ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТОВ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

www.mai.ru/science/trudy/

Труды МАИ. Выпуск №84

УДК 514.181.2:519.651

Применение вейвлетов в системах автоматизированного

проектирования

Битюков Ю.И.*, Калинин В.А.**

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993,

Россия *e-mail: [email protected] **e-mail: [email protected]

Аннотация

Данная статья посвящена применению теории вейвлетов в задачах геометрического моделирования конструкций летательных аппаратов. Представленные методы моделирования используются в CAD/CAM/CAE -системах изготовления конструкций из композиционных материалов. В качестве примера рассмотрена вентиляторная лопатка самолета МС-21.

Ключевые слова: вейвлет, системы автоматизированного проектирования, сплайн, геометрическое моделирование, алгоритм Чайкина, фильтр анализа, фильтр синтеза, блок фильтров.

Введение

При проектировании сложной техники постепенно происходит переход от традиционных средств обработки геометро-графической информации к безбумажным технологиям. Это открывает новые возможности по

использованию систем автоматизации проектирования, порождает новые технологии, связанные с использованием электронной модели объекта проектирования.

В настоящее время на предприятиях, занимающихся проектированием и изготовлением сложной авиационной техники, активно используются CAD/CAM/CAE/PDM-системы. Это обусловлено целым рядом причин, среди которых главное место занимают проблемы управления качеством выпускаемой продукции особенно при её выходе на мировой рынок. Базируясь на принципах оптимизации и контроля параметров изделий на всех этапах проектирования и изготовления, такие системы обеспечивают комплексное выполнение проектных работ при значительном сокращении их сроков и одновременном повышении качества. Основной целью при этом является постоянное снижение себестоимости выпускаемой продукции и обновление ее ассортимента, улучшение показателей надежности, ремонтопригодности, экономичности и др.

В CAD/CAM/CAE-системах традиционно уделяется повышенное внимание совершенствованию технологии геометрического трехмерного моделирования. Одним из основных достижений современного периода можно считать разработку методов моделирования кривых и поверхностей произвольной формы на основе технологии Bezier (Безье) и NURBS, ставшей международным промышленным стандартом для проектирования сложных криволинейных поверхностей. Однако главной проблемой здесь является не

столько сам процесс моделирования, сколько способы модификации и оптимизации созданных геометрических моделей, что очень критично при итерационном режиме работы конструктора. Кроме того, известно, что наибольший объем работ занимает не сам процесс проектирования, а итерационный процесс внесения в проект улучшающих изменений. Именно поэтому сегодня актуальными являются проблемы совершенствования методов геометрического моделирования трехмерных объектов, использующих стандартный для САО/САЕ/САМ-систем математический аппарат, а также адаптации этих методов для конкретных промышленных приложений.

Вейвлеты являются математическим инструментом для иерархического представления функций. Имея своими исконными областями применения теорию приближения, физику и обработку сигналов, вейвлеты с недавних пор стали использоваться во многих задачах геометрического моделирования преимущественно в компьютерной графике [6]. Некоторые применения в СЛО-системах можно найти в работе [4]. Если в компьютерной графике бывает достаточно лишь видимой гладкости кривых и поверхностей, то в СЛО/СЛМ/СЛЕ-системах требуются поверхности, принадлежащие различным классам гладкости Ск. Данная статья является развитием результатов, полученных в работах [1,2,3]. В этой статье мы построим вейвлет-базис на отрезке, на основе В-сплайна произвольного порядка п. С помощью такого вейвлет-базиса будут построены двумерные вейвлеты. На

основе этих построений будет обобщен известный алгоритм Чайкина построения кривых и поверхностей произвольного класса гладкости. Следует заметить, что в работе [3] вейвлет-базис был построен для случая п=3, а в работе [1] для случаев п=0,1,2,3.

Построение вейвлет-базиса на отрезке с использованием В-сплайнов Под вейвлет-преобразованием в теории вейвлетов понимается разложение функции по системе вейвлетов у]к - функций, каждая из

которых является сдвинутой и масштабированной (сжатой или растянутой) копией одной функции уе Ь2(К), называемой материнским вейвлетом:

У/к (х) = ¥(2 х - к).

Построение вейвлет-систем тесно связано с понятием кратномасштабного анализа (КМА) [10], т.е. последовательности

... с К! с V с V с ••• подпространств Ь (И), для которой и V = Ь (И); п V = {0}; /(х)еК0 </(2 • х)еУ., V/ еZ; существует функция среУ^,

называемая масштабирующей функцией или отцовским вейвлетом, такая, что последовательность (род }ыъ образует базис Рисса в У0.

Известно, что [7] масштабирующая функция удовлетворяет масштабному соотношению р(х) = У2 ^ щр(2х - к), щ е С.

kеZ

Последовательность {щ } называется масштабной последовательностью.

л

КМА приводит к базису в Ь (И). Как известно [9,11], применение таких базисов для разложения функции, определенной на отрезке, порождает искусственные скачки на краях, отраженные в значениях вейвлет-коэффициентов. Кроме того, это неэффективно с точки зрения вычислений. Поэтому полезными были бы вейвлет-системы на отрезке. Чтобы разложить функцию, определенную на отрезке [а;Ь] необходимо построить вейвлет-

Л

базис в Ь [а;Ь]. В этой статье мы рассмотрим подход, предложенный в статьях [3, 1] и применим его к построению вейвлет-базиса на отрезке в случае, когда в качестве масштабирующей функции выбран В-сплайн произвольного порядка п.

Для геометрических приложений мы будем рассматривать

действительное пространство . Рассмотрим действительные функции,

определенные на отрезке [а;Ь]. Пусть функция ре I? (К) удовлетворяет масштабному равенству р(х) = ^¡2^ыкр<2х - к), щ е К и имеет компактный

каждого у отличными от нуля на отрезке [а;Ь] будет лишь конечное число таких функций. Пусть для определенности это будут функции <0,< х,...,р]п_ 1. Для дальнейших построений изложим кратко подход к

построению вейвлет-систем на отрезке, предложенный в статье [3].

Рассмотрим последовательность У0 с У1 с... подпространств Ь]

носитель. Обозначим

Ясно, что для

V =1т д,../ —1} =

П/ -1

я=0

,,: а е R, я = П, - 1

= п ■

П; —1

Поскольку V—1 с V, то (р}_1к = : р/ ,. Введем обозначения [3]

я=0

Ф

(х) = (Мх),Р/д(х),...,^-п, —1(х)), Р = (Ра)"1—1

П,— 1 и,.—1

=0, ¿=0

Тогда Ф= ф р . Обозначим символом ортогональное дополнение к

пространству в пространстве V.. Такое ортогональное дополнение в

теории вейвлетов называется уточняющим или детализирующим подпространством [7], поскольку оно содержат информацию, необходимую для перехода от уровня разрешения у к уровню у+1. Поскольку V = V-! ®

и с V, то конечномерное пространство. Если

п •—1

Ж = ИпK■,0,^■л,...,-l}, = т/, то = . Функции у,,к

я=0

называются вейвлетами, а детализирующие пространства Ж. называются вейвлет-пространствами [7]. Снова введем в рассмотрение матрицы [3]

(х) = (у/,0(х),У,л(х),...у,т—1(х)), Qj =(^)

п,—1, т■—1—1 я=0, к=0

Тогда ¥ /—1 = Ф ^,. Следует заметить, что п, + т, = п,.+1 .

Пусть / е £2[<я; 6] и : £2[<я;6] ^ V - проектор. Тогда приближение можно разложить на более грубое приближение и уточняющее

сЖ г

слагаемое У1 /

П/ —1

п/—1—1

т/—1—1

/=X сР/к=Б—^+= X с—1,кР—1, к + X а/—1кУ/—1, к

к=0

к=0

к=0

Введем

в рассмотрение два вектора коэффициентов

С/ =(С/о,...,С/п._1) , DJ. =(,...,/ _1). Первый вектор описывает

приближение функции ^ а второй вектор представляет собой вейвлет-коэффициенты, которые характеризуют отклонение Б^/ от Б/. Имеем [3]

Ф. С. = Ф^С^ + = Ф. Р. С.—1 + Ф. д.. Б/_1. Отсюда находим [3]

С. = рС^! + . По данному равенству можно восстановить

приближение Б./ по более грубому приближению Б и вейвлет-

коэффицентам. Поскольку линейные операторы (проекторы)

V — 15 V — определяются некоторыми матрицами А , В, то

г

С= А.С., Dj_1 = В.С.. Графически вейвлет-разложение аппроксимации

Б/ и вейвлет-восстановление этой аппроксимации можно изобразить в виде

диаграмм

А. А1

С. - С.—1 - ...С1 -С0

Р1

С. ^ С.—1 ^ ...С1 ^ С0

□ омп

□ в.

п

п а

Под вейвлет-преобразованием функции / будем понимать нахождение векторов С0 ,D0 ,D1,...,D /-1.

Известна [3] связь между матрицами А - ,В. и р д :

Р

В

В

д

л .

A

B.,

=( ^ Q. Г ■

Заметим, что

AJ • PJ = Е, B. • Q. =E, A. • Q. =0, B. • P/ = 0, P/ • A. +Q. • B. =E. (1)

Матрица ^ в статье [3] определяется из однородной системы

линейных уравнений Tj • QJ. = 0, где Tj = PJ (ф., Ф. )

а

[(ф, ф)] = ((р ^ Pj *))п о - матрица скалярных произведений.

Матрицы ^ и р известны как фильтры синтеза. Матрицы Aj и B

известны как фильтры анализа. Множество {р,QJ,AJ,BJ} называется блоком фильтров.

Теперь применим описанный подход к построению вейвлет-системы на отрезке, используя в качестве масштабирующей функции В-сплайн произвольного порядка. Определим В-сплайны порядка п, как свертку [7]

N = N„—1 * N0, х):

г1, х е[0;1), 0, х € [0;1).

Отметим некоторые известные свойства В-сплайнов [7]. Во-первых, N (х) > 0, Ух. Во-вторых, 8ирр1и (х) = [0; п +1]. Хорошо известно [7]

преобразование Фурье функции N:

1п ( У ) =

/■ N П+1

1 Бт( у/2)

(У/2)

—г (п+1) у /2

Имеем ^°(2у) =1 (1 + е 1у ) = Я (у). Отсюда находим М>( у) 2^ > 0(У)

Мп (2у) = (N0(2 у) )й+1 = (у)$,( у) )й+1 = Мп (у) (8,(у) )П+1 = Мп (у )дя (у),

я ( у) = _!_ (1 + е~1у )П+1 =V гк е—ку = _^у Ск =_(я +1)!

я (у) = 2«+1(1 + е ) = 2-1I I Ще , Ся+1 = к! (я +1 — к)!

Поэтому

/~<к

Щ к е {0,1,..., П +1}; щ = 0, к £{0,1,..., я +1}.

Итак, функция (( х) = Ми (х), удовлетворяет масштабному равенству

П+1 (~< к

(х) = : СП+1 ((2 х — к).

к=0 2

Построим последовательность подпространств Vа с ¥аЛ с пространства 1?[0;а(я +1)], а = 1,2,..., используя функцию ((х). Имеем

1 и+1+2 т

(,т(х) = ((2}х — т) = - I СП+—12т(.+и(х).

я=2т

Функция (т (х) Ф 0 на отрезке [0; а (и +1)], если 0 < 2/х — т < и +1. Таким образом, т принимает следующие значения —и,...,2а(и +1) — 1 и т т + я +1

8иРР(,т =

п

[0;а( я +1)]. Графики функций ( /к на отрезке

2' 27

[0; а(и +1)] представлены на рис.1. Итак,

Ф/ =((, ,.",((,2/ а(и+1)-1), = 2 а(и + 1) + П .

Заметим, что линейное пространство yaJ =Нп{р/>„,р.,—п+1,...,Р7.,2/(п+1)—1}

представляет собой пространство сплайнов степени п дефекта 1 с узлами на

а(п +1) 2а(п +1) / ч

сетке А: 0 < —:—1--— < —:—1--— <... < а ( п +1), поскольку В-сплайны

2] а(п +1) — п 2] а(п +1) — п

образуют базис в таком пространстве [12]. Как известно [13], для любой

функции / е С [0;а(п +1)] и любого числа е > 0 существует для некоторого у

такой сплайн Я е ^ , что |^ — [0;а(п+1)] < е .

Поскольку множество непрерывных функций всюду плотно в

пространстве Ь [0;а( п +1)], то мы получаем и ^} = Ь [0;а( п +1)].

Пусть х е[0;а( п +1)], тогда у = 2 х е[0;2а(п +1)]. На отрезке [0;2а(п +1)] отличными от нуля могут быть только следующие В-сплайны

N (У + п), 1п (у + п — 1),..., 1п (у),..., 1п (у — 2 а(п +1) +1). Из известного [7] тождества X N (х — к) = 1, Ух е И, следует

keZ

2>а(n+1)-1 2J а(n+1)-1 2J а(n+1)-1

X <Pi* (x) = X N (2> x - k) = X N (у - k) = 1, Vx e[0;a(n + 1)].

k=-n k=-n k=- n

Поскольку dim Va > = 2J a(n +1) + n и Va > = V M © W, 1, то

dimW.^ = 2J-1a(n +1).

( п +1)!

Учитывая, что С., = ( )! = Сп;^, и обозначив рт = СГ+1,

т!(п +1 — т)!

получаем для четных п = 2к

р0 = С2к+1,р1 = С2к+1,..., рк = С2к+1, рк+1 = рк,рк+2 = рк—1,...,Р2к+1 = р0 , для нечетных и = 2к + 1

р0 = С2к+2, р1 = С2к+2,.", рк = С2к+2, рк+1 = С2к+2, рк+2 = рк,..., р2к+2 = р0 ■

Рис. 1. Графики функций (,т, / = 1,и = 2, т = —2,—1,0,...,5, а = 1

Введем обозначение

Р =

(Рo,л—рк,рк^Рl,Рo,0,...,0)Т, я = 2к; (Рo,Рl,...,рк,рк+^рк,...,Рl,Рo,0,...,0)Т, я = 2к+1

р еИ

2/а( я+1)+я

Кроме того, определим оператор Я :Кт ^ К™ следующим правилом

Я а =

V я

т > я > 0;

а=( й^.^ ¿т

(aи+l,...,ат,0,...,0) , — т < Ы < 0;

Если Ы i т, то Яа = 0. Отметим некоторые свойства данного оператора.

Лемма 1. Справедливы следующие равенства

1) Если к ,/> 0, то ( Як+а )Т • Ь = ( Як а )Т • ( Я_,Ь );

2) Если /, у > 0 или /, у < 0, то Rj+Jа = р7а;

Т

3) Если а = (а 1,...,ак,0,...,0)Т е Ит, Ь = (¿1,...,Ьт)Т, то аТ • Ь = (Ят_ка)Т •

и

Я , о Я а = Я ,а, 0<я <т-к, / >0.

4) Если а =

0,...,0, а 1,..., ак

V I У

е Ит, Ь =

0,...,0, ¿1,..., Ь,

V п

е Ит, то

аТ • Ь = ( К_ т;п(/,п)а ) • Ш1п(/,п)Ь .

Доказательство. Докажем первое свойство, остальные очевидны.

т—к—.

(Кк+.а) • Ь = (0,...,0,а1,...,а,,—^.) •(¿1,...,Ьт)= X аЬ

г=1

пк+.+1 '

( К а )Т( К—. Ь) = ( 0,...,0, а,,..., а^Т,..., Ьт ,0,...,0) =

= 0Ь.+1 + ... + 0Ь.+к + alЬJ+k+l + ... + am-J-A =( Кк+.а )Т • Ь . ■

Используя введенные выше обозначения, матрицу р можно записать

следующим образом:

^ = \пГ((пР),(К—п+2Р),. .,(Кп—2+2а(п+1)Р)) .

(2)

Для определения матрицы Т рассмотрим скалярные произведения

п+1

чк = (N (•), N (• — к)) = 11п (х) N (х — к) ах = | N (х) N (х—к) йх.

Ясно, что ч = 0, к < —п — 1, к > п +1. Кроме того,

Чк =

п+1

| N (х) N (х — к) йх, 0 < к < п +1;

к

п+к+1

| N (х) N (х — к)йх, — п — 1 < к < 0.

Т

Т

0

<

п+1-к

, П.

Заметим, что

п+1

Як = \Яп (х)Ып (х - к)йх = \ Ып(у + к)^(у)йу = д_к, к = 0,1,..

к 0

Легко видеть, что, если ввести в рассмотрение матрицы

к+1

Л = (^,к)Г-п, к=0, П = , 0 = КД,^, где Ла = | ^п(^п(* _ ,

к

о =

Л0,п Л,п Л,п ... Лп-1,п

п п п

Лп 2 Л, 2 Л ... 2 Л

5=п-1 5=п-1 5=п-1

п п п

Л,п 2 Л* 2 Л, ... 2 Л

£=п-1 5=п-2 5=п-2

п п п

Л,п 2 Л 2 Л ... 2 Л

5=п-1

5=п-2

5=п-3

Лп-1,п 2 Лп-2,5 2 Лп-3,5 ... 2А

5=п-1

5=п-2

5=1

0 =

п-1 2 Л, 5=0 п-2 2 Л-1, 5=0 п-3 2 Л-2,5 . 5=0 .. Л1-п,0

п-2 2 л-1, 5=0 п-2 22 Л 5=0 п-3 2 Л-1, . 5=0 .. Л2-п,0

п-3 2 Л-2, 5=п—1 п-3 , 2 Л-1,5 5=п-2 п ^ Л, . 5=п-3 .. Л3-п,0

Л-п,п Л2-п,0 Л3-п,0 ..• Л0,0

и векторы

¿1 =(Ю11,Ю21,...,®И1, Ч Д..^0 )Т , ¿2 =(®12,®22,...,®и 2, Ч ,0,...,0 )Г,...,

¿и = = ,...,^ИИ,Я1,...,ЯИ,0,...,0)Т 6= К2п+1)+п, и1 =( 0,...,0, Ч Я1,вц,...,вп1 )Т , и2 =(0,...Д Яп,..., Я2,012,...,9П2 )T,...,

иИ =(0,...,0,ч,вп,...,вш)Т еК2,

Я =,Ч^ 1,...,Я1,Я0,Я1,...,Чп, 1,Яп,0,...,0)Т еК2-(п+1)+п, то матрица [(Фу-, Фу-)] может быть представлена в виде

^)] = ^Г ( ¿1,...,ё п ^ Я Л-Я 2 «(»+1)-»-1Я,и1,...,и п) . Перейдем теперь к построению матрицы

2. • Т = 2. • PTJ

(\П / \21а(п+1)+п, 21а(п+1 )+п

.о>О)„.:, ()

Пусть

г г+1, = (К—п+и р )Т • а,, г = ^ ., п—I * =I ., п;

^+1—2.—1а(п+1), , = (п+2г Р )Т • и,, г = а(п + п — 1 + ^1 + ^ Я = 1,..., п . По лемме 1, для , = 0,1,...,2а(п +1) — п — 1, имеем

tl+u+n+l={R_n+2l р)Г • Дд = рГ °^)С1 = РГ '^-тЛ-По определению векторов р и д, получаем

РТ • Кп—2г+Л = 0 < (, — 2г > 2) V (, — 2г < —3п — 1). Обозначим м>1+3п = РТ • Яп+1 q, I = —3п,...,1. Далее, для г > 0, , = 1,...,п имеем

{К+2$)Т • = РГ • Д^А = РГ • оД_я)(1,.

Поскольку Я_ па, = Я_{2п+1—,^ , то ( Кп+2г Р)Т • а, = РТ • К— (2п+1—,+2г) q . Следовательно,

(Кп+2гР)Т • а, = 0 <, — 2г < 0.

Заметим, что (Кп+2г Р)Т ап = РТ^— п—1—2Л и (К+2г Р^ q = РТ • ^ п—2Л .

По лемме 1, для г = 0,1,...,2_1а(п +1) — 1, получаем

(К— п+2гР)Т • и, = (КгР)Т • Кпи, . Но Кпи, = К2 а(п+1)+,_lq , поэтому

(К— п+2гР)Т • и, = (К Р^ • К2 а(п+1)+,—Л . По лемме 1 имеем

(К-п+2гРГ • и, = РТ • Я2а(п+1)+,—1—2Я . Следовательно,

(Я-и+2/Р) • и = 0 < , — 2г > п + 3 — 2) а(п +1).

Заметим, что

(К— п+2, Р)Т а(п+1)—п—Л = РТ • К

-2г+2Jа( п+1)-

_lq и (Я— п+2гР)Т • и 1 = РТ • Я2а(й+1)_2q

Итак, теперь можно выписать матрицу Т . Пусть

^ = (Щ Щ Щ ... Щ3п Щ3п+1 0-0) е И

Т р2'' а(п+1 )+п _

=(г,,, Г,,2... 1и, 0...0)Т е И2 ап+п, , = 1,...,п;

Б, =(0,...,0, Я,.,,...,Я„,)Т е .+1)+'■, , = 1,...,п

Тогда

Т=1

( Кщ^ )Т

Т \

(

( К2.а( п+1)_2п_2^

Л

« 2",а(и+1)-2и+и

7Э 0 7Э

"« 2}а(п+1)-2+п

Т Т w + &)

w + Б п)

Очевидно, что имеют место равенства

РТ • К_2п+, q = РТ • Rn+l-,q, г = ^ ., , ,

п

п + —, п — четное; 2

п — 1

п +--, п — нечетное.

2

Поэтому для п = 2к имеем w = (щ, щ,...,щ^,,

_1,..., щ ^0,0,...,0)Т, а

для п = 2к + 1 W = ( W1,..., Щ3к, ^^ W3k+2, Щ3к+1, Щ3к,..., Щ Щ0,0,...,0)Т .

15

<

Итак, нужно найти 2Г 1а(п +1) линейно независимых решений

Ь^ =(К,к2,5,...,Л2гя(п+1)+п,,) системы линейных уравнений Т7Ь, = 0. Эти

решения и представляют собой столбцы матрицы ^ =(ЬХ,...,Ь2Г-1а(и+1)).

Поскольку ^Т. = ^ р = 2Г—1а( п +1) + п (по количеству линейно независимых столбцов), то ШшкегТ. = 2Г—1а(п +1). Поэтому такие линейно

независимые решения можно найти. Нам нужны не произвольные линейно независимые решения. Мы будем искать столбцы таким образом, чтобы

2Г а( п+1)+п

функции ^ 8 (х) = 2 к *' Р-пцг-1) (х), по возможности представляли

2=1

собой сдвинутые версии одной функции, т.е. имели бы одну форму (за исключением, конечно, граничных вейвлетов). Осуществить это можно следующим образом. Рассмотрим сначала случай п = 2к. Положим

Ъя =( 0,...,0, к

к

2к+2( 5-п—1)+1,5,...,к 2к+2( s—n—1)+6k+1,5,

1,0,...,0 )Т, 5 = п +1,...,2Г—11а( п +1) - п,

где

)Т

п2к+2(з-п-1)+1,з

к

2к+2( 5—п—1)+6 к+1,5 1

Т _ т"» 3п+2

Заметим, что

С/ ~ \Т \ (Д-ч*™) ^

(Я-вк^У

я—п, 2к+2(я—п)—\

' 5—п, 8к+2( 5—п)

... и

6к+($-п), 2к+2($-п)-\ ■■■ 1Ьк+($-п),%к+2(й-п)

Оставшиеся 2п решений, соответствующие граничным вейвлетам, мы выберем следующим образом. Для , = 1,2,...,п положим

И п_,+1 =( 0,...,0, к

2к—г+1,п_г+1' • • •''18к+2—2,,п—,+1

к,

1,1,0,...,0 )Т

где

* 1,

2к+1_г

* 1,

8к+2—2,

V" 6к+1—г, 2к+1_г 6к+1—г, 8к+2—2г у

к

2к—г +1,п—г+1

к

8к+1—2г,п—г+1 1

= 0,

у

2. 1 а(п+1)_п+г ( 0,...,0, к2Jа(п+1)—3п—1—2г,2J 1 а(п+1)-п+г ,..., к2-;'а(п+1)+^1,^-;' '«(п+^-п+г

К.

к

,1,0,...,0 )

где

^ г Л

2. 1 а(п+1)_2п+г, 2^п+1)_3п_1+2г ''' 2J 1 а(п+1)_2п+г, 2Jа(п+1)+г ^^2'_1а(п+1)+п, ^'а(п+1)_3п_1+2г ^2J_1а(п+1)+п, 2.а(п+1)+г У

^ Л

2 ■> а( п+1)—3п—1+2г,2. 1 а(п+1)_п+г

к

2.а(п+1)+г_1,2J 'а(п+1)_п+г 1

0.

На рис. 2 представлены графики некоторых вейвлетов для п=4.

Рассмотрим теперь случай п = 2к +1. Для г = п +1,..., 2J 1 (п +1) — п

положим Ь г =( 0,...Д кп+2(г—п—1)+1,..., кп+2(г_п_1)+3п ,1,0,...,° )Т , где

г—п, п+2(г—п—1)+3п+2

*г—п, п+2(г—п_1)+1 ... К \*г—п+3п,п+2(г—п_1)+1 ... *г_п+3п, п+2(г-п-1)+3п+2 у

п+2(г—п _1)+1

к.

V

п+2(г—п—1)+3п+1 1

= 0.

у

Для 2п граничных вейвлетов положим И. =(0,...,0,к,..,и,1,0,.,0) Ь.. =( 0,...,0,1, к. ,..., к. ,0,0,...,0)Т, г = 1,2,..., п где

2—1а(п+1)_п+г \ ' ' ' ' 2а(п+1)+2г—3п' ' 2а(п+1)+г' ' / ' ' ' '

^1, 2 ... ^1, 22+2п V ^2 п+2,2 ... ^2п+2, 22+2 п у

к,

к

V

22+2п—1 1

^2Г 1 а( п+1)—2 п+2, 2Га( п+1)+22—3п—1 ^^2Г—1 а(п+1)+п, 2Га(п+1)+22—3п—1 "'

Л

2Г 1 а(п+1)—2п+2, 2Га(п+1)+2 ^2Г—1 а(п+1)+п, 2Г а(п+1)+2 У

' 1

к

2Г а( п+1)+22—3п

к

V 2Г а( п+1)+2—1 у

= 0.

а)

б)

в)

г) д)

Рис. 2. Вейвлеты для п=4. а), б), в), г) граничные вейвлеты, д) внутренний

вейвлет Двумерные вейвлеты Рассмотрим теперь применение вейвлет-систем на отрезке к построению двумерных вейвлетов. Пусть даны последовательности Уол с с... с V'. с конечномерных подпространств Ь [аг; Ъ ],

масштабирующие функции ((2) и блоки фильтров РГ,2 ,АГ,2 ,ВГ,2, /=1,2.

Стандартный подход [10] к построению многомерных вейвлет-систем является взятие тензорных произведений функций из одномерных базисов.

Определим подпространства Vj = V jд ®V j,2 = lin|f ® f2: f g Vu, f2 gV',2}, где функция f ® f2 определяется правилом f ® f (x, У) = fi(x)f2(У) • Ясно, что функции из пространства V. могут быть представлены в виде

^ nj i_1 Л i nj 2 —1 Л nj i —1 Hj 2 —1

f ®f2(x,y)= X® x jj (x,y) = X X jjjxtf'oo•

k=0 s=0

k=0

У V

s=0

Очевидно, что функции рр) в рр ; образуют базис в пространстве V. .

2 2

Рассмотрим, как связаны между собой базисы пространств V:l и V.

Имеем

(n, ,1—1 Л

M=

m=0

Л,- 9—1 Л

'j ,1—1 nj, 2 —1 nj ,1—1 nj, 2 —1 x рж ® X PiM = X X pmkp? j ® j •

/=0 y

2

т,к/^7,s У j,m

m=0 /=0

n, i—1,nj,2 —1

'k ,s=0

Отсюда ^ V.2. Введем в рассмотрение матрицы Ф2 =(рР1) в рР1 ^Д

2 Т 2

Тогда предыдущее равенство можно записать в виде Ф. _ 1 = PJ ,0 PJ,2.

Определим пространства Ж2 следующим образом V/ = »Д 0 Ж2_1. Поскольку к..,, = V._1,г 0 Ж-и, то

V = ГД 0 (Ж—1,1 ® ^ ) 0 ( V—и в Ж—1,2 ) 0 (Ж—1,1 в Ж—1,2 ).

Отсюда =(Ж—1,1 в V.—12) 0(^—и в Ж—1,2 )0(Ж—1,1 в Ж—1,2). Таким образом, базис в пространстве Ж, образуют функции

к ®с}г=г-1 ® г к-—1 -Кк ®^г=г—1.

Заметим, что, если ввести в рассмотрение матрицы

Ш2 =((1) ^(//(2)\"Г- 1-1, :Г,2-1 Ш2 = Л,/!) 1-1 2-1 Ш2 = Л„(1) Й^(2Л:Г. 1-1 '-1

Ш1,Г = ( ® ^ )к=0, 5=0 , Ш2,Г = (^У1к ® )5=0 , Ш' = ® ^ ^ ^ ,

то, как и выше, получим Ш' = Р^Ф^, Ш' = ^дФ' Ш^. = ОТдФ^. Пусть / е Ь2 ([а; Ъ ]х [а; Ъ ]) и : Ь2 ([а1; Ъ1 ] х [а2; Ъ2 ]) ^ V'2 - проектор.

Тогда

пГ ,1—1 пГ ,2 —1 пГ ,1—1 пГ ,2 —^ пГ—1,1—1 п Г=1,2 —1

«г/ = 2 2 ® =22 2 2 ' +

к=0 5=0

:=0 /=0 :=0 /=0

V

:Г'—1,1—1 пГ—1,2 —1 пГ—1,1—1 :г'—1,2 —1 :Г—1,1—1 :Г—1,2 —1

22 к ^¿р/;2 + 2 2 'р',кчЦ + 2 2 ¿Сч'М;.

к ........ГГ ,2

к=0 5=0 к=0 5=0 к=0 5=0

Г

Если ввести в рассмотрение матрицы

п ( Г \пг-1—1,пг ,2—1 о ( Г ,1—1,п ,2—1 и /1 г \пг ,1 —1,:Г ,2—1 ~ СГ = (' )^ , КГ = (\ =0, 5=0 , НГ' = (^ \=0,5=0 , °Г' =

то из последнего равенства получаем

С = + 0,,1^-1Р,Т2 + Р1НГ-10Т,2 + 0,,1Ог-10Т,2 . (3)

Поскольку линейные операторы (проекторы)

: V Г4 ^ V Г_и, : V ^ определяются матрицами

Л / Г, ЛпГ-12—1-пГ 2—1 О (иГ, ЛпГ-12—1-пГ 2—1

Аг; =(ак:), „ „ ,ВЛ2 =(Ъ': )' ' , то должны иметь место равенства

-" V 'к=0, :=0 -" V /к=0, :=0

«Г-1,2- -1 :'-1,1 -1

5=0 /=0

(!2к = 2 '' + 2 ^ 'Г

Отсюда находим

п—1,1 _1 п.—1,2 _1 т.—1,1 _1 п.—1,2 _1

РР1к вРт =X X аЦаЦР\, в р» + X X ЬЦаЩ вр<1 +

,=0 и=0 1=0 и=0

п.—1,1 _1 т.—1,2 _1 mj■—1,1_1 т.—1,2 _1

. ,2„(1) о...(2) . V и! . ,2

П ,1—1 пj ,2 —1 п! ,1—1 П ,2 —1

+ X X а^ир—^ в^Д, + X X в^Д„.

,=0 ,=0 /=0 ,=0

Поэтому

а1'1 = X X а/ а],\а],2; г/-1 = X X С ЬЦа],2;

,,и / ; / ; к,т ,,к и ,т ' /,и / ; / ; к,т /,к и ,т'

к=0 т=0 к=0 т=0

ПJ,1-1 п!,2 —1 ПМ —1 ПJ,2 —1

у-1 = X X С а'2; й/"1 = X X а/ Ь/Ь2.

,,у / ; / ; к,т ,,к у,т ' /,, / ; / ; к,т /,к ,,т

к=0 т=0 к=0 т=0

Итак,

С—1=АЛА^; 1=В,^; Н—, = АС^; ^=В . (4)

Формулы (4) дают вейвлет-разложение аппроксимации £./ функции

двух аргументов, а формула (3) дает вейвлет-восстановление этой аппроксимации.

Алгоритм Чайкина и его обобщение

Пусть =(хЛу.^) е И3, г = 1,2,...,N. Фиксируем в пространстве

3 • •

Я декартову систему координат 0,У,к. Пусть cJ,г = xJ,гi + yJ,i \ + zJ,jk вершины ломаной у. и у - номер итерации. Согласно алгоритму Чайкина [2, 5], переход от ломаной у]. к ломаной у.+1 с вершинами су+11,су+12,...,+1, = 2А _ 2 осуществляется следующим образом:

3 1 13 , „ ЛГ ,

^+1,2,—1 = 4 cj,г + 4 ^+1; ^+1,2, = 4 С^г + - С^,,^ г = 1,2,..., N _ 1 . (5)

Равенства (5) можно представить в матричном виде. Введем в рассмотрение

матрицы

С,

с г ,1 сТ

С Г ,2

СТ

V С Г N у

'3 1 1 3

р-=4

3 1 13

31 13

Здесь матрица РГ (она совпадает с матрицей (2) при п=2) имеет размер

х , при этом = 2—1 — 2, Ы0 = N. - = 1,2,.... Тогда равенства (5)

Г Г

примут вид С-+1 = РГ+1 • СГ. Из формул (5) находим

_3 _3 ._

С- ,2 2 С-+1,22—1 2 С-+1,22 - С - ,2+1 2 С- +1,22 2 С' +1,22—1, ? 1,.", N 1.

3 1

Из последнего равенства находим с^ = — 2 - — _3,2 = 2,..., N.

Следовательно, для 2 = 2,..., N — 1 имеем [5]

1

3

3

1

с = — с +— с +— с --с

СГ,2 4 сГ'+1,22—3 + ^ сг'+1,22—2 + ^ с-'+1,22—1 ^ с-'+1,22 :

или, если ввести в рассмотрение матрицу [5] размера х N.

' 6 — 2 —13 3 — 1

м

1 3 3 — 1

1 3 3 — 1 - 2 6

то Су = Ау+1 • С]+1. Заметим, что А] • Р = Е.

Под кратномасштабной кривой будем понимать кривую с

параметрическим представлением

2> а(п+1)—1

г}: г7(г) = Е 7(г)• 7 = Ф

к=—п

V

7п

ст

С ],—п+1

^ 7 ,27а( п+1)—1 У

, г е [0;а(п +1)], (6)

т.е., если ^ (г) = (х^г),у (г), г, (г))т, то х] у/^ г/-) е а. Пусть

С =

гст

],—п

ст

7,—п+1

^ 7,27а(п+1)—1 У

Б,

т~ п

п+1

^ ^у,27а(п+1)—1 У

Тогда, если С, = P7.Cт.-l + Qт■Dт.-l, то

ф С =Ф.РС., +Ф.QD., = Ф + ¥ ,.

7 7 7 7 7—1 7 V/ 7 — 7—1 7 — 7 — 7—1

Отсюда получается схема последовательной модификации кривой г (г) = г—1 (г) + е м, где 7 = ¥ /-1, 7 = 1,2,.... Покажем, что описанный

выше алгоритм Чайкина укладывается в данную схему.

Пусть п=2, N = 3 • 27 + 2 и Р., ^, А, В " блок фильтров для

последовательности вложенных подпространств У0 с ^ с... пространства I2 [0;3], построенной на основе В-сплайна 2-го порядка. Заметим, что 2 • - 2 = 3 • 2' + 2 = А//. Согласно алгоритму Чайкина См = А/С/, но А/Р/ = Е, поэтому Су_| = А^/^С, = , где С] = VJ.А^С,. Поскольку для алгоритма Чайкина С; = Р;С,,, то С' =РА.С, =Р,А.Р.С, 1 =Р,-С, 1 =С,.

Здесь был использован тот факт, что А/Р/ = Е. Итак, См = А7С7. Пусть

БГ-1 = ВГСГ. Тогда СГ = РГСГ—1 + QJ'—1. Следует заметить, что в алгоритме

Чайкина Б = ВС = = 0. Таким образом, действительно алгоритм

Чайкина представляет собой вейвлет-восстановление кривой класса гладкости

Используя аналогичную схему восстановления можно обобщить алгоритм Чайкина для получения кривых произвольного класса гладкости ^ А именно, рассмотрим произвольную ломаную, заданную набором вершин

сг-п.cг',_и+l,...,с-2.-а(п+1)-1. Положим С = P;C;_1, 5 = - +1,..., где ps определяется

равенством (2). В результате получаем вейвлет-восстановление некоторой кривой класса

На рис.3 а) представлена начальная ломаная (синяя пунктирная линия), ломаная после трех последовательных преобразований Чайкина (зеленая жирная линия) и соответствующая кратномасштабная кривая (красная тонкая линия). На рисунке 3 б) показано применение обобщения алгоритма Чайкина.

Под кратномасштабной поверхностью будем понимать поверхность с параметрическим представлением

2Г'а(я+1)—1 2к Р(:+1)-1

' (и, V) = 2 2 <( (и( (V), и е [0;а(п +1)], V е[0;Д: +1)],

где ' = ' 1 + у-к ] + .

Если ввести в рассмотрение матрицы

х-,к = (' ); у-,к = (' ); = (' ), то вектор-функцию г(иv) можно представить в виде:

Г (и, V) = (ф- (и) • X- -Фк (V)7, ф- (и) • У- -Фк (V)7, ф- (и) • -Фк ^)Т)Т.

Заметим, что при каждом фиксированном щ е[0;«(п +1)] или v0 е[0;Д: +1)] мы получаем кратномасштабную кривую.

а) п=2 б) п=5

Рис. 3. Алгоритм Чайкина и его обобщение. а) стандартный алгоритм Чайкина (п=2); б) обобщенный алгоритм Чайкина (п=5) Преобразование поверхности осуществим в два этапа. Сначала применим к ломаным с вершинами с', 5 = —:, —: +1,..., 2к /?(: +1) — 1 обобщенный алгоритм Чайкина. В результате получим набор вершин с/5, 5 = -7п, -1п +1,..., 2А+1 Р{т +1) -1. Далее применим обобщенный алгоритм

Чайкина к ломаным с вершинами Ц8, ¡ = -п,-п + \,...,2'а(п + \)-\.

Указанные преобразования можно свести к преобразованию строк и столбцов матриц Xjк, Yjк, Z]к:

у = р у рт • V = Р V Рт • 7 = Р 7 Рт

Xj+1,k+1 1 j+1Xj,k1 к+1; +1 ,к +1; +1,к+1 1j+1Zj,k1k+1 •

Согласно равенствам (6) данное преобразование поверхности представляет собой вейвлет-восстановление некоторой поверхности класса гладкости Стш(т,п)-1. На рис. 4 показана вентиляторная лопатка для двигателя самолета МС-21, изготавливаемая из композиционных материалов методом выкладки, смоделированная рассмотренным выше методом.

Рис. 4. Вентиляторная лопатка Заключение

В данной статье мы рассмотрели применение теории вейвлетов в геометрическом моделировании, методы и алгоритмы которого составляют основу для систем автоматизированного проектирования. Был построен вейвлет-базис на отрезке, используя В-сплайн произвольного порядка. На основе такого вейвлет-базиса в статье построены двумерные вейвлеты и получены формулы для вейвлет-разложения и вейвлет-восстановления функций одного и двух аргументов. Показано, что известный алгоритм

Чайкина является частным случаем этих формул. Было получено обобщение этого алгоритма для построения кривых и поверхностей произвольного порядка гладкости.

Библиографический список

1. Eric J.Stollnitz, Tony D. DeRose, David H. Salesin. Wavelets for computer graphics: A primer. IEEE Computer Graphics and Applications, 15(3): pp. 7684, May 1995 (part 1) and 15(4): pp. 75-85, July 1995 (part 2).

2. Chaikin G.M. An algoritm for high speed curve generation. Computer Graphics and Image Processing, 3(4): pp. 346-349, December 1974.

3. A. Finkelstein and David H. Salesin, Multiresolution Curves, in Siggraph '94 Proceedings ACM SIGGRAPH, Addison-Wesley eds., pp. 261-268, 1994.

4. Giancarlo Amati, Alfredo Liverani, Gianni Caligiana. The Reuse of Free-Form Surface Features: A Wavelet Approach. Proceedings of the IASTED International Conference APPLIED SIMULATION AND MODELLING, June 28-30, 2004, Rhodes, Greece, pp. 247-252.

5. Mohamed F. Hassan, Neil A. Dodgson. Reverse Subdivision. Advances in Multiresolution for Geometric Modelling, Springer, 2005, pp. 271-283

6. Столниц Э., ДеРоуз Т., Салезин Д. Вейвлеты в компьютерной графике: Пер. с англ. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002. -272 с.

7. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в Ма1ЪаЬ. - М.: ДМК Пресс, 2005. - 304 с.

8. Фрейзер М. Введение в вэйвлеты в свете линейной алгебры: Пер. с англ. -М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. - 487 с.

9. Добеши И. Десять лекций по вэйвлетам. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая механика», 2001. - 464 с.

10.Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 616 с.

11.Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов: Пер. с англ. - М.: Мир, 2005.671 с.

12.Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. - М.: Наука, 1980. - 352 с.

13.Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. - 248 с.