CC BY
21
*° 1, 2001
ицент-
Л1Я. 0о
0.2501) ■5.0382 :9,8176 14.9367
(24)
(ОНЦЄНТ-
ью урав-ЇМ
к
ормула
(25)
:нт ка ка-комбина-це.
оиреде-дставлен-3. Извест-следован-г об удов-
■ирование.
174.
эование из
А.И. Ха-
-ісгеме мас-. химии. ■-
ггинов Е.Н.
тело II Изв. 55-69.
1ДСТВ
663.873.01.57:519.81
ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ СВОЙСТВ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СМЕСИ ПО РЕЗУЛЪТА ТАМ ЭКСПЕРТНОГО ОЦЕНИВАНИЯ АЛЬТЕРНАТИВ
В.М. ГГЕРЕЛЬТГИН, Ю.В. БАТАЕВ,
Т.В. МАСГЮКОВА
Воронежская государственная технологическая академия
В настоящее время процесс изготовления многокомпонентных напитков производится эмпирическим подбором ингредиентов, удачное соотношение которых оценивается экспертом. Такой подход не позволяет систематизировать результаты исследований и моделировать свойства разрабатываемых изделий, поэтому совершенствование процесса разработки рецептур многокомпонентных напитков с использованием методов математического моделирования является актуальным.
В основу математического моделирования процесса разработки рецептур может быть положена модель типа «состав — свойство», полученная с помощью субъективных экспертных оценок, выставленных по результатам дегустации некоторого ограниченного набора напитков.
Ситуация экспертного оценивания на интервальной шкале или на шкале отношений некоторого множества альтернатив достаточно распространена. Она имеет место, например, при экспертном назначении денежной цены альтернатив, при выставлении оценок в баллах и во многих других случаях. Будем рассматривать этот процесс, когда его целью является- параметрическая идентификация скалярной функции полезности ФП, позволяющей упорядочить множество альтернатив адекватно экспертному ранжированию. Обоснованием метода параметрической идентификации ФП, предлагаемого в данной работе, является теорема фон Неймана о существовании ФП[\].
При экспертном оценивании результаты можно интерпретировать как исход некоторого измерения, в котором допускаются случайные ошибки [2]. При индивидуальной экспертизе, когда каждая альтернатива анализируется на шкале отношений одним экспертом, в качестве метода идентификации можно использовать обычный метод наименьших квадратов МНК. При групповом оценивании ситуация осложняется тем, что в силу своих субъективных вкусов и пристрастий каждый эксперт может иметь собственный диапазон выставляемых оценок.
В табл. 1 приведены результаты оценивания десятью экспертами качества напитка при различном количестве вкусовых добавок (данные взяты из [3]). Согласно инструкции каждый эксперт оценивает качество напитка в баллах в диапазоне от 6 до 10. Из табл. 1 видно, что тенденция повышения оценки при росте качества добавок присутствует у каждого эксперта, однако диапазоны оценок существенно различаются. В этих условиях применение стандартного МНК, в котором оценка каждого эксперта интерпретировалась бы как серия параллельных равноценных опытов, не обосновано, поскольку в силу разного диапазона вклад оценок каждого эксперта
Таблица 1
Добавка, %
Оценка качества, данная различными экспертами
0.0 7,8 6,7 6.5 6,4 6.0 7.4 7,8 7.0 6,9 7.5
0,8 8,0 7.0 6,9 6,8 6.5 7.6 8,0 7,4 7,1 7.8
1,6 8.5 7,3 7,0 7,0 7.0 7,9 8.2 7,8 7,6 8.0
2.4 8,8 8.0 7.4 7,6 7,5 8.2 8.4 8,0 7.8 8,2
3,2 , 9,0 8.5 7,8 7,5 8,1 8.0 7.9 8.4 7.7 8.4
4,0 8,9 9,0 8,0 7,1 8.0 7.8 7,9 8.6 7,6 8.1
в общую сумму квадратов различен и необходим обоснованный выбор соответствующих весов.
Также неприемлем метод псевдонезависимых регрессий [4], в котором требуется для каждого выходного параметра подобрать свое уравнение регрессии, в то время как в данном случае необходимо построить одно уравнение, адекватно описывающее предпочтение группой экспертов одной альтернативы перед другой.
В принципе результаты экспертизы можно отобразить на порядковой шкале и применить известный метод экстраполяции экспертных оценок [5]. Однако оценки, выставленные на числовой шкале , содержат больше информации, чем выставленные на порядковой, поэтому можно ожидать более точного результата по сравнению с традиционным методом.
Таким образом, требуется новый метод для решения данной задачи. При его разработке примем следующие допущения.
1. Каждый объект выбора можно рассматривать как /^-мерный вектор V, компоненты которого соответствуют частным критериям оптимизации или каким-либо другим параметрам моделируемой системы.
2. Альтернативы оцениваются группой независимых экспертов на шкале отношений. Ошибки оценивания у всех экспертов случайны, независимы, имеют нулевое математическое ожидание и одинаковую дисперсию.
3. Каждый эксперт в соответствии с индивидуальными предпочтениями интуитивно устанавливает свой диапазон оценивания, иными словами имеет место равенство
мУ=а,М[>]+Р;,
] =
(1)
где у і — вектор оценок альтернатив, выставленных у-м экспертом;
а . и {3; — некоторые числовые коэффициенты; М \у] —вектор истинных полезностей альтернатив на интервальной шкале.
4. Существует функция полезности заданной структуры
(704=£;©,./,(>’), <2)
М = 1
где —известные функции векторного аргумента^; 0г, — неизвестные параметры (веса).
Согласно определению функции (2), альтернатива Р лучше альтернативы О тогда и только тогда, когда и(Р) > и{()).
При этих предположениях необходимо найти статистические оценки для коэффициентов ©н.
Введем следующие обозначения: т — количество альтернатив; п — число экспертов; к — число коэффициентов Ф/7; Г— (т х п) матрица экспертных оценок; її — регрессионная (т х/с) матрица, столбцами которой являются значения функций в точках, соответствующих оцениваемым альтернативам; 0 и 0 —
векторы истинных и оценочных значений коэффициентов ФП соответственно; ег — г -мерный вектор, состоящий из единиц (вектор суммирования); IV— оператор центрирования, который каждому т -мерному вектору ставит в соответствие вектор с нулевой суммой координат. Матрица оператора IV имеет вид
IV -1-МтЕ, ■■
где Е — (т х т) матрица, состоящая из единиц. Несложно убедиться в том, что матрица IVсимметрична и демпонентна, т.е.
Ш2 =
Поскольку ФП инвариантна относительно сдвига нулевой точки, без ограничений общности можно считать, что функции /и модели (2) выбраны так, что 1¥Е - Р, т.е. столбцы матрицы Сцентрированы на множестве альтернатив. Кроме того, можно предположить, что вектор истинных полезностей М \у] также центрирован.
Построим точечную оценку вектора коэффициентов ФП, линейную по результатам измерений, определяемую, по аналогии с МНК -оценкой, выражением
0 = (РТРУ'ГГЇ¥Г у, (3)
где у —т-мерный вектор весовых коэффициентов, определяющий вклад оценок каждого эксперта в интегрированную оценку.
Так как коэффициенты ФП определены с точностью до постоянного множителя, то можно предположить, что у7 еп = 1. Исследуем свойства оценки (3).
В соответствии с моделью (1) представим матрицу экспертных оценок в виде
¥ = м[у] а7+е„,р7 + Е, (4)
где а и (3 — векторы с компонентами а ■ и (3;. соответственно;
2 — матрица случайных ошибок оценивания, элементы которой будем считать независимыми, с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями, равными а2.
При этих предположениях можно строго доказать
следующее утверждение: оценка (3) является несмещенной, а при у • = 1 / п — эффективной.
Напомним, несмещенность означает [4], что математическое ожидание оценок 0 ■ совпадает с истинными значениями 0 •, а эффективность — что данная оценка имеет минимальную дисперсию.
В силу сформулированного свойства, для получения эффективной оценки коэффициентов ФП в классе линейных и несмещенных оценок можно использовать стандартный МНК, в котором результат опроса каждого эксперта интерпретируется как серия параллельных равноценных опытов, несмотря на то, что вклад оценок каждого эксперта в общую сумму квадратов различен.
Структура указанной функции полезности (2) определяется прежде всего простотой идентификации. Однако с точки зрения адекватности реальному объекту ее вид никак не обоснован. В работе [6] предложена и теоретически обоснована модель свойства многокомпонентного раствора как функции состава.
°>х: + Е (°>аах) + СЛХ1Х>) + А
Щх„х2,...,хн)= + V,*, Е&Л ' (5)
где г произвольный фиксированный номер компоненты.
Уравнение (5) было получено для описания физикохимических свойств многокомпонентных систем. В нем предполагается, что состав системы, т.е. значения х., выражены в мольных долях. Однако несложно показать [3], что вид уравнения инвариантен относительно единицы измерения концентраций х] , в частности, когда состав системы выражен в массовых процентах.
Нелинейность по коэффициентам уравнения (5) порождает определенные проблемы.
Во-первых, для поиска МНК-оценок необходим итерационный метод. Хороший результат был получен авторами при использовании методов Флетчера [7] и Мар-кворда [4], в которых минимизировался функционал вида
Ф(0) = [и(@,х) - Ш/]г [и(0, х) - Шу] „
где £7(0, х) — вектор рассчитанных значений моделируемого свойства в точке состава л- при векторе коэффициентов 0 = (а12,Ьи,си,С],...)'
согласно уравнению (5).
Во-вторых, традиционные методы проверки адекватности с помощью статистических критериев Фишера и Стьюдента обоснованы лишь для линейных регрессий, а для нелинейных эти методы имеют характер эвристик. Тем не менее они широко используются на практике [4] и часто дают хороший результа т.
Предложенный метод был использован для определения уравнений, описывающих свойства вкуса и аромата настоек, приготовленных с помощью пяти водноспиртовых экстрактов: зубровки душистой, тысячелистника обыкновенного, аира болотного, зверобоя продырявленного и полыни горькой.
Выбор этих экстрактов сделан с учетом оригинальности создаваемой рецептуры, доступности сырья и его фармакологической ценности. В результате были получены соответствующие значения коэффициентов модели (5) для вкуса и аромата (табл. 2).
, 2001
2ЩЄН-
.тема-
ными
оцен-
чения се ли-эвать аждо-
1БНЫХ
ценок
КІЧЄН.
опре-Одыа-кту ее итео-эмпо-тава.
(5)
сом-
13ИКО-
В нем 1Я X, , шать оеди-когда
(5) по-
м ите-іен ав-1 Мар-л вида
і,
і моде-векто-
.)'
іекват-иера и
ІЄССИЙ,
'ИСТИК.
же [4]
преде-и аро-водно-
1ЄЛИСТ-
фОДЫ-
яналь-я и его і полу-І моде-
Табдица 2
Модель аромата Модель вкуса
] О, (і Ь с О, а Ь с
С2 8.244 1.219 0,604 11.008 7,397 1,160 0.276 17.949
1.3 8.244 0,810 0,265 13.091 7,397 1,341 0.246 20,358
1.4 8,244 0.798 0,200 13,400 7,397. 0.899 0,037 48,486
1,5 8,244 0.862 0,937 9.401 7.397 1,100 0,397 11,18
2 3 8,420 0,660 0.819 9.974 7,294 1,153 0.780 9.9 і 9
2.4 8.420 0,650 0.272 7,048 7,294 0.770 0,531 10,134
2.5 8,420 0,707 1,311 8,730 7,294 0.947 0,954 8.802
3,4 8,445 0,983 0,868 8.370 6.811 0,671 0,465 1.1.883
3.5 8,445 1,060 2.107 7.670 6.811 0.821 0.303 9.775
4.5 ".315 1.080 0.793 7,936 7,575 1.224 0.384 10,799
5,- 8.113 6.693
Полученные модели использовали для определения наилучшего рецепта напитка. Была найдена область вида
х° - А, < х. < х,° + А/, / =
кавдак точка хр...,х5 которой представляет собой состав
напитка, близкий к оптимальному по критериям вкуса и аромата. Параметры х/и Д; имеют следующие значения, мас.%:
х°= (2,373; 0,072; 0,736; 0,783; 0,036);
А,. =(0,350; 0,034; 0,310; 0,250; 0,023).
ЛИ1ЕРАТУРА
1. Фишберн П. Многомерные функции полезности и теории ожидаемой полезности / Статистические модели и многокритериальные задачи принятия решений. — М.: Статистика, 1979, —С. 1-44.
2. Экспертные оценки.. Методы их применения (обзор) / Д.С. Шмерлинг, С.А. Дубровский и др. / Статистические методы анализа экспертных оценок. — М.: Наука. 1977. - 384 с.
3. Масгюкова Т.В. Совершенствование процессов и технологии изготовления многокомпонентных напитков на основе растительного сырья: Дис. ... канд. техн. наук. --- Воронеж, 1998. — 191 с.
4. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. — М.: Финансы и статистика, 1981, -- 302 с.
5. Сысоев В.В. Структурные и алгоритмические модели ароматизированного проектирования изделий электронной техники.—Воронеж, 1993. — 207 с.
6. Перелыгин В.М. О расчете равновесных свойств растворов // Вестн. ВГТА:Воронеж, 1977. — № 1. — С. 80-84.
7. САПР. Системы автоматизированного проектирования. Кн.5: Автоматизация функционального проектирования / П.К.Кузьмик, В.Б.Маничев — М.: Высшая школа. 1986. — 141 с.
Кафедра физической и коллоидной химии
Поступила 28.09. 2000 г.
517.9
РАЗРАБОТКА УНИВЕРСАЛЬНЫХ ЭТАЛОННЫХ ПЕРЩАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ СИСТЕМ, ИМЕЮЩИХ В ЧИСЛИТЕЛЕ ПОЛИНОМ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
Ю.П. ДОБРОБАБА, АГ. МУРЛИН, В А. МУРЛИНА, Г.А. КОШКИН, ОБ. АКУЛОВ, ПЛ. СОЛОВЬЕВ
Кубанский государственный технологический университет
Ме тод синтеза систем по эталонным передаточным функциям прост и доступен широкому кругу исследователей. Сущность его заключается в том, что выбор варьируемых параметров корректирующих устройств выполняется из условия тождественности коэффициентов при равных степенях оператора дифференцированияр в передаточных функциях разрабатываемой и эталонной систем. Данный метод предполагает, что эталонные передаточные функции заранее определены.
Известна следующая закономерность: системы, передаточным функциям которых соответствуют максимально плоские АЧХ, отрабатывают управляющее воздействие с минимально возможной ошибкой. В работах [1, 2] разработаны эталонные передаточные функции систем 2—6-го порядков, имеющие в числителе полином нулевой степени,
которым соответствуют максимально плоские АЧХ.
Опыт проектирования электротехнических устройств показывает, что актуальна задача по разработке универсальных эталонных передаточных функций систем, имеющих в числителе полином первой степени.
Передаточная функция системы, имеющей в числителе полином первой степени, в общем виде
тт/ / ч С\Р + 1
Хв,р,+1
ы
где В.. С, — коэффициенты полинома знаменателя
и числителя передаточной функции; п — степень полинома знаменателя передаточной функции (н > 2).
В результате исследования А ЧХ, соответствующих передаточной функции (1), с использованием правила знаков Декарта получено аналитическое выражение для максимально плоских А ЧХ систем, имеющих в числите-
