CC BY
10
УДК 512.54
Разрешимость краевой задачи для уравнений одномерного движения двухфазной смеси
Ирина Г. Ахмерова*
Алтайский государственный университет, Ленина, 61, Барнаул, 656049, Россия
Получена 01.07.2011, окончательный вариант 15.10.2011, принята к печати 15.11.2011
Для системы уравнений одномерного нестационарного движения теплопроводной двухфазной смеси (газ — твердые частицы) доказана локальная 'разрешимость начально-краевой задачи.
Ключевые слова: газожидкостная смесь, взаимопроникающие движения, разрешимость.
Постановка задачи и формулировка основного результата
В работе изучается следующая квазилинейная система уравнений составного типа:
+ d(p°svi) = 0, d(p°(1 - s)) + д(р0(1 - s)v2) dt дх ' dt дх '
"1« (Ц + v.H) = + dX (»^ + (2)
p0(i -•> (dV2+v.dvx2)=-+dX (»2<«)dvx2) - f+p2(i -.),, (3)
ds
F = B(s)(v2 - vi)+ p2 — , Pi - P2 = Pc(s,0), p2 = Rp20, (4)
0 (de de) 0/1 . (de de) d . . ,de, cipis\dt + vi dx) + c2P0(1 - s4 dt + v2 dX j = dX (x(s) dX)' (5)
решаемая в области (X,t) £ Qt = Q x (0, T), Q = (0,1), при краевых и начальных условиях (i = 1, 2)
de
Vi |x=0,x=i= 0, — |x=0,x=i= 0, Vi |t=0= V0(x),
dX (6)
P2 |t=0= P0(x), e |t=0= e0(х), s |t=0= s0(х).
Данная начально-краевая задача описывает одномерное движение между непроницаемыми теплоизолированными стенками двухфазной смеси, состоящей из твердых частиц и газа [1]. Здесь p0, vi — соответственно истинная плотность и скорость i-й фазы (i = 1 — твердые частицы, i = 2 — газ), s — объемная концентрация твердых частиц, e — абсолютная температура смеси, Pi — эффективное давление твердых частиц, P2 — внутреннее давление газа, , — плотность массовых сил, ci = const > 0 — теплоемкость при постоянном
* [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved
объеме, R = const > 0 — универсальная газовая постоянная; кроме того, ^¿(s) — вязкости фаз, B(s) — коэффициент взаимодействия фаз, x(s) — коэффициент теплопроводности смеси, pc(s, в) — разность давлений (заданные функции). Задача записана в эйлеровых координатах x, t. Истинная плотность твердых частиц р0 принимается постоянной. Искомые величины — s, в, р0, vi, Pi, i = 1, 2.
Локальная по времени разрешимость задачи Коши для уравнений (1)—(5) установлена в работе [2] при дополнительных условиях pi = p2, в = const, р0 = const, = const, i = 1, 2, а также в предположении малости вязкости и ускорения второй фазы (в уравнении (3) соответствующие слагаемые отбрасываются) [3].
Система (1)—(5) близка по структуре системе уравнений вязкого газа [4, гл. 2] с зависящей от плотности вязкостью. Особенностью задачи (1)—(6) является наличие двух скоростей vi и V2, а также необходимость обоснования физического принципа максимума для концентрации s вида 0 ^ s ^ 1 и условия р2 > 0.
В настоящей работе доказана локальная разрешимость задачи (1)-(6) в случае, когда р2 — функция давления и температуры, а р0 = const.
Определение 1. Обобщенным 'решением задачи (1)-(6) называется совокупность функций (s(x,t), p<0(x,t),vi(x,t),pi(x,t),e(x,t)), i = 1, 2 из пространств
(s,pi,p2) G LTO(0,T; W(fi)), (^dp2) G L2(Qt), (vi,e) G LTO(0,T; W21 (fi)) П L2(0,T; W2(fi)), ,1?, ^^ G ¿2(Qt),
G L2
dvi дв dpi dt ' dt' dx ^
удовлетворяющая уравнениям (1)-(5) почти всюду в QT и принимающая заданные граничные и начальные значения в смысле следов функций из указанных классов.
Определение 2. Классическим решением задачи (1)-(6) понимается совокупность функций (s(x,t),p2(x,t),p0(x,t)) G Ci+a(Qt), (vi(x,t),pi(x,t),?(x,t)) G C2+a'i+a/2(Q t ) таких, что 0 < s(x,t) < 1,0 < ?(x,t), p0(x,t) < <. Эти функции удовлетворяют уравнениям (1)-(5) и начальным и граничным условиям (6) как непрерывные в QT функции.
Сформулируем основной результат статьи.
Теорема. Пусть данные задачи (1)-(6) подчиняются следующим условиям гладкости:
(v0, в0, s0, р0) G Wi(fi), g G L2(0, T; W(fi))
0 , dв0 , dp0 . и условия согласования v0 |x=0jx=i= —— |x=0,x=i= —¡— |x=0,x=i = 0, i = 1, 2. Пусть функции
dx dx
(s), p2(s), B(s), pc(s, в), x(s) и их производные до второго порядка непрерывны для s G (0, 1) и удовлетворяют условиям:
k-isq1 (1 - s)q2 < pi(s) < k0sq3 (1 - s)q4, |(pi(s))S| < k0sq5 (1 - s)q6, k-isq7 (1 - s)q8 < p2(s) < k0sq9 (1 - s)qio, |(M2(s))S| < k0sqn (1 - s)qi2, k-isqi 3 (1 - s)q 14 |в|915 ^ pc(s, в) < k0sq16 (1 - s)q 17 |в|918 , |(pc(s, в))^ | < k0sq 19 (1 - s)q20 | в | q21 , k-isq22 (1 - s)q23 < x(s) < k0sq24 (1 - s)q25, |(x(s))S| < k0sq26 (1 - s)q27, k-isq28 (1 - s)q29 < B(s) < k0sq30 (1 - s)q31,
где k0 = const > 0, qi, — фиксированные вещественные параметры.
Если выполнены условия 0 < m0 ^ s0(x) ^ M0 < 1, 0 < mi ^ p0(x), ?0(x) ^ Mi < <, x G fi, где m0, M0, mi, Mi — известные положительные постоянные, то найдется достаточно малое значение t0 > 0, t0 G (0, T), такое, что для всех t ^ t0 существует обобщенное решение (s(x,t),p0(x, t), vi(x, t),pi(x, t), ?(x, t)) задачи (1)-(6). Если дополнительно
д е са(дт), (в0,/) е с 1+а(0), 0°) е с2+а(П), функции —(в), -2(в), В(в), рс(в,0),
х(в) и их производные до второго порядка непрерывны, выполнены условия согласования первого порядка данных задачи, то в Qto существует классическое 'решение задачи (1)-(6).
Локальная разрешимость
Системе уравнений (1)—(5) можно придать следующий вид:
I + дХ (-'"1)=0' ¥ + I <Р-2) = О, р = Р2 (1 -О, Р2 = «р2 * (£ + »1 ж) = -Т& - дХ+ ддХ (-1«»)£) + В(»)(»2 - VI) + р°»д,
Р + »2И) = "<1 - "Ж + дХ (-2«Ц) + ВМС - »2) +
° р \ р 50 \ д . . 50
^Ч д? + »15Х ; + ^(,5? + »2 5^ = 5ж(х(в) 5Х)-
При доказательстве теоремы удобно использовать переменные Лагранжа [4, с. 47]. Пусть
5у
У = у(С, х, — решение задачи Коши: — = и(у, £), Ук= = х. Положим £ = у(С, х,?)|£=°
и возьмем за новые переменные £ и ?. Тогда в(£,?) = в°(£^(£,4), где J(£,4) = ^ — якобиан перехода. Переходя от (£, 4) к массовым лагранжевым переменным (Х, 4) по правилу «
в°(£)й£ = ¿Х, Х(£) = / е [0,1] и сохраняя затем для переменной Х обозначение х,
0
получим
5в 2 5»1 5р „ 5р 5»2 , ч
5? + »2 5Х = 0 5? + (»2 - »1)в5Х + ^ = 0 (7)
М,р,»ь»2,0) = р?^ +1.(»РсМ))-^(»-1(»)^)-В(в)(»2 -»1) -Р°д = 0, (8)
5? 5ж 5ж ' 5ж 5ж ' в
(9)
Ь2(в'р'»1'»2'0) = ^ + (»2 - »1)в 5Х + Р(1 - в) 5Х-
в 5 5»^ В(в)(»1 - »2)
р 5ж 5ж р
ь (» » » 0) = + с2Рв(»2 - »1) 50 - в 5 (» 50 )=0 (10)
' ' ' ' 5? с1р°в + с2р 5ж с1 р°в + с2р 5ж 5ж '
Краевые и начальные условия имеют вид
50 . 5р2
»г |ж=0,ж=1 = 0, — |х=°,х=1= 0, "дХ |х=°,х=1 = 0,
»г |t=0= »°(Х), Р2 Ь=°= Р°(Х), 0 |t=0 = 0°(Х), в |t=0= в°(ж).
Будем сейчас строить локальное обобщенное решение как предел приближенных решений (вп, рп,»2, 0П), где »П,»2 и 0п представляются в виде конечных сумм: =
п п п
иП(?) вт(пгж), »2 = 5^ »?(?) в1п(пгж), 0п = ^ 0!2(?) сов^'ж), п = 1, 2,..., с неизвест-
(11)
= 1 г=1 ¿=0
ными коэффициентами иП(?), * = 1, 2,..., п, 0п(?), ^ = 0,1, 2,..., п. Для определения
последних предполагается, что уравнения (8), (9) и (10) выполняются приближенно:
1
У ¿1(вп,рп,»п,»п,0п)8т(п^ж = 0, г = 1, 2,..., п, (12)
J Ьг^р^^и^ГОзт^ж)^ = 0, i = 1, 2, ...,п,
(13)
1
J Ь3(вп,рп,ип,ип,0п)со8(п^ж)йж = 0, ^ = 0,1, 2,..., п.
(14)
Тогда м"(4), в" (4) находятся из решения задачи Коши для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
1
¿и" (
= ф"К,...,<;.....в",...,«";ЛЛ <(0) = 2/ м0(ж)8т(™жМж,
¿и"
= К"«,...,<; и",..., и"; в",..., в"; в",р"), и"
; в",..., в"; в", р"), и"(0) = 2 и0(ж) вт(^ж)Йж,
(15)
¿в"
= А Ф (м1 ,...,м"; и1 ,...,и" ; в0 ,...,в" ; в ,Р ),
1 1 в"(0) = ^У в0(ж)^ж, в"(0) = ^ в0(ж)со8(п?ж)Йж,.? = 1, 2,..., п.
Здесь А0 = 1, А^- = 2, = 1, 2,..., п,
Ф" =2
дХ (-"^1 <•") - дХ (т-в"- дХ «-"ре
+
В(в")(и" - и")
+ Р?^
К" = 2
р" эх ^«с) Й11 -
" \ -" /1 -"
--(1 - в") э / р
+
ф"
5
В(в")(и" - и")
р"
1д
- (и" - + 5
дв"
р" дж у 1 - в'
-в"Д +
дж
^ (у? - <) дв: (С1р0 + ^) Х( ) С1р° + ^ Эх
С0б(п,7'ж)йж.
Функции в"(ж,4) и р"(ж, 4) определим из решения задач:
^ + (-")2 ^ =», «"1.=0= -0(ж),
+«-«")«"дС+р"-"д?=0- р" !-»= р°(х>.
Из (16) для в"(ж,4) получим следующее соотношение:
(16) (17)
I
вп(ж, 4) = в0(ж)(1 + в0(ж^ )-1.
(18)
1
1
1
в
1
1
Задаче (17) придадим следующий вид: дДп _ дД
+ = /К,Лрп) = /Г, Дп |4=0= До(х), (19)
дгоп
где Дп = 1прп, ип = («Г — VГ)в", /Г = — ^"д""2"• Соответствующая (19) характеристическая
д£ дх
система уравнений имеет вид
= ип(у(и),*), у |4=о= е,
-П (2°)
¿Д- = /п(у(иидп), Д" |е=о = д0(е),
где = х, Д>,£) = ДпЫ), I = ^^^ =ехр/А(у(т,£),тА = («" — +
д? о
(«п — V п)«п- Из (2°) для рп(х,¿) имеем представление
Ь Г
рп("М) = ро(х)е Ь . (21)
Таким образом, приближенное решение (V п, «п , вп, рп, 0п) удовлетворяет задаче Коши (15), (16), (20). Локальная разрешимость этой задачи при каждом фиксированном п следует из теоремы Коши-Пикара для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Теперь укажем такое значение ¿о, для которого данная задача на интервале [0, ¿о] разрешима для всех п. Для этого достаточно получить равномерные по п оценки для V п, «п, вп, рп, 0п.
Еще одно условие, из которого в дальнейшем выбирается величина промежутка ¿о, связано с требованием положительности вп(ж,£), рп(ж,£). Поскольку 0 < то ^ во(х) ^ Мо < 1, 0 < т 1 ^ ро(х) ^ Мх < то, потребуем, чтобы для вп(х, ¿) и рп(ж,£) выполнялись соотношения
0 <т < ЛМ) ^ < 1, (22)
т < рп("М) < 2М1 (23)
для всех п при х € [0,1],£ € [0,¿о]. Кроме того, из (18), (22) и (21), (23) получим:
г
I вп К С(1 + | | | ¿т), (24)
о
г г
I рп К С(1 + у I *п II «2пх | ¿Т +1 I I ¿т). (25)
оо
Положим
¿п (¿) = К(*)||2 + + 1Г (¿)||2 + 1К (¿)||2 + 1К(*)||2 + ||^)||2+
г г г
+«(/ IIVпжж(т)||^Т + 1 ^(т)||^Т + 1 ^(т)||^Т), ооо
где вещественный параметр к € (0,1) будет указан позже.
Каждое из уравнений (12) умножим на м"(£) и просуммируем по г от 1 до п. Получим равенство
1 1 1 1Р01 /+ 1 = ."«"(¿Р-¿х-
00 о х
1 1 1
-У «"(в"рс(в",Г))^х + 1 В(в"- )¿х + 1 рО«"^х.
о о о
Покажем, что из равенства (26) следует оценка
(26)
|К№112 + *0|Кх(*)112 < с(Ид(*)И2 + *"(*) + 4(*) + 4(*)). (27)
Функции --—, --—^ , --—, (8рс(8,0"))8(8"), п в силу (22), (23) равномерно по
а" в"р" в"р" ап))' (_„) В(в")
1 - в"' (1 - в")2 ' 1 - в п ограничены при всех р" и в" € (0,1).
Первое слагаемое правой части равенства (26) представим в виде
1 111
в"«"( ¿х = 8 ^ ¿х + р ! ¿х + в ^ р ¿х = /1 + /2 + /3.
Ч 1 - в" Л У 1 - 8" ^ (1 - в")2 1 - 8" ^ 3
О ООО
Для /1 получаем
1
/1 < С | 0"(х,*) | Ошах1 | «"(х,*) | / | р"(х,*) | ¿х < С I «"(*) Ц1/2Ц (*) |1/2| *"(х,*) | х
О
1 4 4
х|(1+У | в"(х,Т) || ^Т) | ¿Т + 1 | ) | ¿ТМх <
О О < С || «"(*) Ц1/2Ц <я(*) Н^ПМ) | X
/14 14
х (У У 1 в"(х,Т) 11 «2х(х,Т) 1 ¿Т^х ^ У 1 «2хх(х,Т) 1 ¿Т^Г | <
0 О О О "I
14 /г \ 14
1 «2х(х,Т) И У 1 «"хх(х> в) 1 ¿И ¿Т^х + У У 1 «2хх(х,Т) 1 | ^
\О / О О
с
< £1II«) II2 + -(*»(*) + 4(*) + 4(*)).
£1
Для слагаемого /2 верна следующая оценка:
/2 < СОшах1 | «"(х,*) || 0"(*) || в"(*) С | «"(*) Ц1/2Ц <,(*) |1/2| *"(*) II в"(*)
С С
< £2 | <(*) I2 +-(I «"(*) I2 + I в"(*) I4 + | 0"(*) I4) < £2 | «"*(*) I2 +- М) + 4(*)).
£2 £2
Для /з и остальных слагаемых в правой части (26) имеем:
/з < С I «"(*) II 0"(*) К £3 I I2 +- I «"(*) ЦЧ С^"(*),
£3
< С I «"(*) Г/2Ц «"*(*) I1/2I ПМ) | х
1 1
| <(*>С(Л ПЫх = / <(вРс(в, < С (У <(*) У2 + У *£(*) У2) < С*п(*),
о о
1
-1 в(в )(«2 ^ ^ С (У < (*) У2 + У У2) < С*п(*),
,/ в
о
п
1
/ < С (У «?(*) У2 + У <#) У2) < С(г„ (*)+ У <#) У2).
о
Здесь и далее С — положительная постоянная, не зависящая от п. Поскольку р,1(вп)вп ^
,_1 / то л^1/1 - М^ 92 2
= к0 I -2-у ' то выбирая е1 — е2 из условия =1 е^ = ^0/2, приходим к
неравенству (27).
Каждое из уравнений (12) умножим на (гп)2м"(£) и просуммируем по г от 1 до п. Учи-
п
тывая равенство мП(^)(гп)2 вт(гпж) = — «пхх, получим
¿=1
1 1 1
2 р11/ «хОМ))2^ + 1 МЛ^Кхх)2^ = [(м1(5п))ж5п«Пхх«Пх—
0 0 0
г.п.\„п п п ] I I „п п
вх«1хх«1хаж + I в «1хх I 1 _
0
1 1 1
_М1 (в")*£<хх<х^ + / Л?хх( (28)
+ ] <хх(в>с(Л^))х^ _у ^^"Х*2" ^ ^ рКхх^х.
0 0 0
Так как (р1(в))^(вп) равномерно по п ограничена при всех в € (0,1) и справедливо 1
неравенство | 0п / | + У У и с учетом неравенств (24), (25) оценим слагаемые
0
правой части (28) аналогично слагаемым из равенства (26). Получаем неравенство , 11 -К*(*)||2 + 2^Кхх(*)У2 ^е¿Уvnxx(í)У2 + С(У^(*)У2 + *п(*) + 4(*) + 4(*)). (29)
Каждое из уравнений (13) умножим на «п(*) и просуммируем по г от 1 до п. Получим равенство
1 1 1
1 ^ |К(М))2^ + | рпЫЛ^Кх)2^ = _у ^рп) М2(вп)5п«п«пх^х+
0 0 0 х 1 1 1
„^ОК «п)¿х + / _ I («2 _ <(30)
00
1
" вп(1 _ п /рп(9пД^
«п -- ¿х.
0 А- Ч 1 _ *пЛ
Покажем, что из равенства (30) следует оценка
|К(*)У2 + ^Кх(*)У2 < С(У^(*)У2 + *п(*) + ^п(*) + 4(*) + 4(*) + 4(*)). (31)
1
вп в(вп)
Функции —, - равномерно по п ограничены при всех рп и вп € (0,1). С учетом
рп рп
неравенств (24), (25) и неравенств Коши Уе^ > 0, г = 12,.., 17, получаем:
/ (рп) ^(ОЛп^ = С (У — I рnvnv2nxdИ < /4 + /5,
о \о о /
1
/4 < [ < С I vn(t) ||1/21 vnx(í) ||3/2|| вп(^) |К е12 || vn*(í) ||2 + —(¿),
е12
о
1 1 /5 ^ |рnvnvL|dX < С тех I vn(x,t) ^ I р" II V"* I <
'5 ^ / ^^ ^ С Л1*^ I ^ (х,ь) И I рх II
оо
< ехз | vnx(í) |2 + —(4(¿) + ¿п(¿) + 4(*)).
е13
Остальные слагаемые правой части из равенства (3°) оцениваются аналогично слагаемым из равенства (26).
тг вп , ^ п ^ (2к—1 /то1 — М^
Поскольку р"р2(в)в" > = I - ^1-2-) ), то, выбирая е12 — е16 из
у V т1 \ 2 ) V 2
16
условия ^ е^ = ^/2, приходим к неравенству (31).
¿=12
Каждое из уравнений (13) умножим на (гп)2vn(t) и просуммируем по г от 1 до п. Учи-
п
тывая равенство vn(t)(гп)2 вт(гпж) = — V"**, получим 1
1
2 К*(М))2^ + 1 рП Ы^»"**)2^ = 1 (1рп ^ ) Vnx^ ) —
о о о
1 1 1
/„п /* „п Л „п В(„п)(?.п — vn)
рпP2(sn)snvnxxvnxdx — ] рпЫв"))^"^"^" — ] 2 * * 1 рп" 1--¿х— (32)
о о о
1 1
— У V"** Й^ж + у vnxx(vn — vn)snvnxdж.
оо
Так как (р2(в))^(вп) равномерно по п ограничена при всех в € (0,1) и с учетом неравенств (24) и (25), оценим слагаемые правой части (32) аналогично слагаемым из равенств (26) и (30). Получаем неравенство
, 25
-|К*(*)||2 + 2^|К**(*)||2 ^ е¿Уvnxx(í)У2 + С(П^(^)П2 + ¿"(¿) + ¿п(¿)+ 4(¿)). (33)
¿=18
Установим необходимые оценки для 0п(ж, Каждое из уравнений (14) умножим на #п(£) и просуммируем по от 0 до п. Получим равенство
1Ц (0п(^))2^ + 1 А(вп,рп)х(вп)вп(^п)2^х =
оо 1 1
= — У А(вп,рп)с2рпК — vn)0n0ndж — I А*(вп,рп)Гх(5п)5п0п^ж.
о
1
1
Покажем, что из равенства (34) следует оценка
|ЦГ(¿)Ц2 + ^НТОН2 < С(*»(*) + 4(*) + г"(*)). (35)
в" '
Функции А(в", р") =-о-, х(в"), (х(в))3(в") равномерно по п ограничены при всех
С1Р!в" + С2р"
р" и в" € (0,1). Поэтому, с учетом неравенств (24), (25) и неравенств Коши > 0, г = 26, 27, 28, получим
1 1
I А(в",р")с2р"(«" - V"< С | 0"(х,*) | У («"(х,*) - «"(х,*))0"(х,^х <
ОО
С
< £26 I 0"(*) I2 + — + г"(*)).
£26
Второе слагаемое равенства (34) представим в виде 1 1
/ Ах (8",р")0"х(8")8"0"^х = / о "в"+-"^"х(8")8"0"^х-
7 7 с1рОв" + С2р"
ОО 1
" в" (в" + р")
Х ^ 0"х(8")в"0"^х = /б + /7,
(С1р?8" + С 2 р" ) 2
о
для /6 верна следующая оценка 1
/б < С^ | в"(х,*)0" (х,*)0"(х,*) | ¿х < С | 0"(х,*) II в"(*) II 0"(*) К
о
С
< £27 I 0"(*) I2 + — + г"(*)),
£27
оценка для /7 проводится аналогично оценке первого слагаемого правой части равенства (26) и имеет вид
1
/7 < С / I (8" + р")0"0" I ¿х < £28 I 0"(*) I2 + —Ы*) + г"(*) + г"(*)).
7 £28
о
тг м" 2к-1 /тол®2+2 /1 - Мо V23
Поскольку А(в", р")х(в")в" > ^2 — - — --- , то, выбирая £26 - £28
т0 + т1 2 2
.к-1 + 2 /1 Л /Т.\923
8" р")х(8")8" ^ — о
т0 + т1 2 2
28
из условия £3 £« = ^2/2, приходим к неравенству (35).
¿=26
Затем каждое из уравнений (14) умножим на (п7)20"(*) и просуммируем по 7 от 0 до п.
з
"
Учитывая равенство ^ (п7)20"(*) сов(п7х) = -, получим
з=1 з
1 1 1 1 Ц (0"(х,*))2^х +| А(8",р")х(8")8"(0"х )2 ¿х = А(8",р")0"(х(8" ))! в"^ ¿х-
О 1 О 1 О (36)
А(в",р" )0"х(в")в"0"х ¿хА(в",р")с2 р"(«" -
Функции (х(в))я(в") равномерно по п ограничены при всех р" и в" € (0,1). Поэтому с учетом неравенств (24), (25) и неравенств Коши > 0, i = 29, 30, 31 оценим слагаемые правой части из равенства (36) аналогично слагаемым из равенства (34). Получаем неравенство
I 31
Л
^||в"(*)||2 + 2^2||«"х№||2 ^ £г||в"Л2 + С(г"(4) + г"(4) + г"(4)). (37)
¿=29
Выбирая ^0,^1, ^2 из условия V0 = } и складывая неравенства (27), (29),
(31), (33), (35), (37), получим
| (|и"(4)|2 + КФН2 + ||в"(4)|2 + ||у"х(4)|2 + |у2"х(4)|2 + ||в"(*)Н2) + v0|v"x(í)|2 + V °КЯ(*)||2+
11
+V0||в"(4)||2 + 2v0|v?xx(í)|2 + 2v0|Кх(4)||2 + 2v0||в£ж(4)||2 ^е¿|Kx*(í)l|2+ (38)
25 31 ¿=4
+ Е ^¿|у2ПХХ(4)|2 +Е ^¿НвХхН2 + С(П5(^)П2 + *"(*)+ (4)+ 4(4) + 4(4)+ ¿5(4))
л|2 + Е ^¿|вХх|2 + С(||^)||2 + + (4) + 4(4) + ^(4) + ^(
= 18 ¿=29
11 25 31 3
и выберем е1 = ^ е¿, е2 = ^ е¿, е3 = ^ е¿, из условия ^ е5 = 2v0 - к (если V0 ^ 1,
¿=4 ¿=18 ¿=29 ¿=1
3
то положим к = v0/2, а е5 выберем из условия ^ е5 = 3v0/2 ; если V0 > 1, то к = 1/2,
¿=1
3
а е5 выберем из условия ^ е5 = 2v0 - 1/2). Соотношение (38) можно записать в форме
5=1
дифференциального неравенства
^ < с(П5(4)П2 + ¿5(4)), (39)
где постоянная С не зависит от п. Из (39) следует равномерная по п ограниченность г2(4)
т
при всех 4 < 40, где 40 < С2(¿2(0) + С/ ||д(т)|| ¿т)_4. При таком выборе 40 из (39) следует,
0
что для любого п справедливо неравенство
тах Кж(4)||2 + тах |К*(*)||2 + тех ||в"(*)||2+
г о
+ / (|и"хх(4)|2 + |К**(*)||2 + |в"ж(4)|2)^4 < N
0
(40)
с постоянной N, не зависящей от п.
Вернемся к неравенствам (22) и (23). Из равенства (18) и (21) легко получаем
т0 < -"(х,4) < М0
1 + 21/2M0N1/240/4 " " 1 - 21/2М^ 1/2^/4'
_ Мо + 1 21/2№1/2г3/4 " "0 + 1 21 /2 ^1/2(3/4
т1е 2 2 " Ь ^ р"(ж,4) < М1е 2 2 " , здесь N — постоянная из (40). Если выбрать
< т-п ((„+м0 1/2 '4/3, ((Мда )4/3, С^ <-<0)+С / И* )|2 *)_
то получаем неравенства (22) и (23) соответственно при х € [0,1], £ € [0,£0].
Оценки (22), (23), (40) позволяют выделить из последовательностей (в"}, {«"}, {«"}, (р"}, (в"} сходящиеся подпоследовательности. Предельным переходом в равенствах (12), (13), (14), (16), (17) показывается, что предельные функции в, «1, «2, р, в дают обобщенное решение задачи (7)- (11) на промежутке [0, £0]. □
Работа выполнена в рамках программ "Развитие научного потенциала высшей школы"(2009-2010), №2.2.2.4/4278, "Проведение научных исследований коллективами научно-образовательных центров в области механики"(2009-2013), №2010-1.1-112-129-003.
Список литературы
[1] S.K.Gard, J. W.Pritchett, Dynamics of gas-fluidized beds, Journal of Applied Phisics, 46(1975), №10.
[2] M.Goz, Existence and uniqueness of time-dependent spatially periodic solutions of fluidized bed equations, ZAMM. Z. angew. Math.Mech, 71(1991), №6, 750-751.
[3] A.A.Papin, I.G.Akhmerova, Solvability of the system of equations of one-dimensional motion of a heat-conducting two-phase mixture, Mathematical Notes, 87(2010), №2, 230-243.
[4] С.Н.Антонцев, А.В.Кажихов, Краевые задачи механики неоднородных жидкостей, Новосибирск, Наука, 1983.
Solvability Initial-boundary Value Problem for Equations One-dimensional Motion of the Two-phase Mixture
Irina G. Akhmerova
The local solvability initial-boundary value problem for the equations one-dimensional nonstationary motion of the heat-conducting two-phase mixture (gas-particulate pollutant) is proved,.
Keywords: gas-liquid mixture, interpenetrating movements, solvability.
