CC BY
25
УДК 517.95
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ С НЕЛИНЕЙНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
© 2012 Н.В. Бейлина1
В работе изучается вопрос разрешимости задачи для гиперболического уравнения с нелинейными граничными условиями. Показана однозначная разрешимость.
Ключевые слова: гиперболическое уравнение, нелинейные граничные условия, обобщенное решение, разрешимость.
Введение
Задачи с нелинейными граничными условиями для гиперболических уравнений изучались многими авторами. Например, в работе [1] исследована задача для линейного многомерного гиперболического уравнения с нелинейными краевыми условиями, а в работе [2] изучена задача для гиперболического уравнения на плоскости, однако только одно граничное условие нелинейно. В предлагаемой работе исследуется вопрос разрешимости задачи для нелинейного гиперболического уравнения на плоскости с двумя нелинейными краевыми условиями. Хотелось бы отметить, что нелинейные условия вида (1.3), (1.4) могут возникать, например, в задачах о продольных колебаниях пружины при упругом закреплении концов, не подчиняющемся закону Гука [3].
1. Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
ии(х, Ь) — ихх(х, Ь) + с(х, Ь)и(х, Ь) = 0(х, Ь,и(х,Ь)), (1.1)
в области Qт = (0,1) х (0, Т) и поставим для него задачу: найти в Qт решение уравнения (1.1) с условиями
и(х, 0) = 0, иг(х, 0)=0, (1.2)
их(0,г) — \и(0,г)\а и(0,г)=0, (1.3)
их(1,г) + \и(1,г)\ри(1,г) = 0. (1.4)
Будем полагать, что а ^ р.
хБейлина Наталья Викторовна ([email protected]), кафедра высшей математики и прикладной информатики Самарского государственного технического университета, 443100, Российская Федерация, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
Введем обозначения
Г = {(x,t) : x = 0,x = l,t e (0,T)}. W(Qt) = {u(x,t) : u(x,t) e W1(Qt) П Ьр(Г)}, p = p +2, \\u\\w (Qt ) = \\u\\w2 + \\u\\lp(r)
W(Qt) = {v(x,t) : v(x,t) e W(Qt),v(x,T) = 0}.
Стандартным способом получим тождество, определяющее обобщенное решение поставленной задачи [4].
Определение. Под обобщенным решением задачи (1.1)—(1.4) будем понимать функцию u(x,t) e W(Qt), удовлетворяющую условию u(x, 0) = 0 и тождеству
T l
11[-ut(x,t)Vt(x,t) + ux(x,t)Vx(x,t) + C(x,t)u(x,t)v(x,t)] dxdt+
0 0
T T
+ J \u(0,t)\au(0,t)v(0,t) dt + У \u(l,t)\pu(l,t)v(l,t) dt = (1.5)
00 T l
JJaM^.t)dxdt
00
для любой функции v(x,t) e W(QT).
2. Разрешимость поставленной задачи
Теорема. Пусть выполняются условия: е(х,Ь) € О(((т), I(х,^) € Ь2^т), 0(х,и) € О(^т х Я1), для любых (хвыполняется условие Липшица \0(х ,и1) — 0(х,Ь ,ь>2)\ ^ Ь\ь>1 — и\, тогда для р > 0, а > 0 существует единственное обобщенное решение задачи (1.1)-(1.4).
Доказательство теоремы.
I. Доказательство единственности обобщенного решения проведем стандартным методом. Предположим, что существует два различных решения и1 и и2 задачи (1.1)—(1.4). Тогда функция и = и — и удовлетворяет тождеству
т I
j J [-ut(x,t)vt(x, ^ + ux(x,t)vx(x, ^ + c(x,t)u(x,t)v(x,t)] dxdt+
00
T
^У (\u1(0,t)\a u1(0,t) -\u2(0,t)\a u2(0,t)) v(0,t) dt+ (2.1)
0
T
+ J (\u1(l,t)\pu1(l,t) -\u2(l,t)\pu2(l,t)) v(l,t) dt =
0
Т I
= J J [^(х,Ь,и^(х,Ь)) — 0(х,г,щ(х,г))] у(х,г) ¿хОЛ,.
о о
Возьмем в тождестве (2.1) в качестве у(х,г) функцию вида
у(х,г) = \ Т и(х,п)0 ^ Ь ^ т, (2.2)
[ 0, т < г < т.
После интегрирования по частям первых двух слагаемых в левой части (2.1) получим
I
— 2 У [и2(х,т) + ^(х, 0)] 3,х+
0
т г
^У (\и1(0,г)\сти1(0,г) — \и2(0,г)Ги2(0,г))^и(0,п)
0 т
т г
+ У (\и1(1,г)\ри1(1,г) — \и2(1,г)\ри2(1,г)) !и(1,п)а^аг = (2.3)
о т
т I г
=! I Щ^М)—амъыт/ыы)—Мът
0 0 Т
т I
—Лс(х ,гНх ,г)щ(х ,г) ***.
о о
Заметим, что
4-\и\1 и =(1 + ^)\и\7 > 0, > —2, аи
откуда следует, что
(\ul\liи1 — \и2Г'-и2) (и1 — и2) > 0, г = 1, 2, 71 = р, 72 = а. Но тогда
т г
J (\и1(0,г)\Ги1(0,г) — \и2(0,г)\Ги2(0,г)) !и(0,п) а^ак 0, о т
т г
J(\и1(1,г)\ри1(1,г) — \и2(1,г)\ри2(1,г)) !и(1,п)а^ак 0. о т
В силу последних неравенств (2.3) можно переписать так:
1
2 / [и2(х,т)+ У2х (
^ ! [и2(х, т)+ уХ(х, 0)] 3,х+ о
т т
+ У (\и1 (0,г)\Ги1(0,г) — \и2(0,г)\Ги2(0,г))!и(0,п) апаг+
г
Т Т
+ У (\и1(1,ь)\ри1(1,ь) — \и2(1,г)\ри2(1,г))1 и(1,п) ЗпЗь = (2.4)
о ь
Т
Цмлм^))- ч^ыт/ым)- -Ат *,*,*+
оо
Т I
+ Ц с(х ,Ых ,гых ,г) йхй.
оо
Так как левая часть равенства (2.4) в наших предположениях положительна, то из (2.4) следует неравенство
I
! [и2(х,т) + (х, 0)] Зх+
о
Т Т
^У (\и1 (о, и1 (0,ь) — \и2(0,г)\а и2(0,г))! и(0,п) ЗпЗь+
оь
Т Т
+ У (\и1(1,ь)\ри1(1,ь) — \и2(1,г)\ри2(1,г))1 и(1,п) ЗпЗь< (2.5)
Т I
^ У \0(х,Ь,щ(х,Ь)) — 0(х,Ь,—2(х,Ь))\
оо
Т I
+2
(уЛ(п,Ь) — и2(п,Ь)) Зщ
Зх ЗЬ+
У у «мммы^ ^
оо
Оценим правую часть неравенства (2.5). Так как функция 0(х,Ь,и(х,Ь)) удовлетворяет условию Липшица, то
Т I
2JJ \0(х,Ь,и1(х,Ь)) — 0(х,Ь,и2(х,Ь))\
оо
(-1(п,Ь) — и2(п,Ь)) Зп
Зх ЗЬ <
Т I Т
^ У \и1(п,Ь) — и2(п,Ь)^ \и1(п,Ь) — и2(п,Ь)\ ЗпЗхЗЬ. о о ь
Применяя к правой части последнего неравенство Коши — Буняковского, получим оценку
Т I
2JJ\0(х,Ь,—1 (х,Ь)) — 0(х,Ь,щ(х,Ь))\
оо
(и1 (п,Ь) — и2(п,Ь)) Зп
ЗхЗЬ < (2.6)
^ 2Ь^/т ! J \и1 (п,Ь) — и2(п,Ь)\ ЗхЗЬ.
оо
Т
Т
Т
В силу условий теоремы существует со > такое, что тах \с(х,г)\ ^ cо. Тогда
Ят
применяя неравенство Коши, получим
т I
т I
J ! с(х,г)у(х,г)уг(х,г) ¿х & ^ со J ! (у2(х,г) + у'х(х,г)) ¿хаг. (2.7) о о о о
Заметим, что в силу представления (2.2) функции у(х,г) справедливо неравенство
у2(х,г) = и(х,п)^ т^и?(х,г)¿г.
(2.8)
С учетом полученных неравенств (2.6)—(2.8) из (2.5) следует оценка
I
J [и2 (х,т) + уХ (х, 0)] ¿х+
о
т т
+ У (\и1 (0,г)\Ги1(0,г) — \и2(0, г)\Ги2(0,г)) у и(0,п) ¿паг+
ог
т т т I
^У (\и1(1,г)\ри1(1,г) — \и2(1,г)\ри2(1,г)) !и(1,п)а^аг < с^^и2(х,г)¿хаг, (2.9)
оо
где с1 = 2Ьл/т + со(1 + т). Из (2.9), в частности, следует
т I
¡и2(х,т) ¿х < с1Ци2(х,г) ¿хаг.
о о о
(2.10)
Применяя теперь к (2.10) неравенство Гронуолла [5], заключаем, что и(х,г) = 0. Таким образом, единственность поставленной задачи доказана.
II. Доказательство существования обобщенного решения.
Пусть функции т (х) € С2 [0,1] линейно независимы и образуют полную в WX1(0,l) П Ьр (0,1) систему.
Будем искать приближенное решение задачи (1.1)—(1.4) в виде
т
ит(х,г) = ^2 ск(г)тк(х)
к = 1
из соотношений:
У (ит+ итт^ + ситт^) ¿х + \ит(1,г)\рит(1,г)т^(1)+
(0) = ! аы^ыъ М ах (2.11)
Дополнив (2.11) начальными условиями
ск (0)=0, ск (0)=0,
(2.12)
получим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая разрешима на отрезке \0,Ьт], так как матрица коэффициентов при старших производных суть матрица Грамма.
Для дальнейших шагов доказательства получим априорную оценку, которая позволит утверждать, что Ьт = Т, а также будет полезна для доказательства возможности предельного перехода.
Умножим (2.11) на С¡(Ь) и просуммируем по ] от 1 до т, а затем проинтегрируем по Ь от 0 до т, получим
Т I Т
(и—и— + и—и— + си—и—) ЗхЗЬ + ! \ит(1,Ь)\рит(1,Ь)и—(1,Ь) ЗЬ+
00
+ ! \ит(0,Ь)\а ит(0,Ь)и—(0,Ь) ЗЬ = ! J 0(х, Ь, ит(х, Ь))и—(х, Ь) ЗхЗЬ. (2.13) о 0 0
В левой части (2.13) проведем преобразования. Первые два слагаемых проинтегрируем по частям. Далее, заметим, что З ит
-\ит\р = р\ит\Р-1-— и? = р\ит\р-2и—,
dt
\um\
тогда
1 d
\ит(1, Ь)\рит(1, Ь)и—(1, Ь) = р — \ит(1,Ь)\р
\ит(0,Ь)\а ит(0,Ь)и—(0,Ь) = 13\и—(0,Ь)\
д ЗЬ
где р = р + 2, д = а + 2.
После приведенных преобразований (2.13) примет вид:
2 2] 1 1
(u?(x,r ))2 + (um(x,T ))2 dx +-\um(l,t)\p + -\um(0,t)\q
J p q
cumum dxdt + / / G(x,t,um)um dxdt.
J,t u,^ u,v -r j j U^O,, V, U, JUt 0 0 0 0 Применяя теперь к (2.14) неравенство Коши, имеем
(2.14)
2.1
0
Т l
< -2
2 2] 1 1
(u^(x,T))2 + (u^(x,T))2 dx +-\um(l,t)\p +-\um(0,t)\q <
Т l
(um(x,t))2 + (uf(x,t))2 dxdt + 2 + - I i (u?(x,t))2 dxdt, (2.15)
н ^ Ч) \ ^ ^ 2 2 ■! ■!
0 0 0 0
здесь к> 0 : \0(х,Ь,и)\ ^ к, так как функция 0(х,Ь,и), в силу условия теоремы непрерывна по всем переменным.
Т
Заметим, что справедливо представление ит(х,т) = / и—ЗЬ, откуда
l l Т
J (um(x,T))2 dx < tJ J(um(x,t))2dxdt.
0 0 0
(2.16)
Т
Т
Т
Т
Таким образом, из (2.15) и (2.16) получаем оценку: i
Wb Т))2 + «Ч. т»2 + (."(.,т))2] * + РKH,t)f +-W40, t)q <
C2 < —
2
(um(x,t)f + (u?(x,t))2 + (um(x,t)f
, , -
ax at + 2,
0 0
где C2 = maxc0 + 1,T. Из (2.17), в частности, следует неравенство
(2.17)
(uT(x,r ))2 + (um(x,T ))2 + (um(x,T ))2
dx <
< C2
(um(x,t)f + (uT(x,t)f + (um(x,t)f
dx dt + -.
00
Применив к последнему неравенство Гронуолла [5] и проинтегрировав полученное по г от 0 до Т, приходим к оценке
llumll2Wj(.QT)
< kTeC2T.
Тогда с учетом (2.18) из (2.17) вытекает неравенство
i i k
-1 um(l,t)| p + -1 um(0,t)| q < C2kTeCT + -. p q 2
(2.18)
(2.19)
Объединяя полученные неравенства (2.18) и (2.19), получаем равномерную по m оценку
\\um\\W(qt) < M, (2.20)
где M = (C2 + l)kTeC'2T + |. Оценка (2.20) влечет за собой разрешимость задачи Коши (2.11)-(2.12) на отрезке [0, T]. Это означает, что последовательность {um(x,t)} приближенных решений задачи (1.1)—(1.4) полностью определена в Qt.
Оценка (2.20) позволяет выделить из построенной последовательности {um(x,t)} подпоследовательность, за которой сохраним обозначение, такую, что um(x,t) ^ u(x,t) слабо в W2(Qt) П Lp(r). Так как последовательность {um(x,t)} ограничена в W2 (QT), а вложение W2(QT) в L2(QT) компактно [4], то подпоследовательность {um(x,t)} можно выбрать так, чтобы она сходилась по норме L2(Qt). Выберем ее сразу такой, что она сходится почти всюду [6, с. 363].
Из (2.20) следует, что | | u(l,t) |1 lp{o,t) < M, | | u(0,t) |1 Lq(о,т) < M, что влечет за собой следующие включения | um(l,t) | pum(l,t) G L p+2 (0,T), | um(0,t) |a um (0,t) G
P+1
G Lv+2 (0,T), а также справедливость утверждения о сходимости |um(l,t)|pum(l,t) к ^(^^^u^J) и |um(0,t)|aum(0,t) к |u(0,t)|au(0,t) при m ^ ж почти всюду в (0,T).
Заметим, что из ограниченности последовательностей ^^(^t)^um(l,t) и \um(0,t)|CTum(0,t) в Lp иLq соответственно, следует их слабая сходимость к функциям xp(t), Xq(t). Применив теперь лемму 1.3 [7, с. 25], убеждаемся в том, что Xp(t) = u(l,t)^u(l,t), Xq(t) = |u(0,t)|CTu(0,t).
Проведенные рассуждения позволяют перейти к пределу в (2.11). Но сначала умножим каждое из равенств (2.11) на hj(t) G C[0,T] такие, что hj (T) = 0,
T
T
просуммируем по ] от 1 до т, затем проинтегрируем по Ь от 0 до Т. После интегрирования по частям получим
т I
J ! [—и—(х,Ь)пь(х,Ь) + и—(х,Ь)пх(х,Ь)+ с(х,Ь)ит(х,Ь)п(х,Ь)] ЗхЗЬ+
00
т т
+ 1 \ит(0,Ь)\аит(0,Ь)п(0,Ь) ЗЬ + ! \ит(1,Ь)\рит(1,Ь)п(1,Ь) ЗЬ = (2.21)
00 т I
0 0
где
П(х ,Ь) = 53 Н3 (Ь)Щ(х).
3=1
Учитывая полученные выше включения и сходимости, перейдем в (2.21) к пределу при т ^ <ж и получим (1.5) для у(х,Ь) = п(х,Ь). Заметим, что в силу усло-
т I т I
вия Липшица / / С(х,Ь,ит(х,Ь))п(х,Ь) ЗхЗЬ сходится к § § С(х,Ь,и(х,Ь))п(х,Ь) ЗхЗЬ. 0 0 0 0 Так как множество всех функций п(х,Ь) плотно в W2l(Qт) П Ьр(Г), то тождество
выполняется для произвольной у(х,Ь) € \¥((т). Следовательно, предельная функция является обобщенным решением задачи (1.1)-(1.4).
Литература
[1] Пулькина Л.С. Задачи с нелинейными граничными условиями для гиперболического уравнения // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 2012. Т. 278. C. 208-216.
[2] Пулькина Л.С., Стригун М.В. Две начально-краевые задачи с нелинейными граничными условиями для одномерного гиперболического уравнения // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2011. № 2(83).
[3] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 735 с.
[4] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.
[5] Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. М.: Иностр. лит., 1961. 120 с.
[6] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.
[7] Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.
Поступила в редакцию 20/XI/2012;
в окончательном варианте — 20/XI/2012.
30
Н.В. BeÛAUHO,
ON CERTAIN INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH NONLINEAL BOUNDARY CONDITIONS FOR HYPERBOLIC EQUATION
© 2012 N.V. Beilina2
In this paper, we study the solvability of a problem for a nonlinear hyperbolic equation with a nonlinear boundary conditions. The unique solvability is proved.
Key words: hyperbolic equation, nonlinear boundary conditions, generalized solution, unique solvability.
Paper received 20/XI/2012. Paper accepted 20/XI/2012.
2Beilina Natalya Viktorovna ([email protected]), Dept. of Mathematics and applied informatics, Samara State Technical University, Samara, 443100, Russian Federation.
