Пылевой тор. II: Исследование огибающей поверхности семейства траекторий изотропно выброшенных частиц Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 521.1:514.122.2:514.752.6 Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 4 (№25)

К. В. Холшевников, С. А. Орлов, М. С. Джазмати

ПЫЛЕВОЙ ТОР.

II: Исследование огибающей поверхности семейства траекторий изотропно выброшенных частиц*

Введение. В работах [1, 2] описан следующий предложенный впервые С.Сотером [3] механизм образования роя метеорной материи в окрестности маломассивного спутника типа Фобоса. Падение метеоритов на спутник приводит к выбросу в космос массы, во много раз превосходящей массу ударника. Поэтому характерные скорости выброса частиц значительно меньше скорости ударника, но из-за малости массы спутника они все же больше скорости убегания с поверхности. Таким образом, вещество поступает в космос и остается на орбитах Т, близких к орбите спутника. Получающийся метеорный рой заполняет область В, заметаемую семейством {T}. С расширением {T} расширяется и В. Метеоритные удары происходят в разные точки поверхности спутника. В конечном счете нас интересует объединение областей В, порожденных каждым ударом. Изучим поэтому область В, отвечающую максимально широкому семейству {T}. Это влечет допущение выбросов по всевозможным направлениям. Что касается скорости, то достаточно взять ее наибольшее значение. Таким образом получим максимальную область В, ограниченную огибающей поверхностью Б двупараметрического семейства кривых ^}.

Каков физический смысл области Б и ограничивающей ее поверхности Б? Представим, что в момент ¿о произошел изотропный выброс со всевозможными скоростями Уо, по модулю меньшими некоторой максимальной скорости Ь. Траектории частиц плотно заполнят область В. Чтобы получить ее границу Б, достаточно считать |уо| = Ь. Разумеется, траектории частиц физической нагрузки не несут. Но за несколько оборотов (несколько суток для Фобоса или Деймоса) из-за неравенства орбитальных периодов частицы плотно заполнят В. Таким образом, В представляет собой пылевой комплекс, возникающий через несколько дней после ударного события. Мы ограничиваемся рассмотрением относительно крупных частиц с массами более 10-7 г. Поведение более мелких в значительной степени определяется электромагнитным взаимодействием с фотонным и корпускулярным солнечным излучением [4].

Заметим, что наша задача допускает и иные интерпретации. Например, при взрыве ИСЗ на круговой орбите изотропно разлетающиеся осколки заполняют ту же область В. Нахождение В является главной частью задачи построения области достижимости при одноимпульсном полете с кеплеровой орбиты [5, 6].

В работе [7] мы получили параметрические уравнения поверхности Б. Здесь мы исследуем их и опишем свойства поверхности.

Уравнения огибающей. Пусть точка 0\ массы ш\ описывает кеплерову окружность вокруг точки О массы т. В момент ¿о происходит изотропный выброс из О1 частиц бесконечно малой массы по всевозможным направлениям с одинаковой относительно О1 скоростью Ь > 0 (рис. 1).

Считаем массу т1 столь малой, что она не оказывает влияния на выброшенные частицы. Обозначим через К радиус круговой орбиты О1 относительно О; через ш =

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 02-02-17516) и Совета по грантам президента РФ для поддержки молодых ученых и ведущих научных школ (грант 00-15-96775).

© К. В. Холшевников, С. А. Орлов, М. С. Джазмати, 2003

к/\[И — круговую скорость 0\1 с = Ъ/ги. Считаем с < \/2 — 1. Тогда все траектории Т будут эллипсами прямого движения.

Введем систему декартовых невращающихся координат с центром в О; ось х направим в О1 в момент выброса, ось у — в плоскости орбиты в сторону движения О1, ось г — по вектору площадей орбиты О1. Обозначим через Ь, в, Л сферические координаты вектора скорости выброса относительно О1. Считаем модуль скорости Ь > 0 фиксированным, а точку (в, Л) принадлежащей единичной сфере 5 (рис. 2). Согласно [7] уравнения Б запишутся в виде

Здесь

1и

Ь

/?2

У = Т'

2 п2

Н1 =4 ят2 в соя2 Л — А В

Н4

1г

(1)

Н2 = 4В яш в соя Л(1 + с ят в ят Л). Н3 = 4сВ соя в ят в соя Л, Н4 =4 ят2 в соя2 Л + А2В2 ,

Н = (2 — А )В + 4ят в соя2 Л(1 — с ят в ят Л — с2),

(2)

где

А = \/(1 + с эт в эт Л)2 + с2 соэ2 в , В = эт в эт А + с.

Параметрическими уравнениями Б служат первые три из соотношений (1); последнее — полезное следствие из первых трех. Дальнейшая часть статьи посвящена исследованию свойств поверхности Б.

х

Z = Y'

Рис. 2. Сфера параметров.

Симметрия. Подстановка (О,Х) -—> (п — О,Х) сохраняет А,В,Н\,Н2,Н4,Н и меняет знак у Нз, что влечет (х, у, г) -—> (х, у, —г). Подстановка (О, X) -—> (п—О, п—Х) сохраняет А, В, Н\,Н3, Н4, Н и меняет знак у Н2, что влечет (х, у, г) -—> (х, —у, г).

Таким образом, поверхность 5 симметрична относительно плоскостей ху и хг. Нетрудно показать, что других плоскостей симметрии не существует.

Ограниченность. Покажем, что S заключена внутри тороидальной области S (рис. 3), ограниченной двумя сферами r = r\, r = Г2 и конусом z = ±rc, где

_ (1-е)2 _ (1 + с)2

п 1 + 2с-с2’ ,2 1 — 2с — с2 ’ ( )

Центр сфер и вершина конуса находятся в точке O. Все три экстремальные значения maxr, minr, max \z/r\ достигаются.

Перейдем к доказательству. Для оценки r сверху образуем разность (1 + c)2h - (1 - 2c - c2)h4 = 2B2 [(1 + c)2 - A2] +

+4c sin2 в cos2 A [(4 - sin в sin A) + (1 - 2sin0 sin A)c - (2 + sin в sin A)c2 - c3] .

Выражение в первой квадратной скобке неотрицательно в силу (6) из [7]. Выражение во второй квадратной скобке ограничено снизу величиной 3 — с — Зс2 — с3, принимающей минимальное значение 2 при с= V2 - 1. В результате

(1 + c)2h - (1 - 2c - c2)h4 > 0, т.е.

r<_£±cf_

“ 1 - 2 с - с2 '

Оценим теперь r снизу, вычисляя разность

(1 + 2c - c2)h4 - (1 - c)2h = (1 + 2c - c2)(4sin2 в cos2 A + A2B2)+

+(-1 + 2c - c2) [(2 - A2)B2 + 4 sin2 в cos2 A(1 - cB)] =

= 4 sin2 в cos2 A [4c - 2c2 + cB(1 - 2c + c2)] + B2 [2A2 - 2(1 - c)2] >

> 4c sin2 в cos2 A [2(2 - c) - (1 - c)3] +2B2 [A2 - (1 - c)2] .

Выражение в последней квадратной скобке неотрицательно в силу (6) из [7]. Выражение в предпоследней квадратной скобке равно

3 + c - 3c2 + c3 = 3(1 - c2) + c + c3 > 0 .

Итак, (1 + 2c - c2)h4 - (1 - c)2h > 0, т.е.

(1 - c)2

r > —-----.

~ 1 + 2 с - c2

Мы доказали неравенство

ri < r < Г2 . (4)

Оценка (4) точна. Слева равенство достигается в точке Ti(-ri, 0 , 0) G S, соответствующей точке Qi(n/2, -п/2) сферы параметров S; справа — в точке T2(-r2 , 0 , 0) G S, соответствующей точке Q2(n/2 ,п/2) G S. Точки Ti, T2 поверхности S являются концами перетяжки — см. (20) из [7].

Оценим угол возвышения S = arcsin(z/r) точек поверхности S

h3 4AB sin в cos A c cos в

Sin О = — = ------т------------------------ .

h4 4sin в cos2 A + A2B2 A

Первый сомножитель справа не превосходит единицы по модулю, так что

2 c2 cos2 в c2 cos2 в

Sin 0 < -----p;-- = —---------;-—----—75-7,-----7-7 ,

A2 (1 + c sin в sin A) 2 + c2 cos2 в

последнее принимает наибольшее значение при sin A = -1. Таким образом,

2 c2 cos2 в

sin S < f{6) =------------------^ .

1 — 2c sin в + с2

Вычислим производную:

df (в) 2с2 cos в

dв (1 — 2сsin в + с2)2

(1 — с sin в)(с — sin в).

Ясно, что наибольшее значение f принимает при sin в = с, причем f (arcsin с) = с2 . В результате

\z/r\ < с. (5)

Сечение топологического тора, выделяемого неравенствами (4, 5), плоскостью xz показано на рис. 3.

Покажем, что в (5) равенство достигается в двух точках Qk^k , —п/2) сферы параметров при в\ = arcsin с, в2 = п — arcsin с, отвечающих орбитам экстремального наклона: см. (12) и (20) из [7]. Заметим, что прямая подстановка параметров этих орбит в (1) недопустима, т.к. приводит к выражениям вида 0/0. Положим

п

9 = Sk + и, А = — — -\- V (6)

с бесконечно малыми u, v, возможно, разного порядка малости. С точностью до бесконечно малых низшего порядка

cos в « ( —l)fc+1 л/1 — с2 , sin 6 с — ( — 1)кил/1 — с2, cosA«-y, sin А « — 1 + v2/2 ,

1 + с sin в sin А « 1 — с2, 1 — с sin в sin А — с2 « 1, Л2 « 1 — с2 ,

Отсюда

В « ( — 1)кил/1 — с2 + cv2/2 , h\ « 4с2-у2 — (1 — с2)2м2, /i2 ~ —4с(1 — c2)v ( — 1)к+1и\Jl — с2 — cv2/2

hs « —4с2\/1 — c2v и\Jl — с2 + ( — í)kcv2/2 h4 « 4с2v2 + (1 — с2)2и2, h « 4с2v2 + (1 — с4)и2.

z hs 4ca/1 — c2v [ma/1 — c2 + ( — l)kcv2/2] r /14 4c2-y2 + (1 — c2)2u2

(7)

Перейдем к пределу при u ^ 0,v ^ 0. Если бесконечно малые u,v имеют разный порядок малости, то правая часть (7) стремится к нулю. Если же порядок малости одинаков, то правая часть стремится к пределу, зависящему лишь от предела отношения w = lim(u/v):

z 4с(1 — c2)w

iim - = —c-

г 4с2 + (1 — с2)2т2

Последняя дробь максимальна по модулю при т = ±2с/(1 — с2), ив этом случае

х/г = тс, (8)

что и требовалось. Строго говоря, равенство (8) достигается лишь в пределе, на входящей в коническую точку траектории экстремального наклона. Например, при

Н1 = [4с2 — (1 — с2)2т2] V2, Н2 = 4( —1)йс(1 — с2)3/2т«2,

Н = [4с2 + (1 — с4)т2] V2 (9)

для т = 2( — 1)яс/(1 — с2) в пределе при V ^ 0 имеем

х = 0, у = ( — 1)й+я (1 — с2)3/2 , 2 = ( —1)я+1с (1 — с2) , г =1 — с2, (10)

что влечет (8).

Заметим, что четыре точки (10) лежат на двух орбитах экстремального наклона. Более того, (9) после сокращения на V2 представит собой просто иную параметризацию эллипсов (15) из [7]. В самом деле, подстановка

2(-1)fcc w w = -h^tgf

переводит (9) в

— = COS íp , — = \Jl — с2 sin cp, - = (— í)k+1csill(p,

1- c2

r =

1 — c2 cos w что совпадает с (15) из [7].

Окрестность конической точки. Мы убедились, что бесконечно малая окрестность каждой из точек Qk сферы параметров переходит в одну из двух орбит экстремального наклона. Покажем теперь, что кривая L, задаваемая уравнением B = 0, переходит в точку Oí (1, 0, 0) а некоторая ее неполная окрестность — в бесконечно малый конус. Кривая L есть малый круг на сфере S радиуса arccos с с центром в точке Qí. Действительно, косинус сферического расстояния от указанного полюса до произвольной точки (в, Л) равен — sin в sin Л, что совпадает с с на L. Обе точки Qk принадлежат L.

Упростим уравнение кривой L. Для этого повернем систему параметризующих сферу декартовых координат (X ,Y ,Z) ——> (X' ,Y' ,Z') так, чтобы ось Z' прошла через точку Qí € S. Проще всего считать, что оси X и X', Z и Y' совпадают, а Y и Z' направлены в разные стороны (рис. 2). В таком случае связь сферических координат следующая:

sin в cos Л = sin в' cos Л', sin в sin Л = — cos в',

cos в = sin в' sin Л'. (11)

Соотношения (2) переходят в

h1 =4 sin2 в cos2 Л — A2B2 ,

h2 = 4B sin в cos Л(1 — с2 + cB), h3 = 4cB sin2 в cos Л sin Л, h4 =4 sin2 в cos2 Л + A2B2 ,

где

A2 = (1 — c2 + cB)2 + c2 sin2 в sin2 A, B = c — cos в .

Здесь и ниже до конца параграфа мы опустили штрихи у сферических координат. Заметим, что теперь

Qi = (arccos c, п/2), Q2 = (arccos c, —п/2).

Мы не должны брать полную окрестность L типа колечка, т.к. вблизи Qk образ окрестности в R3 перестает быть малым.

Положим

в = arccos c + u cos A, (13)

тем самым суживая колечко до нуля вблизи Qk. С точностью до бесконечно малых низшего порядка

cos в к, с —и cos Ayl—с2 , sin в « \/1 — с2 + си cos А,

А2 « (1 — с2)(1 — с2 cos2 А), Вши cos A\/ 1 — с2 , hi — h « 4cw(1 — c2)3/2 cos3 А, h2 ~ 4w(1 — c2)2 cos2 А, h3 « 4cu(1 — c2)3/2 cos2 А sin А, h « 4(1 — c2) cos2 А .

Отсюда

X — 1 Fá cu\J 1 — с2 cos А , y « u(1 — c2),

z к, cu\JI — с2 sin А. (14)

Из (14) следует, если пренебречь бесконечно-малыми высших порядков,

(1 — c2)(x — 1)2 + (1 — c2)z2 = c2y2 , (15)

что представляет собой уравнение кругового конуса с осью у, вершиной в точке (1, 0,0) и полураствором arcsinc. Обратно, если точка (x,y,z) = (1,0, 0) лежит на конусе (15), то однозначно определяются параметры u,A:

у (х - 1) VI - с2 . zVl ~ с2

и =------тг, cos А = -----------------, sin А =-------------, (16)

1 — с2 cy cy

причем правые части последних двух уравнений по модулю не превосходят единицы. Вершине конуса отвечает и = 0 и произвольное А.

Итак, поверхность (14) — конус (рис.4).

0,5

Рис. 4. Окрестность конической точки.

Окрестность перетяжки. Перетяжка расположена на отрицательной части оси x, поэтому там r = —x =^ h4 = —hi, т.е.

sin в cos Л = 0 . (17)

Как и в предыдущем параграфе, введем параметризацию сферы, упрощающую уравнение (17) кривой Li на сфере параметров. Повернем оси (XYZ) ——> (X"YffZ"), совершив циклическую перестановку Z" = X, X" = Y, Y" = Z .В результате

sin в cos Л = cos в" ,

sin в sin Л = sin в" cos Л" ,

cos в = sin в" sin Л" . (18)

Соотношения (2) переходят в

hi = 4 cos2 в — A2B2 ,

h2 = 4B cos в(1 + c sin в cos Л), h3 = 4cB cos в sin в sin Л , h4 = 4 cos2 в + A2 B2 , h = (2 — A2)B2 + 4 cos2 в(1 — c sin в cos Л — c2), (19)

где

A2 = 1 + 2c sin в cos Л + c2 sin2 в , B = sin в cos Л + c.

Здесь и ниже мы опустили штрихи у сферических координат.

Уравнение Li в новой системе переходит в cos в = 0, т.е. в экватор в = п/2. Особые точки получили теперь координаты

Qi = (п/2 , п — arccos с), Q2 = (п/2 , п + arccos с)

и обе лежат на Li. Поэтому, как и в предыдущем параграфе, берем неполную окрестность Li.

Положим

п

в = — — и(cos А + с). (20)

С точностью до бесконечно малых первого порядка

cos в « u(cos Л + с), sin в « 1,

A 2 « 1 + 2с cos Л + с2 , B « cos Л + с,

—h1 « h4 « A2B2 , h2 « 4Bu(cos Л + с)(1 + с cos Л),

h3 « 4cBu(cos Л + ^sin Л, h « (2 — A2)B2 .

Отсюда

1 + 2c cos A + c2 1 — 2c cos Л — c2

4(1 + c cos A)

У ~--------------------------„и

1 — 2c cos A — c2

4c sin A

Z K, ----------------- -------TrU

1 2c cos A c2

(21)

Когда Л изменяется от 0 до п, а и от 0 до некоторого ио > 0, поверхность (21) можно описать следующим образом. Основание отрезка переменной длины движется по отрицательной части оси х от (— г2) до (— гі). Длина отрезка

4mq

1 2c cos A c2

л/ 1 + 2 с cos А + с2

изменяется незначительно. Отрезок расположен в параллельной (yz) плоскости под углом а к оси у, где

1 + с cos Л с sin Л

cos а = , —, sin а =

\/Т+2ссо8Л + с2 а/1 + 2с соэ А + с2

При дальнейшем изменении Л от п до 2п основание отрезка движется назад, а сам отрезок, оставаясь в той же плоскости, образует угол (—а) с осью у. Точнее, значениям долготы Л и 2п — Л отвечают углы а и —а.

Описанную часть поверхности Б можно представить как раскрытый кошелек. Отрицательные значения и, —ио < и < 0, добавляют его зеркальное отражение (рис. 5-7).

s

Рис. 5. Окрестность перетяжки.

Рис. 6. Окрестность перетяжки.

Рис. 7. Окрестность перетяжки.

Рис. 8. Поверхность £ при с = 0.05.

Рис. 9. Поверхность S при с = 0.25.

Заключение. Поверхность S исследована полностью. Она преставляет собой топологический тор с одной точечной перетяжкой и одной перетяжкой — отрезком. Вид окрестностей перетяжек показан на рисунках 4-7. Изображение поверхности S помещено на рис. 8 при с = 0.05 и на рис. 9 при с = 0.25.

Summary

Kholshevnikov K. V., Orlov S. A., Jazmati M. S. Dust torus. Part II: analysis of the enveloping surface of trajectories family of isotropic ejected particles.

Impacts of meteoroids on a small satellite lead to the ejection into space a regolith mass being much greater than the mass of a projectile. We confine ourselves with examining relatively large particles with masses grater than 10_7 g. The behaviour of smaller ones is considerably controlled by the electromagnetic interaction with solar photon and corpuscular radiation. Imaging that at an epoch t0 we observe isotpopic ejection with velocities lower in an absolute value than a maximal possible b. Due to inequality of orbital periods the fragments will densely fill a certain domain. To get its boundary S it is sufficient to suppose velocities equal to b. Parametric equations of S as enveloping surface of trajectories family of ejected particles were received in our paper [7]. Here we examine properties of S (boundedness, symmetry) and behaviour of enveloping surface in the vicinity of the conic point and the constriction. The results are illustrated by pictures.

Литература

1. Кривое А. В., Соколов Л. Л., Холшевников К. В., Шор В. А. O cyщecтвoвaнии poH 4acran; в oKpecTHocra op6^rbi Oo5oca // Астроном. вестн. 1991. Т. 25, № 3. С. 317-326.

2. Kholshevnikov K. V., Krivov A. V., Sokolov L. L, Titov V. B. The Dust Torus around Phobos Orbit // Icarus. 1993. N 105, P. 351-362.

3. Soter S. The Dust Belts of Mars // Rept. of Center for Radiophysics and Space Res. N 462. Cornell Univ., Ithaca, 1971.

4. Krivov A. V., Sokolov L. L, Dikarev V. V. Dynamics of Mars-orbiting Dust: Effects of Light Pressure and Planetary Oblateness // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1996. N 63. P. 313-339.

5. Кирпичников С. Н. Область достижимости при одноимпульсном полете с кеплеровой орбиты // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1990. Вып. 4 (№ 22). С. 42-46.

6. Малеев Ю. В., Марков Ю. Г., Пачин В. А. Определение границы области достижимости // Пробл. мех. упр. движения: Оптимизация процессов управления. Межвуз. сб. науч. трудов. Пермь, 1978. С. 132-136.

7. Холшевников К. В., Орлов С. А. Пылевой тор. I. Уравнения огибающей поверхности семейства траекторий изотропно выброшенных частиц // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2000. Вып. 3 (№ 17). С. 118-123.

Статья поступила в редакцию 10 апреля 2003 г.