О способе вычисления физических полей в кусочно-анизотропных средах. Часть I. стационарные поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.63

раздел МАТЕМАТИКА

О СПОСОБЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В КУСОЧНО-АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ.

ЧАСТЬ I. СТАЦИОНАРНЫЕ ПОЛЯ

© В. Н. Кризский

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450074 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел./факс: +7 (34 7) 273 6 7 78.

E-mail: [email protected]

На основе методов интегральных представлений и интегральных уравнений строятся рекуррентные алгоритмы решения прямых трехмерных задач о физических полях в кусочноанизотропных средах. Алгоритмы позволяют осуществлять пересчет функции Грина одной среды в функцию Грина другой, более простой, среды. Способ вычисления применим к задачам с уравнениями эллиптического, параболического, гиперболического и смешанного типов.

Ключевые слова: кусочно-анизотропная среда, метод интегральных представлений, алгоритм пересчета функции Грина.

Введение

Ряд стационарных физических процессов описываются скалярными или векторными полями, математические модели распространения которых

представляются в области исследования О С Е3 краевыми задачами для дифференциальных уравнений математической физики эллиптического типа вида:

Оу(7(Р) ■ Уи(Р)) - а(Р)и(Р) = -/(Р) (1)

Здесь /(Р) - функция интенсивности источников/стоков поля; <7(Р) - симметричный тензор, описывающий физические свойства среды; а(Р) -комплекснозначная функция, зависящая от т. Р = (х, у, 2) е О; и (Р) - искомая скалярная функция (функция потенциала в поле потенциальном или одна из компонент вектора-функции в поле векторном).

Будем считать в дальнейшем встречающиеся в задаче функции достаточно гладкими для использования формул интегральных представлений и интегральных уравнений.

Осуществим разбиение области О = и>г на подобласти О; с достаточно гладкими границами Si так, чтобы в каждой из подобластей О; тензор <Г(Р) и функцию а(Р) можно было бы с некоторой степенью точности принять постоянными:

s(P) = Si =

Количество подобластей N будет определяться задаваемой точностью аппроксимации.

В подобластях О; уравнение (1) преобразуется к виду:

СНъ • Щ (Р)) - аи (Р) = -/ (Р). (2)

S11 <N To i ^ s13

i s12 i s22 s2 3 , a(P) = a

То s2 3 s3 3 j

Его частными случаями являются: уравнение Гельмгольца / 7; е Е, а; Ф 0 /, описывающее монохроматические электро-магнитные поля (ЭМП) [1]; уравнение Пуассона или Лапласа / 7; е Е, а; = 0 /, к которым приводят задачи гравиметрии [2], электростатики, описываются распределения постоянных электрических и магнитных полей [1].

На участках Г. внешней границы г = IIМ Г

■ Ч-/j=\ ■

области О зададим граничные условия в общем случае третьего рода:

aj (P')(7j■ Уи. (Р), п)-/ (Р)и. (Р)| =у (Р),

Р ■

\а- (Р)| + / (Р)| ф 0,

которые при аа (Р) = 0 , (Р) Ф 0 образуют условия первого, а при а- (Р) Ф 0, (Р) = 0 - второго

рода. Здесь (7■ у и - (Р), П)- скалярное произведение - проекция вектора градиента функции, измененного тензором анизотропии поля, 7- Уи- (Р) на

направление внешнего вектора нормали к поверхности - П (т.е. плотность потока поля через границу).

На бесконечно удаленной границе неограниченной подобласти О - определим граничные условия - условия регулярности - в виде: и-(Р)®0 , при Р .

На границе контакта сред Si I Sj различных постоянных значений тензора 7(Р) зададим общие условия сопряжения четвертого рода:

и‘(Р) - и- (Р)1 п ^ =*(Р);

(7; Щ (Р),п) - (7. Уи. (Р), п)|^п = фг (Р)

со скачком поля и плотности потока. Если поле и плотность потока непрерывны на Si П Sj , то следует положить (р! (Р) = 0 и фi (Р) = 0 .

Стремление описать среду в кусочноанизотропном приближении детальнее влечет рост количества подобластей (величины N) и, следовательно, ведет к возрастанию сложности геометрии исследуемой области О в математической модели. Это, как правило, осложняет решение задачи и на практике приводит к моделированию полей в упрощенных по геометрии областях, не отражающих в полной мере среды реальные и процессы в них протекающие.

Опишем рекуррентный алгоритм пересчета функции Грина одной задачи в функцию Грина другой задачи с меньшим количеством подобластей N .

Подобный подход, но в плоском случае для уравнений с оператором Лапласа и функцией Грина вида 0(Р,Q) = (2р)-11п(Я-д) был предложен в

работе [3]. Он получил свое продолжение на трехмерный кусочно-однородный случай для уравнений с оператором Лапласа и с функцией Грина, определяемой выбираемым вмещающим пространством, в работах [4, 5]. В [6] аналогичный способ использовался для решения прямых задач в изотропных кусочно-однородных средах.

В данной работе подход реализуется для стационарных эллиптических краевых задач в кусочно-анизотропных средах с операторами

■Чиі(Р))-аіиі (Р) с симметричными тензорами оі в подобластях.

Стационарное поле в кусочно-анизотропной среде

Рассмотрим кусочно-анизотропную область с внешней границей Г , состоящую из подобластей Пі , і = 1, N, заполненных однородными проводящими поле объемами с постоянными симметричными тензорами проводимости Оі. Пусть

«і - граница области пі. Si = у у Гі , где гі = « IГ -внешняя часть границы, и у = « \ Г( - внутренняя

часть границы. Если область Пі не имеет контакта с внешней границей Г , то Г і = 0 и « °у . Математическая модель распределения поля и(Р), Р(х, у, і) имеет вид:

<ііх>(&і уиі (Р)) - ар, (Р) = -/, (Р), Р є Пі, і = 1, N ; _

и. (Р) - р. (Р)| у = щ (Р^ (о; уиі (Р), п) - (о. Уи. (Р), п)| = ф, (P), і = I N,

ІуІ Iу 'уі Iу

.є ■Іі = {. І. =1 і-1; уIу. *0};

а (Р)(о Уи (Р), п)-Ьі (Р)и (Р)|РєГ = у (Р), а (Р)|+|А (р) * о,

і = і, і2ік, к < N ; ит (Р) ® 0, Р т = т1, т2тп, п < N

(3)

(4)

(5)

(6)

Здесь Ji - множество номеров подобластей О., граничащих с подобластью О; и имеющих меньшие номера, чем ^;2^ - номера подобластей О;, участки границ которых являются частью

внешней границы Г области О , т1, ш2mN -номера подобластей с участками границ, уходящи-

ми в бесконечность, п - вектор внешней нормали к границе области.

Рассмотрим вспомогательную задачу с меньшим или равным, чем в исходной задаче, числом кусочно-анизотропных подобластей N1 < N и с точечным источником единичной интенсивности, находящемся в произвольной точке Q(хд, уд, 2Ч)

области О :

Лу(оЩ(Р,в))-кв1(Р,в) = -5(Р -в), Р(х,у,7)є Пі, і = 1,N1, N1 < N ;

<3(Р, в) - Є (Р, 0І п = о,(о ЩЧР, в),п) - (о. уа] (Р,в),п)| = о, і=. є з

. У [\у. 1Уі (ІУ

аі(Р)(оУа1(р,в),п)-ь(Р)в}(р,в)\ Г = о , |а(Р)|+|д(Р)*0,

ірєгі

і = і1,і2ік1, к1 <к < N1 а1т(Р,в) ® 0, Р , т = т1,т2тп1, п1 < п < N .

(7)

(8)

(9)

(10)

Краевая задача (7)—(10) определяет функцию Без ограничения общности рассуждений будем

Грина в области О для задачи с уравнениями эл- считать, что функция Грина G1(P, Q) определяется в

липтического типа с оператором „ ,г _ „ о

г _ _ г г среде, состоящей из первых N. подобластей О,.

Н \ и, (Р)! °Су(7УД, (Р)) - к и, (Р), К = а, . ^ ЛГ ЛГ ,,,

- 'л у : . .у ; г г Если N = N, то решение задачи (3)-(6) имеет вид:

N. N

и (Р) = (Q)G1(P,Q)CОiQ + X |(рШ7,УО\Р,Q),п)-$.©)0'(Р,Q))dУiQ +

;=1 О1

Г:

+Х I Уl(Q) G1(P, Q)dГ;1Q +Х I ^^(72 Уа‘(Р, Q), п)Сг,

£г!, ал©) ^ ЪГ12 р1 т 2Q

где /1 - номера участков внешней границы Г , на которых заданы условия второго или третьего рода при ал (Р) Ф 0, а /2 - номера участков внешней границы Г, на которых заданы условия первого рода (при а, 2 (Р) = 0, / 2 (Р) Ф 0).

Если N. < N, то рассмотрим для каждой подобласти О;, ; = 1, N формулу Остроградского, справедливую для симметричных тензоров 7; :

| (V ^)Н [и, (Q)]- и,(Q)H [V (Q)]) С О;.е = | (V (Q)(7І УД (Q), п) - и, 0(7, У (Q), п)) CSi.e (11}

О я,

Подставив в (11) вместо функции V((2) функцию Грина G1(Р, Q) , определяемую решением граничной задачи (7)-(10), получим интегральное представление Грина решения краевой задачи (3)-(6) в области О;:

УД(Р) = 11 (Q)Gl(P,Q)dО.iв +1 [Gl(P,Q)(7iЩ (Q),п) - и,(Q)(7,Ус‘(Р,Q),п)]Су^ + где

У,

(1, Р е О, \ Si

У = ^1/2, Р е S,, . (12

+1 (0\Р, а)(71Уи1 ^Хп) - и; (Q)(7iУGl(P,Q),п)) СГ :

11 1 ; е 10, Р <£ О, и Si

Интеграл в (12) по участку внешней границы (если Г, Ф 0 ) в силу граничных условий (5) и (9) может быть преобразован:

| [01(Р,Q)(7,Уд.(Q),п) - д.(Q)(7,УG1 (Р,Q),п)]dГiQ =

|Уi(Q) G1(p, Q)d Г, Q, а, (Q) Ф 0

Г, а ^) Q

^/Q|(7,VG1(P,Q),п)dГ,Q, а,^ = 0

г. Р,(Q)

Если же Г; =0 , то данный интеграл в формуле (12) отсутствует. Если Г, - есть участок бесконечно удаленной внешней границы, то из условий (6), (10) данный интеграл равен нулю.

Просуммировав формулы (12) по ; от 1 до N , получим:

‘■iQ +

ТуД>(Р) = XI />(&)^(Р,Q)Со,

:=1 ,=1 О,

N. _ _

+ Х|[ G1( Р, Q )(7, УД, (Q), п ) - и, (Q )(7, УG1(P, Q), п) ] Су +

, = 1 у

N \ - - л (13)

+ X |[G1(Р,Q)(7,-Уи,(Q),П)-и1 (Q)(7ІVG1(P,Q),п))Суь +

У1 +1у,

+х I yl(Q)G1(P, д)СГ1ю +Х I У/2° (7/2 УG1(P, б), п)Сг2„

Vг|1 ап(д) К /1в £г|2 Р1 г(Я) 26

О

Г

Здесь /1 - номера участков внешней границы Г, на которых заданы условия второго или третьего рода, а / 2 - номера участков внешней границы, на которых заданы условия первого рода.

С учетом граничных условий (4) и (8) в (13) преобразуются суммы:

£| (о\р, в)(о Уи, (в), п) - иі (в)(Оі Уо\Р, в), п)) у =

і=1 у

N1 _

= £ I (ъ (в)(о УС1 (Р, в), п) - ф (ва (Р, в)) Лув;

і = 1 у

N ___ _

£ |[о\р,в)(оУи(в),п)-и1(в)(оУа1(Р,в),п))у =

і = N1 +1у

N _ )

= £ ДЖв)(оУС‘(Р,в),пв)-ф(в)С‘(Р,в) Iу +

і= N1 +1у

+ £ £ | и(в)((о.-о)Уа1(р,в),пв^Ув ■

і= ІЇ1 +1є3і упу

Здесь пв - вектор внешней нормали в точке в ,

направленный на внутренних границах у в среду с меньшим, чем номером.

Таким образом, в области П получим интегральное представление решения задачи (3)-(6), из которого следует, что решение исходной задачи (3)-(6) может быть получено в любой точке Р кусочно-анизотропной области П , если будет определено решение задачи (7)—(10) - функция Грина а1(Р,в) и будут известны граничные значения потенциала на внутренних границах подобластей, не вошедших в задачу для функции Грина.

Опуская в (14) точку Р на каждую из таких границ и учитывая первое условие (4), получим систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода относительно неизвестных граничных значений потенциала вида:

£у,и, (Р) = £ £ | и (в )((о.-о )Уа1(Р, в), пв) луіо + £ | Г, (в )С1( р, в)^

і=1 і=И-1 +1 jєJl упу.

+

і=1

N _

-£Ди(Є )(оУС1( р, в), п в)-ф(в )аЧР, в)) у

1 у

+£ I Е/іМа1(р, в)^г/1в +£ I л г{ а„(в) /1в ^

+ £| 2У&(Р,в),«)*Г/2в

/ 2 г,, Р/ 2 (в)

(14)

и (р) - ££ I и (в )((о.-о )ус‘(р, є ), пв ша

і=Щ +. є3і упу.

1 N

=- 2 ъ(Р)+£| £ (в)с\р, в)^ +

і=1 Пі

+£ I [ ъ (в )(о УС1 (Р, в), п в) - ф (в а (р, в) I у +

і — 1 у

+£ іЕ-іМсі(р,є^г11Є +£ | У/2(в) (о,2Уа^р,в),п)^г, игІ1 а^в) /1в п г|2 Р12(в) /2 '

Здесь Р є у, / є 3к, к = N +1, N , в є у, . є 3 , і = N +1, N.

к

Из процедуры формирования системы интегральных уравнений (15) видно, что введение функции Г рина, связанной с исходной постановкой задачи (как решение задачи (7)—(10)), определяет границы, по которым ищется поле в интегральных уравнениях. Это границы, присутствующие в исходной задаче (3)-(6) и отсутствующие в задаче для функции Грина.

Отметим, что задача (7)—(10) для функции Грина аналогична исходной задаче, но имеет более простой вид. В ней граничные условия - однородны, а число кусочно-однородных подобластей N.

меньшее, чем в исходной задаче (N. < N). Следовательно, для решения задачи (7)—(10) снова может

(15)

■ ’

быть применен описанный метод интегральных представлений и интегральных уравнений, в котором вторая функция Грина будет строиться для области с количеством подобластей Ы2 < N., а расчетные формулы также будут вида (14), (15).

Таким образом, алгоритм позволяет варьировать вмещающее пространство от исходного сложно-построенного (N. = N) до однородного

(N. = 1). Понижение возможно осуществить до такого Ыг (Ыг <... <N < N. < N ), для которого задача для функции Грина будет иметь решение аналитическое или программно реализованное численное (табл.).

+

G\P,Q) = I I J Gl(Q,Q)((Sj - s, )VG2(P,Q),nQ)dу + G2(P,Q)

l=n2 +1 _/єJ, упу. N1

G\P,Q) - I I J Gl(Q,Q)((Sj -s,)VG2(P,Q),nQ)driQ = G2(P,Q) =

l= N2 +1 /є J i упу.

p є у,,l є Jk> k = N2 +1 ni , Q є у/, J є Ji, i = N2 +1, N1.

Алгоритм

(16)

(1 ?)

Таблица

№ шага Глубина рекурсии Количество подобластей в О Искомая функция Уровень задачи

0 0 N U(P) Исходная задача

1 1 N1 (N1 < N) G1(P,Q)

2 2 N2 ( N2 < N1 ) G 2( P, Q)

З З Nз( N < N2) G 3(P, Q)

r r Nr (Nr < Nr-1) Gr (P, Q) Наличие аналитического или численного решения

В прямом ходе алгоритма на каждом рекуррентном шаге:

1) производится выбор подобластей, которые будут считаться включениями (по внутренним границам которых будут сформированы интегральные уравнения);

2) формулируется вспомогательная (более простого вида) задача для функции Грина во вмещающем пространстве без включений;

3) строится интегральное представление вида (14);

4) формируется система интегральных уравнений вида (15).

Обратный ход алгоритма заключается в вычислении искомой функции.

С другой стороны, предложенный алгоритм позволяет усложнять математическую модель, т. к. область, для которой получено решение прямой задачи, может быть принята за вмещающее пространство более сложной области, т. е. математическая модель может быть дополнена новым включением (новой подобластью WN+1) со своими физическими параметрами и, следовательно, своими sN+1, aN+1. К новой задаче применимы аналогичные интегральные формулы.

Формулы (14), (15) упрощаются для ряда частных случаев: при наличии однородных граничных условий вида (4), когда j (P) = 0 и f (P) = 0 , и/или (5), при y. (P) = 0; при точечном источнике

поля в точке A є О постоянной интенсивности

I = const, т.е. когда f(p) = і ,g(P - A).

Расчетные формулы (14), (15) остаются верными и для задач с операторами div(Sl VU, (P)). Для этого в задаче (З)-(6) следует положить a, = 0, i = 1, N . Более того, если это необходимо для исследователя, в ряде подобластей поле может подчиняться уравнениям с оператором

Су(71 • УД; (Р)) - а;и; (Р), а в остальных - уравнениям с оператором ау(7; • УД, (Р)).

Если предположить, что тензоры есть матрицы диагональные с одинаковыми значениями компонент диагонали, т.е. что среда кусочно-однородна, то формулы (14), (15) порождают соответствующие формулы работ [6-5]. В [5] для ряда частных случаев изложенный алгоритм апробирован численно на задачах геоэлектрики.

Заключение Рассмотрен класс математических моделей, представляемых краевыми задачами математической физики с уравнениями эллиптического типа, описывающими различные по своей природе стационарные физические поля в кусочноанизотропных средах с симметричными тензорами среды в подобластях. Для их решения предложен подход, основанный на методах интегральных представлений и интегральных уравнений, позволяющий построить рекуррентные алгоритмы и рекурсивные процедуры пересчета функций Грина с уменьшением количества подобластей.

Алгоритмы распараллеливаются, что существенно при решении прямых и особенно обратных вариационных (на основе прямых) задач высокой вычислительной трудоемкости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Жданов М. С. Электроразведка. М.: Недра, 1986. 316 с.

2. Алексидзе М. А. Приближенные методы решения прямых и обратных задач гравиметрии. М.: Наука, 1987. 336 с.

3. Бобрик А. Н., Михайлов В. Н. // ЖВМиМФ. 1974. №1. С. 126-134.

4. Иванов В. Т., Масютина М. С. Методы решения прямых и обратных задач электрокаротажа. М.: Наука, 1983. 144 с.

5. Кризский В. Н. Математическое моделирование потенциальных геоэлектрических полей: дисс. ... д-ра физ.-мат. наук. Стерлитамак, 2004. 350 с.

6. Кризский В. Н. // Дифференциальные уравнения и смежные вопросы. Уфа: Гилем, 2008. Т. 3. С. 219-225.

Поступила в редакцию 28.01.2009 г.