ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ С ВОЛНОВЫМИ КАНАЛАМИ С УЧЕТОМ ШУМОВ ИЗМЕРЕНИЯ И ВОЗМУЩЕНИЙ НА СИСТЕМУ Текст научной статьи по специальности «Техника и технологии»

TEXNOLOGIYA

УДК 621:681.17

ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ С ВОЛНОВЫМИ КАНАЛАМИ С УЧЕТОМ ШУМОВ ИЗМЕРЕНИЯ И ВОЗМУЩЕНИЙ НА СИСТЕМУ

Атауллаев Одил Хасанович

к.т.н., профессор Навоийский государственный педагогический институт, [email protected]

Атауллаев Азизжон Одилович PhD, доцент Навоийский государственный горно-технологический университет, Aziz-217 @mail.ru

Жураев Нодирбек Нормуродович PhD, доцент Навоийский государственный горно-технологический университет, [email protected]

Аннотация. Показано, что, используя результаты измерений, «засоренных» шумом линейных комбинаций переменных состояния объекта, их оценки можно получать, применяя фильтр, состоящий из «модели» исходной системы и сигнала обратной связи, пропорционального разности между действительным измерением и его оценкой. При этом закон оптимального управления находится в результате минимизации усредненного по ансамблю квадратичного функционала качества системы. Синтезирована система, обладающая тем свойством, что при отсутствии других возмущений и шума наблюдений постоянное возмущение всегда компенсируется таким образом, что ошибка регулирования или слежения в установившемся состоянии равна нулю, что достигается за счет интегрирующего действия пропорционально-интегрально-дифференциального регулятора. Предложена методика расчета управления в следящей системе с волновыми каналами, исходя из предположения, что полный вектор состояния известен (восстановлен на основе известной теоремы о разделенности), а также исходя из замены действительного состояния системы восстановленным.

Аннотация. Объект холатининг узгарувчиларининг чизикли бирикмаларининг шовкини билан "тикилиб долган" улчов натижаларидан фойдаланиб, уларнинг тахминларини асл тизимнинг "модели" дан иборат филтрни ва хакикий улчов ва унинг сметаси уртасидаги фаркга мутаносиб тескари алока сигналини куллаш оркали олиш мумкинлиги курсатилган. Шу билан бирга, optimal назорат конуни ансамбл буйича уртача тизим сифатининг квадратик функциясини минималлаштириш натижасида топилади. Бошка бузилишлар ва кузатув шовкинлари булмаган такдирда, доимий бузилиш хар доим баркарор холатда тартибга солиш ёки кузатиш хатоси нолга тенг буладиган тарзда компенсация килинадиган хусусиятга ега булган тизим синтез килинди, бу мутаносиб-интеграл-дифференциал регуляторнинг интеграция харакати туфайли еришилади. Тулик холат вектори маълум (таникли ажратиш теоремаси асосида тикланган) деган тахминга асосланиб, шунингдек тизимнинг хдкикий холатини тикланган билан алмаштиришга асосланган тулкин каналлари билан кузатув тизимида бошкарувни хисоблаш усули таклиф етилади

Annotation. It is shown that using the results of measurements "clogged" with noise of linear combinations of variables of the object's state, their estimates can be obtained by applying a filter consisting of a "model" of the original system and a feedback signal proportional to the difference between the actual measurement and its estimate. At the same time, the law of optimal control is found as a result of minimizing the quadratic functional of the system quality averaged over the ensemble. A system has been synthesized that has the property that in the absence of other disturbances and observation noise, a constant disturbance is always compensated in such a way that the error of regulation or tracking in the steady state is zero, which is achieved due to

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 2-son, 2024 Maxsus son

TEXNOLOGIYA

the integrating action of a proportional-integral-differential regulator. A method for calculating control in a tracking system with wave channels is proposed, based on the assumption that the full state vector is known (restored on the basis of the well-known separation theorem), as well as based on replacing the actual state of the system with a restored on.

Ключевые слова: управляющие воздействия; следящая система; волновые каналы; помехо-сигнальная обстановка

Калит сузлар: бошк;ариш хдракатлари; кузатув тизими; тулк;ин каналлари; шовк;ин-сигнализация мух,ити.

Keywords: control actions; tracking system; wave channels; interference-signaling environment

Введение

Как известно оптимального управления динамической системой необходимо знать ее состояние [1]. Однако на практике часто отдельные переменные состояния оптимального управления или не могут быть измерены непосредственно, или измеряются с большой погрешностью. Обычно результаты измерений, которые можно выполнить, представляют собой функции переменных состояния, содержащие случайные ошибки. Как правило, сама система также подвержена воздействию случайных возмущений.

Оптимального управления необходимо оценивать переменные состояния либо по заведомо малому, либо по большому числу измерений, которые сами являются неточными и представляют собой функции переменных состояния. Используя результаты измерений, засоренных шумом с линейными комбинациями переменных параметров, оценку их состояния можно получить, применяя фильтр, состоящий из модели исходной системы и сигнала обратной связи, пропорционального разности между действительным значением результата измерения и его оценкой [2].

Комбинация оптимального фильтра и оптимального детерминированного регулятора представляет собой регулятор с обратной связью, оптимальный в смысле среднего по ансамблю для линейной задачи с квадратичным функционалом и аддитивным гауссовым белым шумом. В данном случае справедлив принцип стохастической эквивалентности, или теорема о разделимости [3].

Закон оптимального управления находится в результате минимизации усредненного по ансамблю квадратичного функционала:

J = E Г 1]im — 'PQx + UTLU U, (0

_2 T t _ где Е - символ математического ожидания.

Математическое ожидание значения J является менее точной мерой качества системы. Тем не менее, это - удобная мера, которая может служить хорошим компромиссным решением поставленной задачи.

При допущении эргодичности функционал из уравнения (1) перепишется как:

J = 1 e[E(XtQX + UTLU)] (2)

или

J = 1T2 [QX + GtLGX], (3)

где x - отклонение состояния процесса от желаемого; Т2 - след матрицы, т.е. сумма элементов главной диагонали; Х - стационарная ковариационная матрица переменных состояния; G - искомая матрица оптимальной обратной связи;

U* = -L- BtPX = GX . (4)

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 2-son, 2024 Maxsus son

TEXNOLOGIYA

Здесь: U - оптимальное управление; P(t) - коэффициенты, которые находят интегрированием в обратном времени уравнений Риккати:

P = —PA — ATP — Q + PBL~lBP. (5)

Результат минимизации функционала хорошо известен из литературы [4] и включает управление:

- на основе динамики вектора возмущений или на базе его оценки;

- с обратной связью на основе переменных состояния или их оценок.

Отметим, что решение для матрицы G не зависит от того, рассматривается система как случайная или как детерминированная с начальными условиями, определяемыми либо при помощи ковариационной матрицы для случайной системы, либо значениями всех переменных состояния в начальный момент времени для детерминированной системы [5].

В общем виде заданная часть следящей системы с волновыми каналами описывается:

уравнением состояния x = f (x, U, V, t); (6)

уравнением наблюдения y = g (x, t) + w, (7)

где x = X : x2 : x3 ^ — (n + n2 + П ) - мерный вектор состояния, компонентами которого

являются: (х1-т) - мерный вектор состояния управляемой части; (X2-n2) - мерный вектор возмущения (окружающие условия); (X3-n0) - мерный вектор эталонного сигнала (неуправляемая часть системы) - цель.

Рациональный состав вектора состояния определяется с учетом требований к следящей системы с волновыми каналами и информацией о результатах наблюдений. Так, элементами вектора х1 могут быть угловые положения, скорости и ускорения механических, электрических и оптических осей антенны (равносигнальная зона - РСЗ); частота или фаза и их производные. Элементами вектора Х3 в этом случае будут эталонные значения координат и их производных, соответствующие вектору Х1. За вектором Х3 ведется слежение. Вектор х1 характеризует поведение внешней среды - возмущений, действующих на заданную часть следящей системы с волновыми каналами. Элементами вектора y являются измеряемые составляющие, зависимые от Х1 и Х3. Вектор Х1 характеризует управляемую часть системы, а Х3 - неуправляемую - цель [6]. Вектор w отражает шумы измерений. При измерении эталонного сигнала это - шумы приемных устройств, угловые и амплитудные шумы цели, замирание сигналов и другие радиопомехи. Вектор управления U формируется регулятором, обеспечивающим оптимизацию заданного критерия качества функционирования системы [7].

Вектор-функции f( ) и g( ) в общем случае нелинейные, изменяющиеся во времени. Точный вид и значения параметров вышеприведенных уравнений зависят от целевого назначения следящей системы с волновыми каналами.

Следящая система с волновыми каналами работает следующим образом:

оцениватель выдает оценку x

xi : x 2 : x3

действительного состояния заданной части

системы х, полученную на основании всех подверженных помехам измерений y, приведенных к моменту оценивания. Эта оценка используется затем в регуляторе при расчете сигнала управления U, воздействующего на управляемую часть системы так, чтобы минимизировался принятый критерий. Предполагается, что уравнения оценивателя и регулятора могут быть получены независимо. Подобное допущение может привести к решению, которое не является строго оптимальным, т.к. следящей системы с волновыми

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 2-son, 2024 Maxsus son

7

A

A

A

A

ТЕХЫОЬООИЛ

каналами являются нелинейными системами. Однако оно позволяет получить численно реализуемый алгоритм, приводящий к вполне приемлемым результатам [8].

Предполагается также, что можно измерять только некоторые комбинации компонент состояния заданной части следящей системы с волновыми каналами, которые к тому же засорены аддитивным шумом. Информация о хз содержится в следящей системы с волновыми каналами, как правило, в узкополосном (в общем случае - случайном) сигнале. На выходе приемного устройства имеем:

Уз = gз(xз,О • (8)

л

Для получения оценки х3 сигнала хз в настоящее время широкое распространение получили оптимальные измерители (дискриминаторы) с устройством оценки [9].

Пусть линеаризованная модель следящей системы с волновыми каналами описывается уравнениями:

XI = Лхх + Ви + СУ, (9)

У = Ах + ^, (10)

где (х1-п) - мерный вектор состояния; (и-г) - мерный вектор управления; (У-я) - мерный вектор возмущений; (у1-Ш1) - мерный вектор измерений, связанный с Х1; (^1-Ш1) - мерный вектор шумов измерения.

Окружающие условия, создающие возмущения, описываются при помощи следующих уравнений [9]:

•

х 2 = Ех2 + ¥п, (11)

У = Их2, (12)

У2 = °2Х2 + ^2 , (13)

где (х2-^) - мерный вектор возмущений; п- вектор белого шума с нулевым средним значением; (у2-Ш2) - мерный вектор измерений, связанных с Х2; (^2-Ш2) - мерный вектор шумов измерения.

Аналогичным образом моделируется поведение цели - вектор хз. В уравнениях (9) - (13) значения Л, В, С, Б1, Д2, Е, ^ и Н представляют собой матрицы, размерности которых определяются размерностями соответствующих векторов. Соотношения (11) -(13) являются моделью случайных возмущений функций, отличных от белого шума. Выходной сигнал стационарного Гауссовского Марковского процесса первого порядка имеет экспоненциальную корреляционную функцию. Это указывает путь исследования задач, в которых шум на входе является случайным, но не белым. Используя формирующие фильтры первого или более высокого порядка (стационарные или нестационарные) с белым шумом на входе, получаем в качестве выходных сигналов коррелированный во времени или окрашенный шум, т.е. гауссовский марковский процесс.

Почти любую корреляционную функцию шума для практических целей достаточно хорошо можно аппроксимировать соответствующим выбором коэффициентов в формирующем фильтре. Состояние всей системы в этом случае будет определяться

1 1 Хт

Х-1

расширенным вектором состояния x

Х2

или (с учетом цели) x

Х2

Х3

. Расширенный

вектор состояния является также гауссовским марковским процессом. Состояние системы с расширенным пространством состояний, включающей в себя как сам объект (процесс), так и внешнее воздействие, описывается в этом случае при помощи следующих уравнений

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 2-son, 2024 Maxsus son

TEXNOLOGIYA

[10]:

X :

•

X1

•

_ X2 _

A I CH

О ' E y =

B О О + 'о О о n

О О О _ F О o

X +

D I О_ О ' D„

" w1" " yi"

w = ; y =

_ w2 _ _ у 2 _

Уравнения (14), (15) могут быть переписаны в виде:

X = Ax + BU + Fn, у = Dx + w.

При этом процесс х и помеха w полагаются независимыми.

(14)

(15)

(16) (17)

Оптимальное линейное уравнение с квадратичным функционалом для такой системы имеет форму:

л

I X1

u

GX = [G: G ]

ч

2

(18)

Уравнения, определяющие структуру и характеристики оптимального фильтра, могут быть получены различными способами. Поскольку вывод их достаточно громоздок, ограничимся лишь обсуждением конечных результатов. Структура оптимального фильтра, осуществляющего оценку по методу наименьших квадратов, описывается векторным дифференциальным уравнением:

Л

X

Л

Xj

Л

Xr%

= A X + BU + K(y - ~), X(tQ) = 0.

(19)

где X - оценка x ; K - соответствующим образом рассчитанная матрица.

л

Разность (у — у) можно физически интерпретировать как разность между

наблюдаемыми и прогнозируемыми значениями у, полученными при восстановлении переменных состояния х. За счет соответствующего выбора К ошибку восстановления

л

(X — x) можно сделать нулевой для произвольных состояний модели уравнения (19).

л

Начальное значение вектора X(?0) в уравнении (19) обычно полагается нулевым. В уравнении (19) матрица K определяется из соотношения:

X'

K(t)

AX (t) D Tw,

(20)

где размерность Ю-пхш, а К2-gxm, АХ и w8(т) = E[w(t)М>т + г)] - квадратные ковариационные матрицы ошибок оценки состояния и шумов измерения соответственно.

Матрица пропорциональности K фактически характеризует соотношение между

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali

5-jild, 2-son, 2024 Maxsus son

Л

Л

Л

Л

ТЕХЫОЮвШ

неопределенностью состояния АХ и неопределенностью в измерениях ^ [11]. Матрица ковариаций АХ(^) определяется как:

АХ (t) = e[aX (t )AXT (t )]== E J

X (t) - X (t)

X (t) - X (t)

■== E

(xi - xj)2....( xj - xj)(x„ - xn)

A A

(xn - xn )(xi - xi)...( xn - xn )2

. (21)

Здесь предполагается, что оператор математического ожидания применяется к каждому элементу матрицы. Диагональные элементы матрицы являются дисперсиями компонент вектора. Элементы, стоящие вне диагонали, есть смешанные элементы второго порядка. Матрица АХ(^) - симметричная, состоящая из п(п+1)/2 различных элементов. Таким образом, элементами этой матрицы являются дисперсии и взаимные дисперсии ошибок фильтрации ожидаемых составляющих вектора Х(^). Значения элементов матрицы АХ(^) могут быть определены в результате решения нелинейного уравнения типа матричного уравнения Риккати:

AX (t) = A AX (t) + AX (t) AT + FNFT - AX (t) DTwlDAX (t),

AX (to) = AX0, где NS(t) = E[n(t )nT (t + r)].

(22)

A

A

A

T

A

A

Уравнение (22) характеризует изменение ошибок фильтрации во времени. Первые два слагаемых правой части уравнения (22) представляют собой изменение ковариационной матрицы ошибок восстановления, связанное с динамикой системы. Третье слагаемое - это изменение ковариационной матрицы ошибок восстановления, вызванное возмущением V, действующим на систему. И, наконец, последнее слагаемое характеризует изменение ковариационной матрицы ошибок восстановления в результате

проводимых измерений. Оно зависит от выбора матричного коэффициента усиления K .

Для решения уравнения (22) необходимо задать начальное значение AX(to) матрицы

A

дисперсий ошибок. Если в момент t=to процесс X(t0 ) на выходе фильтра равен нулю, то,

как видно из уравнения (21), матрица AX(to) равна матрице дисперсий компонент

фильтруемого процесса X(t) в момент t=to, т.е. AX(t0 ) = e{[- X(t0)][- XT (t0)]} [6].

Структура полной системы, состоящей непосредственно из управляемого процесса, окружающей внешней среды, оценивателя состояний (фильтр Калмана-Бьюси) и оптимальной обратной связи, показана на рис 1. Она приведена для случая, когда состояние Х2 внешней среды не измеряется.

Таким образом, для определения управления необходимо решить два обыкновенных дифференциальных уравнения: уравнение (22) для матрицы AX при заданном начальном условии и уравнение

U * = - UlBT PX = GX (23)

для матрицы Р при заданном конечном условии. Здесь коэффициенты P(t) находят интегрированием в обратном времени уравнений Риккати [6]:

P = - PA - ATP - Q + PBUlBP . (24)

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 2-son, 2024 Maxsus son

TEXNOLOGIYA

Ключ к практическому расчету фильтра Калмана состоит в правильном выборе величин элементов ковариационных матриц w и N. Как правило, ширина полосы

пропускания фильтра количественно зависит от отношения ||||Щ [7]. ЧЕМ оно

больше, тем меньше ширина полосы пропускания фильтра. От этого соотношения зависит компромисс между скоростью восстановления состояния и устойчивостью к шуму наблюдений. Сдвиг полюсов наблюдения в любую половину комплексной плоскости приводит к увеличению полосы пропускания и, следовательно, скорости восстановления.

л У

Рис. 1. Структура полной системы управлеш Заключение

В заключение необходимо отметить, что в отличие от оптимального регулятора оптимальный наблюдатель может быть реализован в РМВ, поскольку уравнение (22) является дифференциальным уравнением с заданными начальными условиями, тогда как в задаче оптимального регулирования необходимо решать уравнение Риккати при заданных конечных условиях в обратном времени [12].

ЛИТЕРАТУРА

1. Ataullaev A. O., Ataullaev O. X., Ergashev F. A. Automated rectification of pulse response characteristics in radio engineering two-stage amplifiers //E3S Web of Conferences. -EDP Sciences, 2023. - Т. 417. - С. 05007.

2. Гулямов Ш.М., Юсупбеков А.Н., Рашидов Ю.Р., Атауллаев А.О. Методика расчета управлений в следящей системе с волновыми каналами с учетом сложных помехо-сигнальных условий// Журнал «Промышленные АСУ и контроллеры». - Москва. 2014. -№1. - с. 24-30.

3. Замолодчиков В.Н., Чиликин В.М. Синтез дискриминаторов и фильтров радиотехнических следящих систем// Учеб. пособие по курсу «Радиоавтоматика». Под

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 2-son, 2024 Maxsus son

TEXNOLOGIYA

ред. Ю.А. Евсикова. - М.: Изд-во МЭИ, 1993. - 115 с.

4. Григорьев В.В., Быстров С.В., Бойеков В.И., Болтунов Г.И., Коровьяков А.Н., Мансурова О.К., Першин И.М. Проектирование регуляторов для стохастических систем и объектов с неопределенными параметрами. - СПб: НИУ ИТМО, 2013. -172 с.

5. Бакулев П.А. Радиолокационные системы. Учебник для вузов, «Радиотехника», 2004. - 323 с.

6. Гулямов Ш.М., Юсупбеков А.Н., Атауллаев А.О., Абдуллаева К.Р. Некоторые вопросы синтеза следящих систем с волновыми каналами// Журнал «Автоматизация и современные технологии». - Москва. 2016. - № 1. - с. 37-42.

7. Юсупбеков А.Н., Атауллаев А.О. Синтез системы автоматической регулировки усиления следящей системы. Журнал «ГОРНЫЙ ВЕСТНИК Узбекистана» -Навои. 2012. -№ 2. - с. 64-66.

8. Юсупбеков А.Н., Атауллаев А.О., Артыков С.З. Синтез следящей системы с волновыми каналами с учетом шумов измерения и возмущений на систему// «Ишлаб чикаришдаги машиналар ва механик жихозлар инновацион технологиялари, юту; ва вазифалар» Республика илмий ва илмий-техник анжумани материаллари. - Фергана, 2013.

- с. 28-30.

9. Юсупбеков А.Н., Темербекова Б.М., Атауллаев А.О. Применение искусственных нейронных сетей к оцениванию параметров состояния подвижного объекта по результатам измерений// Международный научно-технический журнал «Химическая технология. Контроль и управление». - Ташкент, 2012. - №3. - с. 38-39.

10. Yusupbekov A.N., Ataullaev A.O. Synthesis of Servo System With Wavy Channels Based Measurements and Noise Disturbance in the System// «Гидротехника иншоотларининг самарадорлигини, ишончлилиги ва хавфсизлигини ошириш» Республика илмий-амалий конференция материаллари. - Тошкент, 2012. - с.104^107.

11. Yusupbekov A.N., Ataullaev A.O., Ergashev F.A., Tekeyev M.E. Management of Dynamic Objects Using Neural Network Technology// Transactions of the International Scientific Conference «Modern Problems of Applied Mathematics and Information Technologies

- AL - KHOREZMIY - 2014». - Samarqand, 2014. - pp. 53-56.

12. Yusupbekov A.N., Gulyamov Sh.M., Ataullayev A.O., Shamsutdinova V.H. Synthesis of the Sepvo System with Wave Channels// Journal of the Technical University of Gabrovo. - Bulgaria, Gabrovo, Volume 51' 2015. - pp. 56-60.

13. Yusypbekov А.К, Ataullaev A.O., Аrtikov S.Z., Temerbekova B.M. Synthesis of servo system with wavy channels based measurements and noise disturbance in the system// Transactions of the international scientific conference «Modern problems of applied mathematics and information technologies - AL - KHOREZMIY 2014» - Samarqand, 2014. -рр. 51-53.

14. Doniyor T. I. Ion nitriding and surface alloying of H13A hard alloy cutting tools //Zastita materijala. - 2023. - Т. 64. - №. 2. - С. 161-169.

15. A. Normurodov, V. Markov, Z. Oripov, and B. Tukhtaev, E3S Web of Coferences, 548, 08003 AGRITECH-X (2024).

16. Z. Oripov, Kh. Kadirov, N. Jurayev, Kh. Turabov, A. Normurodov, and J. Manglieva, E3S Web of Conferences, 525, 06005 GEOTECH (2024).

17. Bakhtiyor Mardonov, Zayniddin Oripov, Rashid Muminov, Jamshed Ravshanov, and Nodirbek Jo'rayev. Effect of dispersed particles of aluminum oxide on the degree of defects of the crystalline structure of the chromium coating. / E3S Web of Conferences 417, 06001 (2023) GEOTECH-2023

18. Rashid Muminov, Sherali Yakhshiev, Jamshid Ravshanov, Zayniddin Oripov, Nodirbek Juraev, and Mahbuba Maxmudova. // Development of technical solutions for

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 2-son, 2024 Maxsus son

TEXNOLOGIYA

modernization of the rotary feed mechanism of a quarry drilling rig / E3S Web of Conferences 486, AGRITECH-IX 2023 05007 (2024)

19. R.O. Muminov, A.N. Ruzibaev, N.N. Juraev, J.R. Ravshanov, D A. Kuziev, 2024 ISSN 0041-5790 (Print) • ISSN 2412-8333 (Online) • ugol' - russian Coal Journal, 2024, № 1, pp. 94-99 DOI: http://dx.doi.org/10.18796/0041-5790-2024-1-94-99

20. I.X. Xudaykulov, J.R. Ravshanov, X.B. Ashurov, V.N. Arustamov, D.T. Usmanov. Рентгенофазовый анализ наночастиц карбида вольфрама, синтезированных вакуумным дуговым методом ПОВЕРХНОСТЬ. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования 2022, № 8, pp. 43-49

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali

5-jild, 2-son, 2024 Maxsus son