Разрешимость краевых задач для уравнения Шредингера с чисто мнимым коэффициентом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.997

РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА С ЧИСТО МНИМЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

Н.М. Махмудов

Нахичеванский государственный университет, Азербайджан,

кафедра информатики

E-mail: [email protected]

В данной работе рассматриваются краевые задачи для нелинейного уравнения Шредингера, когда коэффициентом уравнения является квадратично-суммируемая функция, имеющая квадратично суммируемую производную. При этом доказаны теоремы существования и единственности решения рассматриваемых краевых.

Ключевые слова: нелинейное уравнение Шредингера, краевая задача, квадратично-суммируемый коэффициент.

Solvability of Boundary Value Problems for the Schrodinger Equation with Purely Imaginary Coefficient

N.M. Makhmudov

The Nakhichevan State University, Azerbaijan,

Chair of Computer Science

E-mail: [email protected]

The paper examines regional problems for nonlinear Schrodinger equation when factor of the equation is the square-summable function that has a square-summable derivative. In this process, theorems of existence and uniqueness of the solution of the boundary value problems under consideration have been proved.

Key words: nonlinear Schrodinger equation, a boundary value problem, square-summable factor.

ВВЕДЕНИЕ

Начально-краевые задачи для нелинейного уравнения Шредингера часто возникают в квантовой механике, ядерной физике, нелинейной оптике, теории сверхпроводимости и других областях современной физики и техники [1, 2]. Поэтому изучение начально-краевых задач для нелинейного уравнения Шредингера представляет как теоретический, так и практический интерес. Подобные начально-краевые задачи для нелинейного уравнения Шредингера с ограниченно измеримым коэффициентом ранее изучены в работах [3-6] и др. Однако во многих практических задачах коэффициентами нелинейного уравнения Шредингера, т. е. потенциалами в уравнении Шредингера, оказываются квадратично суммируемые функции. При этом возникает необходимость изучения начально-краевой задачи для нелинейного уравнения Шредингера, которому посвящена данная работа. Следует отметить, что задача Коши для уравнения Шредингера со сингулярным коэффициентом ранее была изучена, например, в работах [7, 8].

Пусть 1 > 0, T > 0 — заданные числа, x е [0,1], t е [0, T], Ot = (0, 1) х (0, t), О = От. Рассмотрим следующую первую начально-краевую задачу об определении функции ф (x, t) из условий:

дф д2ф 2

i — + аоdX2 - v (x) ф + Ш1 |ф| ф = f (x, t), (x, t) е О, (1)

ф (x, 0) = < (x), x е (0, 1), (2)

ф (0, t) = ф (1, t) = 0, t е (0, T), (3)

где i2 = -1, a0 > 0, а1 > 0 — заданные вещественные числа, v(x) — измеримая и квадратично суммируемая вещественнозначная функция, удовлетворяющая условию

IMIw21(0,L) < b b = COnst > 0 (4)

а функции < (x), f (x, t) — заданные измеримые комплекснозначные функции, удовлетворяющие условиям:

< е W2(0,1), f е W1'1 (О). (5)

Под решением первой начально-краевой задачи для нелинейного уравнения Шредингера (1)-(3)

будем понимать функцию <(x, t) из пространства B = C0 ^[0, T], W2 (0, 1)^ U C1 ([0, T], L2 (0, 1)),

удовлетворяющую уравнению (1) для почти всех x е (0, 1) и для всех t е [0, T], начальному условию (2) для почти всех x е (0, 1), краевому условию (3) для почти всех t е (0, T).

Отметим, что подобная начально-краевая задача вида (1)-(3) для нелинейного уравнения Шредин-гера изучена в работе [4], с ограниченно измеримой функцией г>(ж), имеющей измеримую ограниченную обобщенную производную первого порядка, когда уравнение Шредингера содержит нелинейное слагаемое с чисто мнимым коэффициентом. В то же время в работе [5] изучена начально-краевая задача вида (1)-(3) с функцией г>(ж) из класса ограниченных измеримых функций для нелинейного уравнения Шредингера, содержащего нелинейное слагаемое с вещественным коэффициентом. Как видно, в рассматриваемой начально-краевой задаче потенциал г>(ж) является квадратично суммируемой функцией, имеющей квадратично суммируемую обобщенную производную первого порядка. Этим данная начально-краевая задача отличается от задач, изученных в работах [4, 5]. В то же время даже в случае уравнения Шредингера, содержащего нелинейное слагаемое с чисто мнимым коэффициентом, класс функций г>(ж) шире классов функций г>(ж), рассмотренных в работе [4].

Теорема 1. Пусть функции V (х), ^ (х), / (х, £) удовлетворяют условиям (4), (5). Тогда начально-краевая задача (1)-(3) имеет единственное решение из В и для этого решения справедлива оценка

\\. Ы)Н ◦ +

А. (■, £)

А£

< М1

ь2(о,о

◦ + '^2 (о,1)

|о (0) + \Ы\3о +

у 7 1 1 (0,1)

V1-°(П)

(6)

для всех £ е [0, Т].

Доказательство. Для доказательства будем использовать метод Галеркина как в работах [4,5].

о

Возьмем фундаментальную систему функций ит = ит(х), т = 1, 2,... в пространстве (0, 1) в виде системы собственных функций спектральной задачи

ао-

йх2

Лт ит(х),

(7)

ит(0) = ит(1) =0, т =1, 2,...,

соответствующих собственным значениям Лт, т = 1, 2,... Предположим, что собственные функции ортонормированы в Ь2 (0, 1) и справедливо неравенство

1 т||то2(в) - т

< , т = 1, 2,.

(8)

> 0, т = 1, 2,.

некоторые постоянные.

Кроме того, как отмечалось в работе [4], эти функции ортогональны в Ш2(0, 1) и Ш2(0, 1). Согласно методу Галеркина приближения к решению начально-краевой задачи (1)-(3) будем искать

М) , ит

/ь2(0 п удовлетворяют

N

в виде (х, £) = е^(£)ит(х), где коэффициенты е^ (£) =

т=1

следующим условиям:

\ / А./^ ¿и

.А—

А£

иг

¿2(0, 1)

= а0

А.

Ах ¿х

+

¿2(0, г)

+ К).

N

Оь2(0,г) - 0а1 ^|2^, (0 +

¿2(0, г)

т ; Г.2 (0 г) = ит)^2 (0, г)

£ е [0, Т],

ет(0) = (■, 0), ит)¿2(0,г)

/т(£) = (/О, £), ит)¿2(0,г)

т =1, 2,.. т = 1, 2,..., N.

N

(9) (10)

Система (9), (10) представляет собой задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой правая часть уравнений (9) является суммой многочлена относительно е^(£) с постоянными коэффициентами и функций /т(£), т =1, 2,..., N, где /т(£) — непрерывные функции на [0, Т], имеющие ^^ обобщенные производные из Ь2 (0, Т). Известно, что эта задача Коши имеет хотя бы одно решение [9]. Для существования решения в целом достаточно установить равномерную ограниченность всевозможных решений уравнений (9) на отрезке [0, Т]. Для установления такой ограниченности докажем следующую лемму.

3

т

и

Лемма 1. Справедлива оценка

^ М)|

ж 2(0,1)

+

+

дф^ (■, г)

дг

< М1

V 2 (о,г)

+

¿2(0, 1)

ж 1-0(П)

◦ + 'ж 2 (0,1)

+

) , V г е [0, Т]

(11)

Доказательство. Умножим т-е уравнение из (9) на ст(г). Полученные равенства просуммируем по т от 1 до N и результат проинтегрируем по интервалу (0, г). Тогда

N

•дф ^

ф - ао

дт

дф

N

дх

- и(хШ^2 + га1

йхйт = у /(х, т)фN (х, т) йхйт

для всех г е [0, Т]. Если вычесть из этого равенства его комплексное сопряжение, то, используя неравенство ||фN(■, 0)П¿2(0 г) < 1М^2(0 г), нетрудно установить справедливость оценки

ФN МС 2(0,г) < М2 (ПФП^2(0,г) + П/^(п)) ' V г е [0' Т]'

(12)

° 11

Ввиду того что / е (О), функции /т(г), т = 1, 2,..., N, имеют обобщенные производные первого порядка из Ь2(0, Т). Поэтому, продифференцировав обе части уравнений (9) по г, имеем

V дг2 ,

= а0

¿2 (0,1)

Гга1д (|фN|2ф^ , + /т(г), т = 1, N г е [0, Т],

V дг 4 у /¿2(0,г)

д2 фN ¿иг

дгдх ' йх

¿2 (0, г)

/ дфN + ^о^г,-

¿2(0, г)

'щ /

¿2(0, г)

где /4 (г) = . ^

Теперь умножим т-е уравнение из (9) на ^^^. Полученные равенства просуммируем по т от 1 до N и результат проинтегрируем по интервалу (0, г). Тогда, вычитая из полученного равенства его комплексное сопряженное, имеем

д_

дт

дф

дт

йх йт + а1

_д_

Л / N12 дфС' . д Л ^|2 (|ф | ф + дт (|ф | ф ) дт

д/(х, т) дфN (х, т)

д

■N¡2 CNА дф

= 2 1т

йх йт =

дт

дт

Учитывая, что а1 > 0 и

_д_

дг

Л /^2 дф^ , д Л , N ^ дфN г) | / N |

(|ф | ф ) + дг (|ф | ф ) ~дГ = 2 |ф |

дф

дг

д_ дг

> 0,

из (13) имеем

дфN (■, г)

дг

<

¿2(0, г)

дфN (■, 0)

дг

+

¿2(0, г)

д/

дг

+

¿2(П)

0

дфN (■, т)

дт

(13)

(14)

(15)

¿2 (0, г)

Теперь оценим первое слагаемое правой части этого неравенства. С этой целью систему (9) запишем в виде

:дфN (■, г) \

дг /¿2(0, г)

- (т!^ (■, г)|2 ФN (■, г) ,ит) + /т(г), т = 1,N, г е [0, Т], (16)

\ / ¿2 (0,г)

= (-, г), ¿2(0,г) + (-, г), ит¿2(0,г)

о

ж 2-!(п)

3

2

т

2

2

4

2

2

2

2

где ■м = —а0:

дх2

При £ = 0 т-е уравнение из (16) умножим на и полученные уравнения просуммируем по

т от 1 до N .В результате справедливо равенство

А—^ (■, 0)

А£

йх = /[¿^(х, 0)+ v(x)—N(х, 0) — (х, 0)^^(х, 0) + /(х, 0)] 0)йх.

Применяя неравенство Коши - Буняковского, получим г

А—^ (■, 0)

А£

<

¿2 (0, г)

(х, 0) + v(x).N (х, 0) — Ш1 (х, 0)Г —Л (х, 0) + /1 (х, 0)

N /

йх.

Отсюда нетрудно установить справедливость неравенства

А—N(■, 0)

А£

+4

2

¿2(0, г)

N

< 4 (■, 0)УЬ2(0,г) +4 1Кх)^(■,0)УЬ2(0,г) +

Ш1 | г (■, 0)|2 —N (■, 0) г (0г) +4 \\/(■, 0)\^ (0,г) . ¿2 (0, г)

Ввиду того что V е Ш*2 (0, 1), имеем

(0,г) < М1 N2(0,г) Кроме того, известны следующие неравенства [10]:

А^ (■,£) 1

(17)

(18)

—NМ!^) < в

А£

-NМ)^2(0,г), V £ е [0,П

(19)

(20)

¿2(0,0

\\/М)\\ ¿2(0,г) < м2 \\/У^0'1 (п), ^ £ е Ь Т],

где в > 0, М2 > 0 постоянные, не зависящие от N. В силу неравенств (18)-(20) из (17) получим справедливость неравенства

2

А—^ (■, 0)

А£

< 4 !L-N(■, 0)^(0 г) + Мз (■, 0)1

¿2 (0,г)

+М4 (■, 0)!!21,п„ + М5 \"\2

о+ 22(0,0 +

12 2(0,г)

ж 0' 1(п)

N

Используя формулу —^ (х, 0) = £ ик, нетрудно установить неравенства

к=1

'N1

'2 2(0,г)

В силу неравенств (22), (23) из (21) имеем

2

¿г (■, 0)У^ПП < м6 и ◦ ,

^ ^N¿2(0,0 - 6 и^2(0,г)

I—^^(■,0)! ◦ < м7

Iг у ' ' II тдпт п — '

ж 2 (0,г)

А—^ (■, 0)

А£

¿2 (0,г)

6

< М8 1 ^^(0,0 + \\/(П) + "22(0,г)

(21)

(22)

(23)

(24)

Если учесть оценку (24) в неравенстве (15), то после применения леммы Гронуолла получим справедливость оценки

2

А—^ (■, £)

А£

< М9

¿2(0,г) V 22 2 (0

2 г) + \\/Г20.1(П) + 2(0,г^ , V £ е [0,Т].

(25)

2

2

0

Теперь установим оценку для Щ^т• С этой целью т-е уравнение из (16) умножим на Атст(г). Полученные равенства просуммируем по т от 1 до N и результат проинтегрируем по интервалу (0, г). Тогда справедливо равенство

дф

N

- ^|2 - (и(х)ф^ LфCN + (¿а1 |фN|2 ф^ LtCN

йхйт =

= у /(х, тйхйт, V г е [0, Т]'

Применяя формулу интегрирования по частям в первом, третьем и четвертом слагаемых левой части, а также в правой части этого равенства и учитывая граничные условия ит(0) = ит(1) = 0, т =1, 2,''', N, имеем

N

га0

д2 фN дф дтдх дх

д

дфс

N

йхйт - I | йхйт - I а0— (и(х)ф^ ——йхйт-

дх

п4

га0 а1

_д_

дх

(^|2 ФNА йхйт дх

[ д/ дфс7

= а0 —---— ах йт

дх дх

Вычитая из последнего равенства его комплексное сопряжение, а затем используя неравенство

_д_

дх

Л / N ^ ^А , д Л ^|2 дфN г) | / N |

(|ф | ф ) + дх 1|ф | ф ; ^ = 2 |ф |

дх дх

и неравенство Коши - Буняковского, имеем 2

дф

N

дх

_д_

дх

>0

а0

дф^ (■, г)

дх

<

¿2 (0,г)

+а0

—! ц^ (х,т )п¿_(о,1) 00

дф^ (■, т)

дх

йт+

¿^ (0,г)

д/

дх

+ а0

¿2(П)

дф^ (■, 0)

дх

¿2 (0,г)

, V г е [0, Т]'

(26)

В силу неравенств (19), (23) и оценки (12) из (26) имеем

дф^^ (■, г)

дх

¿2(0,г)

< Мю (м^ 1 (0,г) + ||/1||Ж21.0(Пп + М11

дфN (■, т)

дх

¿2(0,г)

йт, V г е [0, Т]'

Применяя лемму Гронуолла, получим справедливость оценки

дф^^ (■, г)

дх

< М12

(0г) + "/("0 , V г е [0,Т]' (27)

¿2 (0,г)

Теперь оценим . С этой целью т-е уравнение из (16) умножим на Атст(г) и результат проинтегрируем по х от 0 до I. Тогда получим справедливость равенства

г

11^ (■, г) у¿2(0,г) = /

.дф^м) - ^^ (х,г) +

дг

+га1 |ФN (х, г)|2 ФN (х, г) - /1 (х, г)] LtCN (х, г) йх, V г е [0, Т]' Применяя неравенства Коши - Буняковского, из этого равенства имеем

(■, г) Г <

(•, г) N / ^ , •

дг

- ^(х)фЛ (■, г) + га1 |ФЛ (х, г)Г фЛ (х,г) - /(х,г)

йх, V г е [0,Т]'

2

2

2

4

2

2

2

4

2

2

2

Отсюда следует неравенство

НЬ—*М)!^2(0,г) <4

А—^ (■,£)

А£

¿2(0,0

+ 4 !КЖ Ы)!^(0,0 +

+4

а1 ^(■,£)|2 —^(■,£) ¿(0;) +4 \\/(,^¿2(0,г), V £ е [0,Т]. ¿(0,г)2

Используя условия на функции v(x), получим

^" (^Н^) < 4

А—"^ (■,£)

А£

+ь2 Н—" М)!^ (0,1) +

¿2(0,0

+а1 Н— (■,*)Н£в(0,0 + \\/(■, *)\ь2т) , V £ е [0, Т]. (28)

В силу неравенства (19) и оценок (12), (25), (27) из (28) следует справедливость оценки

^(■, 0111 (0,4 < М13 (\viW-2(0,„ + \М\*2 №06 +

◦+ 1.1

22(0,г) ' .....22 " ■ "21'1 (П) ' 11' (П)

Если использовать формулу для оператора Ь в неравенстве (29), то получим

, V £ е [0, Т]. (29)

А2—•^(■, £)

Ах2

< М14

¿2 (0,г)

2о + \\/1 \2о + \Ы\6о + \\/\6о ), V £ е [0, Т]. (30)

22(0,г) 21'1(п) 22(0,г) и22'0(п) ' ' ] у '

Таким образом, используя оценки (12), (21), (27) и (30) получим справедливость оценки (11). Лемма 1 доказана. □

Продолжим доказательство теоремы. С помощью формулы еШ(£) = (—Г(■, £), иш^2(0 г) из оценки (11) имеем

N

N

£ №)|2 + £

т=1

т=1

А

< М15 \\ш1\2о - 15 I И^И22(0,г)

+ \\/1\21.1 (п) +

I6 + \\ /\\3

'21 (0,г) "22'0(П)

(31)

для всех £ е [0, Т]. Из оценки (31) и выше сделанных рассуждений следует, что задача Коши (9), (10) имеет хотя бы одно глобальное решение на отрезке [0, Т].

Рассмотрим функции ¿^ш^) = (—'м (■, £), иш^2(0 г), т, N = 1, 2, ... Из оценки (11) следует,

что эти функции равномерно ограничены. Кроме того, их производные ^^Гтакже ограничены на отрезке [0, Т], т. е.

тах т(£)| < М16, тах

0<^<Т ' 0<^<Т

^^ ш (£)

(И

< М17, т, N = 1, 2,

(32)

где постоянные М16 > 0, М17 > 0 не зависят от N, т. Кроме того, с помощью неравенства (8) и оценки (11) нетрудно установить справедливость неравенств

(£ + А£) — ^ш (£)| < М18йш А 2 ,

т

А

А

< М19йш | А£|2 (33)

для всех £ е [0, Т]. Из (33) следует, что функции ш (£)

и ^^^М при фиксированном т равностепенно непрерывны на отрезке [0, Т], ибо постоянные М18 > 0, М19 > 0 не зависят от т и N. Кроме того, на основе неравенств (32) эти функции равномерно ограничены на отрезке [0, Т]. Тогда обычным диагональным процессом можем выделить подпоследовательность N, к = 1, 2,..., по которой функции , ш(г)} и | будут сходиться равномерно на отрезке [0, Т] к непрерывным функциям 1ш(£) и соответственно для каждого т =1, 2,...

2

2

2

2

Введем в рассмотрение функцию

те

ф(х,£) = ^ 1т(£)ит(х), (34)

т=1

которая имеет производную

ММ = ^ ^ «,„ (х). (35)

т=1

Как и в работах [4, 5, 11] нетрудно проверить, что последовательности (х, £)} и |к|

равномерно по £ е [0, Т] слабо сходятся в Ь2(0, I) к функциям ф(х, £) и д^'^, определенным формулами (34) и (35) соответственно. Предельные функции ф(х, £), ^ принадлежат пространству С0 ([0, Т], (0, I)), т.е. предельная функция ф(х, £) принадлежит пространству С1 ([0, Т], £2(0, I)).

Благодаря оценке (14) из последовательности {ф^(х, £)} при N = N, к = 1, 2,... можно выделить подпоследовательность, которая сходится к функции слабо в ^2(0,1) для каждого £ е [0, Т]. Для простоты изложения эту последовательность снова обозначим через (х, £)}. Используя методику работ [4, 5, 11], можем доказать, что ф(х, £) принадлежит пространству С0 ^[0, Т], ^2(0, I)

Таким образом, предельная функция ф(х, £) принадлежит пространству В1. Далее аналогично [4, 5, 11] доказывается, что ф(х, £) является почти всюду решением первой начально-краевой задачи (1)-(3) и для этого решения справедлива оценка (6), которая следует непосредственно из оценки (11) после перехода к пределу на сходящиеся подпоследовательности. Наряду с этим устанавливается и единственность решения задачи. Теорема 1 доказана. □

Теперь рассмотрим вторую начально-краевую задачу об определении функции ф = ф(х, £) из условий

дф д2 ф 2

г——Ь а0——2 — а(х)ф — -и(х)ф + ¿а1 |ф| ф = /(х, £), (х,£) е О, (36)

д£ дх2

ф(х, 0) = *(х), х е (0,1), (37)

= дф(^=0, £ е (0,Т), (38)

дх дх

где г2 = —1, а0 > 0, а1 > 0 — заданные числа, г>(х) удовлетворяет условию (4), а функции а(х), *(х),

о

/(х) удовлетворяют условиям 0 < < а(х) < , V х е (0,1),

* е (0,1), = ^>=0, / е ^ (О),

где , — заданные числа.

Под решением второй начально-краевой задачи для нелинейного уравнения Шредингера (36)-(38) будем понимать функцию ф(х) из пространства В2 = С0 ([0, Т], ^|(0, I)) П С1 ([0, Т], £2(0, I)), удовлетворяющую уравнению (36) для всех £ е [0, Т] и почти всех х е (0,1), начальному условию (37) для почти всех х е (0,1), краевому условию (38) для почти всех £ е [0,Т]. Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Пусть функции -и(х), а(х), *(х), /(х, £) удовлетворяют условиям (4), (7). Тогда вторая начальная краевая задача (36)-(38) имеет единственное решение из В2 и для этого решения справедлива оценка

Цф^ ОИ*(0'1) + < М20 (И**(0'1) + II/ + 1М|321(0'0 + II/И3*-(П))

¿2 (0'!)

для всех £ е [0, Т].

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 1 с учетом свойств фундаментальной системы функций ит = ит(х), т = 1, 2,... и мультипликативных неравенств для функций, не обязательно равных нулю на границе области.

Библиографический список

1. Буккель, В. Теория сверхпроводимости. Основы и приложения / В. Буккель. М., 1975. 361 с.

2. Воронцов, М.А. Принципы адаптивной оптики / М.А. Воронцов, В.Н. Шмальгаузен. М., 1985. 336 с.

3. Искендеров, А.Д. Вариационный метод решения обратной задачи об определении квантомеханического потенциала / А.Д. Искендеров, Г.Я. Ягубов // Докл. АН СССР. 1988. Т. 303, № 5. С. 1044-1048.

4. Ягубов, Г.Я. Оптимальное управление коэффициентом квазилинейного уравнения Шредингера: дис. .. . д-ра физ.-мат. наук / Ягубов Г.Я. Киев, 1994. 318 с.

5. Искендеров, А.Д. Оптимальное управление нелинейными квантомеханическими системами / А.Д. Искендеров, Г.Я. Ягубов // Автоматика и телемеханика. 1989. № 12. С. 27-38.

6. Ягубов, Г.Я. О вариационном методе решения многомерной обратной задачи для нелинейного нестационарного уравнения Шредингера / Г.Я. Ягубов, М.А. Му-

УДК 514.133+514.17

КОНЕЧНЫЕ ЗАМКНУТЫЕ 5-КОНТУРЫ РАСШИРЕННОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ

Л.Н. Ромакина

Саратовский государственный университет, кафедра геометрии E-mail: [email protected]

На расширенной гиперболической плоскости H2 проведена классификация конечных замкнутых 5-контуров, выделены их четыре типа, инвариантных относительно фундаментальной группы G плоскости H2. Доказано, что выпуклые 5-контуры принадлежат двум типам. Внутренность 5-контура первого типа совпадает с плоскостью H2, 5-контур второго типа может быть составлен из двух простых конечных замкнутых контуров размерности 3 и 4. Его внутренность совпадает с внутренностью составляющего простого 4-контура. Исследованы топологические свойства 5-контуров.

Ключевые слова: расширенная гиперболическая плоскость, тип конечного замкнутого 5-контура, выпуклый конечный замкнутый 5-контур, род вершины 5-контура, особые точки 5-контура.

саева// Изв. АН. Аз. ССР. Сер. Физ.-тех. и мат. науки. 1994. Т. XV, № 5-6. С. 58-61.

7. Baudouin, L. Regularity for a Schrodinger equation with singular potentials and application to bilinear optimal control / L. Baudouin, O. Kavian, J.P. Puel // J. Differential Equations. 2005. Vol. 216. P. 188-222.

8. Cances, E. Controle optimal bilineare d'uno equation de Schrodinger / E. Cances, C. Le Bris, M. Pilot // C.R. Acad. Sci. Paris. 2000. Vol. 330, № 1. P. 567-571 /controle optimal/.

9. Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин. М., 1982. 332 с.

10. .Ладыженская, О.А. Краевые задачи математической физики / О.А. Ладыженская. М., 1973. 408 с.

11. Искендеров, А.Д. Определение потенциала в нестационарном уравнении Шредингера / А.Д. Искендеров // Проблемы математического моделирования и оптимального управления: сб. науч. ст. Баку, 2001. С. 6-36.

Finite Closed 5-Loops of Extended Hyperbolic Plane

L.N. Romakina

Saratov State University, Chair of Geometry E-mail: [email protected]

There are four types of finite closed 5-loops which are invariant by the fundamental group G and singled out on the extended hyperbolic plane H2. It is proved that convex 5-loops belong to two types. The interior of the first type 5-loop coincides with the plane H2. The 5-loop of the second type allows the partition into two simple loops of three and four dimension. Its interior coincides with the interior of the component of the simple 4-loop. The topological 5-loop properties are researched.

Key words:extended hyperbolic plane, type of finite closed 5-loop, convex finite closed 5-loop, sort of 5-loop apex, special points of 5-loop.

ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] рассматриваются замкнутые конечные п-контуры расширенной гиперболической плоскости Н2 как совокупности отрезков А1А2, А2А3,..., Ап-1 Ап, для которых содержащие их прямые являются изотропными. Точки А1,А2,...,АП называют вершинами, прямые А1А2,А2А3,...,Ап-1 Ап,АпА1 — сторонами, а отрезки А1А2, А2А3,...,Ап-1 АП,АПА1 — ребрами конечного замкнутого п-контура. Ребра, имеющие общую вершину, и вершины, принадлежащие одному ребру, называют смежными ребрами и вершинами соответственно.

Точку плоскости Н2 называют внутренней относительно п-контура, если она не принадлежит данному контуру, и каждая прямая, проходящая через эту точку, имеет с п-контуром не менее двух общих точек.