CC BY
31
т
ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННЫХ МЕТОДОВ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ИСТОЧНИКОВ И НУЛЕВОГО ПОЛЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ НА ТЕЛАХ, ИМЕЮЩИХ ИЗЛОМЫ ГРАНИЦЫ
Кюркчан Александр Гаврилович,
Московский технический университет связи и информатики; ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН;
ФГУП Центральный научно-исследовательский институт связи, Москва, Россия, [email protected]
Смирнова Надежда Ивановна,
Московский технический университет связи и информатики; Москва, Россия, [email protected]
Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 16-02-00247а
Ключевые слова: дифракция и рассеяние волн, метод вспомогательных токов, метод нулевого поля, аналитическое продолжение, аналитическая деформация границы рассеивателя.
Во многих областях современной науки и техники, таких как акустика, оптика, радиофизика, астрофизика, радиоастрономия, поляриметрия, биофизика и других, имеется большая потребность в эффективных инструментах, позволяющих исследовать характеристики рассеяния волн частицами различной, в том числе сложной геометрии, и возникает потребность в их эффективном решении. Несмотря на то, что на данный момент разработано огромное количество аналитических и численных методов решения этих задач, потребности в моделировании дифракционных процессов возрастают довольно быстро, в связи с чем вопрос разработки более точных и универсальных методов решения задач дифракции все еще остается актуальным. Метод вспомогательных токов (МВТ), как и один из его вариантов реализации - метод дискретных источников, а также метод нулевого поля (МНП) относятся к одним из наиболее популярных методов решения граничных задач теории дифракции (см., например, [1, 2, 3]). Однако, строго говоря, эти методы применимы к решению задач дифракции лишь на рассеивателях с аналитической границей. Если для МВТ это обстоятельство является непосредственным следствием теоремы существования [4], то для МНП это не вполне очевидно, т.к. бытует мнение, что интегральное уравнение МНП (см. ниже) разрешимо всегда. В наших работах (см., например, [4]) было показано, что решение интегрального уравнения МНП, соответствующее исходной краевой задаче, существует лишь в том случае, когда поверхность (в двумерном случае - кривая), на которой требуется выполнение условия нулевого поля, охватывает множество особенностей аналитического продолжения дифракционного поля внутрь рассеивателя. Наиболее эффективными вариантами МНП и МВТ являются так называемые модифицированные МНП и МВТ (ММНП и ММВТ соответственно) [4], в которых вспомогательная поверхность (кривая) строится при помощи аналитической деформации границы рассеивателя. Сделана попытка реализовать ММНП и ММВТ при решении задачи дифракции на телах с изломами границы. С этой целью рассмотрен способ, в соответствии с которым угловые точки и их малые окрестности удаляются из рассмотрения, а для остальной части границы применяется техника аналитической деформации. Рассмотрен пример применения предлагаемой техники, в котором в качестве рассеивателя рассматривается призма с поперечным сечением в виде прямоугольника. Правильность выполняемых расчетов проверялась при помощи сравнения с результатами, полученными при помощи метода продолженных граничных условий.
Информация об авторах:
Кюркчан Александр Гаврилович, Московский технический университет связи и информатики, зав. каф., д.ф.-м.н.; ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, Фрязино Московской обл.; ФГУП Центральный научно-исследовательский институт связи, Москва, Россия
Смирнова Надежда Ивановна, доцент, к.ф.-м.н., Московский технический университет связи и информатики, Москва, Россия Для цитирования:
Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Применение модифицированных методов вспомогательных источников и нулевого поля к решению задач дифракции на телах, имеющих изломы границы // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2017. Том 11. №12. С. 50-54.
For citation:
Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. (2017). Application of the modified method of auxiliary sources and the null-field method to the solution of diffraction problems on the bodies having boundary breaks. T-Comm, vol. 11, no.12, рр. 50-54. (in Russian)
T-Comm Том 11. #1 2-20 1 7
У
Введение
Метод вспомогательных токов основан на представлении дифракционного поля с помощью вспомогательных источников, распределенных на некотором носителе (вспомогательной поверхности), находящемся внутри рассеивателя. При этом в соответствии с теоремой существования [4] носитель вспомогательных токов должен охватывать все особенности аналитического продолжения дифракционного поля внутрь рассеивателя.
Одним из вариантов численной реализации МВТ является метод дискретных источников (МДИ) [2, 4], основанный па замене интеграла в представлении дифракционного поля суммой дискретных источников. Популярность этого метода основана на его простоте и алгоритмичности. Долгое время одним из серьезных недостатков МДИ (как и МВТ) являлась неопределенность в выборе носителя источников. В работе [51 был предложен универсальный и эффективный способ выбора носителя вспомогательных источников, заключающийся в аналитической деформации границы рассеивателя вплоть до множества особенностей волнового поля. Этот подход, названный модифицированным методом дискретных источников (ММДИ) оказался в высшей степени удобным и эффективным, однако, строго говоря, применимым лишь для решения задач дифракции на препятствиях с аналитической границей. В то же время весьма восгребованны-ми являются задачи, в которых граница рассеивателя имеет, например, изломы [6]. В работе [7] было показано, что в силу аналитичности дифракционного поля - решения уравнения Гельмгольца - малые изменения границы (граничных условий) приводят к малым изменениям решения. Что же касается интегральных характеристик, таких как диаграмма рассеяния, то при расчете таких характеристик погрешность па порядок меньше. Таким образом, представляет интерес вопрос о возможности распростра!Iять ММДИ па задачи дифракции волн рассеивателя ми с границей, состоящей из отдельных аналитических участков.
Вывод основных соотношений
В основе соответствующего подхода должна лежать аналитическая аппроксимация «угловых» (неаналитических) участков границы. На аналитических же участках построение носителя вспомогательных источников выполняется при помощи аналитической деформации границы. Такого рода подход позволит распространить ММДИ на задачи дифракции волн на рассеивателях уже весьма сложной геометрии.
Также весьма популярны в силу своей алгоритмичности и быстродействия метод нулевого поля и одна из его реализаций - метод Т-матриц [4]. Эти методы восходят к работам Уогермена [8, 9]. В дальнейшем эти методы стали активно применяться при решении широкого круга задач дифракции и рассеяния воли [10, 11].
Формально соотношение нулевого поля справедливо всюду внутри рассеивателя, на основании чего бытует мнение о том, что соответствующее интегральное уравнение МНП разрешимо всегда. Однако, при решении этого интегрального уравнения используются те или иные аналитические представления для искомой функции. Все такие представления существуют лишь в области вне А - минимального
замкнутого множества, содержащего все особенности аналитического продолжения волнового поля [4].
В работе [12] (см. также [4]) была предложена модификация методов нулевого ноля и Т-матриц, основанная на построении вспомогательной поверхности (в двумерном случае - кривой), на которой выполняется условие нулевого поля, при помощи аналитической деформации границы рассеивателя. В этой работе, как и в последующих (см. [4]) было показано, что наиболее устойчивые и быстродействующие алгоритмы реализуются при построении вспомогательной поверхности путем аналитической деформации границы рассеивателя вплоть до особенностей волнового поля, так же, как это имеет место в модифицированном методе вспомогательных токов.
В настоящей работе выполнены исследования по возможности применения модифицированного метода нулевого поля, а, следовательно, и ММДИ, к решению задач дифракции на телах, граница которых состоит из отдельных аналитических участков. Был
рассмотрен простейший вариант предлагаемого подхода, при котором не производится аналитической аппроксимации угловых участков границы, вместо чего такого рода участки «удаляются», т.е. построение носителя вспомогательных источников производится лишь на аналитических участках.
Тестирование такого варианта предлагаемого подхода выполнено на задаче дифракции плоской волны на цилиндре с поперечным сечением в виде прямоугольника. Па границе было поставлено условие Дирихле. Точность решения проверялась путем вычисления невязки краевого условия, а также путем проверки выполнения оптической теоремы [13].
Как известно, метод нулевого поля основан на следующем соотношении 114]
•[ дп дп } [ -и (г ),
(1)
В этом соотношении и-и" +ц', причем и" —первичное (падающее) поле, к1 — вторичное (рассеянное) поле, С0(/\г") - функция Грина свободного пространства, 5 - граница рассеивателя, О — область внутри Дифференцирование в (1) производится в направлении внешней (по отношению к О)
нормали. В двумерном случае Введем следующие обозначения:
41
J(q>'), <Ь' = к(<рУ1<р', к-(<р) = у1/Г(<Р)+Р2{<Р) ' (2)
I дп 1 4 дп' 5 к(<р') где г = р((р) - уравнение границы 5.
С учетом введенных обозначений (2) и краевого условия интегральное уравнение нулевого поля для рассматриваемого нами случая будет иметь следующий вид
геЕ,
где Е - некоторая простая замкнутая кривая внутри Б ■
Для решения уравнения (3) теперь применим метод дискретных источников [4]. В соответствии с этим методом заменим интеграл в левой части уравнения (3) суммой точечных источников, локализованных на 5
Т-Сотт Уо1.11. #12-201 7
Т
Т-Сотт Том 11. #1 2-20 1 7
т
Рис. 3
Таким образом, проведенные исследования показали, что МНП даже в его модифицированном варианте целесообразно применять при моделировании характеристик рассеяния тел с неаналитической границей лишь в случаях, когда требования к точности вычислений не слишком высоки. Этот вывод справедлив также и по отношению к ММДИ, Поэтому при решении задач дифракции на такого рода рассейвателях, когда требуется высокая точность расчетов, наиболее уместен метод продолженных граничных условий [4].
Литература
1. Generalized multipole techniques for electromagnetic and light scattering. Edited by Wriedt T. Amsterdam: Elsevier, 1999. 264 c.
2. Doicti A., Eremin 5'., Wriedt T. Acoustic and electromagnetic scattering analysis using discrete sources. London: Academic, 2000. 317 c.
3. Doicu A.. Wriedi Т., Eremin У. Light scattering by systems of particles. Null-field method with discrete sources - theory and programs. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2006. 322 c.
4. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Математическое моделирование в теории дифракции с использованием априорной информации об аналитических свойствах решения. Москва, изд. Медиа Паблишер, 2014.
5. Кюркчан А.Г.. Минаев С.А., Соловейчик А.Л. Модификация метода дискретных источников на основе априорной информации об особенностях дифракционного поля // Радиотехника и электроника, 2001, Т. 46. № 6. С. 666-672,
6. Смирнова Н.И.. Крысанов Д.В. Моделирование усреднённых по углам ориентации характеристик рассеяния частиц разной геометрии и различными граничными условиями // T-Comm. Телекоммуникации и транспорт. 2016, т. 10, №8. С. 36-41.
7. Кюркчан А.Г.. Анютин А.П. О корректности задач дифракции, сводящихся к интегральным уравнениям Фредгольма 1 рода с гладким ядром И Радиотехника и электроника, т.51, №1,2006. С, с,54-57.
8. Waterman Р.С. Matrix formulation of electromagnetic scattering. Proc. IEEE. 1965, vol. 53, pp. 805-812.
9. Waterman PC. New formulation of acoustic scattering. J. Ac oust. Soc.Amer., 1969, vol. 45, pp. 1417-1429.
10. Mishchenko Ml.. Videen G.. Babenko V.A., Khlebtsov N.G., Wriedt T. T-matrix theory of electromagnetic scattering by particles and its applications: A comprehensive reference database // JQSRT. 123 (2013), p. 357.
11. Khlebtsov N.G. T-matrix method in plasmonics: An overview // JQSRT. 88(2004), pp. 184-217.
12. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Обобщение метода продолженных граничных условий // Радиотехника и электроника. 2008, т. 53, №7. С. 809-817.
13. Борен К. ХафменД. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. М.: Мир, 1986, 662 с,
14. Колтон Д.. Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987. 312 с.
APPLICATION OF THE MODIFIED METHOD OF AUXILIARY SOURCES AND THE NULL-FIELD METHOD TO THE SOLUTION OF DIFFRACTION PROBLEMS ON THE BODIES HAVING BOUNDARY BREAKS
Alexander G. Kyurkchan, Moscow Technical University of Communications and Informatics;
Kotel'nikov Institute of Radio Engineering and Electronics, Fryazino Branch, Russian Academy of Sciences;
Central Research Institute of Communication, Moscow, Russia, [email protected] Nadezhda I. Smirnova, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia, [email protected]
Abstract
In many fields of modern science and technology, such as acoustics, optics, radiophysics, astrophysics, radio astronomy, polarimetry, biophysics and others, a big need for the effective tools allowing to investigate the characteristics of scattering of waves particles of various, including difficult geometry is had and there is a need for their effective solution. In spite of the fact that the huge number of analytical and numerical methods of the solution of these problems is at the moment developed, the needs for modeling of diffraction processes increase quickly enough in this connection the question of development of more exact and universal methods of the solution of diffraction problems still remains urgent. The Method of Auxiliary Currents (MAC), as well as one of his options of realization - a method of discrete sources, and also the Null-Field Method (NFM) treat one of the most popular methods of the solution of boundary problems of the diffraction theory (see, for example, [1, 2, 3]). However, strictly speaking, these methods are applicable to the solution of diffraction problems only on the scatterers with analytical boundary. If for MAC this circumstance is a direct consequence of the existence theorem [4], then it isn't quite obvious to NFM since there is an opinion that the integral equation of NFM (see below) is solvable always. In our works (see, for example, [4]) it has been shown that the solution of the integral equation of NFM corresponding to an initial boundary problem exists only in that case when the surface (in a two-dimensional case - a curve) on which performance of a null-field condition is required, surround a set of the diffraction field analytical continuation singularities in the scatterer.
T-Comm Vol. 11. #12-201 7
Y
The most effective options of NFM and MAC are the so-called modified NFM and MAC (MNFM and MMAC respectively) [4] in which the auxiliary surface (curve) is under construction by means of analytical deformation of the scatterer boundary. In article the attempt to realize MNFM and MMAC at the solution of a problem of diffraction on bodies with boundary breaks is made. The way according to which angular points and their small vicinities are removed from consideration is for this purpose considered, and technology of analytical deformation is applied to other part of border. Example of use of the offered equipment in which as scatterers prism with cross section in the form of the rectangle is considered are reviewed. Correctness of the carried-out calculations was checked by means of comparison with the results received by means of the continued boundary conditions method.
Keywords: diffraction and scattering of waves, method of auxiliary currents, null-field method, analytical continuation, analytical deformation of the scattering boundary.
References
1. Generalized multipole techniques for electromagnetic and light scattering. Edited by Wriedt T. Amsterdam: Elsevier, 1999. 264 p.
2. Doicu A., Eremin Y., Wriedt T. (2000). Acoustic and electromagnetic scattering analysis using discrete sources. London: Academic. 317 p.
3. Doicu A., Wriedt T., Eremin Y. (2006). Light scattering by systems of particles. Null-field method with discrete sources - theory and programs. Berlin, Heidelberg, New York: Springer. 322 p.
4. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. (2016). Mathematical modeling in the theory of diffraction using a priori information about the analytic properties of the solution. Amsterdam: Elsevier. 280 p.
5. Kyurkchan A.G., Minaev S.A. and Soloveichik A.L. (2001). A modification of the method of discrete sources based on a priori information about the singularities of the diffracted field. Journal of Communications Technology and Electronics, 46, no. 6, pp. 615-621.
6. Smirnova N.I., Krysanov D.V. (2016). Modeling averaged over the angles of orientation characteristics of the scattering of particles of different geometry and different boundary conditions. T-Comm, vol. 10, no. 8, pp. 36-40. (in Russian)
7. Kyurkchan A.G., Anyutin A.P. (2006). The well-posedness of the formulation of diffraction problems reduced to Fredholm integral equations of the first kind with a smooth kernel. Journal of Communications Technology and Electronics, 46, no. 1, pp. 48-51.
8. Waterman P.C. (1965). Matrix formulation of electromagnetic scattering. Proc. IEEE., vol. 53, pp. 805-812.
9. Waterman P.C. (1969). New formulation of acoustic scattering. J. Acoust. Soc. Amer., vol. 45, pp. 1417-1429.
10. Mishchenko M.I., Videen G., Babenko V.A., Khlebtsov N.G., Wriedt T. (2013). T-matrix theory of electromagnetic scattering by particles and its applications: A comprehensive reference database, JQSRT, vol. 123, p. 357.
11. Khlebtsov N.G. (2004). T-matrix method in plasmonics: An overview. JQSRT, vol. 88, pp. 184-217.
12. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. (2008). Generalization of the method of extended boundary conditions. Journal of Communications Technology and Electronics, 53, no. 7, pp. 767-774.
13. Bohren K.F., Huffman D.R. (1983). Absorption and Scattering of Light by Small Particles. New York: John Wiley & Sons.
14. D. Colton and R.Kress. (1984). Integral Equation Methods in Scattering Theory. New York: John Wiley.
Information about author:
Alexander G. Kyurkchan, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Head of the PT and AM Department;
Kotel'nikov Institute of Radio Engineering and Electronics, Fryazino Branch, Russian Academy of Sciences, Fryazino, Moscow Region, Russian Federation;
Central Research Institute of Communication, Moscow, Russia
Nadezhda I. Smirnova, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Assistant Professor, Ph.D, Moscow, Russia
