Проективный инвариант косимлектических многообразий Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.7 ББК 22.151

© Н.Н. Дондукова

Россия, Улан-Удэ, Бурятский государственный университет E-mail: [email protected]

Проективный инвариант косимлектических многообразий

Статья посвящена косимплектическим многообразиям и инварианту геодезических преобразований косимплектических многообразий.

Ключевые слова: многообразие, геодезические проеобразования, почти контактная метрическая структура.

© N.N. Dondukova

Russia, Ulan-Ude, Buryat State University E-mail: [email protected]

PROJECTIVE INVARIANT OF COSYMPLECTIC MANIFOLDS

The article is devoted to cosymplectic manifolds and invariant of geodesic transformations of co-symplectic manifolds.

Key words: manifolds, geodesic transformation, almost contact metric structure.

Введение

Теория геодезических преобразований имеет давнюю историю, восходящую к исследованиям Т. Леви-Чивита, Т. Томаса, Г. Вейля. В последнее десятилетие интерес к этой проблематике был возрожден в многочисленных работах как отечественных, так и зарубежных исследователей. Во многих трудах изучаются геодезические преобразования псевдорима-новых многообразий, наделенных дополнительной структурой.

В настоящее время активно исследуются римановы многообразия, наделенные почти контактной метрической структурой. Теория почти контактных метрических структур занимает важное место в современных дифференциально-геометрических исследованиях и является естественным обобщением так называемой контактной геометрии, которая имеет многочисленные приложения в современной математической физике, например, в классической механике и теории геометрического квантования, теории супергравитации, теории Калуцы-Клейна и т.д.

Почти контактные метрические структуры, например, внутренним образом возникают на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий [7], а также на пространствах главных Т*-расслоений над почти эрмитовыми многообразиями [8] и являются обобщением контактных метрических структур, естественно возникающих на нечетномерных многообразиях, снабженных контактной структурой, т.е. дифференциальной 1-формой максимального ранга [9]. Теория почти контактных метрических структур берет свое начало в 50-е годы минувшего столетия и в настоящее время переживает бурное развитие. Особо интересными свойствами обладают так называемые квази-сасакиевы структуры, введенные в рассмотрение Блэром [10] и обобщающие сасакиевы и косимплектические структуры, являющиеся контактными аналогами келеровых структур в эрмитовой геометрии. Исследование этих структур проводится в самых разнообразных аспектах.

Особый интерес представляют проективные свойства косимплектических многообразий. В значительной мере теория геодезических преобразований опирается на исследование инвариантов (проективные инварианты Томаса, тензор Вейля проективной кривизны). В случае, когда псевдориманово многообразие наделено дополнительной структурой, число таких инвариантов увеличивается и теория геодезических преобразований обогащается новыми аспектами.

Косимплектические структуры являются естественным контактным аналогом келеро-вых структур. Такие структуры индуцируются, например, на вещественных, вполне геодезических подмногообразиях келеровых структур [6]. Проективные свойства многообразий,

наделенных косимплектической структурой, практически были не изучены, эта статья восполняет этот пробел.

Пусть М2”1 - нечетномерное гладкое многообразие; С¥ (М)-алгебра гладких функций многообразия М; Х(М) - модуль гладких векторных полей многообразия М; ё - оператор внешнего дифференцирования.

Определение 1 [1]. Почти контактной метрической (АС-структурой) на гладком многообразии М называется совокупность {), X, Ф, ^ =< •, • >} тензорных полей на этом многообразии, где //-дифференциальная 1 -форма, называемая контактной формой структуры , X -векторное поле, называемое характеристическим вектором, Ф - поле тензора типа (1,1), называемое структурным эндоморфизмом, g - риманова метрика на М. При этом

1) )(£) = 1 2) Ф(Х) = 0;

3) 11° Ф = 0; 4) Ф2 = -гё + )®%;

5) (ФХ, ФУ) = (X, У) - г/(Х)(У) ; X, У е Х(М),.

Многообразие с фиксированной АС-структурой называется почти контактным метрическим (АС) многообразием. Хорошо известно [1], что тензор ^(X, У) =< X, ФУ > кососимметричен; он называется фундаментальной формой АС -структуры.

Если задать почти контактную метрическую структуру на многообразии М, то естественным образом в модуле X(М) возникает пара взаимно дополнительных проекторов: т = )®%, I = гё-<%®). Очевидно, что т +1 = гё. Кроме того, легко показать, что

I = -Ф2.

На почти контактном метрическом многообразии М возникает пара распределений Ь = кег ) = 1т Ф, М = кег Ф — первое и второе фундаментальные распределения соответственно, при этом для модуля X(М) гладких векторных полей верно Х(М) = Ь © М, где &т Ь = 2п, а &тМ = 1. Более того, комплексификация Хс (М) = □ ® Х(М) распадается в прямую сумму собственных распределений эндоморфизма ФС:

Хс (М) = ^ © ДФ ,

причем ДФ = М. Проекторами на слагаемые этой суммы будут соответственно эндоморфизмы

Р = -1(Ф2 +Л/-1Ф), р=1(-Ф2 +7-1Ф), т = гё + Ф2.

В работе [1] было доказано, что к (2п+1)-мерному АС-многообразию как метрическому Г-многообразию дефекта 1 внутренним образом присоединяется О-структура, структурной группой которой является группа Ли и(п) х{е} . Тотальное пространство этой О-структуры состоит из модифицированных А-реперов, т.е. комплексных реперов вида

( р,е0,е1,...,е” ,ел ,...,ел X

1 п

где е0 =ХР , £а = 42ж(еа), £а = ур!ж(еа), а=1,.. ,,п, (е1,...еп) — базис пространства Ьр как

-модуля, р е М.

В работе [1] на пространстве присоединенной О-структуры были получены тензорные компоненты формы римановой связности; первая группа структурных уравнений и компоненты тензора Нейенхейса эндоморфизма Ф АС-многообразий.

Определение 2 [4]. АС-структура называется нормальной, если выполняется следующее условие

2ЫФ+ ё)®% = 0, X,Уе Х(М),

где ЫФ - тензор Нейенхейса эндоморфизма Ф, определяемый формулой

1

NФ (X, У ) = - (Ф2 [ X, У ] + ^, ФУ ] - Ф^, У ] - Ф[ X, ФУ ]).

Понятие нормальности было введено Сасаки и Хатакеямой в 1961 г. [5] и является одним из основных понятий контактной геометрии, связанных с условиями интегрируемости структуры.

Определение 3 [1]. Нормальная АС-структура называется косимплектической, если выполняются следующие условия: ё)=0 и ё&=0.

Определение 4 [1]. Многообразие, на котором фиксирована косимплектическая структура, называется косимплектическим многообразием.

Определение 5 [2]. Диффеоморфизм ф: М ® М псевдориманова многообразия (М, g) называется геодезическим преобразованием, если он любую геодезическую переводит в геодезическую.

1. Постановка задачи

Рассмотрим тензор Р проективной кривизны, являющийся инвариантом геодезических преобразований. Напомним, что тензор проективной кривизны вычисляется по формуле [2]:

Р(X, У)1 = , У)1--— (< г(I), У > X- < г(I), X > У), (*)

п -1

где Я - тензор кривизны, г - тензор Риччи.

Теперь вычислим спектр тензора проективной кривизны косимплектических многообразий.

Для этого получим вторую группу структурных уравнений, спектры тензора кривизны и тензора Риччи косимплектических многообразий.

Из работы [1] известно, что первая группа структурных уравнений косимплектических многообразий имеет вид:

1)ё®а =-в; лЩ;

2)ёЩ =вЬа ЛЩ ; (1)

3)й® = 0.

А в силу того, что косимплектические структуры характеризуются тем, что УФ = 0 [1], следующие компоненты формы римановой связности будут нулевыми:

вла =с = 00а =30 .

ь

Проведем стандартную процедуру дифференциального продолжения уравнения (1). Продифференцировав внешним образом (11), получим:

-ава л Щ+ва л а®ь = 0.

С учетом (1х) имеем:

или

-с1ваъ А®Ъ + еаъ А (-еЪс А (® ) = 0, (ёвьа + вса Ав1) А®ъ = 0,

Обозначив через

лв; = ёвьа+вас л вс, (2)

последнее уравнение запишем в виде

Лвьа л Щ = 0. (3)

Далее, разложив 2-форму Ав^ по базису {в^ ав^.;в^ а®1 ;® а®*;®1 а®} : А^а = АОССв^ а в^ + Л0ССв^ а ®с + Л?в? а ® + Л-в/ а ®+

/ + Аьасё

и подставив ее в уравнение (3), получим:

+ЛЪсС®С а ® + ЛъаСС®с А®с + ЛаС®С А ®с + ЛЪСо®С А ®+ Лъас0®с А ®

Л^вї л в л®ь + AffdOfc л®й л®ь + Л^в л®8 л®ь + Л^в л®л®ь +

+Afcd®c л ®d л®ь + Afcd®c л ®d л®ь + Afcd®d л ®c л ® +

+Afc°®с л®л®ь + Afc0®c л®л® = 0.

Отсюда, в силу линейной независимости базисных форм, имеем:

Ag = 0; Afd = 0; Л^ g ] = 0; AfC° = 0;

ЛІ* ] = 0; Afcd = 0; Afd] = 0; Afc* = 0; Af0 = 0.

Следовательно, (4) примет вид:

Aвf = fi л ®g + Л^* ® л®d + AfC®d л ®c + ЛЬс° л ® (S)

Продифференцируем внешним образом уравнение (12):

в л® вЬ л ® = 0 .

С учетом (12) имеем: ёв^Ь л®ь _вЬ л (в- л ®с) = 0 или

(в _вС лвсЬ ) л® = 0.

Так как

АвЬ = йвъа в;лвЬ,

последнее уравнение запишется в виде

Aва л®ь = 0

или

АвЬ л ®а = 0 . (б)

Принимая во внимание равенство (S) и подставив его в уравнение (б), получим:

ЛЬв л® л®а + Af® л®“ л®а + Af® л ®с л®а + Af- °®С л ® л ®а = 0 .

Отсюда имеем:

Лас = 0- ла = 0- Аас = 0- Ла = 0

AWg = 0; ЛЬс* = 0; АЬ* = 0; ЛЬс0 = 0.

Таким образом

АвЬ = Af®d л®-,

где лЬг] = Afcd ] = °.

Подставив выражение АвЬ в (2), получаем вторую группу структурных уравнений косимплектических многообразий в виде:

в = в л вс + Afc®d л®с. (7)

Итак, полная группа структурных уравнений косимплектических многообразий имеет вид:

d®a =_вЬ л®ь;

d®a =вЬ л®ь; d® = 0;

в =_в лвьс + Af;®d л®; где {Afcc} -семейство функций на пространстве присоединенной G-структуры, симметричных по верхним и нижним индексам. Можно показать, что они образуют тензор на М2п1, называемый тензором Ф-голоморфной секционной кривизны [1].

Сравнивая соотношения (7) со второй группой структурных уравнений римановой связности

Св\ = -в а вв + 1 Я ш®к А ® ,

] к ] 2 ^

где Я] -компоненты тензора Римана-Кристофеля, в силу линейной независимости базисных форм и Я1]к1 = gisRSjkl получим, что на пространстве присоединенной О-структуры:

ЯаЪсС = ЯаЪсС = Яаа = ЯаЪс0 = Яа = Яаа = Яа а = Яаоъ0 = Яа = °

а аЪсС аЪс0 аЪс0 аЪс0 а0Ъ0

Яа а= ЛаС .

аЪсС

С учетом полученного вычислим компоненты спектра тензора Риччи гі}. = -Ккі]к косим-плектического многообразия:

ГаЪ = Га0 = Г00 = 0

г = Лак

А ЛЬЪ .

аЪ

С учетом (*) получаем спектр тензора проективной кривизны:

Р“.л с = - А№),

ь 2п

ра =- Аас + 1 Ак°Ха р л Аьа + 0 аьй ^ ,

ьсё 2п

Ра л = А£ - ^ А№, (8)

Ъсё 2п

7)0 _ 1 лай г)0 _ 1 лай

р л = т- Аьь , Р л = - Т- Ань ,

аь0 2п а 0ь 2п

а остальные равны нулю [3] .

Заключение

Теорема 1. Косимплектическое многообразие проективно плоско тогда и только тогда, когда является плоским многообразием.

Доказательство: Пусть косимплектическое многообразие М2”1 - проективно плоско, то есть Р]к1 = 0. С учетом (2) это равносильно

_Af;+^ A'd _ о, ± Ah _ 0.

2n 2n

Отсюда сразу следует, что

Aac _ о

ЛЬd _ °.

В этом случае, с учетом (1), получаем, что Яг]к1 = 0, то есть Мп - плоское многообразие. Обратное утверждение очевидно. □

Литература

1. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. - М.: МПГУ, 2003.

2. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. - М.: Наука, 1979.

3. Дондукова Н.Н. Тензор проективной кривизны косимплектических многообразий // Моск. пед. гос. ун-т.- М. 2005.- Деп. В ВИНИТИ 12.10.2005. №1305-В2005. - 14 с.

4. Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry. Lecture Notes Math. 509, 1976. - P. 145.

5. Sasaki S., Hatakeyama Y. On differentional manifolds with certain structure which are closely related to almost contact structure II // T ohoku Math. - 1961. - J. 13. - P. 281-294.

6. Goldberg S., Yano K., Integrability of almost cosymplectic structure // Pacif. J. Math. - 1969. - Vol. 31. -№ 2. - P. 373-382.

7. Sasaki S. Almost Contact Manifolds // Lect. Notes. 1 - 3, Math. Inst.Tohoku Univ., Tohoku. - 1965-1968.

8. Kobayashi S. Principal fibre bundle with 1-dimensional toroidal group // Tohoku Math. J. - 1956. - Vol. 8.

- P. 29-45.

9. Blair D.E. Contact Manifolds in Riemannian Geometry // Lect. Notes in Math. - 509. - Springer-Verlag, Berlin-New York, 1976.

10. Blair D.E. The theory of quasi-Sasakian manifolds // J. Differentional Geometry. - 1967. - No. 1. - P. 331-345.

References

1. Kirichenko V. Differentional geometric structure on manifolds. - M.: МPGU, 2003.

2. Sinyukov N.S. Geodesic mapping of Riemannian spaces. - М.: Nauka, 1979.

3. Dondukova N.N. Tensor of projective curvature cosymplectic manifolds // Moscow. ped. gos. university.

- М., 2005. Dep. V VINITI 12.10.2005.№1305-V2005. - 14 p.

4. Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry. Lecture Notes Math. 509, 1976. - P. 145.

5. Sasaki S., Hatakeyama Y. On differentional manifolds with certain structure which are closely related to almost contact structure II // Tohoku Math. - 1961. - J. 13. - P. 281-294.

6. Goldberg S., Yano K., Integrability of almost cosymplectic structure // Pacif. J. Math. - 1969. - Vol. 31.

- № 2. - P. 373-382.

7. Sasaki S. Almost Contact Manifolds // Lect. Notes. 1 - 3, Math. Inst.Tohoku Univ., Tohoku. - 19651968.

8. Kobayashi S. Principal fibre bundle with 1-dimensional toroidal group // Tohoku Math. J. - 1956. - Vol.

8. - P. 29-45.

9. Blair D.E. Contact Manifolds in Riemannian Geometry // Lect. Notes in Math. - 509. - Springer-Verlag, Berlin-New York, 1976.

10. Blair D.E. The theory of quasi-Sasakian manifolds // J. Differentional Geometry. - 1967. - No. 1. - P. 331-345.