CC BY
29
УДК 513.7
Н.Н. Дондукова
ПРОЕКТИВНЫЙ ИНВАРИАНТ КОСИМПЛЕКТИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ
Статья посвящена косимплектическим многообразиям и инварианту геодезических преобразований косим-плектических многообразий.
Ключевые слова: многообразие, геодезические проеобразования, почти контактная метрическая структура
N.N. Dondukova
PROJECTIVE INVARIANT OF COSYMPLECTIC MANIFOLDS
The article is devoted to cosymplectic manifolds and invariant of geodesic transformations of cosymplectic manifolds. Key words: manifolds, geodesic transformation, almost contact metric structure
Введение
Теория геодезических преобразований имеет давнюю историю, восходящую к исследованиям Т. Леви-Чивита, Т. Томаса, Г. Вейля. В последнее десятилетие интерес к этой проблематике был возрожден в многочисленных работах как отечественных, так и зарубежных исследователей. Во многих работах изучаются геодезические преобразования псевдоримановых многообразий, наделенных дополнительной структурой.
В настоящее время активно исследуются римановы многообразия, наделенные почти контактной метрической структурой.
Теория почти контактных метрических структур занимает важное место в современных дифференциально-геометрических исследованиях и является естественным обобщением так называемой контактной геометрии. Эта геометрия имеет многочисленные приложения в современной математической физике, например, в классической механике и теории геометрического квантования, теории супергравитации, теории Калуцы-Клейна и т.д.
Почти контактные метрические структуры, например, внутренним образом возникают на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий [7], а также на пространствах главных Т1-расслоений над почти эрмитовыми многообразиями [8] и являются обобщением контактных метрических структур, естественно возникающих на нечетномерных многообразиях, снабженных контактной структурой, т.е. дифференциальной 1-формой максимального ранга [9]. Теория почти контактных метрических структур берет свое начало в 50-е годы минувшего столетия и в настоящее время переживает бурное развитие. Особо интересными свойствами обладают так называемые квази-сасакиевы структуры, введенные в рассмотрение Блэром [10] и обобщающие сасакиевы и косимплектические структуры, являющиеся контактными аналогами келеровых структур в эрмитовой геометрии. Исследование этих структур проводится в самых разнообразных аспектах.
Особый интерес представляют проективные свойства косимплектических многообразий. В значительной мере теория геодезических преобразований опирается на исследование инвариантов (проективные инварианты Томаса, тензор Вейля проективной кривизны). В случае, когда псевдо-риманово многообразие наделено дополнительной структурой, число таких инвариантов увеличивается, и теория геодезических преобразований обогащается новыми аспектами.
Косимплектические структуры являются естественным контактным аналогом келеровых структур. Такие структуры индуцируются, например, на вещественных вполне геодезических подмногообразиях келеровых структур [6]. Проективные свойства многообразий, наделенных ко-симплектической структурой, практически не были изучены, эта статья восполняет этот пробел.
Пусть М2п+1 - нечетномерное гладкое многообразие; С”(М) -алгебра гладких функций многообразия М; X (М) — модуль гладких векторных полей многообразия М; d — оператор внешнего дифференцирования.
Определение1.[1] Почти контактной метрической (короче АС-структурой) на гладком многообразии М называется совокупность [п,%,Ф, g =< v >} тензорных полей на этом многообразии, где п—дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры , ^-векторное
поле, называемое характеристическим вектором, Ф - поле тензора типа (1,1), называемое структурным эндоморфизмом, g - риманова метрика на М. При этом
1) пО) = 1 2) Ф(£) = 0;
3) п ° Ф = 0; 4) Ф2 = -id + ц®% ;
5) (ФХ,ФУ) = (X,У)-п(X)п(У); X,Уе X(M),.
Многообразие с фиксированной АС-структурой называется почти контактным метрическим (короче АС-многообразием). Хорошо известно [1], что тензор Q(X,У) =< X,ФУ > кососимметричен; он называется фундаментальной формой АС-структуры.
Если задать почти контактную метрическую структуру на многообразии М, то естественным образом в модуле X(М) возникает пара взаимно дополнительных проекторов: m =п®%,
l = id - О ® п . Очевидно, что m +1 = id . Кроме того, легко показать, что l = -Ф2.
На почти контактном метрическом многообразии М возникает пара распределений L = ke^ = ImФ , M = ker Ф — первое и второе фундаментальные распределения соответственно, при этом для модуля X(М) гладких векторных полей верно X(M) = L © M , где dim L = 2n , а dimM = 1. Более того, комплексификация XC (M) = С ®X(M) распадается в прямую сумму собственных распределений эндоморфизма ФС:
XC(M) = Df © © цф ,
причем ЦФ = M . Проекторами на слагаемые этой суммы будут соответственно эндоморфизмы
^ = -!(Ф2 +л/-1Ф), П=1(-Ф2 +л/=1Ф), m = id + Ф2.
2 2
В работе [1] было доказано, что к (2n+1)-мерному АС-многообразию как метрическому f-многообразию дефекта 1 внутренним образом присоединяется G-структура, структурной группой которой является группа Ли U (n) X {e}. Тотальное пространство этой G-структуры состоит из модифицированных А-реперов, т.е. комплексных реперов вида
( P,^Q,^1,...,^n ,£'• ,".,£f. ),
1 n
где £0 =0P , £а =>j2n(ea), £а =^Jln(ea), a=1,...,n, (ep...en) — базис пространства LP как Ц-модуля, p е M .
В работе [1] на пространстве присоединенной G-структуры были получены тензорные компоненты формы римановой связности; первая группа структурных уравнений и компоненты тензора Нейенхейса эндоморфизма Ф АС-многообразий.
Определение 2.[4] АС-структура называется нормальной, если выполняется следующее условие
2Иф+ dn®# = 0, X,Уе X(M),
где ИФ —тензор Нейенхейса эндоморфизма Ф, определяемый формулой
1 9
ИФ (X ,У) = -(Ф 2[ X, У ] + ^X, ФУ ]-Ф^, У ]-Ф[ X, ФУ ]).
Ф 4
Понятие нормальности было введено Сасаки и Хатакеямой в 1961 г. [5] и является одним из основных понятий контактной геометрии, связанных с условиями интегрируемости структуры.
Определение 3.[1] Нормальная АС-структура называется косимплектической, если выполняются следующие условия: dп=0 и dfi=0.
Определение 4.[1] Многообразие, на котором фиксирована косимплектическая структура, называется косимплектическим многообразием.
Определение 5.[2] Диффеоморфизм ф: М ^М псевдориманова многообразия (М, g) называется геодезическим преобразованием, если он любую геодезическую переводит в геодезическую.
1. Постановка задачи
Рассмотрим тензор Р проективной кривизны, являющийся инвариантом геодезических преобразований. Напомним, что тензор проективной кривизны вычисляется по формуле [2]:
Р(X ,У^ = Я(X ,У^------— (< г(Z), У > X- < г(Z), X > У), (*)
п -1
где И-тензор кривизны, г - тензор Риччи.
Теперь вычислим спектр тензора проективной кривизны косимплектических многообразий.
Для этого получим вторую группу структурных уравнений, спектры тензора кривизны и тензора Риччи косимплектических многообразий.
Из работы [1] известно, что первая группа структурных уравнений косимплектических многообразий имеет вид:
1)!аа = -вьа л О;
2)йаа =вьа лаь; (1)
3)!а = 0.
А в силу того, что косимплектические структуры характеризуются тем, что УФ = 0 [1], следующие компоненты формы римановой связности будут нулевыми:
Л
в: = в: = в: = 00
ь
(4)
Проведем стандартную процедуру дифференциального продолжения уравнения (1). Продифференцировав внешним образом (11), получим:
-йв: л О +в: л йО = 0.
С учетом (11) имеем:
-!ваь лаь + ваъ л (-0Ь л а) = 0,
или
(йв: + вас лвсъ)лаь = 0,
Обозначив через
Ав:=йв:+в: л вс, (2)
последнее уравнение запишем в виде
Авьа лаь = 0. (3)
Далее, разложив 2-форму Авьа по базису {вьа л вй;вьа л О1; О л О; О л а} :
А в: = А^в? л в! + А^в? л а + А?в? л О + А^в? л а+
+КО ла! + Асаас л Ой + А:с®а лас + А^О л а+ °ас л а
и подставив ее в уравнение (3), получим:
Ащ в? л вЦ л О + А?й в? л а л аь + А? в? л а1 л аь + А?0в?с л а л аь +
+АЮ л а! л О + А1с!ас л ай л О + А^а* л ас л аь +
+А:с0ас л а л О + А^0ас л а л О = 0.
Отсюда, в силу линейной независимости базисных форм, имеем:
Аас! = 0- Аас! = 0- Аас = 0- Аас = 0-Аь?е = 0; Аь? = 0; А>|/|* ] = °; Аь? 0 = 0;
Аьсй] =0; А:с! = °; Аас ] =0; 4^ =0; Ас 0 = °.
Следовательно, (4) примет вид:
Ав: = А? вс л О + А^О лО + ДО л®£ + А10^ л а (5)
Продифференцируем внешним образом уравнение (12):
йвь лаь -вьа л!аь = 0 .
С учетом (12) имеем:
в лаь -в1 л в лас) = 0
или
(йвь-вса л вс) лаь = 0.
Так как
Аваь = йвь-вса л в , последнее уравнение запишется в виде
Авь лаь = 0
или
Ав: л аа = 0 . (6)
Принимая во внимание равенство (5) и подставив его в уравнение (6), получим:
Ав л О л аа + АО л О л аа + лас лаа + лалаа = °.
Отсюда имеем:
= 0; КсЛ = 0; Аас = 0; а^ = 0.
Таким образом
Ав: = АО лас,
где АьГ] = А! ] = 0.
Подставив выражение Авьа в (2), получаем вторую группу структурных уравнений косимплек-
b
тических многообразий в виде:
d€ =-вас лв + Admd лтс. (7)
Итак, полная группа структурных уравнений косимплектических многообразий имеет вид:
dm1 =в лё; d ma =в Лmb ; dm = 0; deb =-в; л в;+Kmd лт;
где {Abd} -семейство функций на пространстве присоединенной G-структуры, симметричных по
верхним и нижним индексам. Можно показать, что они образуют тензор на М2п+1, называемый тензором Ф-голоморфной секционной кривизны [1].
Сравнивая соотношения (7) со второй группой структурных уравнений римановой связности
в =-ek лв + 2 Rijk1mk лё ,
где К ^ —компоненты тензора Римана-Кристофеля, в силу линейной независимости базисных форм и Кц = gisRs^ получим, что на пространстве присоединенной в-структуры:
Кьаа = RАЬcd = Каа = КаЬс0 = К = Каа = Каа = Ка0Ь0 = К = 0 а аЬс^ аЬс0 аЬсО аЬс0 а0Ь0
К = Аа
К а = АЬс *
аЬс/і
С учетом полученного, вычислим компоненты спектра тензора Риччи т =— К" цк косимплектического многообразия:
ТаЬ = Та0 = Т00 = 0, т = Аак
ТА = АЙЬ *
аЬ
C учетом (*) получаем спектр тензора проективной кривизны:
pa= ^( a:#: - a^s: );
bcd 2n
Pa л ac - 1 xhc oa.
л =-Abd + ~ AbhSd ;
bcd 2n
Pa л= Abacd-^Abdsa; (8)
bc d 2n
D0 = 1 /lah.
p л = Ahb;
ab0 2n
p° —_____iL Aah
p л — _ Ahb ■
a 0b 2n
а остальные равны нулю [3].
Заключение
Теорема 1. Косимплектическое многообразие проективно плоско тогда и только тогда, когда является плоским многообразием.
Доказательство: Пусть косимплектическое многообразие М2п+1 проективно плоско, то есть Р1^ = 0 . С учетом (2) это равносильно
Отсюда сразу следует, что
ac+^a:s:—0; ±a*—0.
2n 2n
az—0.
В этом случае, с учетом (1), получаем, что = 0 , то есть М2п+1 - плоское многообразие. Об-
ратное утверждение очевидно. □
Литература
1. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. - М.: Изд-во
МПГУ, 2003.
2. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. - М.: Наука, 1979.
3. Дондукова Н.Н. Тензор проективной кривизны косимплектических многообразий / Моск. пед. гос. унт. - М., 2005. - Деп. в ВИНИТИ 12.10.2005.№1305-В2005-14с.
4. Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry, Lecture Notes Math. 509. 1976. P.145.
5. Sasaki S., Hatakeyama Y., On differentional manifolds with certain structure which are closely related to almost contact structure II // Tohoku Math. J. 13(1961). P. 281-294.
6. Goldberg S., Yano K. Integrability of almost cosymplectic structure // Pacif. J. Math. 1969. 31. №2. P. 373382.
7. Sasaki S., Almost Contact Manifolds, Lect. Notes, 1-3. Math. Inst.Tohoku Univ., Tohoku, 1965-1968.
8. Kobayashi S. «Principal fibre bundle with 1-dimensional toroidal group». Tohoku Math. J. (2). 8. (1956). P. 29-45.
9. Blair D.E. Contact Manifolds in Riemannian Geometry. Lect. Notes in Math., 509. Springer-Verlag. Berlin-New York, 1976
10. Blair D.E. The theory of quasi-Sasakian manifolds. J. Differentional Geometry. 1 (1967). P. 331-345.
Дондукова Надежда Николаевна, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры алгебры Бурятского государственного университета.
Dondukova Nadezhda Nikolaevna, candidate of physical and mathematical sciences, senior teacher of algebra department of Buryat State University.
