О вкладе А. Н. Колмогорова в теорию вероятностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Смирнова-Соболева Е*(Сг), в £ ЛС, состоит из функций /, аналитических в О, таких, что /(*) є Є ЕР(С). Если Є - круг, то Ер(С) суть пространство Харди, а Е*(Є) пространство Харди-Соболева. В последнем случае известно следующее вложение Харди Литтлвуда:

Это вложение недавно было обобщено автором [1] на пространства Смирнова-Соболева в областях Лаврентьева. В работе [2] получено дальнейшее обобщение вложения Харди-Литтлвуда. Именно, показано, что это вложение выполняется, если область С удовлетворяет условию: для любых точек £ и г] из дС справедливо неравенство

Здесь |Г(£, т])\ - длина наименьшей из двух дуг <9С?, соединяющих точки £ и г); />+(£, г\) - внутреннее расстояние (относительно в) между точками £ и г].

В докладе будут рассматриваться также [1] рациональные приближения классов Е*(С) в

ЛИТЕРАТУРА

1. Пекарский А.А. Рациональные приближения функций с производными из пространства В.И. Смирнова // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13. № 2. С. 165-190.

2. Пекарский А.А. Пространства Смирнова-Соболева и их вложения // Матем. сборник (в печати).

Хорошо известно, что в теории вероятностей А.Н. Колмогоров сделал исключительно много, получив важные результаты в различных областях этой обширной в наше время науки. Только после выхода в свет его монографии "Основные понятия теории вероятностей" (1933 г. - на немецком языке, 1936 г. - на русском) стало возможно говорить о теории вероятностей как о математической науке в современном смысле слова, основанной на системе аксиом. А.Н. Колмогоровым также было найдено достаточное условие для применимости усиленного закона больших чисел к последователь-

Указанное условие является и необходимым. Именно, если оно не выполнено, то можно найти последовательность независимых случайных величин с теми же дисперсиями, для которых усиленный закон больших чисел уже не имеет места. Позднее сам же Андрей Николаевич заметил, что для одинаково распределенных независимых слагаемых из его результата вытекает более сильное заключение: существование математического ожидания является необходимым и достаточным условием применимости усиленного закона больших чисел в этом случае.

Е°а(С) С ЕР(С), 1/ст = з + 1/р.

ЕР(С).

О ВКЛАДЕ А.Н. КОЛМОГОРОВА В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

© Н.П. Перстенева, Т.А. Ткачева (Самара)

На основе исследований А.Я. Хинчина А.Н. Колмогоров пришел к следующему выводу: если

П

Яп = Вп — и при п -» оо

к=1

1 )Вп оо, ______

2)|£„| ^ Ш„ = О (^/ 1„ывп)> Т0 Р (,1™, ^В-пЫпВ, = 1) = 1.

Точный смысл этого утверждения, как известно, состоит в следующем: каковы бы ни были (5 > 0 и г] > 0, для достаточно больших п и произвольного р вероятность того, что

а) будет выполнено по меньшей мере одно неравенство |в* — Мя*. | > \/2 В к 1п 1пБ*(1 + 6) (к = п, п + 1,..., п + р), меньше

б) будут выполнены все неравенства |в* - Мв*| < \f2Bk 1п 1пВЛ(1 — 6) (к — п, п + 1,..., п + р), меньше Г).

Для развития всей современной теории вероятностей основополагающее значение имела работа А.Н. Колмогорова, в которой были заложены основы общей теории марковских случайных процессов. В истории теории вероятностей трудно указать другие произведения, которые столь решающим способом изменили бы сложившиеся точки зрения и основные направления исследований.

А.Н. Колмогоровым был также получен критерий для оценки правильности принятой гипотезы о распределении наблюдаемой случайной величины по наблюденной эмпирической функции распределения и найдена каноническая форма для логарифма характеристической функции однородных случайных процессов с независимыми приращениями для случая конечной дисперсии.

Безусловно, авторы не берут на себя смелость оценить выдающиеся результаты академика А.Н. Колмогорова, а лишь пытаются отразить те важные моменты, которые используются в учебном процессе.

То, что теория вероятностей встала в ряд математических дисциплин по характеру своего построения и преобрела многие новые мощные средства изучения явлений природы и технических процессов, в значительной мере является заслугой А.Н. Колмогорова. Каждая его работа представляла серьезное событие в жизни науки, так как он прокладывал в науке новые пути, приводил в систему разрозненные задачи и факты, находил новые возможности развития ранее существовавших теорий.

О ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

© М.В. Плеханова, В.Е. Федоров (Челябинск)

Пусть пространства Х,У,Ы- гильбертовы, и заданы операторы В £ С(И,У), L 6 С(Х\У) и сильно (L, р)-секггориальный [1] оператор М 6 С1(Х-,У). Рассмотрим задачу Коши

х(0) = хо, Lx(t) — Mx(t) + y(t) + Bu(t). (1)

Предложенный ниже подход позволяет получить достаточные условия разрешимости задачи управления для системы (1) при произвольном начальном значении хо в отличие от результатов работы [2]. Пусть

{«(*) 6 Нр+1 (0,т;И) : ((/ - Q)Bu)W(0) = 0,к = Т^} = HP+1(U).

Выделим в НР+1{Ы) выпуклое замкнутое подмножество Hq+1 и определим множество Я|+1( 0) = = {v Е U : 3u(t) 6 Hg+1 и(0) = и}. Обозначим через Hg(xo,y(t)) множество u(t) 6 Hg+1, таких,

ЧТО

(7 - Q)Bu(0) = —Mq(I - Р)х0 - ^(L0M0-1)«((J - Q)j,)<«>(0).

q=О