CC BY
33
УДК 514.76 ББК 22.1
МНОГООБРАЗИЯ КЛАССА NC10
| А.Р. Рустанов
Аннотация. Почти контактные метрические структуры класса С10, в классификации Чинья и Гонзалеза [1], являются естественными обобщениями косимплектических структур. Эти структуры практически не освещались в печати, В данной работе мы рассматриваем более общие структуры, содержащие АС-многообразия класса' рассмотренных в работе [3], и точнейше косимплектические многообразия, названные нами NC^-структурами, В работе доказаны ряд предложений и теорем, характеризующих свойства рассматриваемых многообразий. В частности, получены следующие результаты: 1) подсчитаны компоненты ковариантного дифференциала структурного эндоморфизма на пространстве присоединенной G-структуры; 2) получена. полная группа структурных уравнений WС10-структуры на пространстве присоединенной G-структуры; 3) вычислены компоненты тензора Римана-Кристоффеля, тензора Риччи и подсчитана скалярная кривизна на пространстве присоединенной G-структуры, В работе решены несколько задач: 1) изучены NС10-многообразия Эйнштейна; 2) рассмотрены №С10-многообразия постоянной кривизны k; 3) изучаются №С10-многообразия точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны.
MANIFOLDS OF AfC10 CLASS | A.R. Rustanov
Abstract. Almost contact metric structures of C10 class in Chinea D. and Gonzalez C. classification [1], are natural generalizations of cosymplectic structures. These structures are hardly reported in the press. In this paper we consider the more general structures containing AC-structures of class C10, considered in [3], and the closely cosymplectic manifold named by us as NC1Q-structures. We prove a number of proposals and theorems describing properties of the manifolds. In particular, the following results are gained: 1) the structural components of the covariant differential endomor-phism space of the associated G-structure is calculated; 2) a complete struc-
Ключевые слова: точнейшее косимплектическое многообразие, секционная кривизна, многообразие Эйнштейна, NCw-многообразие.
ture equations fiC10-structure on the space of the associated G-structure is obtained; 3) the components of Riemann-Christoffel tensor, Ricci tensor and the scalar curvature is calculated on the space of the associated G-structure. In this paper we solve some problems: 1) Einstein NC10-manifolds are studied; 2) NC lo-manifolds of con stan t curva ture k are considered; 3) NC10-mani-fold of pointwise constant O-sectional curvature are being studied.
Keywords: Closely cosymplectic manifold, the sectional curvature, Einstein manifold, NCl0-manifold.
210
В данной работе рассматриваются обобщения почти контактных метрических многообразий класса в классификации Чннья и Гонзалеза [1]. Мы придерживаемся обозначений и терминологии, принятой в монографии [2]. Почти контактные метрические структуры класса С10 являются естественными обобщениями косимплектических структур. Эти структуры практически не освещались в печати. В данной работе мы рассматриваем более общие структуры, содержащие ЛС-многообразия класса Сю, рассмотренных в работе [3], и точнейшее косимплектические многообразия, исчерпывающая характеризация локального строения которых дается Следствием к Теореме 3.1 в [2, с. 470].
ЛС-многообразия класса С10 в классификации Чинея и Гонзалеза ([3]) характеризуются тождеством:
ЧХ(Ф)7 = фу^ФХ + т)Х,¥ь Х(М). (1)
Положим в (1) X = У, тогда получим
V* (Ф)Х = (т,)Ф* + Т1(Х)ЧФА-, ХЕХ(М) (2)
Инволюционно поляризуя (2), получим
+ + + ч(У)ЧфхЬ Х.УВХЩ). (3)
Назовем .4С-структуру, характеризуемую тождеством (3), Л/С1Э-структу-рой. .4С-многообразие, снабженное №С10-структурой, — Л/'С10-многообра-зием.
Пусть (М,ФД,т], g} - №С10-многообразие. На пространстве расслоения реперов тождество (4) примет вид:
(4)
Расписывая эти соотношения на пространстве присоединенной О-струк-туры, получим следующее предложение.
Предложение 1. Компоненты ковариантного дифференциала структурного эндоморфизма на пространстве присоединенной О-структуры удовлетворяют следующим соотношениям:
1) Фо,о = Ф8,0 = Фа,о = ФЦ,о = 0; 2)Ф^Й = Ф*л = Ф?й = Фй% = 0;
3) Ф£,о = Фь.о = 0; 4) Ф£с = Ф^ = 0; 5) + Фй% = 0; (5)
6) + Ф£= 0; 7) Ф^ + Ф£,а = 0; 8) Ф^ + Фс£л = 0.
С учетом полученных соотношений (5), первая группа структурных уравнений NCio-структуры на пространстве присоединенной (/-структуры примет вид:
2) dú)a = A cúb + Cabccúb А шс + Fab соь А ы; (6)
3) dü)a = 9b A cúb + СаЬсшь A CÚc + Fab(x)b A LÚ, где (7)
с.Ьо cabc = -^Фt; С[пЬс] = С[аЬс] = Cabc; С^ = _
Cabc; Fab = Fab = -лРХФ^; F"b +Fba = 0; Fab+Fba = 0; F«b =
Fab.
Кроме того, имеют место следующие предложения.
Предложение 2. Пусть S = (Ф- АС-структура на многообразии М2п+1. Тогда следующие утверждения равносильны: 1) S — ЛГС10-структура; 2) В = С0 = D0 = Е = F0 = G = 0; 3) S - 160-структура.
Предложение 3. ¿VC10-структур а является: 1) точнейше косимплектиче-ской тогда и только тогда, когда B = Co = Do = E = F = G = 0, т.е. Fab = Fab = 0, т.е. F = 0, т.е. S — 128-структура; 2) структурой класса С10 тогда и только тогда, когда B = C = D0=E = F = G= 0, т.е. Cabc = СаЬс = 0, т.е. ^Ц S — 34-структурой; 3) коснмплектической структурой тогда и только тогда,
Следуя [2], тензор С = {Cj-jt}; Cab£ = Cabc; Cabc = Cabc; все прочие компоненты нулевые, назовем первым структурным тензором №С10"СТРУКТУ-ры. Тензор F = {fj}; Fa b = Fab; Fab = Fab; все прочие компоненты нулевые, назовем вторым структурным тензором ^^io-структуры. Структурные тензоры обладают следующими свойствами, выраженные в следующем предложении.
Предложение 4 [2]. Структурные тензоры ^^ю-структуры обладают следующими свойствами:
1}ФсОДУ) = —С(ФХ, 7) = -ОД ФУ); 2)({C{X,Y),Z))+{{Y,C{X,Z))) =
0; 3)Фо^ = -Роф; 4) {F(X),Y) = (X,F(Y)); 5)^ = 0; 6)Ftf) = .
Доказательство первых трех свойств приведено в [2], доказательство остальных проводится аналогично.
Стандартная процедура дифференциального продолжения первой группы структурных уравнений дает вторую группу структурных уравнений ^С10-структуры на пространстве присоединенной G-структуры:
des + Л 0£ = {АЦ - 2CadhChbc - FadFbc)ioc A a>d, (8)
где
Кроме того, имеют место следующие равенства:
1) dFab - Fcb8ca - Fac9l = 0; 2} dFab + FcbQac + FacQb = 0; 3) dCab
(9) (10)
CdbM - Cadc0ë - Cabd9ï = Cabcdua; 4) dCab< + + Cadc9b + C"bd"d
Cabcd, г
9Ï =
где
dbcdi
= F„ihF,
albtcd]>
^aibcdi _ pa[bpcd\
(11)
Дифференцируя внешним образом вторую группу структурных уравнений (8), получим
(12) (13)
где
,
Кроме того, имеют место следующие тождества: 1) АЦСзГи = 2С^Скь[сСдГЫ; 2) А^С* =
2С^СкЬсС^; 3) Аф>Шд] = 4) А^Р^ = Р^РЬсР^\
212 Продифференцировав внешним образом равенство (10:3), получим:
д-С-йЪсй ~ £>ЬЪса®а ~ С-аЬсй®Ъ ~ ^аЪИй^с ~ ^аЬск^й = CaЬcdhШ" + ^аЬсй + СаЬсао03.
(14)
При этом имеют место следующие равенства:
1) СаЬс/ = 6Сд[аЬ (А% - 2С^С|/ИЛ); 2} СаЬсШ = 0; 3} С
.
С учетом (15:1) равенства (13) примут вид:
abcdQ
Аb[ch] _ ЛЬ= ~ U-
(15)
(16)
Для тензорных компонент формы римановой связности имеют место следующие соотношения [2]:
1) Ч = ^Ф 2>вь = 3) = 4) е$
= -лР5) 9* = 6) 0" = 7) 0°
,
ВЕК
которые для Л7С10-структуры, с учетом обозначений (7), примут вид:
(17)
Продифференцировав внешним образом (17), получим, с учетом (6), (8), (10), (17):
(18)
Напомним, что вторая группа структурных уравнений римановой связности имеет вид: = -81к Л (9* + Л ю1, где с СШ(БМ) - компоненты тензора Римана-Кристофеля.
Расписывая вторую группу структурных уравнений на пространстве присоединенной О-структуры, с учетом (17), (17) и (8), получим компоненты тензора Римана-Кристоффеля на пространстве присоединенной О-структуры:
(19)
Остальные компоненты нулевые.
Подсчитывая по формуле [2] = —с учетом (19), получим на пространстве присоединенной О-структуры компоненты тензора Риччи:
be ас
3CbcdC.
1) 500 = -2РаЬР*а- 2)БаЪ = Б£а=А
а остальные компонентах нулевые. Тогда скалярная кривизна равна:
dca
F«cF
cb
213
(20)
(21)
Пусть теперь ЛС-многообразие класса NC10 является многообразием Эйнштейна, т.е. его тензор Риччи удовлетворяет условию S = £д. где £ = const называется космологической постоянной.
Условие Эйнштейновости в координатной форме запишется в виде Stj = Egi}. Распишем условие Эйнштейновости на пространстве присоединенной G-структуры.
,
т.е. с учетом (18) получим
214
(22)
Равенство? = —2РаЬРЪа запишем в виде: £ = -2РаЪРЬа = —2^аЬ\РаЬ\2 < 0.
аЬ1
Если £ = 0, то 2,аь\Раь\2 = т е- ^ = О' т е" согласно Предложению 3, многообразие является риччи-плоским точнейше косимплектическим, а значит, согласно [2], локально эквивалентно произведению риччи-плоского приближенно келерова многообразия на вещественную прямую.
Свернем равенство = АЬсс — 3СЪсЛСв£а — РасРсЪ = по индексам а и Ъ, тогда А— 3СаЪсСсЬа — РаьРЪа = гп т.е. X = ~£ — О Таким образом, получили следующую теорему.
Теорема 1. Л/С10-многообразне Эйнштейна является многообразием ненеположительной скалярной кривизны.
В частности, если оно имеет ненулевую скалярную кривизну, т.е. если £ < 0, то по классической теореме Майерса [4], в случае полноты, Мкомпактно и имеет конечную фундаментальную группу.
Комбинируя вышеизложенное с теоремой 1, получим следующий результат:
Теорема 2. Полное Д'С10-многообразие Эйнштейна является либо риччи-плоским точнейше косимплектическим многообразием, а значит, голоморфно изометрично накрывается произведением вещественной прямой на рич-чи-плоское приближенно келерово многообразие, либо компактно и имеет конечную фундаментальную группу.
Пусть М — А/С10-многообразие постоянной кривизны к. Тогда его тензор Римана-Кристоффеля имеет строение [2]:
ДОГ, У)2 = к «У, 2)Х - (X, 2) У); X, У, 2 Е Х(М). (23)
Равенство (23) на пространстве расслоения реперов можно записать в виде:
ЯцИ = - 9^к9и) (24)
На пространстве присоединенной О-структуры соотношения (24) равносильны следующим соотношениям
1) Я0а0£ = -Г«сГсЪ = 2) ПаШ = = к(в<ё* - 6^)- 3) Яа6с1 =
(25)
- С*" Скас - кб^бс; 4) - 2Ра[сР^11 - 2СаЬ[са] - СасМ — РаЬРсс1 - 0.
Поскольку, — РаьРЬа = Ъаь\Раь\2 — 0, то, сворачивая (25:1) по индексам а и Ь, получим: пк = ~РаЬРЬа = 2аЬ^аЬ|2 > 0, т.е. к = > 0. В случае
п
к = 0 имеем Р = 0, т.е. многообразие является точнейше коснмплек-тическим.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 3. Пусть М — NC10-MHoroo6pa3iie постоянной крнвнзны k. Тогда к < О, т.е. не существует NC10-многообразия постоянной отрицательной кривизны k. В случае к = 0 многообразие является точнейше коснмплектнче-ским, а значит, голоморфно изометрично накрывается произведением вещественной прямой на плоское приближенно келерово многообразие.
Пусть М2п+1 — ЛС-многообразне.
Определение 1 [5]. Почти контактное метрическое многообразие М2п+1 называется многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны, если V-Y Е£ => {R(X,ФХ)Х,ФХ) = с\\Х\\\ где с Е С~(М) Если к тому же с = const, многообразие называется многообразием глобально постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны.
На пространстве присоединенной (/-структуры это равенство записывается в виде: Rabc^XaXbXcXd = —cgSbgc^XsXbXcXd. С учетом вида матрицы метрического тензора последнее равенство перепишется в впде: (R^bcd + cSbSd)XaXbXcXd = 0. Поляризация этого равенства приводит нас к следующему результату:
Предложение 5 [2]. Почти контактное метрическое многообразие является многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с тогда и только тогда, когда
п(а d) _ с ?ad
Я (be) ä ь
be ■
(26)
где = 8£5? + 3d S?.
215
Пусть, в частности, M2n+1 — ЛГС10-многообразне. С учетом (19:2) равенство
(26) примет вид:
Aad _ ¿lad) , A(ad) , . [ad] . . .Gti] Abc ~A(be> + A[be] + A(bc~)+A
Поскольку A\dc]=A^f= 0;
записывая
[be] , то
объект
да d be
форме
Aad _ £
лЬс ~ 2 be .
(27)
Проводя рассуждения в обратном порядке, легко убедиться, что если тензор имеет вид (27), то А/С10-многообразие является многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны.
L!
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 4. ЛГС10-многообразие М является многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной (/-структуры тензор имеет внд
Аас^ = —
Продифференцируем внешним образом соотношение (27). Тогда = С учетом (12) последнее равенство можно записать в виде:
Afch<jh + А
adh
be ШН
Л hd п а be h
.
Подставив
сюда значения нз (27), получим: Аь^нш'+ СО/, = -3^с1с. Пусть йс = с 11юк + + с0о). Сравнивая с предыдущим соотношением, получим: Л^йЛ + = + В силу линейной неза-
висимости базисных форм получим:
.
(28)
216
Свернем первые два равенства по индексам c и d:
adh _ <г I 1 „f!
1) 2Aabcch = Стг + 1 )S§ck-, 2) 2Aabf =(n+l)Ö£ch. Альтернируя первое равенство по индексам Ъ и Ii. с учетом (9:1) и (13:1) получим: Sb ch = S^cb. Аналогично, S£ck = 5bca. Свернем последние два равенства по индексам а и Ь: (п — 1 )ch = 0 н (п — 1)0. Отсюда вытекает, что если п Ф 1, т.е. dimM > 3, то cb = ch = 0, т.е. de = 0, и если М связно, то с = const Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 5. Точечное постоянство голоморфной секционной кривизны связного Л?С10-многообразпя размерности свыше трех равносильно ее глобальному постоянству.
Пусть М — Д'С10-многообразие точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны. Предварительно рассмотрим равенство (14:1), т.е. равенство АЬ[сСд^ = 2СайНСНЬ[сСд^й. Свернем это тождество по индексам о и Ъ.
AdcCgfd + А%С,
lg '-fed + Af^cgd 2 Cf Cgfd 2 Сд Cfcd 2 CjCcgd — 0 , (29)
где Ас = Л^, Сс = Св1и1Сд11С. Теперь свернем равенство (14:1) по индексам а и с и переобозначим Ь на с. С учетом свойств симметрии объектов А и С получим:
.
(30)
Почленно вычитая (30) из (29), с учетом свойств симметрии объекта С. получим тождество
Г . 1ГС1
A?gCf]cd - 2C?Cgfd = 0. Последнее равенство с учетом (27) запишется в виде:
(31)
(32)
с(п + l)Ccgf = 4 CdcCL
■afd-
Поскольку (_Сс) — эрмитова матрица, в каждой точке многообразия М существует А-репер, в котором = Сс5а, где {Сс} — собственные значения этой матрицы. В этом А-репере тождество (32) принимает вид:
.
(33)
это
Свертывая
соотношение т.е.
получим т.е.
■ объектом С8^, {Сс — ^ (л + 1)| С? = О
[сс — - (п + 1)| Сс3с = 0. Из последнего равенства мы видим, что если с = 0, то (Сс)23^ = 0, а значит, Сс = 0. Но тогда С* = Сс8? = 0 т.о. Ссй = 0 Сверты-
вая
это
равенство
по
индексам
d,
получим, что
Cd = СаЬсСаЬс = habA^abcl2 = 0, а значит, СаЬс = 0, т.е. М является многообразием класса С10. С учетом Теоремы 6 [6], многообразием локально эквивалентно одному из следующих многообразий: 1. Произведению комплексного евклидова пространства на вещественную прямую; 2. Произведению комплексного проективного пространства на вещественную прямую.
Пусть М — собственное Л'С10-многообразие точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны. Тогда СаЪс ? О п равенство (33) дает Сс = ^ (n + 1), т.е. Cd = ^ (п + 1 )6d. Свертывая это равенство по индексам с и d, получим, что с = —^—^дь с Isabel2 :> 0. Таким образом, еслпМ — собственное МС^-многообразие точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с, то с > 0.
Подытожив вышеизложенное, можно сформулировать следующую теорему.
Теорема 6. Пусть М — ДгС10-многообразне точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с, то с > 0. В случае с = 0, многообразие M локально эквивалентно одному из следующих многообразий:
1. произведению комплексного евклидова пространства на вещественную прямую;
2. произведению комплексного проективного пространства на вещественную прямую.
217
c
и
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Chinea, D. Classification of almost contact metric structures [Text] / D. Chinea, C. Gonzalez // Annali di Matematica pura ed applicata (IV). - 1990. - V, CLVI. - P. 15-36.
2. Кириченко, В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях [Текст] / В.Ф. Кириченко. - М. : МПГУ, 2003.
3. Рустанов, А.Р. Тождества кривизны почти контактных метрических многообразий класса С„ [Текст] / А.Р. Ру станов // Преподаватель XXI век. - 2010. - № 4. - С. 199-207.
4. Кобаяши, Ш. Основы дифференциальной геометрии [Текст] / Ш. Кобаяши, К. Номидзу. -М. : Наука, 1981. - Т. 1-2.
5. Isihara, I. Anti-invariant submanifolds of a Sasakian space form [Text] / I. Isihara // Kodai Math. J. - 1979. V.2. - P. 171-182.
6. Pycmcmoe, А.Р. Свойства изотропности тензора кривизны почти контактных метрических многообразий класса CLD [Текст] / А.Р. Рустанов // Преподаватель XXI век. - 2014. - № 2, 2014, с. 207-213.
REFERENCES
1. Chinea, D. Classification of almost contact metric structures [Classification of almost contact metric structures], Annali di Matematica pura ed applicata (IV), 1990, V, CLVI, pp. 15-36.
2. Kirichenko, V.F. Differencial'no-geometricheskie struktury na mnogoobrazijah [Differential and
geometric structures on manifolds], M., MPGU, 2003.
3. Rustanov, A.R. Tozhdestva krivizny pochti kontaktnyh metricheskih mnogoobrazij klassa CL0 [Curvature identities of almost contact metric manifolds of class Prepodavatel'XXI vek, 2010, No 4, pp. 199-207.
4. Kobajashi, Sh. Osnovy differencial'noj geometrii [Foundations of differential geometry], M., Nau-ka, 1981, v. 1-2.
5. Isihara, I. Anti-invariant submanifolds of a Sasakian space form I [Anti-invariant submanifolds of a Sasakian space form], Kodai Math. J., 1979, v. 2. pp. 171-182.
6. Rustanov, A.R. Svojstva izotropnosti tenzora krivizny pochti kontaktnyh metricheskih mnogoobrazij klassa CM [Isotropic properties of the curvature tensor of almost contact metric manifolds of class C1D], Prepodavatel XXI vek, 2014,No 2,pp. 207-213.
218
Рустанов Алигаджир Рабаданович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории и истории социологии Московского педагогического государственного университета, [email protected]
Rustanov A.R., PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor, Theory and History of Sociology Department, Moscow State Pedagogical University, [email protected]
