Решение задачи дифракции волн на магнитодиэлектрических рассеивателях сложной геометрии методом продолженных граничных условий Текст научной статьи по специальности «Математика»

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ВОЛН НА МАГНИТОДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ РАССЕИВАТЕЛЯХ СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДОМ ПРОДОЛЖЕННЫХ

ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

DOI 10.24411/2072-8735-2018-10139

Крысанов Дмитрий Владимирович,

МТУСИ, Москва, Россия, [email protected]

Кюркчан Александр Гаврилович,

МТУСИ; ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН;

ФГУП Центральный научно-исследовательский институт

связи, Москва, Россия, [email protected]

Смирнова Надежда Ивановна,

МТУСИ, Москва, Россия, [email protected]

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-02-00247 а)

Ключевые слова: дифракция и рассеяние волн, метод продолженных граничных условий, метод Т-матриц, условия сопряжения, усредненная диаграмма рассеяния.

Задача дифракции волн на диэлектрическом теле сложной геометрии является весьма актуальной и остается сравнительно слабо исследованной ввиду сложности ее решения. Результаты моделирования характеристик рассеяния волн диэлектрическими телами представляют большой интерес в таких, например, областях, как оптика неоднородных сред, лазерная дефектоскопия, проектирование поглощающих покрытий и др. [1, 2, 3]. Несмотря на то, что на данный момент разработан ряд аналитических и численных методов решения этих задач (наиболее распространенными из которых являются метод Т-матриц [4] и метод дискретных источников [5]), потребности в моделировании дифракционных процессов возрастают довольно быстро, в связи с чем вопрос разработки более точных и универсальных методов решения задач дифракции все еще остается актуальным. Популярность метода Т-матриц во многом объясняется тем, что при решении задачи дифракции при помощи МТМ достаточно просто получить связь между коэффициентами разложения падающей и рассеянной волн, что позволяет легко выполнять усреднение характеристик рассеяния частицы по углам ее ориентации [5]. Однако традиционный вариант метода Т-матриц применим к решению задач дифракции лишь на рэлеевских рассеивателях [5, 6].

В данной работе развито предложенное в [7, 8] обобщение метода Т-матриц на основе метода продолженных граничных условий на задачи дифракции электромагнитных волн с условиями сопряжения на границе рассеивателя произвольной формы. Разработанная методика, обладающая всеми преимуществами метода Т-матриц, применима к исследованию задач дифракции на телах, имеющих изломы границы. Рассмотрены примеры моделирования характеристик рассеяния волн телами с поперечным сечением в виде кругового цилиндра и рэлеевского эллиптического цилиндра. Рассчитывались такие характеристики, как диаграмма рассеяния и усредненная по углам ориентации диаграмма. Правильность выполняемых расчетов проверялась при помощи сравнения с результатами, полученными при помощи метода диаграммных уравнений.

Информация об авторах:

Крысанов Дмитрий Владимирович, аспирант, Московский технический университет связи и информатики, Москва, Россия

Кюркчан Александр Гаврилович, зав. каф., д.ф.-м.н., Московский технический университет связи и информатики, Москва, Россия;

ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, Фрязино Московской обл.; ФГУП Центральный научно-исследовательский институт связи, Москва, Россия

Смирнова Надежда Ивановна, доцент, к.ф.-м.н., Московский технический университет связи и информатики, Москва, Россия

Для цитирования:

Крысанов Д.В., Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Решение задачи дифракции волн на магнитодиэлектрических рассеивателях сложной

геометрии методом продолженных граничных условий // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2018. Том 12. №9. С. 18-24.

For citation:

Krysanov D.V., Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. (2018). Solution of the problem of wave diffraction on magnetodyelectric scatterers of complex geometry by the method of continued boundary conditions. T-Comm, vol. 12, no.9, pр. 18-24. (in Russian)

Введение

Метод Т-матриц широко используется в радиофизике, акустике, астрофизике и других областях науки. Его популярность объясняется простотой и удобством вычисления важных в приложениях характеристик рассеяния компактных объектов.

Под методом Т-матриц принято понимать процедуру нахождения матрицы, связывающей коэффициенты разложения но некоторому (обычно угловому или сферическому) базису поля, рассеянного каким-либо объектом при падении на него плоской волны. Элементы Т-матрицы не зависят от угла падения первичной волны и определяются лишь геометрией рассеивателя и видом краевых условий на его ipa-нице. Ото позволяет легко выполнять важные в ряде приложении [3] операции усреднения характеристик рассеяния по углам падения первичной волны.

В работах [7, &j было предложено обобщение метода Т-матриц на основе метода продолженных граничных условий (МИГУ) для решения задачи дифракции с условием Дирихле на границе. Этот метод был впоследствии применен для им-педансиого краевого условия [£>]. Идея МИГУ заключается в переносе граничного условия с поверхности S рассеивателя на некоторую вспомогательную поверхность которая

располагается вне рассеивателя на некотором достаточно малом расстоянии S от его границы. При этом носитель вспомогательного тока, создающего рассеянное поле, остается на поверхности рассеивателя. В результате вместо точной постановки граничной задачи мы получаем приближенную, закладывая в решение погрешность порядка kS. К главным достоинствам МШ У можно отнести отсутствие ограничений на геометрию рассеивателя (в том числе он применим и для рассей вате лей имеющих изломы границы, и для тонких экранов). Кроме того, Mili'У предлагает единый подход к решению краевых задач, не зависящий от их типа, размерности, геометрии поверхности рассеивателя и природы рассеиваемого поля.

В данной статье предлагается обобщение описанной выше методики для решения двумерной скалярной задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом теле.

Вывод основных соотношений

Пусть на бесконечный магнитодиэлектрический цилиндр с образующей, параллельной оси Oz, и с направляющей S падает первичное электромагнитное поле Ё°,Н() (рис. 1). Рассмотрим случай ^-поляризации, когда вектор напряженности электрического поля Е имеет только одну составляющую Е, (ниже обозначаемую буквой U), параллельную

образующей цилиндрического тела. Тогда на границе рассеивателя будут иметь место следующие условия сопряжения:

Щ л

д!Г

дп

- К

8U

сп

(1)

цилиндром поле,_ - дифференцирование по направлению

дп

внешней к S нормали, в случае i-поляризации д- = //-///, ft. - абсолютная магнитная проницаемость соответствующей среды.

Рис. I. Геометрия задачи

Внешняя среда ( О — М2 \ О), О - О Б, £> - область, ограниченная кривой и среда внутри цилиндра полагаются однородными, линейными и изотропными. В этом случае диэлектрическая и магнитная проницаемости в области О связаны с диэлектрической и магнитной проницаемостя-ми внешней среды [) следующими соотношениями:

е, - £■„£■, .// - //|(//г. Величины в случае внешней сре-

ды без потерь совпадают с диэлектрической и магнитной проницаемостями вакуума.

Воспользуемся следующими представлениями для решения уравнения Гелъмгольца в областях О и О, соответственно [7]:

vm= -тЩг

дп дп (2)

dG0(rtF) dU(r

дп'

сп )

в которых

где и' - поле внутри цилиндра, V = 11" + (У1 - поле вне цилиндра, причем и" — падающее, а £/' — рассеянное

- это фундаментальные решения скалярного уравнения Гельмгольца в В" с материальными параметрами сред О и

О соответственно, к — (0^е^7а — волновое число, к = кфГ/7 - волновое число в области О.

В полярных координатах с использованием соотношений

V р2(р) + р'2(<р)

ds = ylp2(<p) + p'2(<p)d<p,

, л а р'{<р) д

дг р(<р) д<р

где г = р{(р) - уравнение кривой 5 и введением следующих обозначений

DG{){f\r') = p{(p)

dG,{f,r') p'(<p')dGu{?,7)

дг' p(<p') d<p' dG0 p'(<p) 6Gq

■'eS

r'<=S

dr p(cp) d(p представления (2) примут следующий вид:

V(r) == - }{./,{(р')СЦпП-tcJ2((ft)G0(r;F)) V,

о

Заменяя в соответствии с методом дискретных источников [7] интегралы в правой части (3) суммами

(4)

п=1 п=1

где | - -

ф — + _ и п — \ N ~ Дискретные источники,

" N N

/ - их амплитуды, N - количество источников, и потребовав в соответствии с МИГУ выполнения условий (1) на кривой 5\.> расположенной в К2 \ £), и на кривой расположенной в области О (см. рис,)))

dU'

«л дп

~ к-

SU

СП

получим следующие алгебраические системы:

П—1

* (?»)+1 № (П. Я) - А А &; О},

П—\

(5)

Л—I

(6)

в которых

% = {% (<Р,„ )>%,)= {Рв(<РЛ <Рп, } *

К = (<рт)><рт} = {р'АрЛ?*}

т = — + г = ря((р) - уравнение кривой

N N

Г — р'й{(р) -уравнение кривой §'

Всюду вне окружности, описанной вокруг 5, в соответствии с теоремой сложения имеем:

Н$\к\г-?\)= £ Jp(kr')H™(kr)eip^'\

р-—00

(3) откуда

Р{<Р)

Теперь объединяя(7) и (4)получим

(7)

х> К

аф) р

,->рф

(8)

Перепишем соотношение (8) в стандартном для МТМ виде

р^-оо

где ср^(1ь/рп + 12пГрпу

(9)

J2pn—~Jp(kp(<p'))e-^

В матричных обозначениях:

C=J' •Tt+J1-I2=jJ = (J-K-])-b=T-b, (И)

У

У

Литература

Х.Борен К. ХафменД. Рассеяние н поглощение света малыми частицами. М,: Мир. 1986.662 с,

2. Захарьев Л.Н., Леманский А.А. Рассеяние волн «черными» телами. М.: Сов. радио, 1972. 288 с.

3. Miskchenko M.I.. Zakharova N.T., KhlebtsoV N.G.. Videen С., Wriedt Т. Comprehensive T-matrix reference database: A 2014-2015 update // JQSRT, v. 178 (2016), pp. 276-283.

4. Waterman P.C. Matrix formulation of electromagnetic scattering // Proc. IEEE. 1965, v.53, pp. 805-812.

5. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Математическое моделирование в теории дифракции с использованием априорной информации об аналитических свойствах решения. М.: ИД Медиа Паблишер, 2014. 226 с.

6. Кюркчан А.Г., Смирнова НИ. Чиркова А.П. Метод Т-матриц на основе модифицированных методов вспомогательных токов и нулевого поля // Радиотехника и электроника. 2015. Т. 60. №3. С. 247-253.

7. Кюркчан А,Г., Смирнова Н.И. Метод Т-матриц на основе метода продолженных граничных условий // Т-Сотга: Телекоммуникации и транспорт. 2016, Т. 10. №1. С. 34-38.

8. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Обобщение метода Т-матриц на задачи рассеяния волн телами с пеаналитической границей И Радиотехника и электроника. 2017. Т. 62. № 5. С. 476-480.

9. Крысанов Д.В.. Кюркчан А Г. Моделирование усреднённых по углам ориентации характеристик рассеяния волн частицами сложной геометрии и фракталоподобными частицами // Т-Сотт: Телекоммуникации и транспорт. 2017. Т. 11. №7. С. 17-22.

!0. Кюркчан А.Г. Об одном новом интегральном уравнении в теории дифракции // ДАН, 1992. Т. 325,№2. С. 273-279.'

SOLUTION OF THE PROBLEM OF WAVE DIFFRACTION ON MAGNETODYELECTRIC SCATTERERS OF COMPLEX GEOMETRY BY THE METHOD OF CONTINUED BOUNDARY CONDITIONS

Dmitry V. Krysanov, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia, [email protected]

Alexander G. Kyurkchan, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia; Kotel'nikov Institute of Radio Engineering and Electronics, Fryazino Branch, Russian Academy of Sciences, Fryazino, Russia; Central research institute of communication, Moscow, Russia, [email protected]

Nadezhda I. Smirnova, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia, [email protected] Abstract

The problem of diffraction of waves on the dielectric body of complex geometry is very relevant and remains relatively poorly investigated due to the complexity of its solution. The results of modeling the characteristics of wave scattering by dielectric bodies are of great interest in such areas as optics of inhomogeneous media, laser defectoscopy, projection of absorbing coatings, etc. [1, 2, 3]. Despite the fact that at present a number of analytical and numerical methods for solving these problems have been developed (the most common of which are the T-matrix method [4] and the discrete source method [5]), the requirements for modeling the diffraction processes increase quite rapidly, in connection with which the issue of developing more accurate and universal methods for solving diffraction problems is still relevant. The popularity of the T-matrix method is largely explained by the fact that when solving the diffraction problem with the help of the MTM, it is easy enough to obtain a connection between the coefficients of the expansion of the incident and scattered waves, which makes it easy to perform the averaging of the scattering characteristics of the particle at the angles of its orientation [5]. However, the traditional version of the T-matrix method is applicable to solving diffraction problems only on Rayleigh scatterers [5, 6]. In this paper, the generalization of the T-matrix method proposed in [7, 8] based on the method of extended boundary conditions on diffraction problems of electromagnetic waves with conjugation conditions on the scatterer's boundary of arbitrary shape is developed. The developed technique, which has all the advantages of the T-matrix method, is applicable to the study of diffraction problems on bodies with boundary breaks. Examples of modeling the characteristics of wave scattering by bodies with a cross section in the form of a circular cylinder and a Rayleigh elliptic cylinder are considered. Such characteristics as the scattering diagram and the diagram averaged over the orientation angles were calculated. The correctness of the calculations performed was verified by comparison with the results obtained using the method of pattern equations.

Keywords: diffraction and scattering of waves, method of the continued boundary conditions, method of T-matrixes, conjugation conditions, average scatter pattern.

References

1. Bohren K.F., Huffman D.R. (1983). Absorption and Scattering of Light by Small Particles. New York: John Wiley & Sons. 545 p.

2. Zakhar'ev L.N., Lemanskii A.A., (1972). Scattering of Waves by Blackbodies // Sovetskoe Radio, Moscow. 288 p. (in Russian)

3. Mishchenko M.I., Zakharova N.T., Khlebtsov N.G., Videen G., Wriedt T. (2016). Comprehensive T-matrix reference database: A 2014-2015 update. JQSRT. Vol. 178, pp. 276-283.

4. Waterman P.C. (1965). Matrix formulation of electromagnetic scattering. Proc. IEEE. 1965, vol. 53, pp. 805-812.

5. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. (2016). Mathematical modeling in the theory of diffraction using a priori information about the analytic properties of the solution. Amsterdam: Elsevier. 280 p.

6. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I., Chirkova A.P. (2015). The T-matrix method based on the modified auxiliary current and null-field methods. Journal of Communications Technology and Electronics. Vol. 60, No. 3, pp. 232-238.

7. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. (2016). T-matrixes method on the basis of the continued boundary conditions method. T-Comm. Vol. 10, No.1, pр. 34-38. (in Russian)

8. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. (2017). Generalization of the T -matrix method to problems of wave scattering by bodies with a non-analytic boundary. J. Commun. Technol. Electron. Vol. 62, Issue 5, pp. 502-506.

9. Krysanov D.V., Kyurkchan A.G. (2017). Modeling averaged over the angles of orientation characteristics of the scattering by particles of complex geometry and fractal particles. T-Comm, vol. 11, No.7, рр. 17-22. (in Russian)

10. Kyurkchan A.G. (1992). A new integral equation in the diffraction theory. SovPhys-Dokl. Vol. 37, Issue 7, pp. 338-40. Information about authors:

Dmitry V. Krysanov, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Russian Federation, Moscow, Russia Alexander G. Kyurkchan, Head of Department, Professor, D.Sc., Moscow Technical University of Communications and Informatics Russia; Kotel'nikov Institute of Radio Engineering and Electronics, Fryazino Branch, Russian Academy of Sciences, Russia; Central research institute of communication, Moscow, Russia

Nadezhda I. Smirnova, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia