CC BY
104
УДК 5Л 181.2:519.651
СБ АЛГОРИТМЕ ЧАЙКИНА V ЕГО ОБОБЩЕНИИ
Ю. И. Ькпоксв. Ю. И. Дсннсенн
Ыосхинский а<г.,сп{1>ончый институт (ниц uoHtuitHo, й шхмдиватштский унижрсхтнет) ¿. Muctata, Росcioi
.Аннотация - Ланная статья посвяшсна рассмотрению алгоритма Чайкина моделирования кривы:1: н liuuepjLHOcivii t хинки хренин cu.i:iilH-iiviib.i«iuu. В и;иье шки^ыы^ия, чю н.ииршм Чшкин:! lipvj-ставляет собой частный случай венвлет-восстановления кривой или поверхности класса гладкостп С1. Используя банк фильтров для спланн-веивлетов. построенный на основе В-силанна произвольного порядка, r стать? продля г лет с я оооптдрние алгпрнтмл Чайкина нл глучлй мщмирпилния крттьп л поверхностей произвольного класса гладкостп. Разработанный обобщенный алгоритм Чайкина применяется к локальной модификации поверхности вентиляторной лопатки, изготавливаемой нз композиционных материалов методом выкладки.
Ктюиееые слова: сплйн-веНвлет. алгоритм Чайкина, В-сплайн кривые.
L Вы^ьниь
Оенвлета являются математическим инструментом ш иерархического представления функции. Имея сво-
И V И ИС КОННЫМИ odinn'MUH I римгнснич 1ГО])НК> ПриблН АГНИИ фичику И [¡(¡¡иГмту ГШ НИЛ ОН КГИНЛГГЫ г нгдак-
инх пор стали использоваться во многих задачах геометрического моделирования прен>£уществеино в компьютерной графине Однако есдн в компьютерной графике достаточно визуальной гладкости кривых и пооерхпо стек. го в современных CAD/CAM/CAE-системах требуются поверхности, принадлежащие различным классам гладкости.
Представленный в работе 1 алгоритм Чайкина и основанные на нем методы моделкровання поверхностен не дают кривые и поверхности нужней гладкости, но позволяют строшь их достаточно сложной формы. В данной статье. на основе результатов работы 2. мы покажем, что алгоритм Чайкина является лишь частным случаем более общего метода модпфзшацпн В сплайн кривой. Как известно, В спланп кривая задается своей характер!! стнческой ломаной. Используя результаты теории всйвлстов. мы увидим. что при таком алгоритме происходит утилнгниг 1г1кой лиианеш мс.ч ичмгненн* формы самой крнкой R скит очгргдь, -»m догг удобный инпрумгт для локальной модификации формы кривой или 3-еплайн поверхности. По аналогии с алгоритмом Чайкина мы разработаем алгоритм построения кривых и поверхностен произвольной формы и произвольной гладкости.
П. Постановка задачи
Фиксируем в пространстве Ii" декартову систему координат O.i.j.k. Пусть С = (.Y.у\Z)1 CR и С — .ri + Vj + ~k . Пусть V?(0 = jVrj (t) - 13-сплайн порядка п. который мы определим как свертку
fi,
NK — * JVj. N0 (t) — : ^ ^ ^ ^ Обозначим g?^ (t) = <p(2'l k\ j.k cZ и рассмотрим В спланп кривую с параметрическим представлением
2'<»>»: 1
у Г- г/<^= ГбГМ+П. <1>
к- п
где с; ¿.-вершины характеристической ломаной данной кривей. Необходимо обосновать, что алгоритм Чайкина. представленный в статье 1. является частным случаем вейЕлет-восстановления кривой (1) для п=2. Обобщить алгоритм Чайкина на случаи произвольного г; н представить атгорнгм применения обобпенного алгорпт-ми Чийкинл для нгйклп-косссинонлсп-ии i юкгрчыопгй проичколкнош класса г.1г1д«юсги PaccMoijirih п]жмгнг-иие алгоритма для локальной моднфикапин поверхности вентиляторной лопапси. изготавливаемой методом выкладки.
ТТТ Трсрия
5. Силой71 вейслеты
В работе 3 был представлен подход к построению вейвлет-систем на отрезке. В этом разделе мы опишем кратко этот подход н его применение к построению сплпйн-всйвлстов. а также введем необходимые осозначе-тгля и тгрмикы Для ггп?,тетр>гчггких -триложгнкй мы гу.тгм рдеем лтривтгъ ггйстиитг.тьныг ттроетрлнгтвл
¿'(К) н L~\a\b\. Рассмотрим дейспигге.пьные фупкщш. определенные па отрезке Пусть функция
€ Л (R) удоклс! хсрисг м-и'ii 11 я! )ы >му соотношению 4 <р(х) = -j2^Uj.<p(2x — к). Ut €R и имгггшмиактный
bJL
Н(х:и1глк Ясно, чт Д.1Я ыд.чсип цглот j лглнчными in нуля нл тргны [tf'^J будгг лишь конечно- число функций (р - к. Пусть для определенности это 0>ДуТ функции <PjQ.ÇJil,...,<PJ-r J .
Рассмотрим последовательность VqC.Vî С ... подпространств пространства L~\a.b\.
( 1 44 1 Vj - im I q>} c <p. „_,}-< У a,<p}, : a, € R, s - ОД,...,«, - iL dim V} - k,
' J
n.-l
Поскольку V С V; .то = У ^ ^ Ç} , . Озедем обозначения
ï=r
О :x:.=(ç>jC.....,)
Тогда = Ф - Р^. Обозначим символом ортогональное дополнение к пространству К d про
сгранстве V,. Поскольку V} = V}_ Ф и JV}_j <_ V,. то FT,_, конечномерное пространство. Если
Wj — îin\yj£4....iy . ^ j, âimWj — m -, то - У - Функции U>' i k называются веивлетамнг
J " ' .-с
а ттргстрачгтвя W} начятваютгя вейнттет-прлстрангтнялги Введем я рчггмотрени? мятрипы Тогда ^Fjj = Ф^-Qj •
Пусть /* С Z~ [я; ¿>1 и П ! L2 [tf: ¿>1 ^ И . - проектор. Тогда приближение П ./ можно разложить
j j j
на ослсс грубое приближение Т1}- ■/ н уточняющее слагаемое П ^ \f
*=С i=0 *=0 Введем в рассмотрение два вектора коэффициентов С\. = (cv „..... С ■ ш J . D^ = [d j 0.....d. m / . Первый вектор описывает прполнженне функции f. а зторой вектор представляет собой всйвлсг-ксэффнпнсшы. которые характергоуют отклонение TL^f от П}f. Как доказано в 3, С; = + Q^D^,. По данному
|К1НГНГ1'Ку МОЖНО Н1Н-С-П1Ш1КИ1К |ЦмГиИЖКНИГ ТТ jf ПО (м1ЛГГ |руГк>Му НриблНЖГНИК) ТТ и кгйклгг-
коэффицентам.
Поскольку линейные операторы (проекторы} У. —У /j 1. V —> Wj 1. определяются некоторыми матрицами Aj. то С ~ A jCj-, Dj_t ~ Bj С j. Известна 3 связь между матрицами А,. В, и Р^. Q^ :
[bj )
М/ПрИЦИ Q f ОИрРЛГЛЯГГГИ .3 ИЧ ОДН<1|Х1ДН(1Й СИПГМЫ Л ИНГ ИНЫХ ур.-1КНГНИЙ T^Q ■ =0, ГДР
Т,- -Р;'[ф,.ф,], а = ?матрица скалярных произведении. Мпожестос
{L* . Qj • A j. В; ) называется банком фильтров.
В статье 2 описанный выше подход применен к случаю, когда в качестве функции Ç> выбран В-сплайн произвольного порядка т:. D этой статье построен банк фильтров для •енлайн-вейвлетов.
Для моделирования поверхностей необходимы двумерные вейзлеты на прямоугольной области. Покажем, как из вейвлет-сисгсмы на отрезке получаются двумерные велвлеты на прямоугольной области. Пусгь даны
последовательности VQi CI У\г- С... конечномерных подпространств пространство I?\(l.'9bf\ масштабирующие 4 ункнии Ç' и баикк филыров |P(i. Q fi. A f. i. D j. 7 — L.2 В pauvre 4 описан стандарты Л подход к
1КК7фОГЖИЮ МНС11(1МГ]1НМХ КГЙКЛП-С игк-vi ДоС1И1ИГИН .ЧТО К<И1 НГМ 1ГНЧ<Ц)НК1Х П]»1»И -,кгдг*ний функций и:< одномерных базисов. Определим подпространства V' = Уj\ Ф У j - = Htl J- ■ )\ EVj^. J2 £ Vf 2 }. где
функция f- 0 Ji определяется прярттлглх © f-\ (х. v) = f\(x)fy(y) Кроме того определим ттрг>гтранггая
Wj следующим образом Vj - Vf lQ) Wj l. Toi да. саш f С L2 ([a] : ] x [a2 : Ь2 ]) и
11 : L2([я,:^Jx[а,:b2J} —>■ V) -прсектор.то
п j== v[ YsÛPltài+Ystitâtâ+
Uj
(2) Jj
Если звсс1н б рассмотрение матрицы С, = (^Д'^'' ^ = (Гл./г ^ = ^'
О^ р Г ^ '" -то го ров^нстза (2) получаем
С, - Р,ДС, ,Р[, + ,р;"2 + Р.,,11, + О)
Кроме гогс.
сн - ; V - вн;-1 - 0,-1 - В^с^, (-1)
Формулы (4) дают вейв лет-разложение аппроксимации 11 . ) функции двух аргументов, а формула (3) дает
венвлет-вссстановление этой аппроксимации
2. ОЬоЬщапалй алгоритм Чайком.
Рассмотрю! теперь кривую с параметрическим представлением (1). Следует заметать, что если
Г,(О" Х/0,У,(0 € V
Как было показано в статье 2, в случае смайн-вейв летов, построенных на основе фуХ) — (х) . имеем Ф»-к-......^„н) Т"У<"П. С; - (с(_„.....СМ} О,-(</,..„.....Тогда «т.
Отсюда получается схема последовательной модификации кривой Г, = IV 1 + Су 1. Су 1 = Чу Рассмотрим частный случаи такой модификации. Пусть С, = Р;С;-1. Тогда
Следовательно, в этом случае форма кривой не меняется, но меняется характеристическая ломаная кривой (увеличивается число зерпшн). Следует отметить, что. как следует из статьи 2. Есе элементы матрицы Р неотрицательны и сумма элементов любой строки этой матрицы равна едкнине. Поэтому любая вершина С} к ломаной УJil принадлежит выпуклой оболочке нескольких последовательных вершин ломаной У ■.
Частным случаем такого преобразования ломаной является известный алгоритм Чайкина (предыдущее преобразование. в дальнейшем, будем иазьшать обобщенным алгоритмом Чаикш:а (рис. 16, для п-Ь)). который нспользл'ется в компьютерной графике для построения кривых к поверхностей. Согласно алгоритму 1анкнна 1. который называется также алгоритмом <среза уголков», переход от ломаной /1 к ломаной уц\ с вершинами
1.....С^ ^^ . М^ = 1Му 2 осуществляется следующим образом (рнс. 1 а)):
Рис. 1. а) Алгоритм Чайкина (п=2) к 5) обобщенный алгоритм Чайкина (п=5)
Равенства (5) можно представить о матричном виде. Введем в рассмотрение матр1щу СТ. — (с^ С^ J. Тогда равенства (5) примут вид = Рj^Cj , где - матрица ш банка фильтров для случая спланн-
всйвлстов, построенных на основе В-сплаина порядка п=2 (см. 2).
Рассмотрим теперь поверхности с параметр плоскими представлениями
2(Я|1) 12«(И|1) 1 г—,т ¿--л
Как известно, многогранник с вершинами f = 4- + z/ *к называется характеристическим многогранником поверхности. Введем в рассмотрение матрицы Xj = (x/j* ). Y, = (y/* L Z^ = {¿^ I и рассмотрю,« следующее преобразование характеристического многогранника Применим к ломаным с вершинами с/^ . S = — TW.....2* (ftt + 1) — 1 обобщенный алгоритм Чайкина D результате получим набор вершки
S = m.....2kxX(m I 1) L. Далее применим обобщенный алгоритм Чайкина к ломаным с вершинами , / — -й,...,2;(И +1) — 1 • Указанные преобразования можно свести к преобразованию строк и столбцов матриц X/Jt, Ya, Zty
= PAP^ ■ Wi = ry+lYMPAr+2 • - *s-IZJ&2
Видно, чти такие преобразование ни. л cica частным случаем преобразования (3). Как и выше, ири 5шл преобразованиях изменяется характеристический многогранник поверхности (уплотняется). но не меняется сама поверхность.
IV РЬЗУ.'ЫАТЫ ¿KUlbPUMfcHlOK
Представленный в предыдущем разделе обобщенный алгоритм Чайкина мы применим в CAD/CAM/CAE-еисгеме, предназначенной для изготовления конструкции из композиционных материалов методами намотки и выкладки В ттачгттяе примера конструкции рассмотрим изготовление вентиляторной лопатки для двигателя самилоа. Такая jioiidiKa задается шесшадшиью сечениями но 60 точек а каждой. Точки сечении будем считать вершинами характеристического многогранника самой поверхности. При моделировании изготавливаемой конструкции необходимо учесть тог факт, что при выкладке лент на поверхность происходит изменение фермы поверхности. Учесть такой факт нам поможет обобщенный алгоритм Чайкина, который позволит создать достаточно плотный харахгеристпческпй мпогограгдппс исходной пооерхпостп. Локальную моднфнкацшо ^в со ответствии с толщиной ленты) самой поверхности мы осуществим путем перестройки многогранника. На рис 2а) показан исходный характеристический многогранник вентиляторной лопатки На рис. 26) показан результат
■ фимгнгннм обобщенной» H.imjlHI тли ЧаЙКИНИ, л ни |>ИГ. ?.к) ПОКЛЧИНИ слМИ кгн I или юрнлч лиигна
Риг / Моделирование вентиляторной лопатки-а) - исходный многогранник вентиляторной лопатки; ñ) — результат применения обобщенного алгоритма Чайкина; в) - поверхность вентиляторной лопатки
На рис 3 покачан результат локальной модификации многогранника вентиляторной лопатки и результат вейвлет-разложения, т.е. перехода к менее плотному многограннику (сглаживание).
JYI поо
Рнс. 3. Локальная модификация поверхности посредством перестройки многогранника
и результат сглаживания
V. ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В статье обоснован тот факт, что существующий алгоритм Чайкина является частным случаем венвлет-восстановления некоторой В-силанн кривой первого класса гладкости. Используя этот факт, дано обобщение алгоритма Чайкина на случай моделирования кривых и поверхностей произвольного класса гладкости. Результаты применены в С AD /С АМ/С АЕ - с ист еы е для изготовления конструкции на композиционных материалов методами намотки и выкладки.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Chaikrn George М. Ail algoritm for high speed curve generation И Computer Graphics and Image Processing. 1974. 3(4). P 346-349.
2. Бнпоков Ю. И.. Калинин В. А. Применение венвлетов в системах автоматизированного проектирования //ТрудыМАИ: электрон, журн. 2015. С. Е4.
3. Сто.тннц Э., Сализин Т. Д. Венвлеты в компьютерной графике. Ижевск: НИЦ Регулярная н хаотическая динамика, 2002.
4. Новиков И. Я., Протасов В. Ю, Скопина М. А Теория всплесков. М.: ФИЗМАТЛИТ: 2005.
