CC BY
107
ПРОЯВЛЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНОСТИ ФЕЙГЕНБАУМА В ПОВЕДЕНИИ ФОНДОВЫХ ИНДЕКСОВ
A.B. БАТУНИН, ИКБ «Столичный капитал» (г.Москва)
Идея нелинейности все более проникает в экономический анализ и теорию рынка капиталов [1], привлекая для исследований методы фрактальной геометрии и теории детерминированного хаоса [2,3]. Результаты, полученные этими методами при описании временных последовательностей фондовых индексов, цен на акции и т.п., позволили увидеть закономерности, необъяснимые в рамках гипотезы эффективного рынка: долговременная память рынка акций, временная задержка отклика на свежую информацию, нецелая размерность выборокданных.
К сожалению, выявленные закономерности являются эмпирическими, то есть они — не более чем удачная подгонка к экспериментальным данным. Уравнения, управляющие динамикой процессов, происходящих на финансовых рынках, до сих пор неизвестны. Более того, неизвестен даже полный набор переменных, необходимых для адекватного описания данных процессов. Несомненно, поиск этих переменных и уравнений, в которых они участвуют, — это чрезвычайно долгий и сложный путь.
В этой статье предлагается иной путь, основанный на одном замечательном наблюдении: если решения (представленные в виде временного ряда) неизвестных уравнений удовлетворяют неким специальным условиям, то возможно предсказать будущее поведение этих решений, не находя исходные уравнения в явном виде. Это справедливо, в частности, для целого класса нелинейных дифференциальных уравнений, чьи решения эволюционируют в соответствии со сценарием Фейгенбаума [4]. Эти решения должны удовлетворять очень строгим уело-, виям: производная Шварца для соответствующего отображения Пуанкаре должна быть отрицательной и иметь единственный максимум [5]. Сценарий Фейгенбаума притягателен тем, что не требует знания явной формы тех уравнений, чьи решения мы исследуем. Количественные характеристики (которые будут обсуждаться ниже) остаются одинаковыми для всех динамических систем данного класса.
Описание метода. Ранее [6,7] был предложен метод описания фондового рынка как некоторой динамической системы. Отправная точка этого метода состоит в следующем: динамическую систему характеризуют двумя величинами, а именно, некимди-намическим параметром и скоростью его изменения (первой производной по времени). Они называются обобщенной координатой ц и обобщенной скоростью д', соответственно. В качестве обобщенной координаты элемента фондового рынка обычно берется стоимость финансового инструмента, например, котировка акции. В качестве обобщенной координаты рынка акций 0 берется сумма котировок акций представительных эмитентов, взвешенных с соответствующими капитализациями т, нормированная на полную капитализацию рынка. На практике уже используется величина, аналогичная £). Например, для американских эмитентов в этой роли выступает фондовый индекс 8&Р 500.
Соответственно обобщенной скоростью рынка (}' называется изменение обобщенной координаты рынка в единицу времени. В качестве последней брали один торговый день, но в принципе разбиение шкалы времени может быть выбрано любым: час, неделя, месяц и т.д. Полная сводка устанавливаемых в рамках нашего метода соответствий представлена в таблице.
Понятие фазовой траектории. В качестве следующего шага в описании динамической системы введем понятие фазовой траектории, под которой понимается зависимость скорости обобщенной координаты от самой обобщенной координаты. Другими словами, если в качестве обобщенной координаты выступает стоимость ценной бумаги (котировка), то в качестве фазовой траектории будет выступать зависимость изменения котировки от самой котировки: зависимость вида <7'(<?)-
Напомним, что само понятие фазовой траектории пришло из физики, где для геометрической интерпретации физических состояний динамичес-
Таблица
Таблица соответствия терминов фондового рынка и параметров динамической системы
Параметр динамической системы Термин фондового рынка Обозначение
Обобщенная координата Котировка ценной бумаги Я
Обобщенная скорость Изменение котировки в единицу времени Ж
Обобщенное ускорение Скорость изменения котировки ^ г/7) ¿1 А
Масса элемента динамической системы Капитализация эмитента т
Координата центра тяжести системы Индекс фондового рынка N 0= м ¡V ' ы где значок / пробегает по с,сем эмитентам, от первого до А'-го.
Скорос ть центра тяжести Изменение индекса рынка в единицу времени
Ускорение центра тяжести Скорость изменения индекса рынка
Масса динамической системы Суммарная капитализация N эмитентов N
кой системы используется понятие фазового пространства. Это пространство 2УУ измерений, где N -число степеней свободы данной системы, на координатных осях которого откладываются значения N координат и N скоростей. Каждая точка фазового пространства отвечает определенному состоянию системы. При эволюции системы изображающая ее точка описывает в фазовом пространстве некоторую линию, которую называют фазовой траекторией. Как показывает опыт, состояние системы полностью определяется одновременным заданием всех координат и скоростей и позволяет в принципе предсказать ее дальнейшее движение. С математической точки зрения это означает, что в этом случае однозначно определяем и значение ускорения системы в данный момент [8].
Обобщенная координата рынка соответствует координате центра тяжести динамической системы (см. табл.), состоящей из материальных точек с одной степенью свободы — котировки акций могут либо увеличиваться, либо уменьшаться, что эквивалентно движению водном измерении. Будем интересоваться только движением центра тяжести системы (эволюцией обобщенной координаты рынка), поэтому соответствующее фазовое пространство получается двумерным (1 + 1=2), и вся фазовая траектория располагается в плоскости.
Привлекательность подобного описания состоит в том, что радикальному изменению поведения динамической системы соответствует радикальное изменение фазовой траектории. Примеры этого явления широко известны для разнообразных динамических систем [3,9]: возникновение и развитие турбулентности в эксперименте Рэлея-Бернара (гидродинамика), периодическая реакция Белоусо-ва-Жаботинского (химия), колебания численности популяций в системе хищник-жертва (биология), закономерности распределений пи-мезонов в столкновениях адронов при высоких энергиях (физика элементарных частиц) [10,11]. Естественно ожидать, что и на рынке ценных бумаг кризисным явлениям будет соответствовать качественное изменение соответствующей фазовой траектории.
Сценарий Фейгенбаума. Наиболее известным изменением является расщепление фазовой траектории: например, из траектории, первоначально имеющей форму кольца, получается «крендель», то есть двойное кольцо. В частности, именно такое поведение фазовой траектории наблюдается в нелинейных динамических системах, чья эволюция от порядка к хаосу происходит по сценарию Фейгенбаума: при плавном изменении управляющего параметра системы происходит серия последовательных бифуркаций —резких качественных переходов, при которых в системе воз-
300
250
ей г-
200
150
5 3
100
50
400 350 300
250
03 — О О
й 1 200 С^ Ш
5 з
К I 150 S С
51 ЮО Н
Я го
50
Л
Дни
Дни
Рис. 1. Эволюция фондового индекса S&P 500: а - в 1997 г.; б-в 1998 г.
иикает новая частота. Иными словами, меняется тип аттрактора (предельного притягивающего множества) системы: отточки к предельному 2-циклу, от 2-го к 4-циклу и т.д. Пределом такой серии бифуркаций является аттрактор Фейгенбаума с фрактальной размерностью /^.=0,537..., гомеоморфный Канторову множеству. Замечательно то, что расщепления фазовой траектории в сценарии Фейгенбаума независимо от конкретного вида динамической системы подчиняются двум строгим закономерностям: 1) отношение приращений управляющего параметра для двух соседних бифуркаций в пределе постоянно и равно 4,669...(бифуркации происходят при все меньших и меньших приращениях управляющего параметра); 2) отношение масштабов двух соседних расщеплений фазовой траектории также в пределе постоянно и равно знаменитой константе Фейгенбаума а/г= 2,5029...
Анализ данных. Ниже мы построим и проанализируем фазовые траектории фондового индекса Б&Р 500, играющего роль обобщенной координаты £> американского рынка акций, за два года: 1997 и 1998. Выбор пал именно на эти годы в силу того, что в 1997 г. разразился так называемый «азиатский» кризис, повлиявший на все мировые фондовые рынки, а 1998 г. был относительно спокойным, «обычным». Источником данных послужил информационный сайт [12], из которого для анализа были выбраны значения индекса Б&Р 500 в конце каждого торгового дня. Всего в итоге за два года было проанализировано 496 экспериментальных значений 0: 247 за 1997 г. и 249 за 1998 г.
Ранее были поставлены следующие цели:
• описание динамики американского фондового рынка на примере поведения индекса 8&Р 500 на фазовой плоскости;
• обнаружение бифуркаций и определение их параметров.
На рис. 1а и 16 показана эволюция индекса S&P 500 в 1997 г. и 1998 г., соответственно. Внешне эти графики похожи:
• в эти годы на рынке имела место в целом тенденция к повышению;
• в течение каждого из этих лет наблюдались как области повышения значения фондового индекса, так и области спада.
Для построения фазовой траектории в качестве Q выбирались значения S&P 500 в конце каждого торгового дня, а в качестве Q' — изменение индекса по сравнению с предыдущим торговым днем. Множество всех пар значений (Q;Q') за каждый торговый день дало в результате фазовые траектории, изображенные нарис.2а,б. Подчеркнем, что на фазовой траектории выпадает зависимость переменных от времени. В результате близкие на фазовой траектории точки могут соответствовать удаленным по времени торговым дням.
Для наглядности на фазовой траектории все точки (Q, Q') соединены между собой непрерывной плавной кривой в порядке возрастания времени наступления события. Очевидно яркое отличие фазовых траекторий для индекса S&P 500 в 1997 и в 1998 гг.:
• в 1997 г. фазовая траектория состоит из двух четко выделенных областей (примерно от 700 до 850 и от 880 до 980 по оси абсцисс), соединенных всего одной линией. Иными словами, в первом полугодии 1997 г. фазовая траектория была сосредоточена в одной области фазового пространства, потом (под влиянием каких-то внешних причин) фазовая траектория навсегда ушла в другую область фазового пространства;
• в 1998 г. в течение всего года фазовая траектория практически равномерно покрывает интервал от 950 до 1200 по оси абсцисс.
Рассмотрим эти гистограммы подробнее. Два первых максимума гистограммы 1997 г. достигаются в первом полугодии, а третий максимум — во втором полугодии. Другими словами, в первом полугодии наблюдается состояние системы с двумя максимумами (расстояний между которыми 850-790=60), а во втором полугодии — новое состояние с одним максимумом при 960. В сценарии Фейгенбаума этот максимум должен иметь пару на расстоянии, в aF раз большем, чем расстояние между двумя предыдущими максимумами, так как константа Фейгенбаума af =2,5029... характеризует именно масштаб последовательных расщеплений фазовой траектории. И действительно, на расстоянии 150 (= 60 * 2,5) от последнего максимума (960) наблюдается максимум гистограммы при значении индекса, равном 1110. Этот максимум был достигнут в 1998 г. (рис. 36).
Данное обстоятельство является первым указанием на то, что на фондовом рынке, возможно, реализуется сценарий Фейгенбаума. Следовательно, можно высказать следующую гипотезу: • фазовая траектория может служить индикатором потрясений, происходящих на фондовом рынке;
ственный скачок фондового индекса из одной об- • расщепление фазовой траектории происходит ласти фазовой траектории в другую. В 1998 г. этого по сценарию Фейгенбаума;
зафиксировано не было, то есть индекс S&P 500 • в середине 1997 г. (июнь-июль) фазовая траек-принимал значения, распределенные по фазовой тория рынка претерпела качественные измене-
плоскости более или менее равномерно по всему ния, перейдя из одной области фазового про-
диапазону его изменения, - ситуация в течение странства в другую, при этом масштаб расгцеп-
всего 1998 г. была более или менее стабильна. ления траектории увеличился в aF раз.
Дополнением к фазовой траектории индекса Таким образом, качественные изменения на
S&P 500 служит гистограмма его значений за 1997 и рынке ценных бумаг в 1997 г. произошли не в ок-1998 гг. (рис.За и 36), иллюстрирующая изменение тябре, а значительно раньше - в июне-июле плотности фазовой траектории. На этих графиках 1997 г., что, возможно, явилось индикатором пред-по оси абсцисс отложены значения индекса с шагом кризисных явлений. Новый максимум S&P 500 10, а по оси ординат - число значений индекса в при значении вблизи 1100 можно было предска-данном интервале значений, то есть, сколько раз на зать еще летом 1997 г.!
протяжении года значения индекса попадали в дан- Сечение Пуанкаре. С целью проверки высказан-
ный интервал. На гистограммах также видна каче- ной гипотезы более детально исследуем поведение ственная разница между годами. Так, в 1997 г. отчет- фазовых траекторий, соответствующих индексу ливо видны три максимума (при значениях индекса S&P 500. Для этого построим так называемые сече-около 790, 850 и 960), превосходящих «фон» соот- ния Пуанкаре. Сечением Пуанкаре называется за-ветственно в 3, 2 и 4 раза. В 1998 г. виден всего один висимость вида Qn+l = F(QJ - зависимость теку-яркий максимум (при значении индекса в интерва- щего значения координаты проекции фазовой трале 1110 -1120), превосходящий «фон» в 6 раз. ектории от предыдущего значения. Эта зависимость
Значения индекса S&P 500 (смещены вниз на 900)
б
Рис. 2. Фазовая траектория Б&Р 500: и — в 1997 г.; б— в 1998 г.
Другими словами, в 1997 г. имел место каче-
25
20
15
10
а
я
ОС ОС
ОО 00 оо оо
а
Интервалы значений индекса Б&Р 500
45 г
40
35
30-
25
20-
15
10
П
п
п
п
п П
псу
о о с о — ^
ООО
— .— — ^ 1
Интервалы значений индекса 5&Р 500
Рис. 3. Гистограмма значений в&Р 500: я - в 1997 г.; б- в 1998 г.
получается при пересечении фазовой траектории в ¿/-мерном фазовом пространстве с ^-мерной гиперплоскостью. Другими словами, сечением Пуанкаре является проекция фазовой траектории на некоторую поверхность меньшей размерности. В нашем случае фазовая траектория двумерна (г/=2). Гиперплоскость вырождается в линию (к= 1), в результате чего мы имеем одномерное сечение Пуанкаре. Значок« нумерует последовательность точек пересечения фазовой траектории и секущей линии.
Если удастся определить аналитический вид зависимости 0п+1 = Р(0/г), то по степени нелинейности функции /""можно сделать определенные выводы о динамических свойствах системы. В частно-
сти, в случае квадратичной зависимости (2п+] ~ <2п2 справедлив сценарий Фейгенбаума, при котором имеет место бесконечная серия бифуркаций удвоения периода при плавном изменении управляющего параметра.
Для построения сечения Пуанкаре нужно выбрать некую линию в фазовом пространстве в качестве секущей линии. В качестве такой линии выберем прямую, параллельную оси абсцисс, то есть линию, отвечающую постоянному значению С?' — скорости изменения индекса. Последовательные точки пересечения данной прямой с фазовой траекторией в виде зависимости 0я+/ = формируют сечение Пуанкаре.
ь,
300
250 -
200
150
100
50 -
♦ ♦ ♦ ♦ ♦
♦ ♦ ♦
♦ ♦
50
а
100 150 200
Предыдущее значение Б&Р 500
250
300
300
250
200
150
Й 100
&
£ 50
0 50 100 150 200 250
б Предыдущее значение Б&Р 500
Рис. 4. Пример сечения Пуанкаре для в&Р 500 в г. при (2'= — 2,44: а — все точки сечения; б— только точки, попадающие на параболу
На практике были зафиксированы некоторые случайные значения (2' (изменение котировки за день), и для каждого фиксированного значения £)' были выписаны те последовательные значения котировок которые попадали в узкий интервал вблизи выбранного фиксированного значения 0'. Из полученных таким образом упорядоченных пос-ледовательностей котировок строились зависимости вида = На рис. 4а приведен пример построения сечения Пуанкаре для значений индекса Б&Р 500 при 0'= - 2,44 в 1997 г.
Из рисунка видим, что точки, образующие сечения Пуанкаре, отчетливо разбиваются на два подмножества:
• первое, лежащее на биссектрисе 1-й четверти (подмножество 1),
• второе, лежащее на параболе с ветвями, направленными вниз (подмножество 2, см. рис. 46). Подмножество 1 («линейное») тривиально и
характеризует память (инертность) рынка ценных бумаг. Подмножество 2 («параболическое») удов-
летворяет специальному условию для сечения Пуанкаре, необходимому для наблюдения вдинамической системе сценария Фей-генбаума [5]. Это второе указание на то, что фондовый рынок, представленный индексом Б&Р 500, развивается по сценарию Фейгенбаума.
Ранее [13] аналогичные исследования были проведены д ля фондового рынка России в период его становления — с октября 1992 г. по июль 1994 г.— на примере практически единственной на тот период ценной бумаги — ваучера. Результат был таким же: расщепления соответствующей рынку ваучеров фазовой траектории «управлялись» константой Фейгенбаума, а соответствующие сечения Пуанкаре имели квадратичную составляющую.
Выводы. На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы:
1) американский фондовый рынок, характеризуемый индексом 8&Р 500, представляет собой нелинейную динамическую систему, развивающуюся, скорее всего, по сценарию Фейгенбаума, интерферирующему с инерционностью рынка;
2) согласно этому сценарию, при эволюции динамической системы возможны бифуркации (резкий переход из одного равновесного состояния в другое с удвоением числа максимумов), которым соответствует расщепление
ее фазовой траектории на определенные области. Отношение расстояний между соседними областями максимальной плотности траектории примерно равно а ., где аР — постоянная Фейгенбаума, 0.^=2,5029.... Фондовый рынок как пример динамической системы под влиянием внешних факторов переходит из одного равновесного состояния в другое равновесное состояние, в кагором значение фондового индекса относительно его предыдущего значения определяется величиной аг; есть веские основания считать, что и другие фондовые рынки представляют собой динамические системы, развивающиеся по сценарию Фейгенбаума, искаженному инерционностью рынка. В методе фазовых траекторий выпадает зависимость от времени. Предсказания о поведении фондового рынка имеют следующий вид: «при неизменности внешних параметров наиболее вероятное значение фондового индекса будет таким-то». Это означает, что данное значение индекса будет
300
1997
3)
достигаться наибольшее по сравнению с другими значениями число раз, но неизвестно, в какие конкретно моменты времени это произойдет.
Метод фазовых траекторий выявил сценарий, по которому развивается фондовый рынок. Теперь главная задачадальнейших исследований — найти управляющий параметр, ответственный за переход динамической системы (в нашем случае, фондового рынка) из одного равновесного состояния в другое.
ЛИТЕРАТУРА
1. Peters Е. Chaos and Order in the Capital Markets. New York: Wiley, 1996. 2nd edition.
2. Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W.H. Freeman, 1982.
3. Cvitanovic P. Universality in Chaos. A reprint selection. Bristol: Adam Hilger, 1984.
4. Feigenbaum M.J. Universal Behavior in Nonlinear Systems. // Physica. 1983.T. 7D. C.23.
5. Шарковский A.H. Динамика одномерных отображений. Киев: Наукона думка, 1989.
6. Батунин А.В. Фондовый рынок как нелинейная динамическая система.//Деловой партнер. 1997. № 12(27). С. 21.
7. Батунин А.В. Проблема предсказуемости на фондовом рынке.//Дайджест-финансы. 2001. № 3. С. 100.
8. ЛандауЛ.Д. иЛчфшиц Е.М. Механика. М.: ГИФМЛ,
1958.
9. Schuster H.G. Deterministic Chaos. Wcinheim: Physik-Verlag, 1984.
10. Batunin A.V. Bifurcation Model of Hadroproduction and Duality ofthe Dependences p(n) and n(s). //Physics Letters B. 1993. T. 318. C. 391.
11. Batunin A. V., Sergeev S.M. Transfer Matrix Method and Intermittcncy Generating Dynamics in Hadron Physics./ /Physics Letters B. 1994. T. 327. C. 293.
12. www.globalfindata.com
13. Батунин А.В, Килячков A.A., Чалдаева Л.А. Фазовые траектории динамических систем на рынке ценных бумаг//Финансы и кредит. 2001. № 8. С. 3.
