Пылевой тор. IV: Исследование огибающей поверхности семейства траекторий изотропно выброшенных частиц с учетом движения узлов и перицентров Текст научной статьи по специальности «Физика»

2006_ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_Сер. 1_Вып. 3

АСТРОНОМИЯ

УДК 521.1:514.122.2:514.752.6 С. А. Орлов ПЫЛЕВОЙ ТОР

IV: Исследование огибающей поверхности семейства траекторий изотропно выброшенных частиц с учетом движения узлов и перицентров*

Введение. Падение метеоритов на малый спутник типа Фобоса приводит к выбросу в космос массы реголита, во много раз превосходящей массу ударника. Ограничимся рассмотрением относительно крупных частиц с массами более 10-7 г. Поведение более мелких в значительной степени определяется электромагнитным взаимодействием, фотонным и корпускулярным солнечным излучением и магнитным полем планеты. Пусть в момент ¿о произошел изотропный выброс со скоростями, меньшими максимально возможной Ь. В силу неравенства орбитальных периодов траектории частиц плотно заполнят некоторую область П. Через 1-3 месяца долготы узлов и перицентров распределятся по окружности, область П станет телом вращения П3, топологическим полноторием. Та же самая область П3 заполняется, если спутник претерпевает многократные бомбардировки метеоритами, а также при взрыве ИСЗ, находящегося на высокой круговой орбите.

Объектом исследования является область П3 или, что то же, область П , представляющая собой сечение П3 полуплоскостью хх, х > 0. Рассматривается задача о получении границы Б области П2. Ранее были выведены явные уравнения кривых Бп, объединение которых содержит в себе Б. Эти уравнения удалось получить в явном виде. В данной, заключительной статье серии исследуются кривые Бп, конструируется граница Б и исследуются ее свойства.

Ранее полученные сведения. Граница Б области П2 содержится в объединении множества особенностей Б некоторого отображения Ф. Как было показано в [1], Б состоит из одиннадцати объектов Бп, п = 0 + 10. Девять из них определяются своими

*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-02-17408), программы Университеты России (грант №УР.02.01.301) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-4929.2006.2). © С. А. Орлов, 2006

концевыми точками

BA 1-

-с\ 1 -

4 '

В, 1 -

с\ 1 -

в/ 1

VIT?' vTTcv'

B7

Во

vit?' а/тт?л

(1 - с2)3/2 с(1 - с2)

В4

Вб

В8

(1

1 - 2с - с2 '

л/ТТ? с

1-е2 :

VIT?

1 с2

л/ТТ? -сл/Г+с3

1-е2 ' 1-е2

1 + с2

1 + с2

Bw(Vl- с2, с),

В

11

(1 - с2)3/2 -с(1 - с2)

1 + с2

1 + с2

В

12

(vTT

с2, —с

Здесь постоянная с равна отношению скорости выброса b к круговой скорости спутника. Расстояние от планеты до спутника принято за единицу. Считаем с < со = л/2 — 1, что равносильно эллиптичности орбит всех выброшенных частиц.

Рассмотрим эти кривые (рис. 1, 2).

50, S6, Sg —дуги В1В2, В12В10, В7В5 окружности Г единичного радиуса с центром в начале координат.

51, S2, S3, S4, S5 —отрезки В3В4, В5В6, В7В8, В9В10, В11В12.

S10 —дуга В8Вб окружности Г* радиуса (1 + с2)/(1 - с2) с центром в начале координат.

Кривая S7 задается параметрическими уравнениями

h1n , ■ о\ h1 ü

x = —(l + csmfcM, 2 = —с cos 0,

hh

(1)

2

2

2

2

с

с

с

2

4

2

1

с

Рис. 1. Общий вид кривых Я„('п = 0 -г 10) при с = 0.3. Пунктиром выделены области, приведенные на рис. 2.

5

2

3

4

0.36 0.34 0.32 0.3 0.28 0.26 0.24

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15

-0.24 -0.26 -0.28 -0.3 -0.32 -0.34 -0.36

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15

Рис. 2. Вид кривых в окрестности Б\ и В2 при с = 0.3. Из-за разных масштабов по осям х, z углы искажаются. Поэтому не видно, что Г и 54 пересекаются под прямым углом.

где

к = 1 - 2свтв - с2, Ъл = у/1 + 2сётв + с2,

угол в меняется от 0 до 2п.

Сложнее всего определяется последнее из входящих в Б множество Б8. Его прообраз на сфере параметров 82 задается уравнением Ё(в, X) = 0, найденным в [1]. Оказывается, ¥ содержит отделенный от нуля множитель А2.

Дадим здесь новый вывод, получив сразу ¥(в,Х) = Ё/А2. Согласно [1] параметры в, X на Б8 связаны соотношением

где

к = ±1,

кв = в!(в, X), (2)

ср (Бэт в эт X + в) — 2в2

~ 2с '

Здесь Р = А2, в — параметр и эксцентриситет орбиты частицы, выброшенной в направлении, задаваемом точкой (в, X) € 82. Уравнение (2) равносильно

4e2 = [cA2 (3 sin в sin Л + c) - 2e2]2 4e2[1 - e2 + cA2(3sin в sin Л + c)] = c2A4 (3sin в sin Л + c). (3)

или

„2н „2 , , „м _ „2 а,,;. \ I

Согласно [1]

e2 = (A2 - 1)2 + c2A2 sin2 в cos2 Л, (4)

A2 = (1+ c sin в sin Л)2 + c2 cos2 в. (5)

Заменим e2 в квадратных скобках (3) его выражением (4) и сократим на A2. Получим

4e2[2 - A2 + c(3 sin в sin Л + c) - c2 sin2 в cos2 Л] = c2A2(3sin в sin Л + c)2.

Функция в квадратных скобках равна (1 + csin в sin Л). Заменяя e2,

A2

правыми

частями (4), (5) получим окончательно

F (в,Л)=0 (6)

при

F =sin2 в(4 + 3 sin2 Л) + 2c sin в sin Л[5 - sin2 в(2 - sin2 Л)] +

+c2 [3 - sin2 в (4 + sin2 Л) + sin4 вsin2 Л^2 Л] - (7)

-2c3 sin в sin Л(2 - sin2 в^2 Л) - c4(1 - sin2 вcos2 Л).

Параметрические уравнения Sg суть [1]

A A

х =--(1 + с sin 0 sin Л), z =--с eos в, (8)

1 + cf 1 + cf

причем в и Л связаны соотношением (6). Введенную в [1] функцию f легко представить в виде

2f = 3sin в sin Л + c(1 - 2sin2 в) - c2 sin в sin Л(3 - sin2 ecos2 Л) - c3(1 - sin2 ecos2 Л).

Из физических соображений равноправия севера и юга следует симметрия S относительно оси x. Это ясно и из представления Sn. Дуги So, Se, Sg, Sio и отрезок Si с очевидностью симметричны, как и объединения отрезков S2 |J S3 и S4 |J S5. Симметрия S7 и Sg следует из инвариантности A, h, hi,f,F относительно подстановки в —> п - в и формул (1), (8).

Исследование кривой S7. Установим следующие свойства S7.

• Кривая S7 является замкнутой, ограниченной и симметричной относительно оси x.

• Кривая S7 — аналитическая, без особых точек.

В доказательстве нуждается лишь последнее утверждение. Рассмотрим производные

¿х сЛ-2 ¿г с кз

(9)

¿в h2hi' ¿в h2hi' где

h2 = cos в(4 + 5c sin в + c2(1 - 2sin2 в) - 3c3 sin в - c4),

h3 = sin в(-1 - 3csin в + 2c2(sin2 в + 1) + 3c3 sin в + c4) + 3c + c3.

Отметим, что h| + h§ = K^h4, где h4 = (c + sin в)2Ь2 + 16 cos2 в. Поэтому

dx\2 {dz \2 c2 h4 .

(10)

Рассмотрим функции h и h-4 на цилиндре (c, в) G [0, co] x S1, где S1 —единичная окружность, в G [0, 2п) :

h ^ 0 при c G [0, co]; h =1 при c = 0;

h = 0 в точке (co, п/2) и только в ней.

Первое слагаемое у h-4 равно нулю в точке (co,n/2) и при sin в = -c, второе — только при в = ±п/2. Поэтому h-4 обращается в нуль только в одной точке— (co,n/2). В остальных точках цилиндра h-4 > 0.

Таким образом, при фиксированном c < co функции h, h.4 ограничены и отделены от нуля.

Найдем границы тригонометрических многочленов h и h.4. Очевидно,

1 - 2c - c2 < h < 1 + 2c - c2.

Пусть sin2 в < 4c2, cos2 в > 1 - 4c2. Тогда при c < co

0 + 16(1 - 4c2) < h4 < 9c2(1 + 2c - c2)2 + 16. (11)

Пусть sin2 в > 4c2, cos2 в < 1 - 4c2. Тогда при c < co

c2(1 - 2c - c2)2 +0 < h4 < (1 + c)2(1 +2c - c2)2 + 16(1 - 4c2). (12)

Очевидно, левая часть (12) меньше левой части (11). Разность же правых частей (11) и (12) меняет знак. Окончательно,

c2(1 - 2c - c2)2 < h4 < max{16 + 9c2(1 + 2c - c2)2, (1 + c)2(1 + 2c - c2)2 + 16(1 - 4c2)}. Величины h-4 и h одновременно обращаются в нуль в точке (co,п/2), причем

ki > (c + sin^2

к2

что отделено от нуля при любом с ^ 0 в окрестности значения в = п/2. Поэтому ¿х\2 { 3,г\2 „ п

del +{Те при

Это легко объяснимо — точке (со, п/2) отвечает параболическая орбита; кривая Б7 размыкается при с = со; х, г ^ж при с ^ со,в ^ п/2.

Кривизна S7. Воспользуемся формулой [2] для кривизны плоской кривой

т _ » d> z ММ2

dz d2x ММ2

dx\ 2 f dz^ 2 M ) + \M

(13)

считаемой положительной при вращении вектора скорости против часовой стрелки. В согласии с (10) второй множитель есть c-3hf6hA'3/'2, тогда как первый равен -c2h-3h-2h5, где

h5 = 4 + c(20 sin в - 7 sin3 в)+ c2 (12 + 3 sin2 в - 2 sin4 в) + 7c3 (sin в - sin3 в)+ + c4(1 - 9 sin2 в) - 5c5 sin в - c6.

Окончательно,

K = -

h3

ch12h43/2

h5.

Ограниченность тригонометрического многочлена h5j очевидна. Оценим h5j снизу: min(20siné> - 7sin3 в) = >

o

min(sin в - sin3 в) = -

За/З'

Нъ > 4 - — + 12с2 - - 8с4 - 5с5 - с6. 3 3а/3

Правая часть убывает вместе с с, так что можно положить с = со и получить > 0.043. Таким образом, кривизна ограничена и отделена от нуля при 0 < с < со, следовательно, кривая Б7 есть выпуклый овал без точек выпрямления. Так как К < 0, кривая Б7 проходится по часовой стрелке. При с ^ 0 кривая стягивается в точку, поэтому К ^ —ж при с ^ 0.

Взаимное расположение кривых. Определим взаимное расположение Б7 и Бп (без Бэ). Запишем уравнения (1) в виде

а/1 + 2с sin 0 + с2 а/1 + 2с sin в + с2 х=—-;-:-;-— (l + CSiné>), z = —-;-:-;-— CCOSO.

1 2c sin в c2

1 2c sin в c2

Исследуем отношение z/x:

z x

cos в

1 + c sin в'

d М

-c(c + sin в) (1 + csin в)2

(14)

(15)

Функция х/х экстремальна при эш^ = —с, сов в = ±а/Г—с2, так что 5\ заключена между лучами Ь\ и ¿2 с уравнениями

z x

а/Г^2

z x

а/Г^2

c

c

и

соответственно. Лучи Ь\ и ¿2 имеют с Б7 ровно по одной общей точке В11 (в = п + агсвтс) и Вд (в = — агсвтс). В точках экстремума функции г/х выполняется равенство

г ¿г х ¿х

Кривая Б7 заключена между лучами ¿1 и ¿2, которых она касается в точках Вц и Вд (рис. 3).

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рис. 3. Лучи Li и L2, ограничивающие S, при c = 0.3.

Найдем точки Б7 на оси х. Достаточно найти в из уравнения г = 0, где г определяется вторым из уравнений (14). Получаем два значения параметра в1 = п/2; в2 = —п/2, которым отвечают точки Вз и В4. Найдем точки Б7 на единичной окружности Г, для чего нужно решить вытекающее из (14) уравнение

1 + 2csiné> + с2 1 — 2c sin в — c2

1

sin в = —.

2

Получаем ровно две точки: В1(в = п + агсвт(с/2)) и В2(в = — агсвш(с/2)). Заметим, что

Bio, B2, B5, B7, Bi, B12 принадлежат Г. Точки Bi и B2 являются точками пересечения So и S7, т. к. Г пересекает Li и L2 под прямым углом. Нетрудно заметить, что на Г точки B7 и B5 расположены между точками Bi и B2, следовательно, они лежат внутри S7, а Bio и Bi2 —вне S7.

Найдем точки S7 на окружности Г*, для чего нужно решить вытекающее из (14) уравнение

1 + 2с sin в + c2 1 + c2

-77 = -77 ==>• siné> = 0.

1 — 2c sin в — c2 1 — c2

Получаем ровно две точки Ba(e = 0) и Bs(e = п). Итак, вне S7 лежат следующие части кривых Sn (не считая Ss): касающийся S7 отрезок BgBio и перпендикулярная ему дуга BioB2 окружности Г, а также симметричные им отрезок BiiBi2 и дуга Bi2Bi (рис. 2).

Исследование множества Ss. Функция F из (6) существенно упрощается после замены переменных

sin в cos Л = cos t sin l,

sin в sin Л = sin t, (16)

cos в = cos t cos l,

равносильной повороту сферы параметров S2, при котором оси координат переходят друг в друга по правилу x 1—> y, y ——> z, z 1—> x (полагаем t широтой, —п/2 ^ t ^ п/2). Не меняя обозначения F в новых переменных, получим

F = (1 + cs)[(4 + 3s2) + cs(2 — s2) — c2(1 + 2s2) — c3s]+cos2 l cos21(2 — sc — c2)2,

где s = sin t. Поэтому (6) равносильно

cos21 = (; + <*)** (17)

cos2 t(2 — sc — c2)2 v 7

sin21 = 2.%+')hr 2.2, (18)

cos21(2 — sc — c2)2

где

h6 = (4 + 3s2) + cs(2 — s2) — c2(1 + 2s2) — c3s, h7 = —7s — c(3 — 2s2) + 3c2s + c3.

При cost = 0, s = ±1 числители (17), (18) не равны нулю, так что в новых полюсах сферы параметров (t = ±п/2) функция F в нуль не обращается, что можно проверить и непосредственно. Функция 2 — cs — c2 отделена от нуля.

Необходимым и достаточным условием существования решений уравнения (6) является неотрицательность числителей (17), (18). Числитель (18) имеет в промежутке [—1,1] два корня:

7 - Зс2 - а/49 - 18с2 + с4

si = —с, so = -.

' 4с

Оба корня отрицательны, причем

3 7 - Зс2 - yj49 - 18с2 + §с4 7 - Зс2 - ^49 - 21с2 + fe4 3

138

491

--с = -1- < So < -1- =--с.

7 4с 2 4с 8

Таким образом, s необходимо должно изменяться в пределах

si < s < s2. (19)

При si ^ s ^ 0 числитель (17) оценивается снизу величиной (1 — с2)[4 — 2с2 — с2(1 + 2с2)]>0. Таким образом, (19) представляет собой промежуток изменения s. Каждому значению s G (si,s2) отвечает одно значение t и четыре значения l. Каждой из граничных точек si, s2 отвечают два значения l = 0, l = п.

Подставляя (16)-(18) в (8), получим параметрические уравнения Sg

x = VTT^s, Z = ±n Сл/Гб ,, (20)

2 — cs — с2

где s изменяется в промежутке (19). Итак, получены явные параметрические уравнения Sg. Изучим их свойства.

1. Мы уже знаем, что he положительна и отделена от нуля на [si, s2]. Поэтому два знака в (20) определяют две непересекающиеся симметричные ветви Sg. Не умаляя общности, оставляем в (20) знак «плюс», отвечающий верхней части Sg множества Sg. Вычислим производные:

dx с dz chg

ds ~ 2аДТ cs ' ds 2(2 — cs — c^Y^/hQ1

где

hg = (c + s)(12 — 6cs — c2(6 — s2) + 2c3 s + c4).

При si < s ^ s2 функция hg положительна, hg(si) = 0. Поэтому согласно (21) x и z возрастают в промежутке [si,s2], и соответствующая кривая Sg идет слева направо и снизу вверх, горизонтально при s = si.

2. Согласно (17)

(1 + cs)h& 2,

< cos t,

поэтому

(2 - sc - c2)2

г V c h6 c2(1 - s2)

xJ ~ (2 — cs — c2)2(l + cs) ^ (1 + cs)2 '

Правая часть убывает с ростом с, так что полагая s = —с, получим

х

Кривая Sg лежит ниже луча L2. 3. Левая нижняя точка Sg отвечает s = -c и совпадает с B10. На Sg лежит и симметричная точка B12. Правая верхняя точка B13 кривой Sg отвечает s = S2, sin l = 0, cos l = ±1. Покажем, что B13 G S*, где S7 —верхняя часть S7.

На S7 согласно [1] cos Л = 0, sin Л = ±1, поэтому в силу (16) sin в = ± sin t. На Sg всегда sin t < 0, на S1* от B9 до B6 по доказанному sin в < 0. Поэтому в общих точках S* и Sg будет sin в = s. Приравнивая декартовы координаты (14) и (20) точек соответствующих кривых, получим два уравнения относительно одной неизвестной s:

л/1 + 2cs + с2

(1 +cs) = а/Г+.

1 - 2cs - c2 \/ (i + 2cs + c2)(i — s2) уад

1 - 2cs - c2 Первое из них приводится к виду

2 — cs — c2

22

(1 + 2cs + c2)(1 + cs) = (1 - 2cs - c2)

(24)

что равносильно h^(s) = 0. Это уравнение имеет единственный на [-1,1] и уже известный нам корень s2. Остается проверить справедливость второго из уравнений (23) при s = s2. При этом значении аргумента согласно (18), sin2 l = 0 поэтому согласно (17)

h6(s) = (1 - s2)(2 - cs - c2)2/(1 + cs)

и второе из уравнений (23) принимает вид первого. Принадлежность В\з кривой S7 доказана. На S7 лежит и симметричная B13 точка B14. Вид кривой Sg приведен на рис. 4.

0.305

0.304

0.303

0.302 S8 ^ ^ B13

0.301 B10

0.3

0.299 S4 / 1 S6 / S7

0.95 0.96 0.97 0.98 0.99

Рис. 4. Вид кривой при с = 0.3.

Основной результат. Вид границы Б области П2 установлен. Ее верхняя часть состоит в порядке прохождения с ростом параметра в из дуги Б* от В3 до Вд, затем из отрезка ВдВю, касающегося Б** в точке Вд, затем из дуги Б* от Вю до В13, затем из дуги Б* от В13 до В4. Нижняя часть Б симметрична верхней.

Кривая й* имеет две угловые точки Вю и В12. В самом деле, угловой коэффициент отрезка 5\ в точке Вю равен с/а/1 — с2, а на кривой ¿>| в той же точке он равен нулю. Кривая Б аналитична во всех точках кроме Вю, В12, В13, В14.

Точки В13 и В14 не являются угловыми. Для доказательства этого рассмотрим следующие производные. В силу (9), (21)

dzi h.3 dxi h-2'

h8VT

dzr dx7

dxg 2

(2 — cs — c2)2a/7i6 '

_h.7hg_

— cs — c2)4 '

cs

где

h9 = 16s(—20 + 21s2) + 16c(—36 - 25s2 + 59s4) + 8c2s(-170 + 126s2 + 27s4) —

- 8c3(14 — 110s2 — 25s4 + 100s6) + c4s(1552 + 896s2 — 2152s4 + 249s6)+ + c5(480 + 1088s2 — 2664s4 + 839s6 + 45s8) —

— c6s(—40 + 2560s2 — 1157s4 — 313s6 + 32s8)+

+ c7( —136 — 1792s2 + 1099s4 + 867s6 — 222s8 + 4s10)+ + c8s(—600 + 1051s2 + 1221s4 — 665s6 + 32s8)+

+ c9(—56 + 773s2 + 889s4 — 1119s6 + 113s8) + c10s(295 + 251s2 — 1149s4 + 231s6)+ + c11 (41 — 63s2 — 727s4 + 301s6) + c12 s(—57 — 267s2 + 259s4)+ + c13 (—10 — 45s2 + 147s4) + c14s(1 + 53s2) + c15(1 + 11s2) + c16 s.

Как было показано ранее, = 0 при s = s2, а знаменатель в (25) в нуль не обращается. Доказано, что при s = s2 квадраты производных равны. На S7 очевидно cos в > 0, поэтому h-з > 0, h-2 > 0, так что знаки dz/dx для S7 и SS8 в точке B13 совпадают. То же можно сказать и о симметричной ей точке B14.

В приложениях данной задачи можно считать S совпадающей с S7, поскольку участки B9B10B13 кривой S8 и B9B2B13 кривой S7 очень близки (рис. 2), особенно при малых c. В последнем случае близки не только стягивающиеся в точку графики в плоскости (x — 1,z), но и остающиеся конечными графики в плоскости ((x — 1)/c, z/c), что будет показано в следующем разделе.

Случай малого c. При малых c можно воспользоваться рядами Маклорена по степеням c и получить существенное упрощение.

1. Кривая S7. Из (1) получаем с точностью до c2 для x и c3 для z

c2

х= 1 + 4csin6> + — (3+ 17sin2 в),

2 c2 (26) z = ccos6>[l + 3csin6»+ y(3 + 11 sin2 6»)].

Если пренебречь членами второго порядка, то (26) равносильны уравнению эллипса

(x — 1)2 z2 , ч

с полуосями 4c и c (рис. 5).

В этом приближении точки Bq, B2, B5, B10, B13, Bq сливаются в одну вершину малой оси эллипса (1, с). Аналогичное слияние происходит в нижней вершине (1, —с). Кривые S4, S5, Sg стягиваются в две точки — вершины малой оси эллипса. Кривая S совпадает с S7.

Сохраняя члены второго порядка, сделаем замену переменных:

z

ж , Z

4с с

Уравнения (26) перейдут в

х' = sin 0 + с у sin2 Oj > z' = cos 0(1 + 3csin0). (28)

Выразим sin в через x', решая первое из уравнений (28) методом малого параметра

sin 0 = х' + с ( 3--ж'2 ] ==>• cos2 0=1— ж'2 + сх' ( — 6 Н--ж'2

8 / V 4

что позволяет получить из (28)

'2 '2 7 '3

z =1—ж--сх ,

4

что равносильно

ж' + ^сж'2^ +z'2 = 1. (29)

Приравнивая нулю один из квадратов в левой части, найдем экстремальные значения x', z'. В старых переменных zextr = ±с, xextr = 1 ± 4с + 10с2. 2. Кривая Sg. Поскольку вдоль Sg будет —с < s ^ (—3/8)с, величина s —первого порядка малости. Поэтому из (20) следует до с2 для x и с3 для z

1 ( 3s2 + 6cs + 3с2 N , ч

ж=1 + -С8, z = cií +---J. (30)

Сравним расположение S7 и Sg при x « 1, z > 0. Уравнения (26) при sin в = s, s ~ с перепишем в виде

ж7 = 1+ 4cs +^с2, Z7 = C(1_Y +3cs + ^c2^ . (31)

Обозначая левые части (30) через xg,zg, получим

7 3 с

xg — Ж7 = — — es — —с2, zg — zr = —(7s2 — 18cs — 9c2). (32)

2 2 8

При s = —(3/7)с обе разности обращаются в нуль. Это объясняется тем, что — (3/7)с отличается от s2 на величины третьего порядка:

3 4 3

so =--с н--с + . ..

2 7 343

С убыванием s обе разности убывают, обращаясь в 2с2, 2с3 соответственно при s = —с (на Sg это будет точка Bio).

Итак, (х8-х-?) —величина второго порядка малости, —г?) —третьего, что говорит о тесной близости Б7 и Б8. Столь же близки Б7 и Б4: Б4 максимально далеко от Б7 в точке В10, а далее приближается к ней, касаясь Б7 в точке Вд.

Свойство вложенности. Рассмотрим параметрические уравнения S7 как отображение цилиндра конечных размеров H = {с : 0 < с < со} х S1 на внутренность R кривой S7(co). Докажем, что это — биекция. Сначала разрешим уравнение (1) относительно £ = с eos 07 r¡ = csin0, предполагая известными x,z. Несмотря на сложный вид уравнений, они легко решаются с учетом соотношений для r =

1 + 2с sin в + с2 1 + 2п + £2 + п2

л/х2 + у2:

1 - 2с sin в - с2 1 - 2п - £2 - п2' Отсюда легко выразить £2 + п2 через п, после чего п, а затем £ находятся элементарно:

2п =

r - 1

г + 1

- (£2 + п2), £ =

r(r + 1)

п = 1 -

r(r + 1)

(33)

Величины с, 0(mod 2п) находятся однозначно по п Таким образом, исследуемое отображение взаимно однозначно. Поэтому кривые Б?(с) при разных с не пересекаются (точнее, не имеют общих точек). Семейство {Б?(с)} есть семейство вложенных друг в друга овалов, стягивающихся в точку при с ^ 0 и приближающихся к разомкнутой кривой при с ^ со (рис. 6).

Рис. 6. Вложенность ^(с) при различных с. Видно также, что So(c) сливаются в одну дугу единичной окружности.

2

2

5

2

3

4

Summary

S. A. Orlov. Dust torus. IV. Analysis of the enveloping surface of trajectories family of isotropic ejected particles with due account of nodes and pericenters motion.

Impacts of meteoroids on a small satellite lead to ejection into space a regolith mass being much greater than the mass of a projectile. Imaging that at an epoch t0 we observe an isotropic ejection with velocities lower in absolute value than a maximal possible b. Due to inequality of orbital periods fragments will fill densely a certain domain D3. In 1-3 months longitudes of nodes and pericenters will be distributed along a circumference and the domain D3 become a body of revolution, a topological solid torus. The research object is a domain D3, or that is the same, a domain D2, representing a section D3 by the half-plane xz,x > 0. The problem of the boundary S of the domain D2 determination is considered. Parametric equations of the curves S„, the union of which contains S, were derived in the closed form previously. At this final paper of the series metric and differential-geometric properties of curves Sn and S are established.

Литература

1. Орлов С. А., Холшевников К. В. Пылевой тор. III. Уравнения огибающей поверхности семейства траекторий изотропно выброшенных частиц с учетом движения узлов и перицентров // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 1 (№1). С. 112-119.

2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. СПб.: Лань, 1997.

Статья поступила в редакцию 13 апреля 2006 г.