Кратномасштабный анализ в пространстве квадратично суммируемых дискретных сигналов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 5.2008

УДК 519.652

Кратномасштабный анализ в пространстве

квадратично суммируемых дискретных сигналов 1

А.Б. Певчий

Понятие кратномасштабного анализа играет важную роль в теории вейвлетов. В работе строится нестационарный кратно-масштабный анализ в пространстве £2(Х). Такой случай интересен с точки зрения цифровой обработки сигналов

1. Введение. Понятие кратномасштабного анализа (КМА) в £2(К) ввёл и исследовал С. Малла в 1989 г. В настоящее время теория КМА в £2(К) приводится во многих статьях и книгах/см., например, [1, 2, 3]). Напомним определение КМА [3]: кратномасштабный анализ - это последовательность {Ук}кеХ замкнутых подпространств 2>2(К) таких, что 14 С 14+1; замыкание объединения всех 14 есть Ь2(Ж)] пересечение всех 14 содержит только 0; -

1(х)еЦ*=*/(2~кх)еУо-, (1)

существует функция <р € Уо такал, что {<£>(• — п)}п^ образует базис Рисса в У0.

Ввиду (1) задание Уо определяет все пространства 14.

Нашей целью является построение КМА в пространстве £2(Х) всех последовательностей {х^)}^^, для которых 1ж0)|2 < 00• Здесь

возникает сложность со свойством (1), ибо 2~к] может быть не целым числом. Будет построен нестационарный КМА {14} ^>0 в в ко-

тором подпространства 14 состоят из дискретных сплайнов. Нестационарность заключается в том, что в каждом 14 найдется своя функция <рк такал, что система {ц>к(- — 12к) : I € Z} образует базис Рисса

1Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 02-01-00084)

© Певный А. Б., 2003.

в Соответственно система вейвлетов фыЦ) = ФкЦ ~ I € Ж, к — 1,2,..., не порождается растяжениями и сдвигами одной функции. Для постранства Ь2(Ш) нестационарный КМ А построен в [4], но наша основная идея другая - в качестве 14 брать пространства дискретных сплайнов 8р>2* (определение пространств 8Р)П см. в п. 5).

2. Дискретные В-сплайны определяются [5, 6, 7] на множестве целых чисел X. Зафиксируем натуральные р, п. Определим дискретные В-сплайны В^Ц), ..., Вр<п(]) € Ж) следующим образом. Положим

п

€ 0 : п - 1, при остальных j € Z.

Здесь 0 : п — 1 — множество целых чисел {0,1,..., п — 1}.

Далее используем рекуррентное определение Br<n = Flin*jBr_i>n, г 6 2 : р, или Br<n(j) = Efc=¿ Д-i.nÜ - *), ¿ € Z, r = 2,...,р. Впервые такое определение появилось в работах [10, 11].

В-сплайн Bp,n обладает свойствами: Вр<п{ р(п — 1) — j ) = Bp¡n(j) для любого целого j; BPt„(j) > 0 при j € 0 : p(n — 1), Bp¡n(j) — 0 при остальных j. В частном случае п = 1 получаем

BP,i(j) = S(j) := | ^ ¿ри остальных j € В дальнейшем понадобится также свойство

оо

у; - kn)BPtn{j -ln) = В2р,п( р(п - 1 )-(к- 1)п ). (2)

3. Полиномы Эйлера-Фробениуса. Определим тригонометрический полином, который будет играть важную роль в дальнейшем.

Предположим, что число и = р(п —1)/2 является целым (точка и — это середина носителя В-сплайна Вр<п). Положим bp(k) = Bp>n(v + кп). Заметим, что Ьр(—к) = Ьр(к) и Ьр(к) отлично от нуля если \к\ < /г := [vjn] = [р(п — 1)/(2п)], где [а] означает целую часть а. Четный тригонометрический полином

М /и

Тр,п(ж) = br(k)eikx = Ьр(0) + 2 ]Г М*0 cos fcs k=—ii к=1

называется полиномом Эйлера-Фробениуса (см. аналогичное определение в [12]). Основное свойство этих полиномов — положительность для всех х.

Лемма 1. Полином Тр<п{х) строго положителен для всех х. Полином Тчр>„ четного порядка 2р допускает оценку

Т2р,„(х) > (1)2Рп2р'\ * 6 (-оо,оо). (3)

Первое утверждение установлено в [6, 7], второе— в [5].

4. Экспоненциальные сплайны. По-прежнему предполагаем число и — р(п — 1)/2 целым. Рассмотрим экспоненциальные сплайны

оо

ЕРЛ*,Л= £ (4)

/=-оо

При Каждом з в сумме (4) не более р ненулевых слагаемых, поэтому при фиксированном з функция Ер>п(х,%у) является тригонометрическим полиномом от х. При этом \Ер.п(х,< Ср,„ := рВр<п{у). Аналогичные сплайны непрерывного аргумента рассматривались И. Шенбергом в [12], с. 17. Отметим сдвиговое свойство

Ер,п(х^-кп) = е*хЕр.п(хЛ). (5)

В точке з = и :=.р(п — 1)/2 равенство (4) принимает вид

Яя,п(*, = £ М-Ое"'7* = ТР,п(х) > 0. (6)

/=- оо

В силу (2) Вр,п(з + 1п) является коэффициентом Фурье функции Ер,п(-иу), в частности (при 1 — 0)

= Ер,п{х,з)<1х, з<Е1. (7)

5. Дискретные сплайны. Дискретным сплайном порядка р назовем функцию

50) = £ с(1)Вр,пи - 1п), (8)

I——оо

где последовательность с € £2{Ъ). Множество таких сплайнов обозначим 8р1П. При п = 1 будет Эр,! = £2(Ъ).

Вопрос о сходимости ряда (8) не стоит, так как при каждом з в (8) не более р ненулевых слагаемых. Если л- € кп : (к + 1)п — 1, то

ВЦ) = Последнее выражение на кп : (&+!)«—1

совпадает с некоторым полиномом РкЦ) степени < р — 1.

Определим функцию С(х) — с{1)ег1х из £2(0,2тг). Тогда

50') - ^ С{х)Ер,п{х,з) Их. (9)

Такое интегральное представление сплайна будет систематически использоваться в дальнейшем. Функцию С(х) будем называть плотностью, соответствующей сплайну Б^). 8. Равенство Парсеваля-

Теорема 1. Всякий сплайн 5 € 8Р>П принадлежит пространству Р.2{Ъ). Если есть два сплайна 6 Зр,„ с плотностями С(х), П{х) соответственно, то справедливо равенство Парсеваля

= С{х)В(х)Т2р(х).4х, (10)

(И)

в частности

1 />2тг

Ц5|!2:= 531ЯЛ|2 = -у |С(*)|%,(*)Лг.

Здесь 1\р — полином Эйлера-Фробениуса порядка 2р. Доказательство. Имеем

адяш = ^ ¿х-

Для произвольного натурального N рассмотрим суммы

ск{Х) = Ё^ТМЛ = с(1) 53 Е~&Т)вр,пи - 1п), (12)

где последовательность {с(/)} коэффициентов сплайна принадлежит £2(Х). Имеем

_ 1+р

Ер^х,з)Вр,п{з -1п) = 53 - - 1п). (13)

Отметим, что Вр.п{] — кп)Вр<п(з — 1п) = 0 при |кп — 1п\ > р(п — 1). Это выполняется при \к — > р. Поэтому в (13) суммируем только по к е I - р : I + р.

Просуммируем (13) по ] е -М : N. Получим

N

1+р

£ Ер,п(х,ЛВр,пи-Ь)= £ е<кхА*(к,1) = е<1* £ + А,/),

.7=—ЛГ 'к=1-р Х-—-р

где

Л'

/)= £ Вр,„(.7 - *п)Яр,»С? - Ы).

По свойству (2) Лдг(М) = Ь2р(^ - 0> если : ^ содержит носители В-сплайнов 5Р,„0' - кп) и Вр,п(з - 1п).Это будет выполнено при // > тах{(|/| + р)»ц(|*:| + р)п}.

В итоге получаем * ,

V

аы(х) = £с(/)ей* £ е'ХхАн(1 + А,/). 1е2. ' . л=-Р

При этом + А, /) = Ь2р(А) при N > (|/( + 2р)п.

Покажем, что ам ->• СТ2р при ЛГ оо по норме Ь2(0,2тг). Имеем '

\\ajt — СТ2р\\ьч^) =

£с(/)е''* + А,/) - С(х) £ еа*Ь2р(Х)

/ей " а=-Р а=-Р

£2(0,2тг)

£ е«л* £ с(/)е'7гИлг(/ + А, /) - 62р(А)]

а=-р

р

£ Е

А=-р

УО

<

Хг2(0,25Г)

2 1/2

е,Ах £ с(/)е''х[Лдг(/ + А, 0 - Ь2р(Л)] <*х ге2

( л 1/2

27Г£|С(/)|2[Алг(/ + А,0-Ь2Р(А)]2 > .

Имеем Ь2р(А) — Алг(/+А, /) = 0 при N > (|/|+2р)п, т.е. при |/| < М/п-2р. Кроме того,

о < ь2р{А) - А„(1 + А, 0 < Ь2р(А) < В2р(р(п - 1)) УА € -р : р.

Поэтому найдется константа К такая, что

II(Тл- - СТ2р\\2 < К ]Г Н012 0 при N ->• оо.

!Л>Лт/п-2р

Обратимся к равенству

е зи)Ш=/27' адм*)

^^ 2тг ./„

Правая часть имеет предел при /У -> оо. Поэтому левая часть равенства также имеет предел:

V 5(;)ЖТ) - Г С{х)П{х)Т2р{х) ¿х. 2тг У0

Получили (10). При К = 5 получаем (11). По ходу доказательства установлено, что 5 £ И

Замечание. Доказанное равенство Парсеваля для сплайнов в непрерывном случае установлено В.А. Желудевым [8] (в другой форме и с другим доказательством).

Следствие 1. Подпространство 8Р)П замкнуто ( по норме

пространства

Доказательство. Рассмотрим последовательность сплайнов 5т € вга —/ при тть —У оо. Нужно доказать, что / £ 8Р,П. Последовательность {5/р. } сходится в себе, т.е. для любого е > 0 найдется N такое, что ||5У — 5ТО|| < е при всех/, га > N. Поскольку 5'т представляется в виде

1 С2*

Зт{з) ~ 2тг у Ст(х)Ер!П(х,з)с1х, Спеь2(0,2тг),

то по доказанному равенству Парсеваля

1 Г2""

||£/ - 5т||2 = ~J |С;(х) - ОДаОрГ^)^.

Но Т2р{х) > 5 > 0 для всех х 6 [0,27г], поэтому

$

,||5/ - SW.II2- Ст\\ь*(0,2*)-

Отсюда следует, что последовательность {Ст} сходится в себе в £2(0,27г) и, значит, сходится: Ст С„ Е 12(0,27г). Введем сплайн

1 Г2тг

5.0") = — ! С*(х)ЕРуП{х,з)<1х. По определению 5, 6 8Р,П. По равенству Парсеваля

||5т - 5,||2 = Г |Ст(х) - С.(х)\2Т2р(х)<1х 0

при т —> оо. Отсюда / = Нпгт_>.00 Зт = 5"» принадлежит 8Р1„. Я

«

7. ТВ-сплайны и двойственные к ним сплайны

Рассмотрим сплайн вида

1 Г2*

Ч>{]) = ((х)ЕРЛх,з№, З^Ъ, (14)

где "функция £ предполагается бесконечно дифференцируемой и 2тг-периодической, т.е. £ € С^. Как отмечалось выше, функция (¿> представляется в виде

оо

£ твРлз-1п),- (15)

—ОО • "

где £(/) — коэффициенты Фурье функции £(х). Поскольку £ € С^, то коэффициенты £(/) убывают при / —оо быстрее любой степени 1//, а тогда и ¥>(,?) убывает при j —* оо быстрее любой степени 1/^.

Сплайн V? называется ТВ-сплайном, если сдвиги {<,£>(• — &п)| 1г € 2} образуют базис в пространстве сплайнов 8Р|П, т.е. всякий сплайн $ € 8Р)П разлагается в ряд

оо

3(з) = £ С(*М.7 ~ кп)>

к=—оо

сходящийся для каждого € 2.

Теорема 2 [5]. Если £(х) ф 0 Ух-Е К, то сплайн является ТВ-сплайном.

Справедливо и более сильное утверждение.

Теорема 3. Пусть £(х) ф 0 Ух € К. Тогда система {<£>(• — образует базис Рисса в 8Р>П, т.е. выполнены следующие свойства:

1) любой сплайн 3 £ 8Р1„ разлагается в ряд

5= £ с(к)<р(- - кп), (16)

к-=—со

сходящийся в £2{Ъ). При этом последовательность с — {с{к)} принадлежит £2{Ъ);

2)суы,естзуют числа А, В > 0 такие, что для любой последовательности с (Е £2{Ъ) выполнены неравенства

2 .

<

с(к)у?(- — кп)

< ВЫ2,

(17)

где || • || — норма в £2(2).

Доказательство. Докажем сначала 2). Возьмем произвольную последовательность с € 12 (Ж). Ряд

Со(х) = £ с(к,)е'кх

к=—оо

сходится в Ь2(0,2п). Элемент Со принадлежит Ь2(0,2тг), т.е. является классом эквивалентных функций. Будем рассматривать какую-нибудь

конкретную функцию Со(х) из этого класса.

Для дальнейшего потребуется равенство Парсеваля

г- 2гг

2_ 2тг

/'¿К и"

к=—оо

(18)

Положим С(х) = ^(х)Со(х). Тогда для сплайна 50) = ¡^-(С, ЕРуП(-, ^^ по теореме 2 справедливо разложение в ряд

оо

= £ с(*:)у>0 - кп),

А:——со

сходящийся для каждого ] £ 2. Нужно доказать, что найдутся А, В >

О такие, что

А|М|3 < ||5||2 < Б||с||2. По равенству Парсеваля для сплайнов (11)

1 Г2*

№ = 2^1 \С(х)\2Т2р(х)Нх = 1 /"2?г

= 2^1 |^)1%,(х)|Со(*)|2Лп.

Положим

А = гшп |£(ж)|2Г2р(х), В = шах |£(х)|2Т2р(а:).

хб[0,2тг] хе[0,2т]

(19)

Очевидно, что В > А > 0 и

л Г2""

Т«1

¿ж < и^и2 <

в

Г \Со(х)\Чх. «/ о

По равенству Парсеваля (18) /1Цс|]2 < !|5[[2 < 5||с|12, что равносильно (17),

Докажем теперь сходимость ряда (16) в ¿2(Х). Имеем

' 1 № ., ^ - кп) = — / е,к^(х)£;р>п(а:,;)^.

¿л- у0

Рассмотрим частичные суммы ряда (10)

1 Г2*

$А'(х) = — у Ск{х)ЕР!п{х,]) ¿x,

где

N

сф) = ах) Е

*=-ЛГ

По равенству Парсеваля для сплайнов (11)

1 Г2*

= — ] \С(х)-Сгя(х)\2Т2р<1х

2 /"2т 2тг

<

В_

2тг

Г

I.

с(к)е

гкх

Е 4*)«"*

|^(Х)|2Т2Р(Х)^<

¿х = В Е 1С(^)Г -> 0

при ЛГ -4- оо.

8. Двойственные ТВ-сплайны. ТВ-сплайны (риф называются двойственными, если

Е - ЩФ{з ~ дп) = 5(к - 9),

(20)

где черта обозначает комплексное сопряжение.

Теорема 4 [5]. Сплайны (рифе плотностями £(х) и г](х) являются двойственными ТВ-сплайнами тогда и только тогда, когда выполнено соотношение

£(х)ф)Г2р(х) = 1 Ух € К. (21)

Доказательство основано на равенстве Парсеваля (10). Доказанная теорема позволяет легко строить пары двойственнных ТВ-сплайнов. Рассмотрим два важнейших случая.

1.Самодвойственный ТВ-сплайн. Получается при £(х) = г](х) = 1/-^/Т2р(х). ТВ-сплайн <¿>0) получается вещественным и четным. Сдвиги {<£>(• — кп)}ке% образуют ортонормированный базис в 8Р)П.

2. ТВ-сплайн, двойственный В-сплайну. Согласно формуле (7) при £(х) = 1 получаем (р(з) = Вр<п(з)- Двойственный ТВ-сплайн Хр,п определяется формулой

Здесь также Хр,п веществен и четен относительно точки и = р(п — 1)/2. Для любого сплайна Я € 8Р>П справедливо разложение

оо

ЗД = Е (5, ХрА- - кп))вр>п{з - кп), 3 е ъ.

к=—оо

Для оценки коэффициентов этого ряда полезно оценить ||Хр,п||- Воспользуемся равенством Парсеваля (11):

Ы'пГ = Цп тЩТ2р[х)(1х-

В силу оценки (3)

= (23)

9. Масштабирующее уравнение. Основой каждой вейвлет-ной конструкции является масштабирующее уравнение, связывающее сплайны с параметрами п и 2п, а точнее связывающее ЕРг2п и Ер<п.

Теорема 5. Справедливо тождество

. ЕР,7П(Х,Г) = с (|) Ер.п + с (| + *) Ер,п (| + *,з) , (24)

где с{х) = §(1 + егху.

Доказательство приведено в [9]. Оно основано на следующей лемме, имеющей самостоятельный интерес. Лемма 1. Справедливо равенство

вРМЛ = £ с;вр,пи - гп), 3 € 2. (25)

г=0

Доказательство приведено в [9]. Следствием из теоремы 5 является тождество

Т2рап(х) = 2|с (|) |2Т2Р)П (|) + 2|с (| + тг) |2Т2р,„ (| + *). (26)

(в обозначении полинома Эйлера-Фробениуса ТР)П пишем теперь оба параметра р и п). Доказательство также приведено в [9].

Наряду с 5Р)П рассмотрим пространство 8р,2п (с удвоенным п). Ввиду леммы 1 8Р>2„ содержится в 8Р>П. По следствию 1 8Р12„ - замкнутое подпространство. Обозначим \Ур>2п ортогональное дополнение к 8Р>2„ в пространстве 8Р)П. Тогда получим разложение 8Р)П =

8Р)271 Ф ^р,2п-

Наша ближайшая цель — получить представление, элементов вей-влетного пространства Wp>2n, а также получить конструктивный способ разложения сплайна 5П £ 8Р)П на два ортогональных слагаемых.

10. Экспоненциальный вейвлет. Определим экспоненциальный вейвлет И^Р)2„ по формуле

ЩЛ^З) = * (|) Ер,п ¿) + а + тг) Ер,п , (27)

где а(х) выбирается так, чтобы Илр>2п(ж, •) принадлежал пространству ^р,2п для всех х, т.е. чтобы для всех х выполнялись равенства

£ Игр,2п{х,з)ВрМ{з - 2кп) = О Vк е г. (28)

Вычисляя скалярные произведения по равенству Парсеваля (10), получим эквивалентное условие

а(х/2)10(х) + а(х/2 + тг)/0(а; + 2тг) = 0 Ух £ Е, (29)

где I0(x) ~ 2с(х/2)Т2Р,п(ж/2). Положим а(х) = е%х10(2х + 2ж). Тогда (29) будет выполнено. Итак,

а(т) = 2е,яс(ж + тг)7^,п(а- + тг) = е,а,(1 - Г2р,п(я + тг). (30)

Экспоненциальный вейвлет (27) построен. Он обладает свойствами:

1. Для любого х сплайн WPt2n{x, •) принадлежит WPt2n .

2. Для любого j функция WPi2n(-,j) является бесконечно дифференцируемой 2тг-периодической функцией.

3. Wp«n(x, j — 2kn) — eikxWPt2n{x, j) Vx,j, fc.

4. Всякая функция вида

R(j) = £ D(x)WPt2n(xJ) dx, (31)

где D € L2(0,2тг) , принадлежит пространству WPi2n ■

Тот факт, что всякий элемент R £ WP)2n представляется в виде (31), мы сможем доказать после того, как установим основную теорему о разложении Sn € Sp<n на два ортогональных слагаемых.

11. Разложение пространства сплайнов

Теорема 8. Пусть сплайн Sn с SPi„ имеет вид

г'Ы

Sn(j) = (Cn(x), EpJxJ)) := / Cn(x)Ep,n(x,j) dx,

Jo

?de Cn € L2(0,2к). Тогда справедливо разложение

S(j) - S2n(j) + R2n(J), (32)

г«?е ,$2n € Sp„2n, Д21» € WPi2n,

S2„(j) = [С2п{х),ЕрМ\х,з))\ Rinij) = {D2n{x), WPl2n(x,j)), а плотности C2n, D2n определяются no формулам

г) f , _ -c»(fМ! + *) + + -Mi)

В2гХх) _---2ДЩ~~-. (34)

Д(а;) — —etxT2Pt2n(2x); а(х) определено формулой (SO), а с(х) = |(1 + е,х)р. При этом С2п, D2n £ L2(0,2tt). По данным С2п, D2n плотность Сп(х) определяется по формуле

Cn(x) = 2[c(x)C2n(2x) + a(x)D2n(2x)}. (35)

Доказательство. Запишем систему уравнений

ЕрЛп[2х,]) - с(х)Ер>п{х,]) + ф + т[)ЕруП(х + №р>2п(2х,;?') = а(х)Ер>п(х,1) + а(х + тг)Ьр,п(х 4-

вытекающие из (24) и (27). Найдем отсюда Ер>п(х,]). Сначала вычислим определитель ( используя (30) и (26))

Д(х) = с(х)а(х + тг) - а(х)с(х + тг) -

= — е'х [2\с(х)\2Т2р,п(х) + 2|с(х + тг)\2Т2р,п(х + тг)] = -е™Т2р,2п(2х) ф 0 для всех х. Отсюда

. =^Ш1^2^^- (зе)

Рассмотрим сплайны

•ЫЛ = (С2п(х), Ер,2п{х^)), ■ П2п0) = (П2п(х), И^2г1(х, Я),

где С2п,В2п определены по формулам (33), (34) (очевидно, что С2п, Е2п € £2(0,2тг)). При этом 32п € Зр,2п, Я2„ € Wp,2n.

Осталось показать, что 52„0) + Я2п{з) = $п{з) Для всех j. С помощью замены х — 22 и свойства АН + тг) = — А(£) получаем

52п(7) - ^ 2Д(х/2)

Сложив эти равенства, с учетом (36) получим 52„0) + Я2п(з) = (Сп(х), £р,п(х,.?)) = 5„0). Если даны С2п и £>2п, то из равенств (33), (34) можно выразить Сп(х) по формуле (35). ■

Следствие 2. Сплайн Я Е Ур>п принадлежит ^р,2п тогда и только тогда, когда Я представляется в виде

ВД=/ В(х)\¥рМ(х^)<1х, (37)

¿0

где D е L2{0,2тг).

Доказательство. Как уже отмечено выше, если R представлен в виде (37), то R £ WPi2„. Обратно, если R £ WPi2n, то по теореме б справедливо разложение вида R = ^„-f Л2п, где 5"2n € SPi2n, i?2n £ Wp,2n и i?2n имеет вид (37). Есть еще тривиальное разложение Я — 0 -f й. Поскольку Sp^x-i-Wp^, то $25!. — 0. i? -- i?2n- Si

12. ТВ-вейвлеты. Будем рассматривать ТВ-вейвлеты вида

1 /2vr

ФИ) = у r(z)Wp,2n(x,j)cb;,

(38)

где т(.т) — бесконечно дифференцируемая 27г-периодическая функция и г(.т) ^ ОЛ/х £ К. Как отмечено выше, ф £ "\УР)2п.

Теорема 7. Всякий вей влет, (31) из \УР12п разлагается в ряд

ад = Е -2Ьг)'

сходящийся по норме 12(Ъ). Коэффициенты ¿{к) являются коэффициентами Фурье функции В(х)/т(х). Доказательство. Имеем

Фи ~ 2Ьг) =*= ~~ £ е**ф)У/рап(х,Я <1х, (39)

т.е. ф^+2кп) является коэффициентом Фурье функции т{х)\¥р,2П{х,з). Отсюда

к^Ъ

(функция г(х)ШР12п(х^) — гладкая и 2тг - периодическая, поэтому ее ряд Фурье сходится равномерно).

Рассмотрим вейвлет (31) и запишем его в виде

ад = ^T(x)Wvan{x,j)dx =

л2тг

J О

1 f2* D(x)

2тг У0 г(х)

Е Фи ~ 2kn)e~ikx keZ

dx =

¿eZ

где

«k)-hL

2" Dix)

т(х)

е х dx.

Полученное разложение справедливо для всех j £ Ъ. Установим сходимость в i2(Z). Имеем

D(x) = т(х) £ d{k)eikx keZ

(ряд сходится в L2(0,27г). Рассмотрим частичные суммы

n

DN(x) = т(х) £ d(k)eiks,

k=-N

1 r27r w

ÄA'O") = / DN(x)Wp,2n(x,j) dx = V d(fc)0(j - 2Ы). С учетом определения W,;i2n(x, j) имеем

Ä(i) - Ä^(j) = ^ - Av(*)]VW*,i) dx =

+a

l-JJ[D(x)-DN(x))[a(^)EPin

fx \ fx + 2ir . \2 /

4-

1 Г

= — / 2[D(2f) - Av(2i)]a(t)£p,n(*,j) dt. ¿n Jo

По равенству Парсеваля для сплайнов

1 Г2ж

\\R~RN\\2 = 7T / 4|D(20 - Av(20!2!«(0l272P>n(i)^-

¿тг Jo

Поскольку |a(f)|2T2p,„(f) < В = const для всех i, то последнее выражение стремится к нулю при TV —> оо. ■

Замечание. Система {ф(- — 2fcn)|fc G Z} образует базис Рисса в WPj2n. Действительно, для Я € WP)2n с плотностью Zi(x) для ||#||2 с помошью равенства Парсеваля можно получить выражение

iw

2тг

/>2тг

J О

Р(х)

т(х)

|T(X)|2ÎÎ(X) (¿X,

где Щх) = 4T2pi?1(a:/2)T2p,„(x/2 + я)Т2р,2п(х). Поскольку найдутся константы А, В такие, что 0 < Л < ¡т(ж)|20(ж) < В, то A\\d\\2 < \\R\\2 < ß|| J||2, что и требовалось.

Если выбрать т(х) — 1/у/Щх), то можно взять в качестве границ Рисса А = В = 1. Тогда по терминологии [3] систему {ф(- — 2kn)\k t Z) можно назвать жестким фреймом в WPi2n-

13. Сходимость вейвлетного разложения сигнала Сигнал / € £2(Ъ) можно рассматривать как сплайн из пространства 8рд (с шагом п — 1). Действительно, при n = 1 B-сплайн Bp,i(j) совпадает с единичным импульсом S(j). Запишем равенство

АЛ = Е /(W ~ 0 = Е ЛО^лС? - 0,

ieZ /eZ

так что роль коэффициентов В-сплайнсвого представления играют значения /(/). Сигнал / можно записать в интегральной форме

1 Г2"

/01 = 2nj, Cl (x)EpÄxd)dx>

где ЕрЛ(х,Л = е~%зх, а Cj(x) = ЛО6*'* (ряд сходится в Х2(0, 2тг)).

Начиная с пространства. SPii = f2(Z). через ¿V шагов придем к разложению

¿2(Z) = sp,2 © wPi2 = ...

= Sp,2* © WPi2* 0 WPi2A'-, ©... wP(2.

Тем самым после Л* шагов декомпозиции любой сигнал / G £2(Z) представляется в виде

N

/ = + Е

fc=l

где 52.v £ SPi2n, R2k € WPi2/t, причем слагаемые попарно ортогональны (в смысле скалярного произведения в £2(Z) ). Параметр р - произвольное натуральное число. Он может быть выбран из разных соображений. Конструктивный алгоритм нахождения проекций S2n и R2k получен в [9] (это аналог каскадного алгоритма по терминологии [1], с. 29-31, или алгоритма разложения [2], с. 247).

Возникает вопрос, сходится ли S2n к нулю при N —к ос? Ответ на него дает

Теорема 8. Для любого сигнала / Е ¿2(Z) справедливы соотношения

оо

j|S3»iU(Z)' ; ПРИ N со' / ~ (40)

к=1

гй ряд сходится по норме £2{Z). Если / имеет конечный носитель, содержащийся в —ra + 1 : т — 1, то

!¡5>|| < р (V ¡/0')|2~W/a при всех N > log3 то. (41)

\ ¿j

j=~m+1

Доказательство. Возьмем е > 0. Выберем гп, удовлетворяющее условиям

т>р, ( £ 1/0')I2) <|-

\Ы>™ /

Положим

/o(j) = /0) при i 6 о : т -1 и /оО) = 0 вне 0 : т - 1; ЛО) = /0) ПРИ ¿ € -т + 1 : -1 и ЛО) = 0 вне - т + 1 : -1; /зО) = /0) ПРИ Ы > т 11 ЛО) = 0 на - т + 1 : то - 1.

Тогда / = /о + /1 + /2 и ||/21| < £/2.

Для краткости будем использовать обозначение п —

2N. 1 огда

сплайн 5П можно рассматривать как ортогональную проекцию сигнала / на SPi„. Оператор проектирования обозначим Рп. Тогда

Sn = Puf = Pn/o + Pn/i + P„/2. (42)

Очевидно, что ||Pn/2j| < ||/2|| < e/2.

Оценим ¡|P„/o||. Проекцию Pn/0 можно представить в виде ряда

(Р»/о)0) - Е(/о, 5Р,П(- - Ы))Хр,п(з - кп), (43)

fceZ

где Хр,п—ТВ-сплайн, двойственный В-сплайну BPi„ (определен интегральной формулой (22)).

Допустим, что п = 2N > т. Тогда в сумме (43) остается только р слагаемых

р-1

(Рп/о)0) = £(/о, 4- Ь))хР,п0 + кп), (44)

к~а

Можно оценить BPin(j) Из определения В-сплайнов сразу следует, что Bp>n(j) < п?~1 Для всех j. Отсюда

то—1

|(/о, + **))| < ШК"1 =: Conp_1.

3=0

Норма |jxP,n||2 оцененивается неравенством (23). Получаем оценку

\\Pnfo\\ < рСо (1У п-1/2

для всех п > т. Аналогичная оценка (с константой С\ ) справедлива для Pnf\. Из (41) получаем

II-VII < Р(Со + Сг) (|)Р2-n'2 + ф

для всех N таких, что 2N > т. Отсюда следует (40). По ходу доказательства выведена оценка (41).®

Замечание. Фактически при каждом р построен своеобразный кратиомасшгабный анализ (КМА) в пространстве i2(Z). Чтобы выявить сходство с классической конструкцией КМА (см. [3], определение 11,1) введем обозначения Vk — Sр<2к, Wk = WPt2k. Тогда выполнены соотношения £2(Z) = Vo D Vj D ....

Vk-1 = Vk®Wk, k = 1,2,..., f(Z) — ® Wk.

k-l

При p = 1 подпространства Wk являются "хааровскими", т.е. Wk состоит из функций R(j), для которых R(j) = —с(1) при 12к < j < 12к 4- 2k~l - i и R(j) = c(j) при 12к + 2k~l <j<{l + l)2fc - 1.

В каждом подпространстве 14 можно построить функцию (рк такую, что система {<рк(-—12к)} образует базис Рисса в Vk ( в качестве срк можно взять любую функцию вида

1 С

(Pk(j) = 7T (k{x)E2k{x,j)dx, ¿к Jo

где £к(х) — бесконечно дифференцируемая 2ж - периодическая функция, не обращающаяся в нуль).

Все это близко к классическому определению КМА. Но нет аналога свойства / € Vj /(2~j-) € Vo (формула (11.1) из [3]).

Литература

1. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб: Изд-во СПбГТУ, 1999. 132 с,

2. Чуй К. Введение в вэйвлеты. М,: Мир, 2001. 413 с.

3. Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998. Т. 53. №6 (824)- С. 53-128.

4. Берколайко М.З., Новиков И.Я. О бесконечно гладких почти-всплесках с компактным носителем/¡Мат. заметки. 1994■ Т. 56. №3. С. 3-12.

5. Желудев В. А., Певный А.Б. Кардинальная интерполяция дискретными сплайнами//Вестмик Сыктивкарск. ун-та. Сер. 1: мат., мех., инф. 1999. Вып. 3. С. 159-172.

6. Pevnyi А.В., Zheludev V.A. On wavelet analysis in the discrete splines space// Proceedings Second Int. Conf. "Tools for Math. Modeling'99". St. Petersburg: SPTU, 1999. V. 4. P. 181-195.

7. Pevnyi А.В., Zheludev V.A. On interpolation by discrete splines with equidistant nodes//J. of Approx. Theory. 2000. V. 102. P. 286-801.

8. Zheludev V.A. Integral representation of slowly growing equidistant splines /1 Approximation Theory and Applications. 1998. V. Ц- №4-P. 66-88.

9. Pevnyi А.В., Zheludev V.A. Construction of wavelet analysis in the space of discrete splines using Zak transform// J. Fourier Analysis and Application. 2002. V. 8. №1. P. 55-77.

10. Зюзин M.B. О применении фильтров с постоянными коэффициентами/ / Численные методы и математическое моделирование. Сб. научных трудов под ред. В.П. Ильина. Новосибирск: ВЦ СО АН, 1990. С. 78-84.

11. Ichige К., Kamada М. An approximation for discrete B-splines in time domain//IEEE Signal Processing Letters. 1997. V. 4. №3. P. 82-84.

12. Schoenberg I.J. Cardinal spline interpolation. CBMS, V. 12. Philadelphia: Si AM, 1973.

Summary

Pevnyi A.B. Multiresolution analysis in the space of square summable

discrete signais

A nonstationary multiresolution analysis {V&}fc>o in the space £3(Z) is suggested. The space 14 is the space SPi2h of discrete splines of the order p (this splines have equidistant knots with distance 2k between knots). The wavelet space Wk is defined as the orthogonal complement of Vjt in Vk-x- The orthogonal expansion ¿2(Z) — ©¡^W* is obtained. The wavelets xßk whose shifts {ipk(j — I2k). I € Z} form bases of wavelet space Wk are constructed.

Сыктывкарский университет

Поступила 20.09. OS