CC BY
3MEXANIKA
УДК 621:681.17
ИМПУЛЬСНО-МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ С УЧЕТОМ АППАРАТУРНЫХ
ОГРАНИ ЧЕНИЙ
Атауллаев Азизжон Одилович PhD, доцент (Навоийский государственный горно-технологический университет), [email protected]
Жураев Нодирбек Нормуродович PhD, доцент (Навоийский государственный горно-технологический университет), E-mail: Nodirjura@mail. ru
Исаев Дониёр Тошботирович PhD, доцент (Навоийский государственный горно-технологический университет) E-mail:
Аннотация. В статье рассматривается выполнение содержательной постановки задач и дано решение по оптимизации процесса формирования радиотехнических импульсно-модулированных сигналов с учетом ограничений, обусловленных предлагаемым оборудованием телеметрических систем (частотная полоса пропускания и пиковая мощность передающего устройства). Показано, что предложенное решение задачи оптимизации согласуется с данными, полученными разными авторами при решении аналогичных задач другими методами.
Аннотация. Маколада телеметрик система курилмалари билан шартланган чекловларини (частотали утказиш чизиги ва узатаётган курилманинг пик куввати) х,исобга олган х,олда радиотехник импульсли-модуляцияланган сигналларни ташкил килиш жараёнини оптималлаштириш буйича масаласининг сермазмун куйиши хдмда ечилиши келтирилган. Таклиф этилган оптималлаштириш масаласининг ечилиши натижалари шу каби масалаларни бошка усуллар билан бошка муаллифлар томонидан олинган натижалар билан мос келиши курсатилган.
Annotation. The article discusses the implementation of the content of setting objectives and given the decision to optimize the process of formation of radio pulse modulated signals with regard to the restrictions resulting from the proposed equipment telemetry systems (frequency bandwidth and peak power transmitting device). It is shown that the optimization problem the proposed solution is consistent with the data obtained by other authors in solving similar problems in other ways.
Ключевые слова: импульсно-кодовая модуляция сигналов, телеметрическая система, передающее устройство, мощность шума, однополюсный и трехполюсный фильтр и приемное устройство.
Калит сузлар: сигналларнинг импулс-код модуляцияси, телеметрик система, узатиш мосламаси, шовкин кучи, битта кутбли ва уч кутбли филтр ва кабул килиш мосламаси.
Keywords: pulse code modulation of signals, telemetry system, transmission, interference power, single-pole and three-pole filter and receiver.
Введение
Резкий скачок, произошедший за последние годы в области использования радиоэлектронных систем в космосе и других областях науки и техники, с одновременным увеличением требований к динамическим и точностным характеристикам таких систем привел к широкому применению в них методов теории управления.
Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 1-son, 2024 Maxsus son
MEXANIKA
Повышенные требования к радиоэлектронным системам управления заставляют при их проектировании использовать адекватный математический аппарат. В данном случае таким аппаратом является теория динамической оптимизации, широко используемая в теории оптимального управления.
Обратимся к задаче оптимизации формирования импульсно-модулированного сигнала телеметрической системы с учетом аппаратурных ограничений (частотная полоса пропускания, пиковая мощность передающего устройства) [1].
Система (рис. 1) описывается уравнениями с переменным состоянием п-го порядка. В данном случае порядок уравнения определяется фильтром 0)(11) передающего устройства
(1)
Хп — Х1 апХп ^ ),
где а (для I — 0,1,...,п — 1) - коэффициенты фильтра, а Х1 - его выходной сигнал.
Сигнал на выходе приемного устройства в момент времени Т определяется соотношением:
5о (т) — | и(г) х (г
0
Выражение для мощности шума на выходе приемного устройства запишется как
т
а1(т) — ^ | и2 (г )Ж,
0
где - плотность мощности шума, Вт/Гц.
(2)
(3)
Белый
шум
n(t)
m(t) ®(t)
вход
Интегра- т
тор S0(T) = J xl(t)u(t )dt
'(T) = J u 2(t )dt
и(г)
Опорный (управляющий) сигнал
Рис. 1. Структурная схема усилителя с автокорректором
Энергетическое и амплитудное ограничения входного сигнала (передающего устройства) имеют соответственно вид
т
Е (Т) — \ т2 (г )Ж, (4)
0
|т(г)| < М. (5)
Задача заключается в том, чтобы максимизировать отношение сигнал/шум £02 (Т)/&2(Т) при заданных ограничениях. Это может быть сделано при фиксированном
Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali
5-jild, 1-son, 2024 Maxsus son
MEXANIKA
значении £02 (Т) путем минимизации выходной энергии шума ). Для перехода к расширенному фазовому пространству системы введем новые переменные состояния:
г
хп+х(г) — сто2 (г) — N { и2 (г
о
*п+2(г) = ^о(г) = |и (г)хх(г
о
хп+з(г) = Е (г) = | т2 (г )йг. (6)
о
Дифференцируя их и комбинируя с (1), получим расширенную систему
Х^ — X2 ,
+ anm,
n U 1 1 2' ' n — 1 n U '
Xn+1 = NUU \
X о — UXi,
n + 2 1'
Х п+3 = т (7)
или в векторной форме
X — / (х, и, т). (8)
Теперь необходимо минимизировать переменную х 1 (Т) при о граниченных
значениях хи+2(Т) и Хп+3(Т) и выполнении неравенства |т(г)| < М.
Для решения этой задачи используется принцип максимума Понтрягина. Функция Понтрягина (в данном случае мера конечной ошибки) определяется как функционал состояний. Она должна быть минимизирована или максимизирована в конечный момент времени Т путем оптимального управления и (г) . Функция имеет вид
— Ь • х(Т) — Хп+1 (Т) + Ьп+2Хп+2 (Т) + Ьп+3Хп+3 (Т). (9)
Функция Гамильтона
Н — Н + Х/ , (10)
для рассматриваемой системы определяется соотношением
п +3
H —£Л;Х. (11)
i—1
Теперь при помощи
находим сопряженные уравнения
4 ('1 )—IT , (12)
ox,
4 — — —, i — 1,2,..., n + 3 (13)
dxi
с граничными условиями
4(T) — [0,...,—1 — bn+2 — bn+3 J. (14)
Минимальному значению Xn+1 с ограничениями соответствует минимальное
Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 1-son, 2024 Maxsus son
MEXANIKA
значение целевого функционала ^ , что эквивалентно максимальному значению Н . При этом выполняется условие
Ни — 0 (15)
дН—дН —0. (16)
дт ди
Уравнение (16) определяет оптимальные функции т(г) и и (г), зависящие от X. и х1 Чтобы найти X и х необходимо решить систему дифференциальных уравнений, включающую уравнения (7) и (13). Так как для (7) известны начальные условия х(0), а для (13) конечные X(T), то в данном случае имеем двухточечную граничную задачу, для решения которой используется метод проб и ошибок [1].
Процесс состоит из оценки Х(0) с последующим решением уравнений (7) и (13) и сравнением результата со значениями Х(Т), определяемыми (14). Приближение Х(0)
продолжается до тех пор, пока не будут удовлетворены условия (14).
В работе [1] приведен расчет конкретного алгоритма для следующих числовых данных: N — 1,0Вт/Гц, Т — 1с, £0 (Т) — 1В, Е(Т) — 1Вт • с, М —1,1 и М — да. Для выхода передатчика х (г) принято начальное значение х (0) — —1В. При этих числовых значениях Х (0) — —1, х2 (0) — х3 (0) — хи+3 (0) — 0. Задача решается для двух типов фильтров передающего устройства: однополюсного и трехполюсного (Чебышевского типа). Однополюсный фильтр используется в основном для сравнения с результатами работы [2]. Трехполюсный фильтр наиболее типичен для телеметрии.
Оптимальный сигнал передатчика т(г) и опорный (управляющий) сигнал и(г) для
однополюсного фильтра показаны на рис. 2. Полученные результаты находятся в полном соответствии с решением аналогичной задачи [2].
Передаточная функция Щр) трехполюсного фильтра описывается следующим соотношением:
127 4
г ( р) — -г"7-.
р3 + 6,4 р2 + 50 р +127,4
Приведенной выше передаточной функции соответствует система дифференциальных уравнений в переменных состояниях
хз — —127,4х — 50х2 — 6,4х3 + 127,4т, х4 — Nи2 — и2,
х^ — х^и,
ххб — т2, (17)
с начальными условиями х1 (0) — —1, х2 (0) — х3 (0) — х4 (0) — х5 (0) — х6 (0) — 0.
Необходимо минимизировать х4 (1) с учетом ограниченных значений х5 (1) и х6 (1) и ограничений на сигнал |т| < М. Конечная ошибка пишется как
= х4(1) + Ъ5х5(1) + Ьб хб(1). (18)
Функция Гамильтона для рассматриваемой задачи имеет вид
Н — xx1 + X х^ + X х3 + X + X + X хб — Х^ + X хз + (19)
+ X (—127,4 х — 50х2 — 6,4 х3 + 127,4т) + Xu2 + X хи + X т2.
Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 1-son, 2024 Maxsus son
X2 ~ X3
m(t) 1,2
0,8
0,4
M=1,1
0
0,25
0,50 а)
0,75
MEXANIKA m(t)
1,2 0,8 0,4
t,c 0
_
_
- / 1 M=1,1 1 1 1
0,25 0,50 0,75 t,c
б)
Рис. 2. Оптимальный (а) и опорный (б) сигнал однополюсного фильтра
Из
4 (t1)—
дв_
dx,.
получаем сопряженные уравнения
Л — 127,4 Л - и Л, Л — 504 — 4, Л — 6,4 У — Л,
Л4 — Л5 - Лб — 2.
Граничные условия для системы уравнений (17) и (21) пишутся в виде
х(2) — [-1222227,
Л(1) — [2,-1,-Ь5,-Ьб Г.
Согласно
получим уравнение
H u — U U — —U SgnBT4 OH
du
— U — 244u + 4 X.
Решая его относительно u, будем иметь
u — 1/2(4 / 4) Xj,
где Л4{0. Аналогично для m имеем
OH
dm
— U —127,44 + 24 m
или
(20)
(21)
(22) (23)
(24)
(25)
т — -63,7(Л /Л ),Л<2.
Расчеты проводились для двух значений М, равных 1,1 и да.
Система уравнений (17) и (21) с граничными условиями (22) представляют собой двухточечную граничную задачу. Значение коэффициентов Ь5 и Ь6 находятся с учетом того, что ограниченные значения х5 (1) и х6 (1) равны х5 (1) — х6 (1) — 1.
Для решения системы (17), (21) задаются Л (2), 4(2) и Л (2), так, чтобы обеспечить х5 (1) — х6 (1). Один из способов поиска решения заключается в приведении
V5W лб
Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali
5-jild, 1-son, 2024 Maxsus son
МЕХЛЫ1КЛ
специально сформированной функции погрешности ж к нулю. Эта функция имеет вид
Я- = |х5 (1) -1,0 + |х6 (1) -1,0 +14(1)1 +|4(1)| + |Л, (1)|. (26)
Начальные значения 4(0) систематически изменяются до тех пор, пока
погрешность не станет равной нулю. Для системы большей размерности эта процедура в значительной степени усложняется.
В случае телеметрических импульсно-кодовых модулированных (ИКМ) сигналов можно воспользоваться приближенным решением, приняв т(?) постоянную и равную единицу, исключая таким образом одно из ограничений. Ограничение остается только для выходного сигнала х5 (1) = (1) = 1В. Система уравнений переменного состояния станет короче
•l — Х2 ,
•2 — •,
x3 —-127,4• - 50x2 - 6,4• + 127,4m,
•4 — U2,
(27)
с начальным условнем х(0) = [-10000]^. Сопряженная система уравнений запишется как
4 = 127,44 - 4и, 4 = 504 — 4,
4 = 6,44 — 4,
4 = 4= 0
с конечным условием 4(1) = [0,—1,—¿5
Уравнение для опорной (управляющей) функции остается прежним
и = —1 /2(4 / 4)X.
A3 A2 Я]
A3
0,0
0,01
-0,01
-0,: -1,5-
-0,2 -1,0-
-0,1 -0,5-
- - 0 -
-0,1 -0,55
— — ~
0,2 0,4 0,6 0,8 t,c
Рис. 3. Оптимальная форма сигнала трехзвенного фильтра
В случае М = да он равен - 0,84 дБ.
Ыехатка уа Texnologiya Пш1у]игпаН
m() M= 1,2
u(t)
0,25 0,75 t,c а)
-0,4
-
~ M=1,
1 j / /M=<x 1 1
- 0,251/ 0,75 t,c
_
(28)
(29)
б)
Рис. 4. Опорные (управляющие) функции m(t) и трехзвенного фильтра
u(t)
5-jild, 1-son, 2024 Maxsus son
X^r — XiU
MEXANIKA
Принимая значение сопряженной переменной Л4 = — 1, подбираем Л5 таким
образом, чтобы выходной сигнал (1) был равен 1. Эта процедура единственным образом
определяет u (t), так как конечные данные для сопряженной системы известны,
начальные данные находятся путем решения системы в обратном времени. Результаты решения приведены на рис. 3. Оптимальная форма сигнала и опорной (управляющей) функции для трехзвенного фильтра показаны на рис. 4. Зная оптимальный сигнал, можно рассчитать отношение сигнал/шум на выходе приемного устройства.
Заключение
Для решения двухточечной граничной задачи можно воспользоваться также методами, разработанными [3-7].
Таким образом, предложенное решение задачи оптимизации согласуется с данными, полученными другими авторами при решении аналогичных задач.
ЛИТЕРАТУРА
1. Gupta S.C., Hall T.G. On the Optimum Design of PCM Signals With System Constraints. - IEEE Trans. On Aerospace and Electronic Systems, July 1968. V. AES-4. № 4. PP. 1423-1430.
2. Holtzman J. M. Signal-Noise Ratio Maximization Using the Pontryagin Maximum Principle. // Bell Sys. Tech. J., March 1966. PP. 564-575.
3. Orava P.J., Lautala P.A. Back-And-Forth Shooting Method for Solving Two-Point Boundary-Value Problems. // J. of Optimization Theory and Applications. April. 1976. V. 18. № 4. PP. 1236-1248.
4. Orava P.J., Lautala P.A. Interval Length Continuation Method For Solving Two-Point Boundary-Value Problems. // J. of Optimization Theory and Applications, October 1977. V. 23. № 2. PP. 1125-1140.
5. Юсупбеков А.Н., Атауллаев А.О. Задача синтеза угломерного устройства системы азимутального слежения за подвижным объектом // Международный научно-технический журнал «Химическая технология. Контроль и управление». - Ташкент, 2011. - №5. - С.52-55.
6. A.O. Ataullayev. Control of Support-rotating Device of Antenna // Special issue International Scientific and Technical Jurnal «Chemical technology. Control and management». Jointly With the «Journal of Korea Multimedia Society», South Korea, Seoul - Uzbekistan, Tashkent, 2015, № 3-4. - рр. 172-175.
7. A.N.Yusupbekov, A.O. Ataullayev, Ruziev U.A. Synthesis Azimuth Tracking Device // International Journal of Advanced Research in Science, Engineering and Technology, April 2016. - Volume 3, Issue 4. - pp. 1786-1791.
Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali
5-jild, 1-son, 2024 Maxsus son
