Пылевой тор. III. Уравнения огибающей поверхности семейства траекторий изотропно выброшенных частицс учетом движения узлов и перицентров Текст научной статьи по специальности «Физика»

АСТРОНОМИЯ

УДК 521.1:514.122.2:514.752.6

С. А. Орлов, К. В. Холшевников

ПЫЛЕВОЙ ТОР.

III. УРАВНЕНИЯ ОГИБАЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ СЕМЕЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ ИЗОТРОПНО ВЫБРОШЕННЫХ ЧАСТИЦ С УЧЕТОМ ДВИЖЕНИЯ УЗЛОВ И ПЕРИЦЕНТРОВ*

Введение. Падение метеоритов на малый спутник приводит к выбросу в космос массы, во много раз превосходящей массу ударника. Поэтому характерные скорости выброса частиц значительно меньше скорости ударника, но из-за малости массы спутника они все же больше скорости убегания с поверхности. Таким образом, вещество поступает в космос и остается на орбитах Т, близких к орбите спутника. Из-за неравенства орбитальных периодов частицы плотно заполнят некоторую область О, заметаемую семейством {Т}. Та же картина наблюдается при взрыве ИСЗ, находящегося на высокой круговой орбите, причем роль выброшенных частиц играют осколки спутника. Мы ограничиваемся рассмотрением относительно крупных частиц с массами более 10-7 г. Поведение более мелких в значительной степени определяется электромагнитным взаимодействием с фотонным и корпускулярным солнечным излучением и с магнитным полем планеты [1].

В работах [2]-[4] было показано, что в поставленной задаче все вещество будет заключено в некоторой тороидальной области с двумя перетяжками. Через 1-3 месяца позиционные элементы а, е, г изменятся незначительно, тогда как угловые — долгота узла О и аргумент перицентра д — распределятся по окружности. Ясно, что распределение по О (равносильное объединению областей, порожденных ударами в различных точках орбиты) сделает О телом вращения, настоящим топологическим тором (точнее, полноторием). Его относительно легко получить из найденной в [3, 4] области. Но учесть рассеяние по д трудно. Проще идти с самого начала.

Семейство траекторий. Пусть точка 0\ массы ш\ описывает кеплерову окружность вокруг точки О массы т. В момент Ьо происходит изотропный выброс из О1 частиц бесконечно малой массы с одинаковой относительно О1 скоростью Ь > 0 по всевозможным направлениям, задаваемыми сферическими координатами (в, А) € 82, где 82 — единичная сфера, 0 < в < п; 0 < А< 2п.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 02-02-17516), Программы Университеты России (грант УР.02.01.027) и Совета по грантам при Президенте РФ по поддержке молодых ученых и ведущих научных школ (грант НШ-1078.2003.2).

© С.А.Орлов, К.В.Холшевников, 2004

Считаем массу mi столь малой, что она не оказывает влияния на выброшенные частицы (комета, астероид, Фобос, Деймос, КА, ...). В таком случае O\ “не заметит” выброса (по изотропности реактивная сила равна нулю; по малости mi изменение массы не скажется на гравитационном параметре к2, равном произведению гравитационной постоянной на m).

Траектории T частиц заполняют некоторое множество D С R3, которое и требуется найти. Для невозмущенных кеплеровских орбит в плоском случае задача решена в [2], в пространственном — в [3, 4]. Здесь мы считаем, что T представляет собой кеплеров эллипс с постоянными a, e, i, но с вращающимися линиями узлов и апсид.

В [4] показано, что значения а заполняют отрезок, а значения (a, e, i) — двумерную поверхность. Поэтому почти все тройки средних движений долгот, узлов и перицентров линейно-независимы над кольцом целых чисел. В результате, значения (u, Q, Л), где и — аргумент широты, для почти всех частиц равномерно заполняют тор Т3.

Обозначим через R радиус круговой орбиты 0\ относительно О; через w = к /а/Д — круговую скорость Oi, c = b/w. Если мы хотим ограничиться эллипсами, то следует считать w + b меньшей параболической скорости, т.е.

c<V2-1. (1)

Параметр орбиты, большая полуось, наклон и эксцентриситет просто выражаются через в, Л. Положим R = 1: масштабный множитель легко восстановить по соображениям размерности. Тогда

p = A2 = (1 + csin в sin Л)2 + c2 cos2 в = 1 + 2csin в sin Л + c2(1 — sin2 в cos2 Л), a = (1 — 2c sin в sin Л — c2 )-1,

1 + c sin в sin Л c cos в

cos г = ------ ----, sin г =--;— ,

AA

e2/c2 = (A2 — 1)2/c2 + A2 sin2 в cos2 Л =

= sin2 в(1 + 3sin2 Л) + 2c sin в sin Л(2 — sin2 в cos2 Л) + c2(1 — sin2 в cos2 Л). (2)

Как и в [3, 4], мы считаем для удобства —п/2 < i < п/2; отрицательные значения наклона отвечают выбросам вниз.

При условии (1) обратные и прямолинейные движения отсутствуют. Точнее,

0 <| sini\<c, 0 < e < (2 + c)c. (3)

Границы достигаются. Для наклона при в = п/2 (нижняя) и при в = arcsin c или в = п — arcsinc,Л = —п/2 (верхняя). Для эксцентриситета — при в = arcsin(c/2) или в = я — arcsin(c/2), Л = —7г/2 (нижняя) и при в = и/2 , Л = 7г/2 (верхняя). Заметим, что (2 + с)с возрастает вместе с с и обращается в единицу при с = а/2 — 1.

Легко находятся и точные границы a,p:

TT^7--a-T^7-’ d-e)= <„<(! + =)= (4)

Нижние границы достигаются при в = п/2, Л = —п/2, верхние — при в = п/2, Л = п/2.

Формулы (1-4) взяты из [3, 4] или выведены элементарно из приведенных там соотношений. Далее мы будем иметь дело с 4-параметрическим семейством орбит

x = r(cos u cos^ — cos i sin u sin^),

y = r(cos и sinQ + cos i sin и cosQ), z = r sin i sin и

при

r=i----------f-----T- (6)

1 + e cos(u — g)

Позиционные элементы являются функциями (2) на сфере параметров (в, Л) G S2, углы (Q,g) G T2, а угол u G S1 характеризует положение частицы на орбите.

Верхняя грань радиуса r < p/(1 — e) < pmax/(1 — emax) определяется элементарно, поскольку наибольшие значения p, e достигаются в одной точке сферы параметров. Найдем нижнюю грань. Ясно, что на множестве первоначальных орбит (с неподвижными узлами и перицентрами) rmin достигается при выбросе назад. Вращения не меняют расстояний. Окончательно,

<г< (1 + с)2 (7)

1 + 2с-с2 - - 1 -2с-с2' 1 >

Нижняя граница достигается при в = п/2,Л = —п/2,u — g = 0, верхняя — при в = п/2, Л = п/2, u — g = п.

Основное отображение. Искомый пылевой тор D (точнее, полноторие D3 С R3) есть объединение UT орбит (5) по произведению сферы S2 параметров (в, Л) и тора T2 углов (Q, g). Удобнее эквивалентное определение D3 как образа произведения S2 и тора T3 углов (u, Q, g) при отображении (5): S2 х T3 R3.

Совершим замену переменных (Q,g) ^ (Q/,g/):

g' = u — g, Q/ = Q + Q//,

где

COS U .. COS* sin U /-9-9—

cos \l =------, sin \l = ----------, t = v 1 — sin г sin и .

£ £

Переменная £ отделена от нуля: согласно первой из формул (3)

£ > V1 - sin2 i > Vl - с2 > \J2V2-2 = 0.9102.

Отображение (5) переходит в

x = r£ cosQ/, y = r£ sinQ/, z = r sin i sin u (8)

при r = p/(1 + ecosg/).

Из (8) следует, что D3 представляет собой тело вращения вокруг оси z. Достаточно

исследовать его сечение D2 плоскостью xz, т.е. образ произведения S2 и тора T2 углов

(u,g) при отображении Ф:

x = r£ , z = r sin i sin u (9)

при

r =------—----, £ = л/1 — sin2 i sin2 и = \/cos2 и + cos2 i sin2 и . (10)

1 + e cos g/

Независимое изменение (u, Q,g) в торе T3 равносильно независимому изменению (u, Q/, g/) в том же торе. Поэтому в (10) можно опустить штрих у переменной g и считать

(u, g) G T2 .

Так как p, £, r отделены от нуля, единственными особенностями основного отображения (9) служат точки S2, в которых e = 0 ^ p = 1, r =1, cosi =1 — c2/2. Образ множества особенностей Ф есть кривая So с параметрическими уравнениями

х = \J 1 — с2( 1 — с2/4) sin2 и , z = ic^/1 — с2/4 sin и, представляющая собой дугу окружности единичного радиуса между точками

в. ^ 2 ’ — V 1 _ Т ] ]■

Основные уравнения. Получим уравнение кривой Б — границы области О2. Как следует из теоремы о ранге дифференцируемого отображения [5, §1.3], Б — подмножество объединения множества Бо образов особенностей Ф и множества Б0 образов точек вырождения Ф, где ранг матрицы Якоби Л = д(х,х)/д(в,\п,д) меньше 2. Кривая Бо уже найдена и ниже можно считать е = 0. Обратимся к Б0 и выпишем транспонированную матрицу Якоби

Л*

( r1£ — i1r£-1 sin i cos i sin u r1 sin i sin u + i1r cos i sin u \

r2£ — i2r£-1 sin i cos i sin2 u r2 sin i sin u + i2r cos i sin u

—r£-1 sin2 i cos u sin u r sin i cos u

\ r4£ r4 sin i sin u J

Здесь и ниже индексы 1 - 4 у r, i, p, e указывают на дифференцирование по в, Л, u, g соответственно. По нашим вычислениям

prk = rpk — r2ek cosg (k = 1, 2); pr4 = r2esing,

pi = 2c cos в^т Л — c sin в cos2 Л), p2 = 2c sin в cos Л(1 + c sin в sin Л), ee1 = c2 cos в [sin в(1 + 3sin2 Л) + c sin Л(2 — 3sin2 в cos2 Л) — c2 sin в cos2 Л] , ee2 = c2 sin в cos Л {3sinв sin Л + c [2 — sin2 в(1 — 3sin2 Л) + c2 sin в sin Л} ,

pi1 = —c(sin в + c sin Л), pi2 = —c2 cos в sin в cos Л. (11)

Ниже понадобятся комбинации

2c2

Pih — Р2Ч = ------sin2 в cos A [1 + 2csin0sin A + c2(l — sin2 в cos2 A)1 ,

p

2c3

p\e2 — P2& 1 =------cos 0 sin2 в cos A [l + 2c sin в sin A + c2(l — sin2 в cos2 A)1 ,

e

3

ei*2 — 62*1 = — sin2 6» cos A {3 sin в sin A + c(l + 6 sin2 6» sin2 A)+

pe

+c2 sin в sin Л(5 — 3sin2 в cos2 Л) + c3(1 — sin2 в cos2 Л)} ,

2

r r2

r 1*2 - r2* 1 = -{p 1*2 ~P2'4)-COSgr(ei*2 - e2*l).

pp

Выражение в квадратных скобках равно p, в фигурных скобках равно (3 sin в sin Л + c)p. Поэтому

p1i2 — p2i1 = 2c2 sin2 в cos Л,

2c? p

Pi&2 — P2&1 =----------cos 0 sin^ 0 COS A,

e

3

2

ei^2 — e<ii\ = — sin 0 cos A(3 sin 0 sin A + c),

e

rc 2 r 1%2 — r^ll = -----------sin 0 COS A

pe

cp cos g

2e---------------------(3 sin 9 sin A + c)

1 + e cos g

(12)

Обозначим через amn умноженный на £/r минор матрицы A*, образованной строками с номерами m, п. Вырождение A равносильно обращению в нуль всех amn:

ai2 = cos i sin u(rii2 — r2ii), ai3 = sin i cos uri,

ai4 = — cos i sin ur4ii, a23 = sin i cos ur2 ,

a24 = — cos i sin ur4i2 , a34 = — sin i cos ur4 .

Решим систему 6 уравнений (из которых только 3 независимы)

amn = 0 (13)

относительно четырех неизвестных в, Л, u, g. Разберем последовательно следующие случаи.

1. sin i sin u = 0. Если sin i = sin u = 0, то (13) удовлетворяется и в согласии с (7) соответствующая часть Si С So есть отрезок оси x между точками

Вз(тГ2^-°) "Чг^-0)

Если sin i = 0 или sin u = 0, то в обоих случаях получаем подмножество оси x, которое в силу (7) содержится в Si .

Ниже считаем sin i sin u = 0 ^ в = п/2.

2. cos u = 0 ^ x = r cos i, z = r sin i sign sin u, т.е.

A2 A A

r=------------, x=--------------(1 + csin^sinA), z =----------с cos 0 . (14)

1 + e cos g 1 + e cos g 1 + e cos g

Мы опустили sign sin u в последнем выражении, поскольку cos в принимает значения обоих знаков.

Соотношения (13) равносильны системе трех уравнений

rii2 — r2il = 0, r4ii = 0, r4 i2 = 0. (15)

2.1. r4 = 0 ^ ii = i2 =0. Последнее возможно в двух случаях.

2.1.1. sin# = sinA = 0 =>• А = л/1 + с2 , е = с2, откуда в силу (14)

1 + с2 а/1 + с2 с а/ 1-J-

1 + c2 cos gy 1 + c2 cos gy 1 + c2 cos g

z = ±—^—. (16)

Уравнения (16) задают отрезок S2 между точками

,v/ГT?, v/ГT^У 1-с2 )

и симметричный ему относительно оси х отрезок Бз = В7 В$.

2.1.2. соэЛ = 0, вт# = — сэтА =>• А = а/1 — с2 , е = с2, откуда в силу (14)

1 - с2 (1 - с2 )3/2 ,с(1 - с2)

1 + c2 cos g ’ 1 + c2 cos g ’ 1 + c2 cos g

Уравнения (17) задают отрезок S4 между точками

В9 f(1~,c2)93/2 , иВ10 f v71 - с2 ,

-I , 2- ’ 1 , 2 И ^10

1 + c2 1 + c2 у

и симметричный ему относительно оси x отрезок S5 = Bii Bi2.

2.2. r4 = 0. Поскольку e = 0, то

sin g = 0, cos g = k, k = ±1.

Параметры в,Л связаны первым из уравнений (15), удовлетворяющимся в силу (12) в трех случаях.

2.2.1. sin# = 0, cos# = к\, к\ = ±1, А = а/ 1 + с2 , е = с2. Согласно (14)

1 + с2 а/1 + с2 а/1 + с2

Г = 1 + fcc2 ’ Ж = 1 + fcc2 ’ * = 1 + кс2 1 ’

что для всех комбинаций k, ki представляет четыре известных точки B5, Bq, B7, Bs.

2.2.2. cos Л = 0, sin Л = ki, ki = ±1,

A2 = 1 + 2cki sin в + c2, A cos i = 1 + cki sin в, A sin i = c cos в,

e = c\c + 2ki sin в\, r = A2 (1 + kc\c +2ki sin в|) i. (18)

В последнем соотношении можно опустить знак абсолютной величины: от этого лишь поменяются местами части кривых, отвечающих разным k. Поскольку ki встречается лишь в комбинации ki sin в, можно положить ki = 1 и условиться, что параметр в изменяется от —п до п. Тогда согласно (14)

а/1 + 2свтв + с2 . а/1 + 2с эш в + с2

Ж =------;—;---— ( 1 —|— С ЭШ 0), 2= ----;—----------------------—ССОвО. 19

1 + кс{с + 2 эш в) 1 + кс{с+2зтв)

При к = 1 уравнения (19) задают дугу Бб окружности единичного радиуса. Экстремумы г/ж достигаются при эт# = — с, так что Бв соединяет знакомые нам точки В\2 (а/1 - с2 , -с) и Вю (а/1 - с2 , с).

При к = - 1 получаем новую кривую Б7.

2.2.3. Осталось приравнять нулю последний множитель (12)

ке = с/ (в,Х), (20)

где 2f = [cp(3 sin в sin Л + c) — 2e2] /c = 3 sin в sin Л + c(1 — 2 sin2 в) — c2 sin в sin Л(3 — sin2 в cos2 Л) — c3(1 — sin2 в cos2 Л). Подставляя (20) в (14) с учетом cos g = k, найдем уравнения кривой Ss

A

1 + cf

(1 + c sin в sin Л),

A

1 + cf

-c cos в,

(21)

где в,Х связаны соотношением (20). Возводя в квадрат, получим объединяющее оба случая к = ±1 уравнение на сфере параметров

F(в, Л) =0

(22)

при

F

= sin2 в(4 + 3 sin2 Л) + 2c sin в sin Л(5 + 2 sin2 в + 4 sin2 в sin2 Л)+

+ c2 (3 + 22 sin2 в sin2 Л — 4 sin4 в — 6 sin4 в cos2 Л sin2 Л)+

+ 4c3 sin в sin Л(3 cos2 в — 2 sin2 в cos2 Л + sin4 в cos2 Л)+

+ c4 [2 — 6 sin2 в — 7 sin2 в sin2 Л + 2 sin4 в cos2 Л(2 + 3 sin2 Л)] —

— 2c5 sin в sin Л(3 — sin2 в cos2 Л)(1 — sin2 в cos2 Л) — c6(1 — sin2 в cos2 Л)2

3. sin i sin u cos u = 0 ^ ri = r2 = r4 = 0 ^ sin g = 0, cos g = k, k

r = p/(1 + ke). Параметры в, Л связаны двумя соотношениями:

pi = krei

p2 = kre2.

1,

(23)

Из (23) вытекает pie2 — p2ei = 0, т.е. в силу (12) sin в cos Л = 0. Отсюда согласно (11) p2 = e2 = 0, так что второе из уравнений (23) удовлетворяется.

3.1. sin в

откуда

0, cos в

1 + c2

ki

1

=>

1 + c2, e

ck\j а/Г~

1 + kc2

л/l I ~C~ Г, о 2

X = ------------tt Vi + r COS U

1 + kc2

Vh-c2

z = ----^^fcicsinw. (24)

Уравнения (24) при k точками

B7

VT

1 + kc2

1 задают дугу Sg окружности единичного радиуса между

1 “С А R ( 1

И Вк

VT

VT

VT

При к = —1 получаем дугу Бю окружности радиуса (1 + с2)/(1 — с2) между точками

Bs

а/1 + с2 —са/1 + с-

1 c2

1 c2

2 ^ ( а/1 + с2

" Вб

С2 С а/ 1 + С2

1 c2

Поскольку pi = 2cki sin Л, ei = 2cki sin Л, первое из уравнений (23) удовлетворяется в двух случаях.

3.1.1. sin Л = 0, чему соответствуют дуги Sg и Si0.

3.1.2. kr =1 ^ k = 1, r = 1, чему соответствует дуга Sg.

3.2. cos Л = 0, так что справедливы формулы (18), а также

pi = 2cki cos в, ei = 2kik2c cos в, где k2 = sign(c +2ki sin в).

x=

2

2

p

c , sin i

c

r=

c

c

c

c

Соотношениям (18) можно придать форму

A 2

А2 = 1 + к2е, г = . (25)

1 + ke

Поскольку cos в = 0, первое из уравнений (23) удовлетворяется при kk2 = 1. Согласно (25) в этом случае тождественно r =1. Окончательно,

с2 cos2 в sin2 u с cos в sin u

X = 4/1-------------------ТГ , z = , — . (26)

у 1 + 2с sm в + с2 а/1 + 2с sin в + с2

Здесь два независимых параметра (в, u) Є T2. Тем не менее, (26) описывает уже известную нам дугу S6 окружности единичного радиуса.

Заключение. Мы нашли все части множества So U S0, в котором содержится граница S области D2. Выделение S и его исследование составляет предмет следующей статьи. А пока заметим только, что очевидные неравенства

1с

2

v/TT^2 2

V, , -2

влекут Sg С So С S6, так что

s с si и s2 и s3 и s4 и s5 и s6 и s7 и s8 и si0

Summary

Orlov S. A., Kholshevnikov K. V. Dust torus. III. Equations of enveloping surface of trajectories family of isotropic ejected particles with the due account of nodes and pericenters motion.

Impacts of meteoroids on a small satellite lead to ejection into space of the regolith mass being much greater than the mass of a projectile. Imagine that at an epoch t0 we observe an isotropic ejection with velocities lower in absolute value than a maximal possible b. Due to inequality of orbital periods the fragments will densely fill a certain domain D. In 1-3 months the longitudes of nodes and pericenters will be distributed along a circumference and the domain D will become a body of revolution, a topological solid torus. To get its boundary S it is sufficient to suppose velocities equal to b. We put a problem to deduce parametric equations of S as an enveloping surface of a perturbed trajectories family of ejected particles and to establish its properties. In this paper we succeed to obtain the equations in the explicit form. Properties of S are described in the next paper.

Литература

1. Krivov A. V., Sokolov L. L., Dikarev V. V. Dynamics of Mars-orbiting Dust: Effects of Light Pressure and Planetary Oblateness // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1996. N 63. P. 313-339.

2. Коблик В. В., Холшевников К. В. Огибающая орбит изотропно выброшенных частиц // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1994. Вып. 1 (N 1). С. 98-102.

3. Холшевников К. В., Орлов С. А. Пылевой тор. I. Уравнения огибающей поверхности семейства траекторий изотропно выброшенных частиц // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2000. Вып. 3 (N 17). С. 118-123.

4. Холшевников К. В., Орлов С. А. Пылевой тор. II. Исследование огибающей поверхности семейства траекторий изотропно выброшенных частиц //Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2003. Вып. 3 (N 17). С. 00-00.

5. Брекер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы. М., 1977.

Статья поступила в редакцию 18 июня 2003 г.