Метод Т-матриц на основе метода продолженных граничных условий Текст научной статьи по специальности «Математика»

т

МЕТОД Т-МАТРИЦ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕННЫХ

ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

Кюркчан Александр Гаврилович,

д.ф.-м.н., зав. кафедрой, МТУСИ,

Советник генерального директора, ФГУП ЦНИИС,

Москва, Россия,

[email protected]

Смирнова Надежда Ивановна,

доцент, к.ф.-м.н., МТУСИ, Москва, Россия, [email protected]

Ключевые слова: дифракция и рассеяние волн, метод Т-матриц, метод продолженных граничных условий, фракталоподобные частицы.

Выполнены исследования, позволяющие распространить метод Т-матриц на задачи дифракции на телах, имеющих изломы границы. Предложенный подход базируется на методе продолженных граничных условий.

Под методом Т-матриц понимают, как известно, процедуру нахождения матрицы, связывающей коэффициенты разложения по некоторому (обычно угловому или сферическому) базису поля, рассеянного тем или иным объектом при падении на него плоской волны. Традиционный вариант метода Т-матриц, восходящий к работам П.Уотермена, применим к решению задач дифракции лишь на рассеивателях с аналитической границей.

В то же время в астрофизике, радиолокации и других областях весьма востребованы задачи рассеяния волн телами с изломами границы, тонких экранах и др.

Таким образом, представляет большой интерес распространение техники Т-матриц на задачи рассеяния волн такого рода объектами.

Для цитирования:

Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Метод Т-матриц на основе метода продолженных граничных условий // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2016. - Том 10. - №1. - С. 34-38.

For citation:

Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. T-matrixes method on the basis of the continued boundary conditions method. T-Comm. 2016. Vol. 10. No.1, рр. 34-38. (in Russian).

T-Comm ^м 10. #1-2016

Введение

Под методом Т-матриц (МТМ) принято понимать процедуру нахождения матрицы, связывающей коэффициенты разложения по некоторому (обычно угловому или сферическому) базису поля, рассеянного каким-либо объектом при падении на него плоской волны [I], называемые коэффициентами рассеяния (см. ниже). Элементы Т-матрицы не зависят от угла падения первичной волны и определяются лишь геометрией рассеивателя и видом краевых условий на его границе. Это позволяет легко выполнять важные в ряде приложений [2] операции усреднения характеристик рассеяния по углам падения первичной волны (углам ориентации рассеивателя). Традиционный (классический) вариант метода Т-матриц [3], как и его модифицированный вариант [I, 4], применим, как показано в [I] и более ранних работах авторов, к решению задач дифракции лишь на рассеивателях с аналитической границей. В то же время в астрофизике, радиолокации и других областях весьма востребованы задачи рассеяния волн телами с изломами границы, тонких экранах и др. Таким образом, представляет большой интерес распространение техники Т-матриц на задачи рассеяния волн телами с неаналитической границей. Б настоящей работе изложен подход, основанный на методе продолженных граничных условий (МПГУ) [5, I].

Постановка задачи и вывод основных

соотношений

Рассмотрим здесь для простоты двумерную задачу дифракции. Для дифракционного (вторичного) поля £/'(?) имеет место следующее представление

I [ СП СП }

Пусть на границе 5 рассеивателя выполняется условие Дирихле

[(/Ч^ + С/Ч?)] =0. (2)

где и"(г) ~ первичное поле. Тогда представление (I) примет следующий вид;

I дп

Потребовав в соответствии с МПГУ выполнения условия (2) на кривой расположенной в \£>, где О - область внутри с использованием (3) получим следующее интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода с гладким ядром

(3)

дп

(4)

НИИ

4/

/ дЩГ)

4 дп'

к{<р')

Ы(<Р>

Ж' = к(<р')й<р\ к(<р) = у1р2(р) + р'2(<р)>

где г = р(<р) - уравнение кривой уравнение (4) примет

следующий вид:

2л

\^(<р')на\к | г —Я* \)ё<р' = -и\г), М(г) € 5, •

(5)

В соответствии с методом дискретных источников [I] заменим интеграл в левой части (5) суммой

}Лр'^Ос Iг-г'I№<р'- )• (6>

где

1п,

К(г;гП) = НУ(к\г-гп\), = }, ¥>„=-(«-0

- дискретные источники, ап ~ их амплитуды.

Далее, приравняв левую и правую части (5) в точках коллокации, выбранных на кривой с использованием

(6) получим следующую систему алгебраических уравнений относительно величин а

я

n _

ЕчЛС«)=47°^), т=\И, 4„ = {р5(<ртХ<р„}•

(7)

где у- ря{(р) ~ уравнение кривой

Для дальнейшего будет удобно переписать систему (7) в матричных обозначениях

Ка=Ь, а = К~1Ь, где Ьт=-и\г3т\ т - Т77 ■

Найдя коэффициенты а из системы (7), получим сле-

дующее представление для рассеянного поля

(8)

Всюду вне окружности, описанной вокруг в соответствии с теоремой сложения имеем:

р=-в>

Теперь из (8) и (9) получим

р=^х> п= 1

(10)

Перепишем соотношение (10) в стандартном для МТМ виде

и\?)=^срН*\кг)е

В полярных координатах с использованием соотноше- где

ср

,-ФЛ.

(II)

(12)

Я=|

В матричных обозначениях имеем

с = Дз ={Ж~1)Ъ =ТЪ ,

Т-Сотт Уо!.10. #1-2016

T-Comm ^м 10. #1-2016

T■Comm Vol.l0. #1-2016

MATHEMATICS

T-MATRIXES METHOD ON THE BASIS OF THE CONTINUED BOUNDARY CONDITIONS METHOD

Kyurkchan Alexander G.,

Head of the Department, Moscow technical university of communication and informatics, Russian Federation, Moscow, [email protected]

Smirnova Nadezhda I.,

Associate Professor,Moscow technical university of communication and informatics, Russian Federation, Moscow, [email protected]

Abstract

The researches allowing to extend a method of T-matrixes to diffraction problems on the bodies having border breaks are executed. The offered approach is based on a method of the continued boundary conditions. Understand as method of T-matrixes, as we know, procedure of finding of the matrix connecting decomposition coefficients on some (usually angular or spherical) basis of the field scattered by this or that object when falling on it a plane wave. The traditional option of a method of T-matrixes which is going back to P. Waterman works, can be applied to the solution of diffraction problems only on scatterers with analytical boundary. At the same time in astrophysics, a radar-location and other areas problems of waves scattering by bodies with border boundary, thin screens, etc. are very demanded. Thus, represents a great interest distribution of T-matrixes technique on the problems of waves diffraction on such objects.

Keywords: diffraction and scattering of waves, a method of T-matrixes, a method of the continued boundary conditions, fractal particles.

References

1. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. Mathematical modeling in the theory of diffraction with using of a priori information on analytical properties of the solution. Moscow: Media Pablisher, 2014. (In Russian)

2. Mishchenko M. I., Videen G., Babenko V.A., Khlebtsov N.G., Wriedt T. T-matrix theory of electromagnetic scattering by particles and its applications: a comprehensive reference database. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, vol. 88, 2004, pp. 357-406.

3. Waterman P.C. Matrix formulation of electromagnetic scattering / Proc. IEEE. 1965, v.53, pp. 805-812.

4. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I., Chirkova A.P. Method of T-matrixes on the basis of the modified methods of auxiliary currents and a null field / Radiotekhnica i Electronica. 2015, v.60, No. 3, pp. 247-253. (In Russian)

5. Kyurkchan A.G., Anyutin A.P. Method of the continued boundary conditions and a wavelets / Doklady Academii Nauk. 2002, vol. 385, No. 3, pp. 309-313. (In Russian)