CC BY
52
ПРОЯВЛЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНОСТИ ФЕЙГЕНБАУМА И ЦИКЛИЧНОСТЬ В ПОВЕДЕНИИ ФННДОВЫХ ИНДЕКСОВ
А.В.БАТУННИ.
кандидат физико-математических наук, доцент РУДН А.С.ВАСИЛЕВСКИЙ
М|ск1вский инжеверно-физический институт
Введение. Идея нелинейности все более проникает в экономический анализ и теорию рынка капиталов [1], привлекая для исследований методы фрактальной геометрии и теории детерминированного хаоса [2, 3]. Результаты, полученные этими методами при описании временных последовательностей фондовых индексов, цен на акции и т.п., позволили увидеть закономерности, необъяснимые в рамках гипотезы эффективного рынка: долговременная память рынка акций, временная задержка отклика на свежую информацию, нецелая размерность выборок данных [1].
К сожалению, выявленные закономерности являются эмпирическими, т.е. они — не более чем удачная подгонка к экспериментальным данным. Уравнения, управляющие динамикой процессов, происходящих на финансовых рынках, до сих пор неизвестны. Более того, неизвестен даже полный набор переменных, необходимых для адекватного описания финансовых рынков. Несомненно, поиск этих переменных и уравнений, в которых они участвуют, представляет собой большую и сложную задачу.
В этой статье предлагается иной путь, основанный на одном замечательном наблюдении: если решения (представленные в виде временного ряда) неизвестных уравнений удовлетворяют неким специальным условиям, то возможно предсказать будущее поведение этих решений, не находя исходных уравнений в явном виде. Это справедливо, в частности, для целого класса нелинейных дифференциальных уравнений, чьи решения эволюционируют в соответствии со сценарием Фейгенбаума [4]. Эти решения должны удовлетворять очень строгим условиям: производная Шварца для соответствующего отображения Пуанкаре должна быть отрицательной
и иметь единственный максимум [5]. Сценарий Фейгенбаума притягателен тем, что не требует знания явной формы тех уравнений, чьи решения исследуем. Количественные характеристики (которые будут обсуждаться ниже) остаются одинаковыми для всех динамических систем данного класса.
Описание метода. Ранее [6, 7] был предложен метод описания фондового рынка как некоторой динамической системы. Отправная точка этого метода состоит в следующем: динамическую систему характеризуют двумя величинами, а именно: неким динамическим параметром и скоростью его изменения (первой производной по времени). Они называются обобщенной координатой д и обобщенной скоростью соответственно. В качестве обобщенной координаты элемента фондового рынка обычно берется стоимость финансового инструмента, например котировка акции. В качестве обобщенной координаты, всего рынка акций берется сумма котировок акций представительных эмитентов, взвешенных с соответствующими капитализациями, т, нормированную на полную капитализацию рынка. На практике уже используются величины, аналогичные (?. Для американского рынка акций, например, в этой роли выступает индекс Б&Р 500.
Соответственно, обобщенной скоростью рынка 0 ' называется изменение обобщенной координаты рынка в единицу времени. В качестве последней брался один торговый день, но, в принципе, разбиение шкалы времени может быть выбрано любым: минута, час, неделя, месяц и т.д. Полная сводка соответствий, устанавливаемых в рамках данного метода, представлена в таблице.
Соответствие терминов фондового рынка и параметров динамической системы
Параметр динамической системы Термин фондового рынка Обозначение
Обобщенная координата Котировка ценной бумаги Я
Обобщенная скорость Изменение котировки в единицу времени т
Обобщенное ускорение Скорость изменения котировки а t ш ш \
Масса элемента динамической системы Капитализация эмитента т
Координата центра тяжести системы Индекс фондового рынка N —> где / пробегает по всем эмитентам, от первого до ЛГ-го
Скорость центра тяжести Изменение индекса рынка в единицу времени
Ускорение центра тяжести Скорость изменения индекса рынка
Масса динамической системы Суммарная капитализация N эмитентов N /=1
Понятие фазовой траектории. В качестве следующего шага в описании динамической системы введем понятие фазовой траектории, под которой понимается зависимость скорости обобщенной координаты от самой обобщенной координаты. Другими словами, если в качестве обобщенной координаты выступает стоимость ценной бумаги (котировка), то в качестве фазовой траектории будет выступать зависимость изменения котировки от самой котировки:'зависимость вида д'(д).
Напомним, что само понятие фазовой траектории пришло из физики, где для геометрической интерпретации физических состояний динамической системы используется понятие фазового пространства. Это пространство 27Уизмерений, где
число степеней свободы данной системы, на координатных осях которого откладываются значения N координат и № скоростей. Каждая точка фазового пространства отвечает определенному состоянию системы. При эволюции системы изображающая ее точка описывает в фазовом пространстве некоторую линию, которую называют фазовой траекторией. Как показывает опыт, состояние системы полностью определяется одновременным заданием всех координат и скоростей и позволяет, в принципе, предсказать ее дальнейшее движение. С математической точки зрения это означает, что в этом случае однозначно определяем и значение ускорения системы в данный момент [8].
Обобщенная координата рынка соответствует координате центра тяжести динамической системы
(см. таблицу), состоящей из материальных точек с одной степенью свободы — котировки акций могут либо увеличиваться, либо уменьшаться, что эквивалентно движению в одном измерении. Мы будем интересоваться только движением центра тяжести системы (эволюцией обобщенной координаты рынка), поэтому соответствующее фазовое пространство получается двумерным (1+1 =2), и вся фазовая траектория располагается в плоскости.
Привлекательность подобного описания состоит в том, что радикальному изменению поведения динамической системы соответствует радикальное изменение фазовой траектории. Примеры этого явления широко известны для разнообразных динамических систем [3, 9]: возникновение и развитие турбулентности в эксперименте Рэлея-Бернара (гидродинамика), периодическая реакция Белоусова-Жаботинского (химия), колебания численности популяций в системе хищник-жертва (биология), закономерности распределений пи-мезонов в столкновениях адронов при высоких энергиях (физика элементарных частиц) [10,11]. Естественно ожидать, что и на рынке ценных бумаг кризисным явлениям будет соответствовать качественное изменение соответствующей фазовой траектории.
Сценарий Фейгенбаума. Наиболее известным изменением является расщепление фазовой траектории: например, из траектории, первоначально имеющей форму кольца, получается
шдиыныш
чески единственной на тот период ценной бумаги
- ваучера. Результат был следующим: расщепления соответствующей рынку ваучеров фазовой траектории «управлялись» константой Фейген-баума, а соответствующие сечения Пуанкаре имели наряду с «линейной» также и квадратичную составляющую.
На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы:
1) американский фондовый рынок представляет собой нелинейную динамическую систему, развивающуюся, скорее всего, по сценарию Фейгенбаума, интерферирующему с инерционностью рынка;
2) согласно этому сценарию, при эволюции динамической системы возможны бифуркации (резкий переход из одного равновесного состояния в другое с удвоением числа максимумов), которым соответствует расщепление ее фазовой траектории на определенные области. Отношение расстояний меаду соседими областями максимальной плотности траектории примерно равно ар где aF
- постоянная Фейгенбаума, aF =2,5029.... Фондовый рынок как пример динамической системы под влиянием внешних факторов переходит из одного равновесного состояния в другое равновесное состояние, в котором значение фондового индекса относительно его предыдущего значения определяется величиной а^
3) была обнаружена цикличность с периодом 3 года в поведении американских фондовых индексов S&P 500 и (менее выраженная) Dow Jones.
В методе фазовых траекторий выпадает зависимость от времени. Предсказания о поведении фондового рынка имеют следующий вид: «при неизменности внешних параметров наиболее вероятное значение фондового индекса будет таким-то». Это означает, что данное значение индекса будет дости-
8 (128) -2105
гаться наибольшее по сравнению с другими значениями число раз, но неизвестно, в какие конкретно моменты времени это произойдет. Главная задача дальнейших исследований - найти управляющий параметр, ответственный за переход динамической системы - в данном случае фондового рынка - из одного равновесного состояния в другое.
Литература
1. Peters, Е. Chaos and Order in the Capital Markets. - New York: Wiley, 1996.
2. Mandelbrot, B. The Fractal Geometry of Nature. - New York: W.H.Freeman, 1982.
3. Cvitanovic, P. Universality in Chaos. A reprint selection. - Bristol: Adam Hilger, 1984.
4. Feigenbaum, M.J. "Universal Behavior in Nonlinear Systems," Physica7D, 1983.
5. Шарковский A.H. Динамика одномерных отображений. - Киев: Наукова думка, 1989.
6. Батунин А.В. Фондовый рынок как нелинейная динамическая система //Деловой партнер, 1997, № 12(27).
7. Батунин А.В. Проблема предсказуемости на фондовом рынке // Дайджест-финансы.-2001.-№3.
8. Ландау Л.Д. иЛифшиц Е.М. Механика. - М.: ГИФМЛ, 1958.
9. Шустер Г. Детерминированный хаос. - М.: Мир, 1984.
10. Batunin, A.V. Bifurcation model of hadro-production and duality of the dependences p(n) and n(s) // Physics Letters B, 1993, № 318.
11. Batunin, A. V., Sergeev, S.M. Transfer matrix method and intermittency generating dynamics in hadron physics. // Physics Letters B, 1994, № 327.
12. Батунин А.В, Килячков A.A., Чаадаева Л.A. Фазовые траектории динамических систем на рынке ценных бумаг // Финансы и кредит.- 2001 .— №8.-9,12.
