CC BY
31
УДК 624.131
НАПРЯЖЕНИЯ В СФЕРИЧЕСКОМ СЕЧЕНИИ ОДНОРОДНОГО ИЗОТРОПНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА, НАГРУЖЕННОГО НА ПОВЕРХНОСТИ НОРМАЛЬНОЙ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛОЙ
Канд. техн. наук, доц. МАКАРЕВИЧ С. С.
Белорусский государственный технологический университет
В учебниках по механике грунтов [1, 2] для определения радиальных напряжений в сферическом сечении упруго-линейного полупространства, нагруженного на поверхности нормальной сосредоточенной силой (рис. 1), приводится формула
2 пЯ2
(1)
или с учетом COS 0 = ~^
3 Fz
Со — — —-
2 пЯ3
(2)
Здесь и далее сжимающие напряжения приняты со знаком «минус».
Рис. 1. Схема сферических и цилиндрических координат в полупространстве, нагруженном сосредоточенной силой
Формула (1) получена без достаточно обоснованного вывода. Так, в [1] написано: «Для упрощенного вывода примем как постулат, что напряжение аВ пропорционально cos9 и обратно пропорционально квадрату расстояния от точки приложения сосредоточенной силы В2».
В то же время еще в 1885 г. задача о действии сосредоточенной силы на упругое полупространство была решена Ж. Буссинеском в цилиндрической системе координат. Согласно этому решению:
F
2пК \ ЪК +(1 2ц)К+ 2
сф — (1 — 2м)-
_ 3F 2
С* — — 2П К
F
R
2пКIR R+ 2
3F2
Т —---------
Г* 2п К
(3)
где ц - коэффициент поперечной деформации. п
При 0 — ~, г = 0 и г = Я в точке К (рис. 1)
окружное сечение в цилиндрической системе координат и сферическое совпадают. Следовательно, в точке К напряжение ся, определенное по формуле (2), должно быть равно напряжению сг, рассчитанному по первому уравнению системы (3). Но согласно (3) в этой точке „ (1 - 2ц)
2пЯ2
-, а по формуле (2) ся = 0.
Учитывая, что решение Буссинеска является общепризнанным, приходится констатировать: формулы (1) и (2) записаны недостаточно точно.
Напряжения в сферическом сечении можно получить путем перехода от цилиндрической системы координат к сферической.
Рассмотрим элементарную призму, ограниченную сечениями, перпендикулярными направлениям Z, г и В (рис. 2а).
Из условия равновесия этой призмы выразим аВ и тВ9 через а2, аг и тг2:
cR — ccos 0 + скіп 0 + 2ткіп 0 cos 0;
К 2 Г Г* ~
тК — (сг - С*) sin 0 соя 0 + т^соя2 0 - sin2 0). I
(4)
°г =
a б
Рис. 2. Элементарные призмы, выделенные сечениями, перпендикулярными основным направлениям, в цилиндрической и сферической системах координат для определения: а - и тВ9; б - ст9 и т9В
Подставив в (4) значения напряжений со-
r
гласно (3), а также учитывая, что sin ® = ^,
z
cos 0 = —, после преобразований получим:
а = F(2 -m)z + F^ - 2ц). R nR 2nR ’
т = F(1 - 2ц) rz
R 2nR R+ z _
(5)
Из условия равновесия элементарной призмы, ограниченной сечениями, перпендикулярными направлениям Z, r и 0 (рис. 2б), определим се через cz, сг и Tzr, т. е.
с0 = сz sin2 0 + cr cos2 0- 2тzr sin 0 cos0 .
После подстановки напряжений с2, сг и тгг, а также значений sin0 и cos0 будем иметь
ае =
F (І - 2ц) z2 2nR3(R + z)
(б)
Напряжения сф в цилиндрической и сферической системах координат одинаковы и будут определяться вторым уравнением системы (3).
Зависимости для определения напряжений в сферической системе координат можно получить также из решения Митчела (1900), которое приводится в [3]. Митчел рассматривал конус, нагруженный в вершине вдоль его оси сосредоточенной силой. Если положить угол между
осью конуса и его стороной равным —, то ко-
нус превращается в полупространство. При этом зависимости, полученные Митчелом, совпадают с зависимостями (5) и (6).
Согласно [1] в сферическом сечении полупространства, нагруженного нормальной сосредоточенной силой, возникают только нормальные радиальные напряжения сВ, которые распределены по сечению, как показано на рис. 3.
Рис. 3. Распределение радиальных напряжений по сферическому сечению [1]
Фактически в сферическом сечении будут возникать как нормальные сВ, так и касательные тВ9 напряжения, определяемые формулами (5), графики распределения которых по сечению показаны на рис. 4.
На небольших участках от 9 = 90 = arccos х
1 - 2ц л п
х со—8 до 9 = — нормальные радиальные на-2(2 - ц) 2
пряжения стВ будут растягивающими.
Касательные напряжения при 9 = 91 = 5183°
будут иметь наибольшие значения Тщ. т =
= 0,1 5Р(1 - 2ц) х= п1? .
Рис. 4. Распределение напряжений по сферическому сечению (5): а - нормальные напряжения б - касательные напряжения тВ9
Только для изотропных материалов с коэффициентом поперечной деформации ц = 0,5 в сферическом сечении упруго-линейного полупространства будут отсутствовать растягивающие радиальные напряжения сВ, а также касательные напряжения тВ9. В этом случае в сфе-
рическом сечении возникают только сжимающие радиальные напряжения, определяемые зависимостью (2). Среди грунтов с таким коэффициентом поперечной деформации можно назвать текучую глину.
В Ы В О Д
В результате теоретических исследований получены зависимости для определения нормальных и касательных напряжений, возникающих в сферическом сечении полупространства, нагруженного на поверхности нормальной сосредоточенной силой. Показано, что выводы, приведенные в учебниках по механике грунтов, можно использовать только для изотропных материалов с коэффициентом поперечной деформации ц = 0,5. В остальных случаях они дают недостаточно точные результаты.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Цытович, Н. А. Механика грунтов / Н. А. Цыто-вич. - М.: Высш. шк., 1973. - 280 с.
2. Бабков, В. Ф. Основы грунтоведения и механики грунтов / В. Ф. Бабков, В. М. Безрук. - М.: Высш. шк., 1976. - 328 с.
3. Рекач, В. Г. Руководство к решению задач по теории упругости / В. Г. Рекач. - М.: Высш. шк., 1977. - 216 с.
Поступила 23.06.2006
б
УДК 625.764/765
СКЛАДИРУЕМЫЕ ОРГАНОМИНЕРАЛЬНЫЕ СМЕСИ ДЛЯ ЯМОЧНОГО РЕМОНТА АСФАЛЬТОБЕТОННЫХ ПОКРЫТИЙ
Инж. ИГОШКИНА А. Ю.
Филиал «Институт дорожных исследований»
РУП «Белорусский дорожный инженерно-технический центр»
Несмотря на применение современных ма- фектов и, как следствие, потребности в со-
териалов и технологий при строительстве и ре- временных эффективных технологиях ямочно-
монте асфальтобетонных покрытий дорог, про- го ремонта продолжает оставаться актуаль-
блема устранения появляющихся на них де- ной, являясь одним из факторов обеспечения
