к (15°)
Дпк(з")=Дпк$гЛ.>, - Я; <0 = = 0, (15)
где верхней чертой обозначены уравненные величины. Эти дополнительные соотношения выражают требование, чтобы равнялись 0 поперечные смещения Кк всех 5 остаточных лучей с? ЛПК1 построенных
85
по какой-нибудь необходимой совокупности а" уравненных С, и твердых Хр. расширенных исходных данных, причем неуравненное а" определяется согласно (16а).
Для неуравненных расширенных исходных данных условия (15) будут удовлетворяться с любой степенью точности, если принятые значения дополнительных данных согласованы достаточно строго с соответствующей совокупностью а необходимых исходных данных Cj, У^х [см. (16)]. В таком случае вместо (15) будем иметь
Дпк (Vb v2> ... , v,; з') г= Кпк = <Шдпк ж 0, (15а)
где 1&дпк есть невязка рассматриваемого дополнительного условия.
Устранение невязок wдпк всех s дополнительных условий в лучевой сети 5-го рода производится для данного случая совместно с невязками основных условий этой сети.
3. Написание дополнительных условий (15°) или (15) в развернутом виде может быть сделано следующим образом.
а) Сначала выбираем подходящую необходимую совокупность а" = (vb v^; а') исходных С,-, и дополнительных данных. Далее составляем развернутые буквенные выражения через v^, С/, длин den связывающих сторон СН в цепи ячеек, соединяющей неточные вершины А, В с соответствующей расщепленной вершиной Кд{д— 1,2,..., 5). Затем, пользуясь найденными буквенными представлениями длин den и направленностями f сн) связывающих сторон СН в рассматриваемой цепи ячеек, выражаем последовательно в общем виде положения всех определяемых вершин С,Н этой цепи, включая примычную определяемую вершину Пд. В заключение пишем искомое
развернутое общее выражение для поперечного смещения ^{пк)д остаточного луча с?Л(Пк)д относительно опорного положения Ко соответствующей расщепленной вершины Ко. Задача решена.
б) В отличие от (а), с помощью последовательных прямых засечек сразу составляем развернутое буквенное выражение для построенных положений всех определяемых вершин С, Н в соединительной
цепи ячеек от А, В до Кд. Остальное, как в (а). Этот способ удобен только для плоских лучевых сетей.
Степень сложности развернутых выражении (15 ) или (15) для дополнительных условий зависит от вида ячеек соединительной цени -треугольных или смешанных. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен ниже для вершинных условий, имеющих много общего с дополнительными условиями.
4. Отметим еще одну замечательную особенность дополнительных условий в поверхностных лучевых сетях. Именно, из [1] и равенств (15°а), (15а) следует, что невязки *№дпк этих условий суть
всегда направленные длины а(л/,)г> некоторых стрелок f ^(пк)0—поперечных смещений построенных остаточных лучей &Л(Пк)д. Между тем соответствующие дополнительные данные могут быть при этом не
2) Направленность | сн какого-нибудь луча | Лск есть угол, образуемый этим лучом с первой осью | О1 принятой отсчетноп опоры. 86
только отрезками, но и угловой величиной. В противоположность сказанному, такого разнобоя никогда не бывает в основных условиях. Там всегда невязки угловых условий суть угловые величины, невязки боковых и вершинных условий—длинновые величины.
§ 3. Лучевые условия
Обратимся теперь к основным сетевым условиям и среди них рассмотрим в первую очередь условия лучевые, как наиболее простые по своему строению.
Лучевые условия связывают в поверхностной лучевой сети 5-го рода только угловые величины, определяющие положение ее лучей ЛСн на подстилающей поверхности. Эти условия возникают в лучевой сети при наличии в ней расщепленных лучей <$ЛКМ. Для таких лучей всегда могут быть установлены по крайней мере два
о
положения: 1) с?Л**-—опорное, принятое нами; 2) <$ЛКМ—построенное полученное передачей вдоль сети по необходимым исходным данным
от некоторого луча <$Лаь, взятого в качестве неточного.
Каждое из лучевых условий выражает требование, чтобы после
о
уравнивания направленности | км и \ км двух указанных выше поло-— _2 ^ жений <?ЛКМ и в1 Л км данного расщепленного луча $ЛКМ оказались бы равными между собой. Иначе говоря, любое лучевое условие может быть кратко записано так
Тк* - Т™ = 0. (18)
Чтобы представить далее это условие в более развернутом виде, предположим, что в уравненной сети передача направленности от
о
неточного луча $Лаъ к построенному лучу <$ЛКМ производится по ходу, в котором начало последующей стрелки совмещено с концом предшествующей стрелки (рис. 2). Тогда всякое /-ое угловое условие в лучевой сети запишется в следующем развернутом виде:
Рис. 2 Примеры невыполнения лучевых условий.
I «Ь I- У'П/.Лъ ± 180°) + /-360° - = о (18°)
с - 1
Здесь:
а) 1е уравненные углы лучевой сети, числом п, полученные
непосредственно или через уравненные направления ¡3*,
б) — коэффициенты, равные + 1 или 0 в зависимости от того, входит или нет угол в данное /-ое лучевое_условие ~ + 1 для левых и — — 1 для правых по ходу углов
в) /—целое число, которое подбирается так, чтобы удовлетво-
рить соотношению
п
360")
(ъ ± 180°) + 1-360°]>0; (*)
1
г) знак + берем по произволу.
Вследствие ошибок наблюдений и возможной ошибочности принятых положений ^ Лаъ, сГ Л км для неточного и конечного лучей, в неуравненной сети лучевые условия (18) или (18°) строго удовлетворяться не будут. Взамен этих равенств мы будем иметь тогда
+ „* ^ ("* ± ^80е) + /■ 360 - \ = <юЛк„ Ф 0.
I км , км — I аЬ
Здесь „ —есть невязка данного /-го условия, а | п Т км суть принятые нами направленности неточного <$Лаь и конечного
$Лкм лучей в передаточном ходе. При этом предполагается, конечен _2
но, что значения \ м и | кя получены по одному и тому же передаточному ходу.
В общем случае неточный луч ¿Лаь не совпадает с конечным опорным лучом <?ЛКМ:
$ Л аЬ ф с? Л км,
и потому в соотношении (18а) вообще \ аь Ф '\ км (см. рис. 2, где
$Лаъ = с?Лг5-П, а ЗЛкм — сГЛ1б-17 )- В этом случае в согласии со сказанным в § 1, соответствующее угловое условие будем называть внешним.
Чаще, однако, бывает, что оба указанных луча <$Лаь и с?ЛКМ являются одним и тем же лучом:
с? Л аЬ ~ <ЗЛ км,
и тогда безусловно |аь = I км. Такой случай как раз имеет место в угловых соотношениях, возникающих в замкнутых ячейках лучевой сети (рис. 2). На этом основании лучевые условия (18°) при совпадающих лучах ЗЛаь и ¿Лкм назовем ячейковыми, а также—в н у т-р е н н и м и (согласно § 1).
Из сказанного следует, что ячейковое /-ое лучевое условие и его невязка запишутся следующим образом:
(т,± 180°) 4 ¿-360° - О (180П)
е- 1
У ( Те + 1803) -М • 360° = (186)
— 1
Нетрудно убедиться, что лучевые условия для поверхностных лучевых сетей рода направленных и ненаправленных, не содержат дополнительных данных Поэтому лучевые условия имеют один и тот же вид'как при смешанном, так и при прямом уравнивании лучевых сетей.
§ 4. Боковые условия
Обратимся теперь к тем возникающим в лучевых сетях первообразным соотношениям связи вида (1) и (3), которые были названы в § 1 боковыми условиями.
Боковые условия связывают в поверхностной лучевой сети длины с1сн ее уравненных боков Бся и возникают при наличии в сети расщепленных боков Бнлг Расщепленные бока Бкм имеют ту особенность, что для них всегда может быть установлено по крайней мере два значения: 1) Бкм —опорное, принято нами, 2) /^—построенное, полученное передачей вдоль сети по необходимым исходным и дополнительным данным от некоторого бока БаЬ, взятого в качестве неточного.
Каждое пз боковых условий выражает требование, чтобы после
• _о
уравнивания лучевой сети длины йкм и йкм соответствующих значений
о ^
Бкм и Бкх данного расщепленного бока Бкм совпадали бы между собой. Отсюда вытекает следующий общий вид боковых условий (иначе—условий сторон Скм) в лучевой сети:
йкм — dKM = СкмЬх, Ти т^'-чГ«; dab) — dKM = 0, (19)
где d(lb, dKM — длины неточного БаЬ и конечного Бкм боков (сторон) сети, уравненные или твердые;
vAr — уравненные дополнительные данные, число которых равно 5 в лучевой сети s-,rо рода;
— уравненные углы лучевой сети, числом я, полученные непосредственно или через пары направлений
Для неуравненной лучевой сети это условие вследствие ошибок наблюдений и принятых величин точно удовлетворяться не будет, и мы вместо (19) получим
о •
dKM — dKM = vb v.>,...VAi; dab) — dKM = Wc ф 0, (19a),
KM 4 '
где суть значения дополнительных данных, согласованные с одной из необходимых совокупностей о исходных данных [см. (16)], a wc есть невязка соответствующего бокового условия. Из преды-
км
дущего следует, что указанная невязка wc получается путем по-
^ км
следовательного ее вычисления по цепи ячеек, связывающей неточную сторону Б а» с конечной стороной Бкм этой цепи.
В общем случае неточная сторона Б не совпадает с конечной стороной Бкм:
Баь Ф Бкм
(см. рис. За и 3i; на рис. 3б бок Баь ~ ^ш!, а ^ок = ^10.17)* и тогда мы говорим о внешнем боковом условии.
Однако чаще бывает, что неточная Баь и конечная Бкм стороны совпадают между собой:
Баь = Бкм
(см. рис. Зв, где в качестве Баь = Бкм можно взять любую связывающую сторону Бен данной цепи ячеек; например, можно взять^сто-
рону ¿2.3). В этом случае соответствующее боковое условие назовем внутренним.
®
Рис. 3. Примеры невыполнения боковых условий.
§ 5. Развернутое представление боковых условий в поверхностных лучевых сетях. Трудность решения этой задачи для общего случая
Поставим далее своей целью дать развернутое выражение боковых условий в поверхностных лучевых сетях различного строения. Эта задача сводится, очевидно, к развернутому представлению функ-
О
ции Скм~йкм в равенстве (19 а). Указанная функция Скм — йкм получается путем ее последовательного вычисления вдоль соответствующей цепи ячеек. Поэтому нам, в первую очередь, нужно иметь общие выражения для длин йСц определяемых сторон Бсн в некоторой промежуточной ячейке сети.
Чтобы соответствующие выражения для длин йся получились достаточно общими, мы будем углы у и длины й сторон в ячейках сопровождать двумя указателями е, При этом условимся,
что первый указатель е определяет постоянное место величины у или й в ячейке данного вида при некотором однообразном способе пересчета величин у, с1. Второй же указатель у определяет место взятой ячейки в данной цепи.
Предположим теперь, что данная лучевая сеть построена только из треугольных и четырехугольных ячеек, а способы пересчета вели-90
чин й в выделяемых из этой сети цепях ячеек установлены так, , как это показано на рис. 4. Тогда в зависимости от рода подстилающей поверхности—плоской или сфероидической — мы будем иметь следующие выражения для длин определяемых сторон в ячейках. упомянутого вида.
Подстилающая поверхность — плоскость. В таком случае
а) Если взятая у - ая ячейка цепи—треугольник (рис. 4 а), то вычисление длин ¿2./, ¿з.у ее неизвестных сторон производится
с помощью равенств
Рис. 4. Обозначение углов и сторон в треугольниках и четырехугольниках
¿у
эт-п;
й,
V
йм
Эт-!;
(20)
где длина исходной стороны АБ предполагается известной: задана или найдена из вычисления предшествующей ячейки.
б) Если же данная у-ая ячейка цепи —четырехугольник (рис. 46), то вычисление длин ¿/зу, ее неизвестных сторон АГ, ВГ производится согласно равенств
¿зу = соэес Т2у[^1у 51п узу + d2J эт (71; + --2у)] ~ соэес + -!- Тзу)],
(21)
где длины й-2] исходных сторон АБ, БВ предполагаются известными: они — твердые или найдены из вычисления предшествующих ячеек. Равенства (21) указаны впервые И. В. Зубрицким [3]. Эти равенства могут быть получены на основе вспомогательных построений рис. 46, где ДГЦБВ, ГК\\АБУ БЕ\\ГЖ, ДБ\\ГВ, а точки Ж и Е лежат соответственно на сторонах ГА, ГВ или на их продолжениях.
Подстилающая поверхность — сфероид. В этом случае для определения длин сторон в поверхностных лучевых сетях производят предварительное плоское преобразование их ячеек но Лежандру.
Для сфероидических треугольных ячеек такое их преобразование общеизвестно.
Для сфероидических же четырехугольных ячеек плоское преобразование по Лежандру будет заключаться в том, что мы сначала
решаем их приближенно, как плоские, пользуясь теми же равенствами (21), что и выше. Далее, разбив каждую четырехугольную ячейку засекающей укосиной (например, укосиной ВГ на рис. 4 б) на два треугольника, находим по Лежандру сфероидические поправки углов в этих вспомогательных неплоских треугольниках. Тогда углы у';у плоского четырехугольника А'Б'ВТ с той же длиной сторон, что и у данного сфероидического АБВГ, найдутся, очевидно, так-при разбивке укосиной ВГ:
1
1) у' - у/у - —- з, 3) У у •
' 1 /у ( у 3 1 у V -V 3
2) = ---(з, 4) у
(22)
где г1( s^ суть сферические избытки вспомогательных треугольников ВАГ, ВВГ. Теперь, считая известными длины rfiy, d¿j двух сторон в каждом таком плоском четырехугольнике А'В'В Г', находим согласно (21) длины dy, d\j остальных двух его сторон. Задача решена.
Вид боковых условий в поверхностных л у ч е в ы л сетях различного строения. Сравнение написанных выше равенств (20), (21) показывает, что выражения для определяемых сторон в четырехугольных ячейках имеют более сложный вид, чем в ячейках треугольных. Поэтому желательно выяснить, как сказывается неоднородность равенств (21) на окончательных выражениях боковых условий в лучевых сетях различного строения. При этом ради определенности мы ограничимся плоскими лучевыми сетями, так как-более общий случай сфероидических лучевых сетей ничем существенным не будет отличаться от указанного.
Предположим сначала, что цепь ячеек между заданными сторонами Ваь и Бкм лучевой сети состоит из одних треугольников (см. рис. 2а, где Баъ —9-10, Бкм— ll -12). Тогда входящая в (19а) длина
О ( i v •'
dKM найденного по цепи значения Бкм расщепленной стороны Бкм выразится через наблюденные углы у у^. очень просто;
(23)
л=1 Sin Tl .
где ¿и -----d(lb —- длина исходной стороны ВаъУ а /г — число треугольников цепи. Например, в цепи треугольников, изображенной на рис. За,
с о
длина dii.ü соответствующего значения Вп.В расщепленной стороны Бгий запишется в развернутом виде следующим образом:
0 sin 2sin 5sin 8sin 1 lsin 14sin 17sin 20sin 23sin 26sin 29
druvi - (fc.Tü Sin lsin 4sin 7sin lOsin 13 sin 16sin 19sin 22sin 25sin28 *
Допустим теперь, что в цепи ячеек, связывающей неточную Баь
и конечную расщепленную Бкм стороны лучевой сети, содержатся не только треугольники, но и четырехугольники (рис. 36 и Зв).
о
Тогда из (20) и (21) следует, что в этом случае длина dKM найден-
о ^
ного по цепи значения Бкм расщепленной стороны Вкм определится 92
через наблюденные углы 7 ¿у выражением, состоящим из нескольких слагаемых вида (а). Например, в цепи смешанных ячеек, изображенной на черт. 36, получим следующее выражение для вычисленной
о о
по цепи длины построенной конечной стороны S^.v , найденной
по наблюденным углам 7/у:
, _ , _ sin 28sin 32sin 36sin 40sin 44 ,
«lti-17 #14.lo------~t"
sin 29sin 33sin 37sin 41sin 45 sin(29 -L 30)sin 32sin 36sin 40sin 44
-t-
14.2
sin29 sin 33 sin 37 sin 41 sin 45
sin 2 sin 5 sin 9 sin (33 34) sin 36 sin 40 sin 44 sin 1 sin 4 sin 7 sin 33 sin 37 sin 41 sin 45
sin 2 sin 5 sin 8 sin 11 sin 15 sin (37 + 38) sin 40 sin 44 sin 1 sin 4 sin 7 sin 10 sin 13 sin 37 sin 41 sin 45
sin 2 sin 5 sin 8 sin 11 sin 14 sin 17 sin 21 sin(41 + 42) sin 44
(6)
sin 1 sin 4 sin 7 sin 10 sin 13 sin 16 sin 19 sin 41 sin 45
sin 2 sin 5 sin 8 sin 11 sin 14 sin 17 sin 20 sin 23 sin 27 sin(45 + 46) sin 1 sin 4 sin 7 sin 10 sin 13 sin 16 sin 19 sin 22 sin 25 sin 45
= ¿14.15 ' ©1 + ¿14-2 '
Здесь ¿Í4.Í5 — длина источной стороны Sn.ib , ¿Ti.2 — дополнительное данное Vj рассматриваемой направленной лучевой сети 1 рода, найденное по необходимым исходным данным. Таким образом, полученное
о
нами выражение для ¿ш.Т7 содержит твердые, наблюденные и дополнительные ^данные, т. е. будет иметь общий вид функции CA-.w(vb
у si Ti. Т dab) в (19), если наблюденные и принятые величины
заменить их уравненными значениями.
Одновременно с этим нетрудно установить, что если неточная БаЬ и конечная Бкм стороны в цепи ячеек совпадают (рис. 3 в), то твердые и дополнительные данные в боковые соотношения (19) в конечном счете не входят.
Вывод. Подводя итог сказанному выше и опираясь на сравнение равенств (а) и (б), приходим к выводу, что боковые условия (19) для цепей смешанных ячеек образуются сложнее и имеют значительно более громоздкий вид, чем для цепей из одних треугольников.
§ 6. Вершинные условия
Рассмотрим, наконец, последний вид первообразных соотношений связи (1), (3) в поверхностных лучевых сетях, а именно, вершинные условия.
Вершинные условия связывают в лучевой сети отдельные совокупности ее уравненных вершин. Эти условия возникают при наличии в лучевой сети расщепленных вершин К, связанных с отнаб-
о
люденными на них избыточными лучами Лпк. Такие расщепленные
93
»вершины К обладают той особенностью, что для каждой из них всегда может быть установлено по крайней мере два положения: 1) К—
о
опорное, заданное нами, 2) Кп— построенное. При этом, в отношении
о ^
второго, построенного положения Кп расщепленной вершины К из-
<- о
вестно только, что точка Улежит на избыточном луче <? Лпк, который получен передачей вдоль сети по необходимым исходным и дополнительным vAr данным, отправляясь от пары каких-нибудь неточных вершин Л, В. Поэтому подобно случаю дополнительных ус-
о . о о
ловий мы примем за Кп основание поперечника—стрелки ККп ~ I опущенного из К на избыточно построенный луч $Лпк.
В общем случае на расщепленную вершину К может быть от-. наблюдено несколько избыточных лучей Лп к с соседних определяемых вершин /7л. Тогда каждой паре, состоящей из опорного поло-
4 о
жения К расщепленной вершины К и построенного положения с?Лп к
о
для одного из этих лучей Лп л-, будет соответствовать свое вершинное условие вида, близкого к (15):
Кп - К= = 0, (24)
где верхняя черта обозначает уравненные данные.
Сказанное можно пояснить на примере лучевой цепи, изображенной на рис. 5 6. Здесь опорным положением К расщепленной вершины К является твердая вершина 12, а отнаблюденными на нее избы-
'."> ООП
точными лучами Лп к будут лучи Лм.2о, Л\з.2о, Лir-.Su. Значит, в данной сети имеется 3 вершинных условия, связанных с указанной твердой вершиной 20.
В поверхностных лучевых сетях возможны также случаи, когда
опорные положения К отдельных расщепленных вершин К являются избыточными для сети при их сочетании с одними примычными лучами Лп к, а в сочетании с другими примычными лучами Лп.к эти
Н у
точки К приходится считать необходимыми. Такое двойственное значение имеет, например, твердая вершина 12 на рис. 5а, изображающем направленную лучевую сеть рода 5 = 1. Легко понять, что эта вершина ЛГ = 12 является для данной сети одновременно и необходимой, и избыточной. Если мы примем луч <?Л\о.й за остаточный
~ о
<$Лпк, а луч <$Л$ .12 — в качестве избыточного $ЛПк, то в сочетании с первым из этих лучей вершину 12 нужно признать необходимой, а совместно со вторым лучем — избыточной.
Выясним теперь сущность вершинных условий в поверхностных лучевых сетях.
Обозначим через £ полную расширенную совокупность исходных данных <;/, ^ в лучевой сети. Пусть о> есть некоторая выделенная из £ частная совокупность исходных данных Хр., с помощью которой могут быть заданы в лучевой сети опорные положения К рас-94
щепленных вершин К и построены однозначно все избыточные лучи
о ^
<?Лпку связанные с этими вершинами К. Пусть далее о/ означает совокупность данных с/, которая получается из о> выбрасыванием 5 угловых величин ел, задающих направления всех 5 остаточных лучей
<$ЛПк в. рассматриваемой лучевой сети 5-го рода. Обозначим, наконец, через о>" производную совокупность вида
= О)'), (25)
где V!, ..., ^ суть дополнительные данные нашей сети. Тогда вершинные условия этой сети выражаются требованием, чтобы после уравнивания сета все избыточные лучи <$Лпк, построенные по уравненному значению со" указанной выше подсовокупности о>" расширенных данных, прошли бы совершенно точно через уравненные опорные
положения К соответствующих расщепленных вершин К. Отсюда вытекает следующий общий вид вершинных условий лучевой сети:
о ___ _
Кк = ЯлкК') - Впк{чи V .>,... о/) = 0, (26)
95
где ^пк есть направленное поперечное смещение относительно К свя-
_1 о__
занного с К уравненного избыточного луча с?Лпк.
Мы видим, таким образом, что согласно (26) поперечное смеще-
о
ние ^пк может быть представлено некоторой функцией Впк от соответствующей необходимой совокупности о/' из уравненных значений с/, 7.1Х дополнительных и исходных расширенных данных лучевой сети. Отсюда вытекает, что функции Впк по своему строению родственны функциям Дпк, выражающим поперечные смещения уравненных остаточных лучей в'Лпк [см. (15)]. Поэтому развернутое представление вершинных условий может быть выполнено теми же двумя общими способами, которые были указаны в § 2 для дополнительных условий (15) или (15а). Степень же сложности вершинных соотношений (26) зависит от особенностей строения соответствующей лучевой сети. Этот вопрос мы рассмотрим более подробно в следующем параграфе.
Вследствие ошибочности исходных данных, наблюденных с, и
— о о
твердых Хр., поперечные смещения \пк избыточных лучей <$ЛПк, построенных по необходимой совокупности о/' неуравненных расширенных данных, не будут удовлетворять строго условию (26). Поэтому вместо указанного равенства мы получим тогда
= Впк(«>") — Впк{чи ш") = тв , ф О, (26а)
ПК
где V ~ СУТь значения дополнительных данных, согласованные с некоторой необходимой совокупностью о расширенных исходных данных [см. (16)], а ■Т0В есть невязка рассматриваемого вершинного ус-
п к
ловия. Эти невязки показаны вместе с соответствующей лучевой сетью на рис. 5 в, а отдельно в действительную величину — на рис. 5 г, при-
чем знак невязки тв =^пк устанавливается по правилу (17). Из пре-
ПК
дыдущего следует, что каждая невязка вершинного условия <гюв на-
{I к
ходится путем ее последовательного вычисления по цепи ячеек, связывающей неточную пару вершин Л, В с соответствующей расщеплен-
ной вершиной Л".
В общем случае принятое положение В неточной вершины В не
совпадает с принятым положением К для расщепленной вершины К:
В ф К,
и тогда мы будем говорить о внешнем вершинном условии. Такой случай как раз имеет место в разомкнутых цепях ячеек (см. рис. За, где А = 9, В = 10, а КЭКи будут соответственно 11 и 12).
Изредка, однако, возможны случаи, когда принятые положения Л, В неточных вершин Л, В совмещены с принятыми положениями
•Ки расщепленных вершин КиК-> сети:
А=КХ. В = к2
(см. рис. 5 д, где А ----- /С, — 1, а В --- К> = 2). Встречаются иногда также лучевые сети с совмещенными неточной В и конечной опорной К вершинами:
Б = К
(см. рис. 5 а, где А --- 11, В = К= 12). Возникающие во всех таких случаях вершинные условия мы будем называть внутренними.
§ 7. Взаимозаменяемость боковых и вершинных условий
В предыдущем параграфе указано, что каждая расщепленная вер-
V-' О
шина К вместе с соответствующим избыточным лучом Лп К дает одно вершинное условие. Отсюда следует, что если в данной лучевой
о
сети имеется е пар К, Лп к таких взаимосвязанных расщепленных
вершин и избыточных лучей, то в этой сети возникает е вершинных условий.
С другой стороны, в § 5 было установлено, что каждая расщепленная сторона Бкм сети приводит к одному боковому условию. Значит, при а расщепленных сторонах Бкм в лучевой сети появится всего а боковых условий.
Допустим теперь, что в данной лучевой сети* имеется а расщеп-
V ^ о
ленных сторон Бкм и е соответственных пар К, Лп^к расщепленных
вершин и избыточных примычных лучей. Тогда в такой сети, кроме лучевых и дополнительных условий, возникнет еще только е каких-то независимых условий, —по числу е примычно-избыточных лучей
о
Лп к. Это вытекает совершенно очевидно из того соображения, что
если мы уравняем все лучевые и дополнительные условия данной сети и одновременно добьемся прохождения уравненных избыточных
о
лучей гЛпнк через соответствующие уравненные опорные положения
К расщепленных вершин /С, то сеть уравняется полностью.
Спрашивается, как примирить последнее утверждение о числе оставшихся независимых условий с тем обстоятельством, что в сети
>_/ — о
имеется а расщепленных сторон Бкм и е пар К, Лп к расщепленных
к
вершин и избыточных примычных лучей, причем каждое значение расщепленной величины дает одно условие.
Выход из возникшего таким образом противоречия содержится в двух легко доказываемых предложениях о взаимозаменяемости боковых и вершинных условий в поверхностных лучевых сетях.
Предложение первое (прямое). Любое боковое условие
лучевой сети, доставляемое некоторой расщепленной стороной Бкм, всегда может быть выражено через одно или два вершинных условия, соответствующих принятому положению одного или обоих кондов данной стороны Бкм.
Примеры: а) боковое условие на рис. 3 в для расщепленной стороны Б2.з можно выразить через условие прохождения луча 4 Л-:> через опорное положение 3 расщепленной вершины 3;
7. Илвь *тия ТПИ, том 118. 97
б) боковое условие на рис. 3 а для расщепленной стороны £72.11
о о
можно выразить через условие прохождения лучей сГ-Яз ,12, ¿Л 8-ТТ»
или в1 Л 8.12, <$Л 1-п через твердые вершины 11, 12.
Предложение второе (обратное). Вершинное условие, доставляемое принятым положением одного из концов расщепленной
стороны Бкм, лучевой сети, всегда может быть выражено или через
одно боковое условие для Бкм, или же выражается этим боковым условием совместно с вершинным условием относительно принятого
положения для второго конца стороны Бкм.
Примеры: а) вершинное условие на рис. 3 в, соответствующее
о
прохождению луча зЛ-.ъ через опорное положение 3 расщепленной
вершины 3, можно выразить через боковое условие для Б2.г,
б) вершинное условие на рис. 3. а, соответствующее прохожде-
(•■ о _
нию луча <?Лт .и или <$Л%.Т\ через твердую вершину 11, выражается совместно боковым условием для Би.й. и условием прохождения луча с.12 через твердую вершину 12.
Опираясь на высказанные здесь два почти очевидных предложения, мы приходим теперь к выводу, что никакого противоречия, отмеченного выше, в* действительности не существует. Оказывается, все зависит от того, какие из условий данной лучевой сети: боковые или соответствующие вершинные, считать в качестве независимых. Выбор е независимых условий, отвечающих е примычно-избы-
Г)
точным лучам с?ЛП}к, может быть выполнен несколькими способами
при наличии в лучевой сети а расщепленных сторон Б,см и е соответственных пар /С, Лп к расщепленных вершин и избыточных ири-
мычных лучей. Основными здесь будут являться нижеследующие три способа:
1) Считая а боковых условий зависимыми, примем в качестве независимых все е вершинных условий данной сети.
2) Считая зависимыми а вершинных условий, выражаемых через боковые и некоторые другие вершинные условия, примем в качестве независимых а боковых и (е —- а) оставшихся вершинных условий.
3) Считая зависимыми только / боковых условий из их общего числа а, примем в качестве независимых (а — /) боковых условий и [е — (а— /)] оставшихся вершинных условий, не связанных с выбранными / боковыми условиями.
Что касается выбора из этих трех способов наиболее подходящего для данной лучевой сети, то здесь решение определяется особенностями внутреннего строения рассматриваемой сети. Можно, однако, считать, что если в сети имеются только боковые условия и сеть состоит из одних треугольных ячеек, то следует придерживаться способа 2. Если же в сети, кроме боковых, возникают также вершинные и дополнительные условия и, особенно, если сеть образована смешанными ячейками, то к такой сети выгоднее применить способ 1.
§ 8. Степень сложности вершинных условий в различных поверхностных лучевых сетях
Выясним теперь степень сложности развернутого представления ^вершинных условий (26)
о __ _
Кк = Впк№') = Впк{^и • - - ? <»')— О
для различных поверхностных лучевых сетей. Как уже было отмечено выше, степень этой сложности зависит всецело от особенностей строения соответствующей лучевой сети.
о
Наиболее простой вид имеют вершинные условия 0 для цепей треугольников рода 5^0 (рис. За, 5д). Для таких цепей в работах [3], [4] указаны быстрые приемы составления вершинных условий несколько отличного от (23) вида, а именно:
- и1 к = 0 й?к — и2к = 0. (27)
О о_
Здесь и>к, и?к суть поверхностные координаты построенного по-
ложения К расщепленной вершины /С, которое получено по необходимым уравненным данным, исходя из некоторой пары А, В неточных
вершин. Величины же ак1 и ик2 суть поверхностные координаты при-
пятого уравненного положения К той же расщепленной вершины К. Не особенно сложным будет также составление вершинного ус-
Г)
ловия кПк = 0 для цепи треугольников, проложенной между твердыми вершинами А ~ А и В = В (изображена на рис. 5а, где А = 11, К = 12). Для цепи такого вида в книге [5] предлагается брать в качестве вершинного условия второе из равенств (27)
и2к — и? к = 0,
но в условной отчетной опоре с осью \их вдоль прямой АК и осью ^ и2 поперечно к АК.
Однако сложность развернутого представления вершинных уело-
о
вий \кп = 0 резко возрастает, как только мы переходим от цепей треугольников к цепям смешанных ячеек (рис. 56 и 5в). Сказанное следует из того, что в сетях треугольников соседние соединительные цепи строятся независимо друг от друга, а в сетях смешанных ячеек каждая последующая соединительная цепь опирается, как правило, на все предшествующие соединительные цепи. Поэтому независимо от способа их составления вершинные условия в сетях смешанных ячеек будут содержать значительно большее количество угловых величин с/, чем в сетях треугольных ячеек. Отсюда вытекает громоздкость вершинных условий в лучевых сетях общего вида. Этот вывод косвенно следует также из сравнения частных выражений (а) и (б) на стр. 93 и 94.
7*.
99
§ 9. Сравнение дополнительных и вершинных условий в поверхностных лучевых сетях
Выше было указано, что по своему значению для лучевой сети дополнительные и вершинные условия резко различаются между собой.
Свод 5 дополнительных условий в поверхностной лучевой сети 5-го рода отражает коренные особенности во внутреннем строении этой сети. Согласно [1] определитель указанного свода устанавливает степень неточности в построении сети по выбранной совокупности необходимых исходных данных, принятых за безошибочные. Поэтому дополнительные условия при 5>0 образуются в лучевой сети даже в том случае, когда состав исходных данных является строго необходимым.
В противоположность сказанному вершинные условия возникают в поверхностной лучевой сети только при расширенном составе ее исходных данных, а именно—когда в сети появляются избыточные
о
примычные лучи с?ЛпКу связанные с соответствующими расщепленными вершинами К. Поэтому при яХ) вершинные условия служат добавочным средством для оценки качества построения сети по заданным исходным данным. В случае же 5 = 0 вершинные условия являются единственным средством такой оценки.
Несмотря на отмеченные довольно существенные внутренние различия оба эти вида сетевых условий внешне очень сходны между собой. Они выражают одно и то же требование: прохождение некоторого построенного примычного луча <$ЛПк через опорное положение
К соответствующей расщепленной вершины К. Отсюда следует, что при расширенном составе исходных данных в лучевой сети нет смыс-
о
ла как-то особо выделять остаточные лучи $Лпк от избыточных <$ЛПк-Тем более, что такое разбиение в указанном случае не может быть выполнено однозначно даже при наличии в сети только одного остаточного и одного избыточного примычного луча (если не считаться с установленным в [1] достаточным условием построимости лучевой сети 5-го рода). Поэтому в дальнейшем при расширенном составе исходных данных в лучевой сети мы будем обозначать принадлежащую
о
ей совокупность остаточных в1 Лпк и избыточных примычных $Лпк
лучей однообразно через <$Лпк. Сами же указанные лучи <$ЛПк назовем обобщенно отметочными. Таким образом,
дЛпкЪЗЛпк, с?Л
ПК .
Заметим также, что совокупность данных з", по которой строятся остаточные лучи $ЛПк, составляет лишь часть совокупности данных
о
«/', задающей избыточные примычные лучи с?Лпк. Поэтому свод от-
г*
меточных лучей ¿Лпк определяется полностью одной и той же общей совокупностью со" исходных данных с/, Х[х. Это обстоятельство мы используем в дальнейшем при составлении свода смешанных конечно-разностных уравнений поправок, отвечающего в поверхностной лучевой сети исходному своду дополнительных и вершинных условий.
§ 10. Сравнительная оценка главных видов исходных условий и вытекающие отсюда выводы
Заканчивая статью, дадим итоговую сравнительную оценку рассмотренных выше четырех главных видов исходных условий в поверхностных лучевых сетях и на этой основе определим важнейшую задачу наших дальнейших исследований.
Прежде всего отметим, что свободные члены указанных условий являются величинами только двух родов—это или угол, или длина. Именно, углами являются свободные члены лучевых условий, длинами—свободные члены остальных трех условий. На этом основании лучевые условия могут быть названы также угловыми, а условия дополнительные, боковые и вершинные естественно объединить под общим названием длинновых.
Далее подчеркнем то существенное обстоятельство, что для составления лучевых условий вовсе не нужно знать действительного очертания уравниваемой лучевой сети, тогда как образование остальных трех условий невозможно без попутного построения этой сети в подлинных или уменьшенных размерах.
Наконец, обратим внимание на то, что лучевые условия связывают непосредственно сами угловые величины и потому имеют очень простой вид (18). В противоположность сказанному, остальные три условия, названные выше обобщенно длинновыми и представляемые равенствами (15), (19) и (26), имеют ту особенность, что каждое из
~ о о_
них выражает какой-то отрезок hnKi dnK или как функцию исходных и дополнительных уравненных данных сети. Поэтому длинновые условия, в противоположность лучевым, имеют всегда сложный вид, особенно—в сетях со смешанными ячейками.
Из проведенного здесь сравнения лучевых и длинновых условий вытекает, таким образом, что развернутое выражение условий последнего вида представляет довольно трудоемкую и в ряде случаев даже просто невыполнимую задачу. Между тем для всего дальнейшего нам, в конечном счете, нужны не сами исходные условия лучевой сети, а их конечно-разностное представление в виде плоскостных условных уравнений поправок. При этом свободные члены этих уравнений поправок, и в первую очередь,—длинновых, можно было бы вычислить, не прибегая даже к развертыванию исходных соотношений. Отсюда следует, что ввиду легкости составления угловых условий нашей дальнейшей задачей будет являться разыскание простых способов непосредственного получения длинновых условных уравнений поправок, минуя предшествующую трудоемкую ступень развертывания исходных длинновых условий. Эта задача будет решена в моей следующей статье.
ЛИТЕРАТУРА
1. Крутой Б. Ф. Поверхностные выравненные лучевые сети и общий способ их построения. Известия ТПИ, том 93, 1958.
2. Крутой Б. Ф. Общий вид соотношений связи при уравнивании поверхностных лучевых сетей и вытекающие отсюда задачи. Известия ТПИ, том 118, 1963.
3. Урмаев Н. А. Уравнивание полигонов в географических и прямоугольных координатах. Труды ЦНИИГАиК, вып. 1, Госкартогеодезия, Л., 1931.
4. Ну в ар ь ев В. С. Новый способ уравнивания триангуляций. ОГИЗ, Москва, Иркутск, 1932.
5. Келль Н. Г. и Баринов В. А. Высшая геодезия и геодезические работы. 'Часть И, Госуд. горное издательство, Л., М., Н., 1933.
