CC BY
27
КРАТНОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ В ПРОСТРАНСТВЕ £2(Z)
© A.B. Певный (Сыктывкар)
Понятие кратномасштабного анализа (КМА) в L2(R) ввел С. Малла в 1989 г. КМА в Ь2(Ж) -это последовательность {Vk}kez замкнутых подпространств таких, что
f(x) evk^ /(2-кх) £ Vo. (1)
Ввиду (1) задание Vo определяет все пространства Vk-
Нашей целью является построение КМА в пространстве ¿2(Z) всех последовательностей {x(j)}j€z, ДЛЯ которых EJ6Z \ХШ2 < 00• Здесь возникает сложность со свойством (1), ибо 2~kj может быть не целым числом. В работе построен нестационарный КМА {Vk}k^o в ¿2(Z), в котором подпространства V¡¿ состоят из дискретных сплайнов. Нестационарность заключается в том, что в каждом Vk найдется своя функция ipk такая, что система {<р&(- — 12к) : I £ Z} образует базис Рисса в Vk- Соответственно, система вейвлетов ipki{j) — 4>k(j ~ 12к), I к = 1,2,..., не порождается растяжениями и сдвигами одной функции. Подпространства Wk = span{^fc/ : I £ Z} образуют
ортогональное разложение всего пространства: £2(Z) = ®^=lWk.
Для L2(IR) нестационарный КМА построен в [1], но наша основная идея другая - в качестве Vk брать пространства дискретных сплайнов Sp 2fc порядка р с расстоянием между узлами 2к (см. [2]). При каждом натуральном р получается свой КМА (при р = 1 — хааровский КМА).
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 02-01-
00084.
ЛИТЕРАТУРА
1. Берколайко М.З., Новиков И.Я. // Матем. заметки. 1994. Т. 56. № 3. С. 3-12.
2. Pevnyi A.B., Zheludev V.A. // J. Fourier Anal. Appl. 2002. V. 8. № 1. P. 59-83.
ПРОСТРАНСТВА СМИРНОВА-СОБОЛЕВА И ИХ ВЛОЖЕНИЯ
© A.A. Пекарский (Минск)
Пусть G - односвязная ограниченная область со спрямляемой границей 8G и 0 < р < оо. Через EP(G) обозначим пространство В.И. Смирнова функций / аналитических в G. Пространство
Смирнова-Соболева Ер(С), в Є ЛГ, состоит из функций /, аналитических в в, таких, что /(*) Є Є ЕР{С). Если С - круг, то Ер(С) суть пространство Харди, а Е*(Є) пространство Харди-Соболева. В последнем случае известно следующее вложение Харди-Литтлвуда:
Это вложение недавно было обобщено автором [1] на пространства Смирнова-Соболева в областях Лаврентьева. В работе [2] получено дальнейшее обобщение вложения Харди-Литтлвуда. Именно, показано, что это вложение выполняется, если область в удовлетворяет условию: для любых точек £ и г] из дС справедливо неравенство
Здесь |Г(£, т))\ - длина наименьшей из двух дуг дС, соединяющих точки (ит/; /0+(£, г/) - внутреннее расстояние (относительно О) между точками £ и 77.
В докладе будут рассматриваться также [1] рациональные приближения классов Е*(С) в
ЛИТЕРАТУРА
1. Пекарский A.A. Рациональные приближения функций с производными из пространства В.И. Смирнова // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13. № 2. С. 165-190.
2. Пекарский A.A. Пространства Смирнова-Соболева и их вложения // Матем. сборник (в печати).
Хорошо известно, что в теории вероятностей А.Н. Колмогоров сделал исключительно много, получив важные результаты в различных областях этой обширной в наше время науки. Только после выхода в свет его монографии "Основные понятия теории вероятностей" (1933 г. - на немецком языке, 1936 г. - на русском) стало возможно говорить о теории вероятностей как о математической науке в современном смысле слова, основанной на системе аксиом. А.Н. Колмогоровым также было найдено достаточное условие для применимости усиленного закона больших чисел к последователь-
Указанное условие является и необходимым. Именно, если оно не выполнено, то можно найти последовательность независимых случайных величин с теми же дисперсиями, для которых усиленный закон больших чисел уже не имеет места. Позднее сам же Андрей Николаевич заметил, что для одинаково распределенных независимых слагаемых из его результата вытекает более сильное заключение: существование математического ожидания является необходимым и достаточным условием применимости усиленного закона больших чисел в этом случае.
E^(G)cEp(G), 1/а = 8 + 1/р.
|Г(£,?7)| ^ XP+(£,v), X = X(G)Z 1,
EP(G).
О ВКЛАДЕ А.Н. КОЛМОГОРОВА В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
© Н.П. Перстенева, Т.А. Ткачева (Самара)
