О способе вычисления физических полей в кусочно-анизотропных средах. Часть II. Нестационарные поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

раздел МАТЕМАТИКА

УДК 519.63

О СПОСОБЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В КУСОЧНО-АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ. ЧАСТЬ II.

НЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПОЛЯ

© В. Н. Кризский

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450074 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел./факс: +7 (34 7) 273 6 7 78.

E-mail: [email protected]

На основе методов интегральных преобразований, интегральных представлений и интегральных уравнений строятся рекуррентные алгоритмы решения прямых трехмерных задач о физических полях в кусочно-анизотропных средах. Алгоритмы позволяют осуществлять пересчет функции Грина одной среды в функцию Грина другой, более простой, среды. Способ вычисления применим к задачам с уравнениями эллиптического, параболического, гиперболического и смешанного типов.

Ключевые слова: кусочно-анизотропная среда, метод интегральных преобразований, алгоритм пересчета функции Грина.

Введение

Ряд физических процессов описываются скалярными или векторными полями, математические модели

распространения которых представляются в области исследования W с R начально-краевыми задачами для дифференциальных уравнений математической физики вида:

div(s(P) ■ WU(P, t)) - a(P)U(P, t) - b2(P)dU(P,t) - c2(P)Э U(Pf) = - f (P,t).

(1)

Здесь /(Р, () - функция интенсивности источников/стоков поля; <г(Р) - симметричный тензор, описывающий физические свойства среды; а(Р) -комплекснозначная функция; Ь(Р) и с(Р) - действительные функциональные коэффициенты, также зависящие от т; Р = (х, у, z) є О; V(Р, Ґ) - искомая скалярная функция (функция потенциала в поле потенциальном или одна из компонент вектора-функции в поле векторном). Переменная / > 0 - время.

Будем считать в дальнейшем встречающиеся в задаче функции достаточно гладкими для использования формул интегральных представлений и интегральных уравнений, а также имеющими необходимый порядок затухания на бесконечности для обеспечения применимости интегрального преобразования Лапласа.

Осуществим разбиение области О = Ц=А

на подобласти Ог- с достаточно гладкими границами Бі так, чтобы в каждой из подобластей тензор <г(Р) и функции а(Р) , Ь(Р), с(Р) можно было бы с некоторой степенью точности принять постоянными:

( і і і \

a(P) = ai b(P) = bi c(P) = ci

а11 °12 °13

0-(Р) = а. = (Т]2 а2 2 а2 3

_г г г

а13 а23 а33

V х

Количество подобластей N будет определяться задаваемой точностью аппроксимации.

В подобластях а. уравнение (1) преобразуется к виду:

Щ (Р, г)) - а,и1 (Р, г) - Ъ2 - с2 Эи;2(р’г) = -/, (Р, г). (2)

дг дг2

дг дг

При С. Ф 0 в подобласти Ог- имеем уравнение гиперболического типа. Частными случаями такого типа уравнений являются: волновое уравнение (при а. = 0, Ъ1 = 0), описывающее распространение

сейсмических [1], акустических [2] волн или электромагнитных полей (ЭМП) в изоляторе [3]; телеграфное уравнение (аг = 0, Ъг Ф 0), моделирующее ЭМП в области однородности среды [3].

При сг = 0 и Ъ1 Ф 0 получим уравнения параболического типа. К подобным уравнениям приводят задачи диффузии, теплопроводности [2], распределения квазистационарных ЭМП [3].

При С. = 0 и Ъ. = 0 будем иметь уравнения эллиптического типа. Для эллиптических задач алгоритм решения описан в части I статьи.

На участках г\ внешней границы Г = М Г]

области а зададим граничные условия в общем случае третьего рода:

а (Р)(^. чи- (Р, г), П) -ь (Р)и} (Р, г )| = у (Р, г),

\а (Р)|+Ь (Р)| ф 0, которые при аа (Р) = 0 , ¡- (Р) Ф 0 образуют условия первого, а при а- (Р) Ф 0, (Р) = 0 - второго

рода. Здесь (а- Чи - (Р, г), п)- скалярное произведение - проекция вектора градиента функции, измененного тензором проводимости поля, а. Чи - (Р, г) на направление вектора нормали к

поверхности - П (т.е. плотность потока поля через границу) в момент времени г .

Жу(аі УПІ (Р, ґ)) - аіПі (Р, ґ) - Ь

дПі (Р,ґ) , Э2ПІ (Р,ґ)

дґ

Эґ2

Vі (Р, ґ) - V, (Р, ґ)| ^ п^=й(Р, ґ),(а Ш, (Р,ґ), п) - (а, УП, (Р, ґ), п)| я = Й (Р, ґ), * =1, N, , є J¡={ , \ ] = 1, і - 1;^П Г,*®}; (4)

= - /, (Р, ґ^ Р є О,. , і = 1,^;

N,

(3)

«і (Р)(аі Щ (Р, ґ), п)-Ь (РЩ (Р, ґ)| = у (Р, ґ), |«г (Р)\ + \рі (Р)\ ф 0

і = і1,і2ік, к <N ;

Щт(Р,ґ) ® 0, Р т = т1,т2тп, п < N ■.

V, (Р ,0) = т,- (Р)

диг (Р,0) дґ

(5)

(6) (7)

На бесконечно удаленной границе неограниченной подобласти О, определим граничные условия в виде: Vj (Р,ґ) ® 0 , при Р .

На границе контакта сред Б, П Б, различных постоянных значений тензора а(Р) зададим общие условия сопряжения четвертого рода:

V, (Р,ґ) - V,- (Р,ґ)| =т, (Р, ґ);

Л ’ 'РєБ,- П б, 7

(а, Щ (Р, ґ), п) - (а, Ж, (Р, ґ), п)| = й (Р, ґ)

рєБі П

со скачком поля и плотности потока. Если поле и плотность потока непрерывны на Б, П Б, , то следует положить (рі (Р, ґ) = 0 и фі (Р, ґ) = 0 .

Кроме того, задачу будем дополнять в подобластях О, начальными условиями, описывая состояние поля в начальный момент времени:

V, (Р, ґ)| _ = т, (Р) и

ЭVj (Р, ґ)

Іґ=0

дґ

ґ=0

Первое из них имеет место для уравнений параболического и гиперболического типов, а второе - для гиперболических уравнений.

Стремление описать среду в кусочноанизотропном приближении детальнее влечет рост количества подобластей (величины N) и, следовательно, ведет к возрастанию сложности геометрии исследуемой области О в математической модели.

Опишем рекуррентный алгоритм пересчета функции Грина одной задачи в функцию Грина другой задачи с меньшим количеством подобластей N .

Подобный подход, но в изотропных кусочнооднородных средах для стационарных и динамических задач был рассмотрен в [4].

В части I [5] подход был реализован для стационарных эллиптических краевых задач в кусочно-анизотропных средах с симметричными постоянными тензорами в подобластях. В данной работе он использован для нестационарных задач в кусочно-анизотропных средах параболического и гиперболического типов, интегральным преобразованием Лапласа, приводимых к рассмотренным задачам эллиптического типа.

Нестационарное поле в кусочно-анизотропной среде

Рассмотрим, как более общий, случай, когда математическая модель распространения поля представлена начально-краевой задачей для уравнений гиперболического типа.

Пусть О - кусочно-анизотропная область с внешней границей Г, состоящая из подобластей О., г = 1, N, заполненных однородными проводящими поле объемами с постоянными симметричными тензорами проводимости а.. Пусть Б. -граница области О.. Б = у^Г , где Г. = Б1.1Г -внешняя часть границы и у = Б. \ Гг - внутренняя

часть границы. Если область О. не имеет контакта с внешней границей Г, то Г1 = 0 и Б. ° у . Математическая модель распределения поля и(Р), Р(х, у, г) имеет вид (3)-(7). Здесь J. -

множество номеров подобластей О - , граничащих

с подобластью О. и имеющих меньшие номера,

чем I; ¿2,■■■■, ^ - номера подобластей О., уча-

стки границ которых являются частью внешней границы Г области О, т1,т2mN - номера подобластей с участками границ, уходящими в бесконечность, П - вектор внешней нормали к границе области.

Применим к задаче (3)-(7) интегральное преобразование Лапласа [6] иа(Р) = | и(Р,г)в~а,Сг с формулой обращения

1 е» О + Iх

и(Р,г) = — Г и°(Р)е°гСо, Кеа=щ >0. (8) 2т ^~‘¥

Получим однопараметрическое (по О) семейство эллиптических краевых задач:

сИу(а Уи°’ (Р)) - кр° (Р) = -ФО (Р), I = ; (9)

UW(P) - U w (P)| n =jW(P), (s VUW(P), n) - (Sj VU* (P), n) = fW(P) i = 1N, j є Jt; (10)

'я nr 'r, nr

a(P)(SVU*(P),n)-b(P)uW(P)^r = y*(P), |a(p)+ß(P)\*о, t =i,t2tk, k<N; (її)

UW (P) ® 0, P m = m1,m2mn, n < N

(12)

с операторами н [Ц“(Р)] °div(а¡VV"J(P))-кр*(Р), к = а, + соЬ,2 + (02с,2 и функциями

ФГ(Р) = (Ь2 +юсі2)т(Р) + с2т(Р) + Г(Р) в подобластях О ,.

Для такого типа задач, применяя подход, описанный в части І статьи, может быть получено интегральное представление решения:

N

N

'Т.п.иО(Р') = Ё I 1 и О (в )((а-а )Чо1(Р, в), П е )Су1е +

.=1 1 = N1+1 j€J| у/пу-

N

+Ё| Ф0(в)О1(Р, в)С Ов +

.=1 О,

N

+11 [рО(в )(аУо\Р, в), Пв) -ФГв)о\ Р, в) ] суве +

/=1 у

+Ё1 Ов, о1(Рв)сгчв +Ё1 ^(лв)^, 2в. (13)

11 г,1 ал(в) ,2 г, 2 ¡12(в)

Граничные значения функции и О (в) находятся как решение системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода:

иО(Р) - Ё Ё 1 и О (в )((а--а )Чо1(Р, в), Пв )СУв =

1=N1 +ljеJ¡ упу-

1 N

2jW(P) + Ei F*(Q)G\P, Q)d Wq

+

і=1 n,

N _

+Ei(jW(Q )(S-VG1( P, Q), nQ) -fW(Q )G 1(P, Q)) dgQ +

i=1 r

+E i fQ Gl(p, Q)dG1Q+E i bWQ)(S2VGl(P,Q),n)dr,2Q, (14)

11 r„ al1(Q) 12 r,2 ß2 (Q)

где Р е у,,, е Jk, к = N1 + 1, N , в е у, - е ^ ,. = N1 +1, N.

В (13) и (14) Пв - вектор внешней нормали в точке в , направленный на внутренних границах у в среду с меньшим, чем / номером.

Функция Грина вмещающего пространства -есть решение задачи с меньшим, чем N числом N1 кусочно-анизотропных подобластей:

div(s^G) (P, Q)) - Kß) (P, Q) = -d(P - Q), P(x,y,z)eQ;, i = 1,Nj, Nj < N, (15)

K = a + cob,2 + o2c,2;

і і

G(P, Q) - G) (P, Q) I n = 0,

i 1 g Ir

(SVG1(P,Q),n)-(sVG1(P,Q),n)| = 0 ,i =1,N1,1 є (16)

'гІІГ,

a (P)(s VG1 (P, Q), n) - ßt (P) G1 (P, Q)

Per,

= 0

а (р)+ь ( р) ф 0,

I = 11,/2/к1, к1 <к < N1; (17)

0,(Р, в) ® 0, Р , т = т1, т2тп1, п1 < п < N1 . (18)

Отметим, что задача (15)—(18) для функции Грина аналогична задаче (9)—(12), но имеет более простой вид. Для ее решения снова может быть применен метод интегральных представлений и интегральных уравнений, в котором вторая функция Грина будет строиться для области с количеством подобластей ^ < N, а расчетные формулы также будут вида (13)—(14).

Таким образом, алгоритм позволяет варьировать вмещающее пространство от исходного сложно-построенного (N1 = N) до однородного (N = 1).

Понижение возможно осуществить до такого Nr (Nr <... <N2 < N < N), для которого задача для функции Грина будет иметь решение аналитическое или программно реализованное численное (табл.).

G\P,Q) = E E i G1(Q,Q)((Sj-st)VG2(P,Q),n)dgiQ + G2(P,Q)

i=N2 +1jeJ, g,

N1

G'(P,Q)- E E J GKO?,Q)((Sj-Si)VG2(P,Q),nQ)dy& = G2(P,Q):

i= N2 rngj

(19)

(20)

P є g;, l є Jk, k = N2 +1, N1 , Q eg/, 1Є J , І = N2 +1, N1

Таблица

Алгоритм

№ шага Глубина рекурсии Количество подобластей в О Искомая функция Уровень задачи

0 0 N V (Р ) Исходная задача

1 0 N V Ш(Р) Семейство задач в пространстве образов

2 1 N1 (N. < N) Р, в)

3 2 N2(^ <^) О 2( Р, в)

4 3 N3(N3 <N2) О 3( Р, в)

г +1

N..(Nr < Nr-1)

Ог (Р, в)

Наличие аналитического или численного решения

г

Итак, для решения задачи (3)-(7) с помощью интегрального преобразования Лапласа следует перейти в пространство образов - к параметрическому семейству краевых задач (9)—(12).

В прямом ходе алгоритма решения задач (9)-(12) на каждом рекуррентном шаге:

- производится выбор подобластей, которые будут считаться включениями (по внутренним границам которых будут сформированы интегральные уравнения);

- формулируется вспомогательная (более простого вида) задача для функции Грина во вмещающем пространстве без включений вида (15)—(18);

- строится интегральное представление вида (13) (для первого шага) или (19) (для последующих шагов);

- формируется система интегральных уравнений вида (14) (для первого шага) или (20) (для последующих шагов).

Обратный ход алгоритма заключается в вычислении искомой функции иО(Р), которая с соответствующими квадратурными коэффициентами войдет в квадратурную формулу обратного преобразования Лапласа (8) [7].

С другой стороны, рекуррентный алгоритм позволяет усложнять математическую модель, т. к. область, для которой получено решение прямой задачи, может быть принята за вмещающее пространство более сложной области, т.е. математическая модель может быть дополнена новым включением (новой подобластью О„+1) со своими физическими параметрами и, следовательно, своими

ОN+1, а^1, ЪN+1, СN+1 . К новой задаче применимы аналогичные формулы.

Формулы (13)—(14) упрощаются для ряда частных случаев: при наличии однородных граничных условий вида (4), когда р(Р, г) = 0 и

ф(Р, г) = 0 и/или (5) при у(Р, г) = 0; в присутствии точечного источника поля в точке Ае О интенсивности I(г), т.е. когда /(Р,г) = I(г) д(Р-А);

при нулевых начальных условиях

Т (Р) = 0, д (Р) = 0, которые возникают также при

формулировании задач для возмущений поля - отклонений от заданного распределения при нулевых начальных возмущениях.

Для прямых задач о распространении физических полей в кусочно-анизотропных средах, математическая модель которых задается начальнокраевой задачей параболического типа, алгоритм и расчетные формулы (13)—(14) и (19)—(20) будут иметь место. В них следует положить коэффициенты с. = 0,1 = 1, N. Это изменит функции

ФО(Р) = ъ2т(Р) + /°(Р) - в них исчезнет зависимость от скорости физической величины в начальный момент времени - функции д(Р) . Коэффициенты к в подобластях О. в задачах (9)—(12) и

(15)—(18) при этом будут иметь вид к = а 1 + ОЪ1.

Как частный случай могут быть получены формулы расчета стационарных полей в кусочноанизотропных средах, выведенные в части I статьи, если в формулах (13) и (14) положить

Ъ. = 0, с. = 0, / = 1#.

Более того, если математическая модель задачи распространения физического поля в кусочноанизотропной среде с симметричными тензорами представлена начально-краевой задачей смешанного типа, т.е. когда расчетная область О разбивается на три группы подобластей, в первой из которых тип уравнений эллиптический, во второй - параболический, а в третьей - гиперболический, то приведенные алгоритм и расчетные формулы остаются верными. В этом случае необходимо обнулить в каждой подобласти О свой набор коэффициентов а , Ъ , С .

Заключение

Рассмотрен класс математических моделей, представляемых краевыми задачами математической физики с уравнениями параболического и гиперболического типа, описывающих различные по

своей природе нестационарные физические поля в кусочно-анизотропных средах с симметричными тензорами среды в подобластях. Для их решения предложен подход, основанный на методах интегральных преобразований, интегральных представлений и интегральных уравнений, позволяющий построить рекуррентные алгоритмы и рекурсивные процедуры пересчета функций Грина с уменьшением количества подобластей.

Как частный случай получены расчетные формулы и алгоритмы для стационарных полей. Показана возможность использования алгоритма для задач смешанного типа.

Единство подхода к решению различных по типу задач и возможность распараллеливания процесса вычисления формул позволяют построить

единый программный комплекс для многопроцессорных вычислительных систем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Интерпретация данных сейсморазведки: справочник / Под ред. О. А. Потапова. М.: Недра, 1990. 448 с.

2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. 512 с.

3. Жданов М. С. Электроразведка. М.: Недра, 1986. 316 с.

4. Кризский В. Н. // Дифференциальные уравнения и смежные вопросы. Уфа: Гилем, 2008. Т. 3. С. 219-225.

5. Кризский В. Н. О способе вычисления физических полей в кусочно-анизотропных средах. Часть I. Стационарные поля // Вестник Башкирского университета. Т. 14. №3. С. 726-730.

6. Деч Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа и 7-преобразования. М.: Наука, 1971. 288 с.

7. Крылов В. И., Шульгина Л. Т. Справочная книга по численному интегрированию. М.: Наука, 1966. 370 с.

Поступила в редакцию 04.12.2008 г.