CC BY
38
, 2001
2ЩЄН-
.тема-
ными
оцен-
чения се ли-эвать аждо-
1БНЫХ
ценок
КІЧЄН.
опре-Одыа-кту ее итео-эмпо-тава.
(5)
сом-
13ИКО-
В нем 1Я X, , шать оеди-когда
(5) по-
м ите-іен ав-1 Мар-л вида
і,
: МОДЄ-ВЄКТО-
іекват-иера и
ІЄССИЙ,
'ИСТИК.
же [4]
преде-и аро-водно-
1ЄЛИСТ-
фОДЫ-
яналь-я и его і полу-ї моде-
Табдица 2
Модель аромата Модель вкуса
] Ст, а Ь с О, а Ь с
1,2 8.244 1.219 0,604 11.008 7,397 1,160 0.276 17.949
1.3 8.244 0,810 0,265 13.091 7,397 1,341 0.246 20,358
1.4 8,244 0.798 0,200 13,400 7.397. 0.899 0,037 48,486
1,5 8,244 0.862 0,937 9.401 7.397 1,100 0,397 11.18
2 3 8,420 0,660 0.819 9.974 7,294 1,153 0.780 9.9 і 9
2.4 8.420 0,650 0.272 7,048 7,294 0.770 0,531 10,134
2.5 8,420 0,707 1,311 8,730 7,294 0.947 0,954 8.802
3,4 8,445 0,983 0,868 8.370 6.811 0,671 0,465 1.1.883
3.5 8,445 1,060 2.107 7.670 6.811 0.821 0.303 9.775
4.5 ".315 1.080 0.793 7,936 7,575 1.224 0.384 10,799
5,- 8.113 6.693
Полученные модели использовали для определения наилучшего рецепта напитка. Была найдена область вида
х° - А, < х. < х,° + Ап / = 1,...,5,
кавдак точка хр...,х5 которой представляет собой состав
напитка, близкий к оптимальному по критериям вкуса и аромата. Параметры х/и Д; имеют следующие значения, мас.%:
х,°= (2,373; 0,072; 0,736; 0,783; 0,036);
А, =(0,350; 0,034; 0,310; 0,250; 0,023).
ЛИ1ЕРАТУРА
1. Фишберн П. Многомерные функции полезности и теории ожидаемой полезности / Статистические модели и многокритериальные задачи принятия решений. — М.: Статистика, 1979, —С. 1-44.
2. Экспертные оценки.. Методы их применения (обзор) / Д.С. Шмерлинг, С.А. Дубровский и др. / Статистические методы анализа экспертных оценок. — М.: Наука. 1977. - 384 с.
3. Масгюкова Т.В. Совершенствование процессов и технологии изготовления многокомпонентных напитков на основе растительного сырья: Дис. ... канд. техн. наук. --- Воронеж, 1998. — 191 с.
4. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. — М.: Финансы и статистика, 1981, -- 302 с.
5. Сысоев В.В. Структурные и алгоритмические модели ароматизированного проектирования изделий элекгронной техники.—Воронеж, 1993. — 207 с.
6. Перелыгин В.М. О расчете равновесных свойств растворов // Вестн. ВГТА:Воронеж, 1977. — № 1. — С. 80-84.
7. САПР. Системы автоматизированного проектирования. Кн.5: Автоматизация функционального проектирования / П.К.Кузьмик, В.Б.Маничев — М.: Высшая школа. 1986. — 141 с.
Кафедра физической и коллоидной химии
Поступила 28.09. 2000 г.
517.9
РАЗРАБОТКА УНИВЕРСАЛЬНЫХ ЭТАЛОННЫХ ПЕРЩАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ СИСТЕМ, ИМЕЮЩИХ В ЧИСЛИТЕЛЕ ПОЛИНОМ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
Ю.П. ДОБРОБАБА, АГ. МУРЛИН, В А. МУРЛИНА, Г.А. КОШКИН, ОБ. АКУЛОВ, ПЛ. СОЛОВЬЕВ
Кубанский государственный технологический университет
Ме тод синтеза систем по эталонным передаточным функциям прост и доступен широкому кругу исследователей. Сущность его заключается в том, что выбор варьируемых параметров корректирующих устройств выполняется из условия тождественности коэффициентов при равных степенях оператора дифференцированияр в передаточных функциях разрабатываемой и эталонной систем. Данный метод предполагает, что эталонные передаточные функции заранее определены.
Известна следующая закономерность: системы, передаточным функциям которых соответствуют максимально плоские АЧХ, отрабатывают управляющее воздействие с минимально возможной ошибкой. В работах [1, 2] разработаны эталонные передаточные функции систем 2—6-го порядков, имеющие в числителе полином нулевой степени,
которым соответствуют максимально плоские АЧХ.
Опыт проектирования электротехнических устройств показывает, что актуальна задача по разработке универсальных эталонных передаточных функций систем, имеющих в числителе полином первой степени.
Передаточная функция системы, имеющей в числителе полином первой степени, в общем виде
тт/ / ч С\Р + 1
Хв,р,+1
ы
где В.. С, — коэффициенты полинома знаменателя
и числителя передаточной функции; п — степень полинома знаменателя передаточной функции (н > 2).
В результате исследования А ЧХ, соответствующих передаточной функции (1), с использованием правила знаков Декарта получено аналитическое выражение для максимально плоских А ЧХ систем, имеющих в числите-
ле передаточной функции полином первой степени:
4АП)--
с, сг +1
72»
в:пгп + с пл+1 ’
(2)
где — угловая частота.
Используя аналитическое выражение для максимально плоских А ЧХ, представленное формулой (2), определим универсальные с варьируемым параметром
а.,
_в,
ТВ.,
' эталонные передаточные функции сис-
В
Т:
(21)
В2(2\) =СС2Т
С1(21) =^\-2(ц - Т,
где
а1 <
При &г - ~, так как С1(21)= 0, универсальная эталонная передаточная функция 2-го порядка, имеющая в числителе полином первой степени, Wг^(p) вырождается в известную эталонную передаточную функцию 2-го порядка, имеющую в числителе полином нулевой степени, с коэффициентами [1, 2]: В^20) = Т и
В
2(20)
Л т2 2
Коэффициенты универсальной эталонной передаточной функции 3-го порядка, имеющей в числителе полином первой степени, №3](р)соответственно равны
В
Т:
1(31)
= 2а3Г;
2(31)
^з(зі) = Т ;
СК31) = Vі -4аз -Т’
(4)
лином нулевой степени, 1У30(р) с коэффициентами
т в
' тг „ в
1
3(30)
тъ
[1,2]: 5ц30^ / , -и2(зо) ^ ■■ ,ц^| ^
Коэффициенты универсальной эталонной передаточной функции 4-го порядка, имеющей в числителе полином первой степени, УУ4,(р) соответственно равны
тем, имеющих в числителе полином первой степени. Здесь Т— постоянная времени универсальной эталонной передаточной функции.
Коэффициенты универсальной эталонной передаточной функции 2-го порядка, имеющей в числителе полином первой степени, №п(р) соответственно равны
В -Т-
1(41) 1 »
в2{ 41) =4а4(1-а4)Г2;
Вч 41) = 8«4 (1 -а4)Г3; ^4(4,) = 8а4(1-а4)Г4; С1(4!) = ф - 8а4 + 8а\ ■ Т,
(5)
(3)
где а , < ■
При (У.4
2-42
2 - л/2
, так как С1(4| = 0, универсальная
эталонная передаточная функция 4-го порядка, имеющая в числителе полином первой степени, №А1(р) вырождается в известную эталонную передаточную функцию 4-го порядка, имеющую в числителе полином нулевой степени, РУ^/р) с коэффициентами [1, 2]:
Въ
2(40)
т
в
3-272
4(40)
Коэффициенты универсальной эталонной передаточной функции 5-го порядка, имеющей в числителе полином первой степени, ^(/^соответственно равны
¡4а5 (1 -2а,) + 2а5 ^2{\- 2а5 )(1 - 4а 3 )]г2; 4 а; (3 -8 а5) + 8 а\ ^¡2{\ - 2а 5)(1 - 4а, ))г3:
В4(3,, = (8а ? (3- 8а,) + 16а] ^/2(1 - 2а5 )(1 - 4а5)
^5(50 = (8а5 (3-8«5) + 16«5\/2(1 - 2а3)(1 - 4а5) С1(5„ = д/(1 — 4«з)2 -4а,^2(1 -2а,)(1 :4а5Тг,
(6)
где г25 < —
3 - л/5
При ^, так как С1(31)= 0, универсальная эталонная передаточная функция 3-го порядка, имеющая в числителе полином первой степени, 1Уя(р) вырождается в известную эталонную передаточную функцию 3-го порядка, имеющую в числителе по-
3 - у/5
При СС5 =—-—, так как С = 0, универсальная 8 1
эталонная передаточная функция 5-го порядка, имеющая в числителе полином первой степени, УУ51(р) вырождается в известную эталонную передаточную функцию 5-го порядка, имеющую в чис-
■а ми
іере-
чис-
гвет-
(5)
ільная
имею-і) вы-юфун-¡ом ну-
tU 2]:
и
едаточ-е поли-равны
і (6)
ісальная
орядка, тепени, ю пере-ю в чис-
лителе полином нулевой степени, Ж50(р) с коэффициентами [1, 2]: В1(50) = Т ,
„ Л-1Т. 17
(bU) - 5
5-У5 -11 „5
Г
3(50) ^ - > - <чэи; g л.зи;. вд
Коэффициенты универсальной эталонной передаточной функции 6-го. порядка, имеющей в числителе полином первой степени, !(р)соответственно равны
В
і(бі)
Т:
^2(61) _ Л’2(61) -^3(61) ~ *3(61)
В — х
4(61) 4(61)
Г2; Г3; Г4;
В
5(61)
2 а х Т5-
^сх6л4(61)-‘ ’
В -2а х Т
П6(61) - 6 4(61)
Q(61) =
(7)
где а6 < —-—.
Для определения неизвестных (61 “■^'4^1) необходимо решить численными методами систему уравнений
х2 ЛЦ61) 4- 2т ^ 2(61) -1 =
■у Х2(61) — 2х 3(61) + 2х
<б.) — 2_v 2(61) 4( 61)
Л4(61) ~4а 6% (61) + ‘
4(61)
4(61)
0;
(8)
2 —л/3
При ссь = —-— , так как С|(61)= 0, универсальная
эталонная передаточная функция 6-го порядка, имеющая в числителе полином первой степени, И'и(р) вырождается в известную эталонную передаточную функцию 6-го порядка, имеющую в числителе полином нулевой степени, №(Л(р) с коэффициентами [1,2]:
— Т2 в з-т/з ч
2(60) ~ ^ . ^3(60) =—^^ .
7-4л/з ,
Т и
16
Г) — Т
^¡(бО) 1
В
В,
4(60)
2-УЗ г4
8 г
26 - 15 V3
BW) ~
64
Коэффициенты универсальной эталонной передаточной функции 7-го порядка, имеющей в числителе полином первой степени, №11(р:) соответственно равны
В
1(71)
Т:
В = X Т2-
2(71) 2(71) ’
В = х Г3-
3(71) 3(71) ’
В =х Г4-
4(71) 4(71) ’
В = х т5-
6(71)
4(71)
С5(71)J
V Тб ' -ос7Л5(71)і і
(9)
Р — 9/у2 v rpl ■
7(71) ^С/'7Л5(71)-1 :
^1(71) = Х1(71)^’
где ог7 < 4,95 • 10~2.
Для определения неизвестных X —X необ-
*\' *} *л / *)
ходимо решить численными методами систему уравнений
у ~ д. 2г — 1—0’
1(71) 2(71) 1 ’
2(71)
2 г + 2х =0*
3(71) 4(71)
х,|71) 2х2(71)х4(71) +2(1 2a7)x5(7i) 0,
*5(7 0.
(10)
x4(7i) 2х3(71)х5(7|) + 4а7х2(71)х5(71) 4а7х5(71)
*5(71) 4ск 7 ^4(7i) +4ö7X3j7|)
= 0;
При СС-,
4,95 -10 2, так как С,
1(71)
: 0, универсаль-
ная эталонная передаточная функция 7-го порядка, имеющая в числителе полином первой степени, И/.и(р) вырождается в известную эталонную передаточную функцию 7-го порядка, имеющую в числителе полином нулевой степени, №10(р) с коэффициентами: Вх(10) = Т,
В
2(70)
~—Т
> ^з(70) - 0,1617" ’ , Вч-0) = 3,58 -10 7 ,
В
5,51 ■ 10“3Г5, 56(70) = 5,46 ■ 10"4Т
-4 г 6
5(70)
6(70)
В
7(70)
= 2,70 -10'"5Г .
Коэффициенты универсальной эталонной передаточной функции 8-го порядка, имеющей в числителе полином первой степени, №^(р) соответственно равны
■^l(Sl) = Т-,
•^2(81) = х Т2-2(81) >
^3(81) -х Г3- 3(81) >
Р -4(81) = г Г4- 4(81) ’
"5(81) = х Т5- 5(81) ’
■^6(81) - т Т6- 6(81) 5
-^7(81) -2(7 X Т1 ■ ^Ы8Л6(81)-4 >
^8(81) = 2а% х6(81)Г ;
с —1(81) и оо
(11)
-2
где а% <3,81-10
Для определения неизвестных Х[(.81 ~^б(81) находимо решить численными методами систему уравнений
*1(81) ■
-г 2х2(8]) 1 — 0?
2 -*■2(81) ' _ 9 V 4- 0 Y —' 3(81) ~
2 ХЩ1) ' _ 2*2(8 0*4(81)
2 Х4(8!) ' — 9 Y X 3(81) 5(81)
х2 - 5(81) “2х4(81)х6(81)
•^6(81) ' -4<28х5(8]) +'
4(81)
= 0;
■2*5(8i) 2x6(gl) —0,
+ 4«sx3(81)x6(gi) 4agx2(gl)x6(8!) —0,
8 4(81)
\-2
= 0.
(12>
При аг = 3,81 • 10_ , так как С1(81)-0, универсальная эталонная передаточная функция 8-го порядка, имеющая в числителе полином, первой степени, УУы(р) вырождается в известную эталонную передаточную фун-
кцию 8-го порядка, имеющую в числителе полином нулевой степени, И^/р) с коэффициентами: -8](80) = Т ,
*2(80, = \т\ В3(Щ = ОД62Г , Я4(80) =3,72-10-2Т4,
Вцщ = 6Д 7 -10~3Г5, -^6(80) = 7,24 • 10~4Гб,
Вцщ = 5,51 ■ 10~5Г7 и Вчщ =2,00-10-6Г8.
При решении численными методами алгебраических систем (8), (10) и (12) получается несколько вариантов значений неизвестных, из них следует выбирать тот вариант значений, при которых обеспечивается устойчивость проектируемых систем.
ВЫВОД
Полученные универсальные с варьируемым параметром а эталонные передаточные функции 2—8-го порядков, имеющие в числителе полином
первой степени, позволяют проектировать системы, которые отрабатывают управляющее воздействие с минимально возможной ошибкой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Добробаба Ю.П., Мартыненко A.B., Нестеров С.В., Чумак А.Ю. Разработка математического обеспечения метода синтеза систем по эталонным передаточным функциям П Наука Кубани. Проблемы физико-ма-тематического обеспечения. Естественные и технические науки,— 1998. — № 2. — C. 67--70.
2. Добробаба Ю.П., Мурлина В.А., Дорофеев
Д.В., Чумак А.Ю. Эталонные передаточные функции, обеспечивающие максимально плоские А ЧХ систем // Техн. и информ. обеспечение автоматизированных систем управления в пищевой пром-сти. Сб. науч. тр. -.
Краснодар: КубГТУ, 1999. — С. 44-47.
Кафедра электроснабжения промышленных предприятий
Поступила 11.02.2000 г.
517.9
УСКОРЕННЫЙ АЛГОРИТМ СКОЛЬЗЯЩЕГО СУММИРОВАНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЕГО ПОГРЕШНОСТИ
Н.С.АНИШИН, ИД БУЛАТНИКОВА
Кубанский государственный технологический университет
В задаче управления технологическими процессами, а также при обработке больших информационных массивов, подверженных случайным воздействиям, широкое применение находит операция скользящего суммирования. С ее помощью осуществляется , например,прогноз и фильтрация электрических сигналов, а также вычисляются их корреляционные функции [1].
Выполнение на ЭВМ скользящего суммирования требует больших затрат машинного времени из-за относительно малой скорости выполнения операции умножения. С целью уменьшения этих затрат предложен алгоритм, не использующий операцию умножения [2]. Его суть заключается в следующем.
Рассмотрим вероятностные процессы X, 7 с дискретным временем. Операция скользящего суммирования при реализации на ЭВМ определяется формулой
/V-1
Ук-
(1)
и=0
где N— достаточно большое число (база суммирования).
Будем считать, что величины.^ представлены в ЭВМ в виде чисел с фиксированной точкой и их значение по модулю не превышает единицу. Преобразуем величины х по рекуррентной формуле
■ 5см + хп;п = 1,2,...
• ч 1 3
sig<x,)—,eaiu —
О, если\х I < — і "і у'
(2)
где ^ — некоторое натуральное число.
Заметим, что \хп | й —. Вместо хп в(1) будем использовать х„:
1 ^ ~ NÏfX"y-
(3)
Как видно из (2), в мантиссе двоичного представления величины хп содержится лишь одна единица, а все остальные разряды нулевые. Следовательно, умножение на такую величину в (3) эквивалентно сдвигу на некоторое число разрядов. Операция сдвигов выполняется в ЭВМ существенно быстрее умножения [3].
С целью оценки погрешности алгоритма введем обозначение для ошибки окрутления еи = х:1 - хп и для приращения Г]к = ук^ - ук.
Как видно из (2), величинах, не сразу округляется к ближайшему уровню округления, а сначала к ней прибавляется компенсирующая величина - X ,
равная ошибке округления предыдущего значения хпс противоположным знаком. Негрудно догадаться, что такая процедура округления имеет своей целью уменьшить ошибку вычисления суммы, вызванную заменой * на , путем компенсации ошибки вычисления п-го произведения в следующем (п + 1) -м произведении.
0/
ВЄДЄІ
Уш'
комг
сумм
п<
Пусті
ленш
тру®
Д.'
Д
шись
М(Т
гд Б) крат сг; =
Ес
0]
д
крет
стаи
Ь =
П(
выкл
Вічем f
выси.
ШИХ I
Зн
МО'ЛО-
ГДІ
