Фазовые траектории динамических систем на рынке ценных бумаг Текст научной статьи по специальности «Математика»

РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ

ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА РЫНКЕ ЦЕННЫХ БУМАГ

A.B. Батунин, A.A. Килячков, JI.A. Чаадаева

В предыдущей нашей статье [5] было указано на то, что поведение рынка ваучеров как динамической системы сопровождается последовательным расщеплением соответствующей фазовой траектории. Это характерно для сценария Фейгенбаума, одного из нескольких возможных сценариев поведения динамической системы при переходе системы от порядка к хаосу [4]. Отметим, что сценарий Фейгенбаума подробно изучен физиками и математиками [3,4] и было бы весьма заманчиво применить полученные результаты для анализа фондового рынка.

С целью проверки высказанной гипотезы более детально исследуем поведение фазовых траекторий. Для этого построим так называемые сечения Пуанкаре. Напомним, что сечением Пуанкаре называется зависимость вида яп+] = Р(яп) - зависимость текущей координаты проекции фазовой тра-

2000

1500

1000

500

X 'И

_ - Х-- -------- --

-----Г 1

-1000

-1500

-2000

-20000-у

•Г ♦ ♦ ♦

*—30000"

Одномерное сечение Пуанкаре

Котировка ваучера

Рис. 1. Одномерное сечение Пуанкаре на примере фазовой траектории рынка ваучеров

ектории от предыдущей координаты. Она получается при пересечении фазовой траектории в семерном фазовом пространстве с к-мерной гиперплоскостью. Другими словами, сечением Пуанкаре является проекция фазовой траектории на некоторую поверхность меньшей размерности. В нашем случае фазовая траектория двумерна (с1=2). При этом гиперплоскость вырождается в прямую (к=1), в результате чего мы имеем одномерное сечение Пуанкаре (рис. 1). Значок п нумерует последовательность точек пересечения фазовой траектории и секущей прямой.

Если удаться определить аналитический вид зависимости яп+| = Р(яп), то по степени нелинейности функции Р7 можно сделать определенные выводы о динамических свойствах системы. В частности, в случае квадратичной зависимости яп+1 ~ яп2 справедлив сценарий Фейгенбаума, при котором

имеет место бесконечная серия бифуркаций удвоения периода при плавном изменении управляющего параметра. Например, первоначально кольцеобразная фазовая траектория раздваивается, затем учетверяется и т.д.

На практике были зафиксированы некоторые

- а'-{аЛ

из значении ч - —г

)

(изменение котировки за день), и для каждого фиксированного значения ч' были выписаны те последовательные значения котировок <7, которые попадали в узкий интервал вблизи выбранного фиксированного значения д'.

♦ ♦

♦

♦ ♦

J--4

♦

501100

Из полученных таким образом упорядоченных последовательностей котировок строились зависимости вида чо+1 = Б^). На рисунках 2 и 3 построены сечения Пуанкаре для значений

Я =

Л

= 182

и Я =

А

= 318.

учеров

9 =

с1\

будем называть "ускорением котировки" - по аналогии с физическим определением ускорения. "Ускорение котировки" введем следующим образом:

Я =

йН

Л

Л

На обоих рисунках точки сечения Пуанкаре разбиваются на два подмножества:

• первое, лежащее на биссектрисе 1-й четверти (подмножество 1);

• второе, лежащее на параболе с ветвями, направленными вниз (подмножество 2).

Подмножество 1 тривиально и характеризует память (инертность) рынка ваучеров. Подмножество 2 удовлетворяет специальному условию для сечения Пуанкаре, необходимому для наблюдения в динамической системе сценария Фейгенбаума.

Таким образом, нами получено два независимых подтверждения реализации на фондовом рынке сценария Фейгенбаума:

масштаб расщепления фазовой траектории [5] практически совпадает с константой Фейгенбаума а= 2,5029...,

сечения Пуанкаре фазовой траектории имеют квадратичную составляющую.

Далее была исследована скорость изменения котировки ва-

5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000

предыдуире значение котировки, руб

Рис. 2. Сечение Пуанкаре для ваучеров при = 182

1 10000

5000 10000 15000 20000 25000

предыдущее значение котировки, руб

Рис. 3. Сечение Пуанкаре для ваучеров при = 318

которую *

Дневная котировка, руб

Рис. 4. Производная фазовой траектории для ваучеров

& 40000 о.

а"

ш 8. X

8 30000

<3 20000

£ 40000 о.

3"

О

а

к

^ 30000

2

5 20000

10000

Скорость котировок, р^/день

Рис. 5. Корреляция ускорения и скорости котировок

♦ *

^ # ♦

♦

♦ *

Ю00 20000 30000 40000

Вчерашняя котировка, руб

Рис. 6. Однодневная "память" для ваучеров

* -■ шшШГШш

■ ■ л/Т-'

■■ ----

■ж ■ - - - ■ ■ -

вг

000 20000 30000 40000

Котировка 2 дня назад, руб

Рис. 7. Двухдневная "память" для ваучеров

Зависимость "ускорения котировки" от котировки ваучера можно рассматривать как производную по времени от фазовой траектории. Эта зависимость представлена на рисунке 4. На рисунке отчетливо видно симметричное относительно оси абсцисс множество точек с тремя ярко выраженными сгущениями аналогично структуре фазовой траектории, изображенной на рисунке 1. Это обстоятельство дает основание для предположения о достаточно сильной корреляции между скоростью котировки и ее ускорением. Для проверки этого предположения рассмотрим зависи-' /2 N

мость

йЬ

то есть зависимость ускорения котировки от скорости котировки ваучеров, которая изображена на рисунке 5. Как видно из рисунка, подавляющее большинство точек графика располагается в 1-й и 3-й четвертях, что говорит о положительной

корреляции между скоростью д' и ускорением д".

Полученные результаты указывают на неустойчивость рынка ваучеров в исследуемые годы: рост и падение стоимости ценных бумаг происходили в подавляющем числе случаев с нарастающей скоростью, что характерно для лавинообразных процессов.

Кроме приведенных выше графиков, были построены зависимости текущих котировок ваучеров от их котировок один, два и три дня назад. Указанные зависимости представлены на рисунках, соответственно, 6-8.

Очевидно, что с увеличением срока давности множество точек графика, первоначально сосредоточенное практически полностью вдоль биссектрисы 1-й четверти, постепенно "размывается" - динамическая си-

стема теряет память о предыдущих состояниях, что естественно. Однако скорость этого процесса очень незначительна, что указывает на высокую инерционность рынка ваучеров, характеризуемой линейной составляющей сечения Пуанкаре.

Из полученных результатов можно сделать следующие выводы:

фондовый рынок, представленный рынком ваучеров, допускает интерпретацию в виде динамической системы;

£ 40000

S

S 30000

к §

э

; «

г

з 20000

А

......: -----

. . - . ..

Jt :

20000 30000 40000

Котировка 3 дня назад, руб

Рис. 8. Трехдневная "память" для ваучеров

поведение полученной динамическои системы происходило в соответствии со сценарием Фейгенбаума, наложенном на эффект последействия, представляющего собой инерционность рынка;

сценарий Фейгенбаума для динамической системы предполагает серию бифуркаций, на рынке ценных бумаг проявляющуюся, в частности, в удвоении максимумов для стоимости ценной бумаги при изменении некоего (пока неизвестного) управляющего параметра;

тором периоды относительной и длительной стабилизации, характеризующиеся высокой инерционностью рынка, сменялись катастрофическими изменениями его стоимости, приобретавшими лавинообразный характер.

Полученные результаты указывают на применимость предложенного метода фазовых траекторий для анализа поведения других рынков ценных бумаг. Результаты использования предложенного метода для изучения поведения других фондовых рынков будут изложены в дальнейшем.

рынок ваучеров характеризовался высокой неустойчивостью, характерной для лавинообразных процессов;

при этом рынок ваучеров отличался высокой инерционностью, характеризующейся сильной корреляцией между котировками ценной бумаги в последующие дни.

Кажущееся противоречие между пунктами 4 и 5 выводов обусловлено тем, что рынок ваучеров имел признаки катастрофического рынка, при ко-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Батунш A.B.// Деловой партнер. 1997. №12, с. 21.

2. Батунин Ай.//Дайджест - Финансы. 2001. № 3,с. 40.

3. Батунин A.B.//Успехи физических наук. 1995. Т. 165. № 6. с. 645.

4. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988.

5. Батунин A.B., Килячков A.A., Чаадаева Л.А. Фазовые траектории динамических систем на рынке ценных бумаг. Финансы и кредит. 2001, № 8.