Разработка программно-алгоритмического обеспечения структурной интерпретации нефтегазонасыщенных пластов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.63

РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНО-АЛГОРИТМИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ СТРУКТУРНОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ НЕФТЕГАЗОНАСЫЩЕННЫХ

ПЛАСТОВ

© Р. Р. Яматов

ООО «СИТРОНИКС Башкортостан» Россия, Республика Башкортостан, 450077 г. Уфа, ул. М. Карима, 28. E-mail: [email protected]

Рассматриваются алгоритмы компьютерного моделирования полей точечных источников постоянного электрического тока в кусочно-анизотропных квазифрактальных средах, описывающих пористые нефтегазонасыщенные среды. На основе вариационных алгоритмов А. Н. Тихонова строятся процедуры решения обратных задач по определению параметров квазифрактальных сред.

Ключевые слова: геофизика, квазифрактальные пористые кусочно-анизотропные среды, поле постоянного тока, прямая и обратная задача.

Введение тые среды - среды фрактальной структуры [6]. Важ-

. ной эксплуатационной характеристикой подобных

Методы разведочной геофизики остаются

систем является коэффициент проницаемости, кото-

единственным средством дистанционного изучения

рый можно рассчитать, если знать распределение

глубинного строения земной коры, поисков, развед-

_ „ поровых пустот (коэффициент пористости и связ-

ки и разработки месторождений полезных ископае-

. ность поровых каналов), т.е. если известна структура

мых, мониторинга нефтегазохранилищ и крупных

среды, отвечающая стохастическому распределению

залежей углеводородов, а также используются при

поровых пустот, капилляров и трещинных каналов.

геоэкологических исследованиях. Основной про- , Большинство встречающихся в природе фрак-блемой разведочной геофизики является неодно-

тальных структур являются квазифракталами, по-

значность решения обратных задач как по определе-

скольку на некотором малом масштабе фракталь-

нию геологической природы изучаемых объектов

, ч ность исчезает. Квазифрактал отличается от идеаль-

(качественная неоднозначность), так и по оценке их

ных абстрактных фракталов конечностью, неполно-

геометрических параметров и формы (количествен-

той и неточностью повторений структуры. В этой

ная неоднозначность).

связи актуальной представляется разработка алго-

Среди большого числа известных геофизиче-

ритмов решения прямых и обратных задач компью-

ских методов исследований в настоящее время отда-

терного моделирования геофизических (электриче-

ется предпочтение методам электроразведки потен-

_ . . ских, магнитных, тепловых, диффузионных и т.д.)

циальными полями, как наиболее эффективным и

полей в кусочно-анизотропных средах с квазифрак-

экологически безопасным [1].

тальными включениями, что позволит проводить

Интерпретация электроразведочных экспери-

структурную интерпретацию нефтегазонасыщенных

ментальных данных нацелена на определение строе-

пластов.

ния и свойств среды по наблюдаемым значениям

Следует отметить, что большинство крупных

поля. Известная информация о положении месторо-

нефтегазовых месторождений (например, Самотлор)

ждения, форме его границ позволяет оценить мощ-

представляют собой ассоциации малоразмерных

ность залежей и перспективу их дальнейшей про-

_ г„ залежей углеводородов. Для поисков и прогноза

мышленнои разработки [2-5].

слабоконтрастных и малоразмерных залежей угле-

Характеристики нефтегазонасыщенных систем,

водородов также могут быть привлечены методы

представленных пористыми или трещиноватыми

учитывающие фрактальность и анизотропность геосредами, в существенной мере определяются хаоти-

логических объектов, что является новым подходом

ческим распределением зерен породы, капилляров и

для анализа нефтегазовых месторождений.

трещин по форме и размерам. Как известно, порис-

Поле точечного источника постоянного тока в кусочно-анизотропной среде с квазифрактальными включениями

Рассмотрим горизонтально-слоистую среду, разделенную гладкими параметрически заданными границами на горизонтальные слои П0,0, П^0, П2,0, • • Пи0 с удельными электрическими проводимостями а0,0, °1,0, а2,0, •••, аи,0 соответственно. Пусть каждый слой П,,0 содержит к квазифрактальных включений Пу с границей у у и постоянным симметричным тензором проводимости 0у, ] = 1, к, .

Пусть в точке А горизонтального слоя Пт0 находится точечный источник постоянного тока, с которого стекает ток силы I = 1 А.

Потенциал электрического поля и (Р) в произвольной точке Р Ф А среды, создаваемого источником постоянного тока, описывается следующей краевой задачей:

Шу(ауУиу(Р)) = -$,ДР),Р еЦ>р

(а¡,о VGПо (Р, Q), п) - (а, , VGf, (Р, Q), п)

(а10 Уи10 (Р), п) - (а1]Уи1](Р), п) = 0,

и,0 (Р) - иц(Р)| rij= 0,

(ст1 0 0 (Р), П) - (а1+1 0 Уи1+1 0 (Р), п)| = 0,

(1) (2)

и , 0 (Р) - иы, 0 (Р) т = 0,

Ц>0(Р) ^ 0,P(x,y,z) ^<х>, где 1 = о^ j = 1,к" и

[ЩР,А),Р еОт0,

(3)

(4)

^ \0.Р *"т.0 где 5(Р,А) - функция Дирака, I - сила тока, п - вектор нормали, (2) и (3) — условия непрерывности потенциала и плотности тока на границах контактов сред, (4) - условие регулярности решения на бесконечности.

Для решения задачи воспользуемся методом интегральных представлений, поэтапно понижая геометрическую сложность задачи [7-8].

Рассмотрим вспомогательную задачу без включений в последнем слое с точечным источником единичной интенсивности, находящемся в произвольной точке Q(xq, уф div (а 1,] УО? ] (Р, 2 )) = - Д ] (Р, е ),

Р у, г = 1, п, j = 1, к,. (5)

г = 1, п - 1, j = 1, к,

(6)

(Р, Q) - (Р, Q)

0, г = о, п -1, j = 1, к,

(аг>о ЧОЦо (Р, Q), п) - (а,+1,0 (Р, Q), п) = 0

г = о, п -1, j = 1, к,

(7)

(Р, Q) ^ 0, Р(X, у, 2) ^ ®, г = о, п. (8)

Краевая задача (5-8) определяет функцию Грина с оператором

Н [иу(Р)] = Ш^УЦ^Р)).

Рассмотрим для каждой подобласти П-г = 0, п , ] = 1, к1 формулу Остроградского, справедливую для симметричных тензоров а,,,-:

\ (V(Q)H[и^Ю)]- ицЮ)Н^Ю)])<юЦа = ^ - - (9)

\ (V(Q)(a1J уи10 (Q), п) - иц W(Q)>n))dS1,J ч

Подставив в (9) вместо функции V(Q) функцию Грина Gn(P,Q), определяемую решением граничной задачи (5-8), получим интегральное представление Грина решения краевой задачи (1-4) в области П,,:

ОЦ, (Р, Q)й* (а у Vи 1 (Р)) -

Г,

П* у и,,у (Q(а у у(Р, Q

= г ГО(Р, в)(а1,/(0), п) - ' о'. .[- и,,,(0,,,.(Р,0),п)

йа,

у

dy 1

'й

чим:

(10)

Учитывая свойства 5-функции Дирака, полу-

V1, и 1,, (р) = | л, (р, е )<т 1, ]д + +1 G"^ (р, е )(СТ 1, ] ™ 1,7 (е), И) -

- и 1,, (б)(а 1,, VG (Р,е), 1

/д

(11)

где,

1, Р Уу,

-1/2, Р €уц> 0, Р ёПциуц.

Просуммировав формулы (11) по j от 1 до £щ с учетом граничных условий (2) и (3), получим интегральное представление решения задачи (1-4):

G"o (Р, 0.) - G", (Р, е)

0, г = 1, п -1, j = 1, к,

0

Г (+1.0

/ (+1.0

£ Vn> jUn,k (P) =£ J U„, j (Q) x

]=1

' ^^>J

Х ((&п,] - °] (Р, 6), Пд )¿^п,]д +

+ Gnn ] (Р, А), (12)

из которого следует, что решение исходной задачи (1-4) может быть получено в любой точке Р кусочно-анизотропной области, если будет определено решение задачи (5-8) - функция Грина Gn(P,Q) - и будут известны граничные значения функции на внутренних границах подобластей, не вошедших в задачу для функции Грина. Здесь - ^ вектор внешней нормали в точке.

Опуская в (12) точку Р на каждую из таких границ и учитывая условие (2), получим систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода относительно неизвестных граничных значений вида:

k П

)(P) - X J U„,0 (Q )>

х ((^п,] - °п,0 )У°П,0 (Р» в )» «е №п, jQ =

= ОпП,0 (Р, А), (13)

Для решения задачи (5-8) рассмотрим вспомогательную задачу без последнего слоя с точечным источником единичной интенсивности:

--п

d^v(a, .. УСу (Р, Q) = -Д , (Р, Q),

P у, i = 1, n -1, j = 1, k;

(5')

G«о (P, Q) - G«,(P, Q)

= 0,

i = 0, П - 1, j = 1, k;

(ffi,0 VG«0 (P, Q), n) - (ffi,0 VG«.-(P, Q), n)

(6')

= 0,

i = 0, П - 1, j = 1, k;

(7')

G¿,o (P, Q) - Gf+,o (P, Q)

= 0, i = 0, n - 2, j = 1, k;

Y ,+1,0

(ffVG i,O (P), и) - (ffI+,o VGf+, . (P), и)

= 0,

Y i+1,0

i = 0, n - 2,

Gn0 (P,Q) ^ 0,P(x,y,z) ^ <»,i = 0,n. (8')

Тогда, интегральное представление задачи (58) имеет вид:

v„,oGnn,o (P, ß) = | G„n,o (ß, ßi) x

Y n,0 --n

x ((°"n,0 - °"n-1,0 )VGn,0 (p, Q1), ие )dYn,0& +

yn,0 " n-—n

= G n,0 (P, ß)

(14)

Значения G (Р, 2) на границе уп,о - определяются из интегрального уравнения

Gn,o (P, Q) - J Gnn,o (Q, Ш x

Yn,0

х ((°"п,0 - °"п-1,0 )УОп,0 (Р, 01), «0 ¥Гп,0й = —п

= О п,0 (Р, 0) (15)

Таким образом, геометрия исходной задачи (1-4) упростилась - в среде отсутствует последний слой с включениями. Получили задачу (5'-8'), идентичную задаче (1-4), но с числом слоев на один меньше.

Следовательно, повторно можно применить вышеописанный подход, применяя поэтапное упрощение геометрии среды. Получен рекурсивный алгоритм решения задачи расчета потенциала электрического поля ЩР) в произвольной точке Р Ф А среды, создаваемого источником постоянного тока.

При п = 0 функцию Грина однородного полупространства можно построить аналитически.

Восстановлений параметров квазифрактальных включений

Задача определения границ сред и формы включений по наблюдаемым значениям потенциала электрического тока относится к классу обратных задач электроразведки. Вследствие неединственности и неустойчивости решения задача некорректна.

Рассмотрим частный случай при п = 0 анизотропное полупространство. Будем искать параметры квазифрактальных включений, как экстремальные решения регуляризирующего функционала А. Н. Тихонова [1, 2].

Зададим форму квазифрактального включения множествами ф,(Я/, О, а, Ь, с, А/), где Я, = (Л/, Я/, Я/) - вектор масштабирования с коэффициентами сжатия/растяжения единичного куба по х, у и z соответственно, О, = (О/, О/, О/) - координата центра, а, Ь, с, - параметры функции генератора множества Жюлиа (J3D) [6], которые в кубе стороны 4 с центром в начале координат, при делении его на N

n

элементарных объемов, образуют квазифрактальные включения в виде совокупности элементарных объектов. В качестве элементарного объекта среды удобно рассматривать «куб» со сглаженными углами и ребрами, с гранями, параллельными координатным плоскостям и длинами ребер, много меньшими размеров всего фрактала, геоэлектрические свойства среды которого описываются симметричным постоянным тензором удельной электрической проводимости.

Введем в рассмотрение к0 - мерный вектор ¡р^ = (ф1, ф2,..., фко), определяющий границы

включений. Будем искать его как решение, минимизирующее регуляризирующий функционал А. Н. Тихонова вида:

FsPb ) = U - Um (Spt(

+« sPt0

-sp0„

• ,(16)

где Ue, Um — соответственно экспериментальные и модельные (как решение задачи (1—4)) значения потенциалов между датчиками, расположенными в узлах сеточного множества приемников D*D, а — параметр регуляризации, SpjJ - ^-мерный вектор

опорной модели, которая строится с учетом всей априорно-известной информации о структуре исследуемой среды (например, по данным сейсмо- и/или гравиразведки).

Ограничивая вариацию компонент конечномерного вектора Sp0 , получим компактное множество корректности А. Н. Тихонова, на котором существует единственное квазирешение, определяющее форму квазифрактала.

Программный комплекс структурной интерпретации геологических сред

Ранее рассмотренные алгоритмы реализованы в виде программного комплекса MMGL, представляющего собой набор подпрограмм структурной интерпретации локальных геологических включений.

В качестве языка написания вычислительных алгоритмов был выбран язык C++ позволяющий: эффективно использовать объектно-ориентированное программирование; компилировать программу различными компиляторами на платформах Windows и UNIX; использовать MPI технологии параллельного программирования для работы на многопроцессорных кластерах.

Программный комплекс обладает следующими средствами и возможностями:

• построение компьютерной модели геологического разреза путем задания границ и удельных электрических проводимостей сред;

• задание параметров включений, источников и приемников тока;

• расчета потенциала в исследуемых средах;

• определения границ зоны прогноза;

• визуальное представление полученных результатов;

Вычислительные эксперименты

На рис. 1а приведены изолинии аномального потенциала постоянного электрического тока системы двух точечных источников силы 11 = +1 А, 12 = -1 А с координатами А! = (40, 40, 0) м, А2 = (-40, -40, 0) м соответственно, вычисленного по алгоритму, изложенному выше, на площадке Б = (х е [-20, 20], у е [-20, 20], z = 0)} «дневной» поверхности однородного полупространства с удельной электрической проводимостью о0.0 = 0.01 См/м в присутствии квазифрактальных однородных включений J3D (а, Ь, с), построенного в шаре радиуса 2 м с центром О = (0, 0, -4) м и удельной электрической проводимостью о0.1 = 0.1 См/м, для различных значений параметров а, Ь и с.

На рис. 1б приведены аномальные поля, когда те же квазифрактальные включения J3D (а, Ь, с) в однородном полупространстве анизотропны, с ненулевыми коэффициентами удельной электрической проводимости вдоль осей системы координат 0,2; 0.05 и 0.1 См/м соответственно. Сопоставление аналитических и численных решений показали, что относительная погрешность вычислений составила менее 6 %, что свидетельствует о достаточной хорошей точности расчетов. Увеличение N - количества элементарных включений входящих в компьютерную модель, влечет повышение точности расчетов, и как следствие увеличение времени счета.

В табл. 1 приведены результаты восстановления параметров квазифрактального включения J3D(-0.3820; 0.5960; -0.1120) , смещенного в точку О01 =(1.1230; -1.3453; -6.2343) м относительно начала координат, с вектором масштабирования Л01 = (2.2340; 2.2340; 2.2340) , по значению аномального потенциала постоянного электрического тока от системы источников силы 11 = 13 = +1 А, 12 = 14 = -1 А с координатами А1 = (40, 40, 0) м, А2 = (-40,-40, 0) м, А3 = (40, 0, 0) м, А4 = (-30, 0, 0) м соответственно, на площадке Б = (х е [-20, 20], у е [-20, 20], 7 = 0)}

R

«дневной» поверхности однородного полупространства с удельной электрической проводимостью а00 = 0.01 См/м. Удельная электрическая проводимость включения а0Л = 0.1 См/м в изотропном и с ненулевыми коэффициентами проводимости вдоль осей

системы координат 0.2 См/м, 0.05 См/м и 0.1 См/м соответственно анизотропном случае. Параметр детализации ^0Л = 40. В качестве априорно известной информации рассматривались значения: 001 = (0; 0;-10), Лол = (3, 3, 3), а = 0, Ь = 0, с = 0 .

Рис. 1. Изолинии аномального потенциала постоянного электрического тока, В.

Таблица 1

Восстановление параметров квазифрактального включения при различном количестве источников

Система источ-

Ox01, м Oyoi, м Oz0 1, м r0. 1 Зо .1 bo.i c0 .1 VJ3D,%

ников

1.123 -1.345

A1 1.225 -1.468

e,% 9.08 9.12

ai, A2 1.075 -1.413

e,% 4.27 4.99

ai, A2, A3, A4 1.144 -1.325

e,% 1.87 1.51

A1 1.288 -1.125

e, % 14.65 16.38

Ai, A2 1.250 -1.475

е,% 11.31 9.64

A1, A2, A3, A4 1.155 -1.225 e, % 2.85 8.94

-6.234 2.234 -0.382

Включение однородное

-6.550 1.975 -0.376

5.06 11.59 1.57

-6.450 2.375 -0.420

3.46 6.31 9.95

-6.325 2.275 -0.420

1.45 1.84 4.71

Включение анизотропное

-6.650 2.025 -0.420

6.67 9.36 9.95

-6.525 2.425 -0.378

4.66 8.55 1.05

-6.375 2.344 -0.390

2.26 4.91 2.09

0.596 -0.112 4.352

0.590 -0.120 8.458

1.02 7.14 94.36

0.575 -0.124 6.965

3.52 10.71 60.05

0.564 -0.120 4.470

1.85 7.14 2.80

0.564 -0.140 7.640

5.37 25.00 75.55

0.600 -0.120 7.594

0.67 7.14 74.50

0.592 -0.116 4.986

0.67 3.57 14.59

Вычислительные эксперименты показали что, наиболее эффективной стратегией поиска решения задачи определения параметров квазифрактального включения является следующая: на первом шаге определяется местоположение (координаты центра), на втором - вектор масштабирования, на третьем -выполняется уточнение коэффициентов генератора фрактала. Данной стратегией определялась последовательность варьирования параметров в методе Ху-ка-Дживса. Найденные параметры квазифрактала позволяют строить оценки коэффициента пористости среды (последний столбец табл. 1), а последующие исследования квазифрактала на связность (наличие капиллярных каналов) и флюидодинамику позволят оценить коэффициент проницаемости неф-тегазонасыщенных систем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Иванов В. Т. Методы решения прямых и обратных задач электрокартажа М.: Наука, 1983.

2. Кризский В. Н. Математическое моделирование потенциальных геолектрических полей: дис. д-ра физ.-мат. наук. Стерлитамак, 2004.

3. Кризский В. Н. О способе вычисления геофизических полей в кусочно-однородных средах // Физика Земли. 2009. №10. С. 25-37.

4. Викторов С. В. Математическое моделирование геоэлектрических полей в осесимметричных средах со сплайн-аппроксимацией границ: дис. канд. физ.-мат. наук. Стерлитамак, 2006.

5. Трегубов Н. В. Программно-алгоритмическое обеспечение навигации бурения горизонтальных скважин // Системы управления и информационные технологии. 2007. .№4(30). С. 99-104.

6. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 160 с.

7. Кризский В. Н. О способе вычисления физических полей в кусочно-анизотропных средах. Ч.1. Стационарные поля // Вестник Башкирского государственного университета. 2009. Т. 14. №3. С. 726-730.

8. Кризский В. Н. О способе вычисления физических полей в кусочно-анизотропных средах. Ч II. Нестационарные поля // Вестник Башкирского государственного университета. 2009. Т. 14. №4. С. 1302-1306.

Поступила в редакцию 12.11.2012 г.