Аксиома Ф-голоморфных -плоскостей для почти контактных метрических многообразий класса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76 ББК 22.16 Р 89

Рустанов А.Р.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической и специальной социологии института социально-гуманитарного образования Московского педагогического государственного университета, Москва, e-mail: [email protected]

Салахов А.З.

Старший преподаватель кафедры высшей математики Дагестанского государственного технического университета, Махачкала, e-mail: [email protected]

Хаиров Р.А.

Кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры высшей математики Дагестанского государственного технического университета, Махачкала, e-mail: [email protected]

Аксиома Ф-голоморфных (2r +1)-плоскостей для почти контактных метрических многообразий класса nc10 (Рецензирована)

Аннотация. Основной целью данной статьи является изучение свойств изотропности почти контактного метрического многообразия класса NCl0. В частности, изучение аксиомы Ф-голоморфных плоскостей для

почти контактных метрических многообразий класса NC10. Используя метод присоединенных G-структур, были получены следующие результаты: 1) NC -многообразие, удовлетворяющее аксиоме Ф-голоморфных (2r +1) -плоскостей, является косимплектическим многообразием; 2) NC10 -многообразие удовлетворяет аксиоме Ф-голоморфных (2r +1) -плоскостей тогда и только тогда, когда оно является многообразием постоянной голоморфной секционной кривизны; 3) NC10 -многообразие, удовлетворяющее аксиоме Ф-голоморфных (2r +1) -плоскостей, локально эквивалентно произведению вещественной прямой на одно из следующих многообразий, снабженных канонической келеровой структурой: 1) комплексное евклидово пространство Cn ; 2) комплексное проективное пространство CP" ; 3) комплексное проективное пространство CDn.

Ключевые слова: почти контактная метрическая структура, косимплектическая структура, точней-ше косимплектическое многообразие, NC -многообразие, аксиома Ф-голоморфных плоскостей.

Rustanov A.R.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Theoretical and Express Sociology of Institute of Social Arts Education of the Moscow Pedagogical State University, Moscow, e-mail: [email protected]

Salakhov A.Z.

Senior Lecturer of Higher Mathematics Department, Dagestan State Technical University, Makhachkala, email: [email protected]

Khairov R.A.

Candidate of Physics and Mathematics, Senior Lecturer of Higher Mathematics Department, Dagestan State Technical University, Makhachkala, e-mail: [email protected]

An axiom of Ф-holomorphic (2r +1)-planes for almost contact metric manifolds of class nc10

Abstract. The main purpose of this paper is to study the properties of isotropy of almost contact metric manifold of class NC , in particular the study of the axiom of the Ф-holomorphic planes for almost contact metric manifolds

of class NC10. Using the method of the associated G-structures the following results were obtained: 1) NC10 -manifold satisfying the axiom of Ф-holomorphic (lr + i) -planes is cosymplectic manifold; 2) NC10 -manifold satisfies the axiom of Ф-holomorphic (2r +1) -planes if and only if it is a manifold of constant holomorphic sectional curvature; 3) NC10 -manifold satisfying the axiom of Ф-holomorphic (lr +1) -planes, is locally equivalent to the product of the real line on one of the following manifolds endowed with the canonical Kahler structure: 1) complex Euclidean space C" ; 2) complex projective space CP"; 3) the complex projective space CD".

Keywords: almost contact metric structure, cosymplectic structure, exactly cosymplectic manifolds, NC10 -manifolds, axiom of Ф-holomorphic planes.

1. Введение

Почти контактные метрические структуры обладают богатой геометрией. Этот факт и многочисленные приложения в различных областях математики и теоретической физики объясняют интерес к изучению геометрии этих структур.

Наиболее интересные свойства многообразий, наделенных почти контактной метрической структурой, появляются, когда применяются дополнительные ограничения. Особый интерес представляет исследование свойств, характеризующих свойства изотропности многообразий. В частности, к таким свойствам относится аксиома Ф-голоморфных плоскостей [16]. Например, доказано, что выполнение этой аксиомы для многообразий Сасаки равносильно постоянству их Ф-голоморфной секционной кривизны [1]. Этот результат был обобщен на нормальные ¿сАС^-многообразия в работе [6].

Данная работа организована следующим образом. В параграфе 2 мы приводим необходимые сведения о геометрии ЛС10 -многообразий. Для более подробных сведений мы отсылаем читателя к работе [7]. В параграфе 3 мы изучаем аксиому Ф-голоморфных (2г +1) -плоскостей для ЛС10 -многообразий.

2. Предварительные сведения

Пусть М - гладкое почти контактное метрическое многообразие (коротко, АС-многообразие), размерности 2п +1, X (М ) - Сш -модуль гладких векторных полей на многообразии м. В дальнейшем все многообразия, тензорные поля и т.п. объекты предполага-

Сад

.

Определение 2.1 [7]. АС-структура, характеризуемая тождеством

Ух (ф)У + У7 (ф)Х = фх(Л)Ф7 + (Л)ФХ + Л(Х)УФ7^ + Л(Г)УФХ^; X, У е х(м), (2.1)

называется ЛС10 -структурой. АС-многообразие, снабженное ЛС10 -структурой, называется МС10 -многообразием.

Полная группа структурных уравнений ЛС10 -структуры на пространстве присоединенной С-структуры имеет вид [2]:

1) da = Fabaa лаъ + Fabaa лфь;

ab

2) daa = -Ob' лаь + Cabcab л ac + Fabab л a;

3) daa = ß лab + Cabc®b ла + Faba Л a';

4) dOa + 0° Л0Ц = Л -2CadhCbc -FadFbc)ac л

(2.2)

ad,

где

л/-!., a ^ V-T

siabc _ » cf\a • C* __(TI' • /^[abc] _ s~iabc. __. s~iabc __.

С ~ 2 Jb,c; Cabc~ 2 b,c; C ; C[abcCabc; C ~ Cabc;

Fab =4-1Ф°г; Fab = ->/-Тфa,b; Fab + Fba = 0; Fab + Fba = 0; F'b = Fab; (2.3)

Aadc] = At] = 0; F'dCdbc = FadCdbc = 0.

Кроме того, имеют место следующие равенства:

1) dFab - Fcbe: - Faßl = 0;

2) dFab + Fcb0ac + Fac0bc = 0;

3) dCabc - Cdbcßa - Cadcß - Cabdß = Cabcd^ ; (2.4)

4) dCabc + Cdbce° + Cadcßbd + Cabd0cd = Cabcdad;

5) dA°d+Abdec+Atel - Aadcßha - Aaßc=Aaa+Aadh®h,

где

Ca[bcd ] = Fa[bFcd ], Ca[cd ] = Fa[Fcd ], Ab%h] — At] — 0, A^C^ ]d — 2CadhChb[cCgf ]d,

Aa[dCgf ]c - 2Cah[dC Cgf ]c Aad F , — FadF F -, Aa FCg]- Fa[d F Flclg] (2'5)

Abc C ~2C ChbcC , Ab[cF\d\g F Fb[cF\d\g ], Abc F ~F FbcF .

Тождество FadCdbc — 0 называется первым фундаментальным тождеством NC10 -

структуры; тождество A^Cf ]d — 2Ca Chb^Cf ]d - вторым фундаментальным тождеством; тождество A^F^g] — FadFbycFdg] - третьим фундаментальным тождеством [8].

Предложение 2.1 [7]. NC10 -структура является: 1) точнейше косимплектической тогда и только тогда, когда второй структурный тензор равен нулю, то есть F — 0 ; 2) структурой класса C10 тогда и только тогда, когда первый структурный тензор равен

нулю, то есть Calbc — Cabc — 0 ; 3) косимплектической структурой тогда и только тогда,

когда Ccéc — Cabc — 0, Fab — Fab — 0.

3. Аксиома Ф-голоморфных (2r +1) -плоскостей

Определение 3.1 ([3, 4]). ((n +1)-мерное почти контактное метрическое многообразие удовлетворяет аксиоме Ф-голоморфных (2r +1) -плоскостей, 1 < r < n, если через каждую точку p g M для всякого (2r +1) -мерного подпространства L œ Tp (M) инвариантного относительно действия структурного оператора Ф проходит (2r +1) -мерное вполне геодезическое Ф-инвариантное подмногообразие N œ M такое, что Tp (N) — L .

Пусть M - (2n +1) -мерное почти контактное метрическое многообразие класса NC10, удовлетворяющее аксиоме Ф-голоморфных (2n +1) -плоскостей, для любой точки p g M, L œ Tp (M) - (2r +1)-мерное Ф-инвариантное подпространство, N œ M - соответствующее вполне геодезическое Ф-инвариантное подмногообразие. В силу нечетномерности N модуль X (M ) содержит ненулевой элемент ядра эндоморфизма Ф , а значит, и векторное поле , которое мы по-прежнему будем обозначать через

Фиксируем точку p g N. Пусть ß — (p,ß0 — Çp, ß,...,ßr, ß1,...,ßr) - ^-репер комплек-сификации пространства Tp (N). Если j : N ^ M, N œ M - естественное вложение, то, отождествляя векторы с их образами при отображении (j* ) - дифференциале отображения j в точке p, получаем в произвольном ^-репере пространства T (M) с учетом вещественности j

Ра _ а О _(0 _^а

= са £ , Ра = Са£а, Са = Са •

Здесь и далее греческие индексы пробегают значения от 1 до г, латинские - от 1 до п. Двойственные отношения задаются уравнениями:

1) ша = саава; 2) Ша = Саа0а; 3) ш=е, (3.1)

где р = {р,е,е1 ,...,е ,е1,...,ег) - корепер, дуальный реперу р.

Продифференцируем внешним образом (3.1:1): ёта = йСаб леа+ Сабйеа; с учетом первой группы структурных уравнений ЫС10 -многообразий получим:

-е; ЛШЬ + саЬсшъ лшс + FaЬшb лш = -еьа л(саеа)+сЛс (саеа)л(срер)+

+FaЬ (саеа)лш = с леа+ саайеа

или

Caadda = ~(dCaa + Съаваъ )лва + СаЬсСьСрсва AOß + FACabea Ав. (3.2)

Заметим, что caacl = (Caasa,C7bsh) = (jßa), j(ß7^ = ß,ßb) = S7a . Поэтому, свертывая (3.2) с Cb, получим

dea=-(CbdCaa + CbCbaea )лва + CabcCbCCßea а в ß + FabCbC?ea Ав

или

dea = -eaß А eß + CahcCaaCßbCrceß А в7 + FahCaaCßbeß А в, (3.3)

где в; = сус; + СааСърваъ.

Аналогично дифференцируем внешним образом (3.1:2): dma = dСа Ава + Саdва. Откуда с учетом структурных уравнений (2.2):

dcа Ава + Саува = в; афь + СЛсфьашс + Fabшь АШ =

= Св А в + саЬссьрс;врАва + Fлcbpвр А в

или

C-^ß = -(dCb - ав ) А вь + CЛcCbßCbвß А в7 + F^ А в .

Свертывая последнее равенство с Cb, получим:

dвr = (- суса + сас;вЬ) А ва + сЛсс;съасрва а вр+Fabc;cьрвр а в. (з .4)

Дифференцируя внешним образом соотношение СааСга=8га, получим СуСаа + СааСа = 0, поэтому (3.4) можно переписать в виде:

dва = (cааdc; + саасвь )Ава + сЛссаасърс;вр Ава + Fabcaacbв А в

или

dвa = вь а в ь + CbCaCßC^ Ав7 + FßCaaCb£ß Ав. (3.5)

a a b ab с aßb ab a ß

Далее с учетом (3.3) соотношение (3.2) можно записать в виде:

Ca (- ^^ Ав"+ CdbcCßCßъCbcвß А ву + FcЪCßCßвß Ав) =

(dCa + C'^a) а в + caъccbßcbcвßАвb + Faъcbßвß Ав

или

(Саа + сав; -с;ва)Ава + ((Сасрс; -саЬссьрс;)вр а в; +

+ (сЬСааСас Ср - FabСp)вр А в = 0. Отсюда, с учетом линейной независимости базисных форм врва} и леммы Картана, существует набор функций Сра } таких, что:

1) С^С^СС - СаЬсСрС; = 0;

2) FcbСa^СаСP - FabСP = 0; (3.6)

3) dСaa + Сав1 - Сава = Саар0Р,

где Саар = С а - компоненты второй квадратичной формы вложения N ^ М . Так как N вполне геодезично, СааВ = 0, и значит,

aß

dC

a a b ß a

dcaa + c^a - ca£ßa= o. (3.7)

Рассмотрим уравнение (3.6:1). Перепишем его в виде (C cCaaCaa -C abc Cßcb= o. По.

скольку это равенство должно выполняться тождественно относительно С" }, то получаем,

что - СЛс = 0 . Продифференцируем полученное равенство по переменным С" :

С^С" = 0. Откуда следует, что СаЬс = 0. Из уравнения (3.6:2) следует, что ¥а = 0. И, с

учетом предложения 2.1, доказана следующая теорема.

Теорема 3.1. ЛС10 -многообразие, удовлетворяющее аксиоме Ф-голоморфных (2г +1) -

плоскостей, является косимплектическим многообразием.

Теорема 3.2. NC10 -многообразие удовлетворяет аксиоме Ф-голоморфных (2г +1) -

плоскостей тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной О-структуры компоненты тензора голоморфной кривизны удовлетворяют соотношениям

дad _ 1 АХ а^

АЬс =1 Г7Г Я°Ьс . (п +1 )п

Доказательство. Пусть теперь М2п+1 - ЛС10 -многообразие, удовлетворяющее аксиоме Ф-голоморфных (2г +1) -плоскостей. Продифференцируем соотношение (3.7) внешним образом: dCьr лв£ + - dCaa л в" - = 0 . Подставим сюда значения из (3.1), (3.7)

и (2.2:4), тогда, принимая во внимание теорему 3.1, получим:

С^вра+ Савврглв'а = АаСССв лв5. (3.8)

Уравнения (3.3) и (3.5) примут вид:

dва=-валвp; dва = в а л в^. (3.9)

Дифференцируя внешним образом (3.9), получим:

dваа+ва лв?=Арав лвф. (3.10)

>ß I Vy /Wß /XL>-

Подставим (3.10) в (3.8), тогда CßMßye7 лвр = AabdcChaC;Csder A0d, то есть

а л ß(p _ Aad/~ib/~ic/~i p

C ßAay ~AbcCaC y Cd .

Далее, рассуждая так же, как и в [4], [6], получим:

< =1-11ГА5ъ1. (311)

(n +1 )n

Обратное очевидно: система Пфаффа, задающая Ф-голоморфную (2r +1) -плоскость, при выполнении (3.11) вполне интегрируема, а ее интегральные многообразия являются вполне геодезическими подмногообразиями. ■

Согласно теореме 4 [7], NC10-многообразие М является многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с тогда и только тогда, когда на простран-

c ~

стве присоединенной G-структуры тензор А^ имеет вид Aldc — ^ ASbd. Следовательно, справедлива

Теорема 3.3. NC10 -многообразие удовлетворяет аксиоме Ф-голоморфных (2r +1) -плоскостей тогда и только тогда, когда оно является многообразием точечно постоянной

Ф-голоморфной секционной кривизны c — —А.

(n + 1)n

Поскольку всякое косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую [9], то NC10-многообразие, удовлетворяющее аксиоме Ф-голоморфных (2r +1) -плоскостей, локально эквивалентно произведению келерова многообразия голоморфной секционной кривизны на вещественную пря-

мую. Используя классификацию полных односвязных келеровых многообразий постоянной голоморфной секционной кривизны [9, 10], приходим к основному результату.

Теорема 3.4. NС10 -многообразие, удовлетворяющее аксиоме Ф-голоморфных (2г +1) -

плоскостей, локально эквивалентно произведению вещественной прямой на одно из следующих многообразий, снабженных канонической келеровой структурой:

1) комплексное евклидово пространство Сп;

2) комплексное проективное пространство СРп;

3) комплексное проективное пространство СОп.

Примечания:

1. Ishihara I. Anti-invariant submanifolds of a Sasakian space form // Kodai Math. J. 1979. Vol. 2. P. 171-186.

2. Ogiue K. On almost contact manifolds admitting axiom of planes or axiom of free mobility // Kodai Math. Semin. Repts. 1964. Vol. 16. P. 223-232.

3. Кириченко В.Ф. Аксиома Ф-голоморфных плоскостей в контактной геометрии // Известия АН СССР. Сер. Математика. 1984. Т. 48, № 4. С. 711-739.

4. Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р. Дифференциальная геометрия квазисасакиевых многообразий // Математический сборник. 2002. Т. 193, № 8. С. 71-100.

5. Волкова Е.С. Аксиома Ф-голоморфных плоскостей для нормальных многообразий киллингова типа // Математические заметки. 2002. Т. 71, вып. 3. С. 364-372.

6. Рустанов А.Р., Харитонова С.В., Казакова О.Н. Аксиома Ф-голоморфных плоскостей для нормальных ¿сЛС^-многообразий // Вестник ОГУ. 2015. № 4 (179). С. 224-238.

7. Рустанов А.Р. Многообразия класса Ж10 // Преподаватель XXI век. 2014. № 3. С. 209-218.

8. Рустанов А.Р., Харитонова С.В. NCi0-многообразия класса R // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2016. Вып. 2 (181). С. 48-54. URL: http://vestnik.adygnet.ru

9. Kiritchenko V.F. Sur la geometrie des varieties approximativement cosymplectiques // C. R. Acad. Sci. Ser. I. 1982. Vol. 295, No. 12. P. 673-676.

10. Кириченко В.Ф. Почти косимплектические многообразия, удовлетворяющие аксиоме Ф-голоморфных плоскостей // Доклады АН СССР. 1983. Т. 273, № 2. С. 280-284.

References:

1. Ishihara I. Anti-invariant submanifolds of a Sasakian space form // Kodai Math. J. 1979. Vol. 2. P. 171-186.

2. Ogiue K. On almost contact manifolds admitting axiom of planes or axiom of free mobility // Kodai Math. Semin. Repts. 1964. Vol. 16. P. 223-232.

3. Kirichenko V.F. Axiom of F-holomorphic planes in contact geometry // Proceedings of the USSR Academy of Sciences. Ser. Mathematics. 1984. Vol. 48, No. 4. P. 711-739.

4. Kirichenko V.F., Rustanov A.R. Differential geometry of quasi-Sasakian manifolds // Mathematical Collection. 2002. Vol. 193, No. 8. P. 71-100.

5. Volkova E.S. Axiom of F-holomorphic planes for normal manifolds of killing type // Mathematical Notes. 2002. Vol. 71, Iss. 3. P. 364-372.

6. Rustanov A.R., Kharitonova S.V., Kazakova O.N. Axiom of F-holomorphic planes for normal LcACs-manifolds // OSU Bulletin. 2015. No. 4 (179). P. 224238.

7. Rustanov A.R. Varieties of ACi0 class // Teacher XXI century. 2014. No. 3. P. 209-218.

8. Rustanov A.R., Kharitonova S.V. Class R ACi0-variety // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 2 (181). P. 48-54. URL: http://vestnik.adygnet.ru

9. Kiritchenko V.F. Sur la geometrie des varieties approximativement cosymplectiques // C. R. Acad. Sci. Ser. I. 1982. Vol. 295, No. 12. P. 673-676.

10. Kirichenko V.F. Almost cosymplectic manifolds satisfying the axiom of F-holomorphic planes // Reports of the USSR Academy of Sciences. 1983. Vol. 273, No. 2. P. 280-284.