CC BY
15
2. Батенькина О. В. Интерфейс системы диагностики уровня развития детей дошкольного возраста с ограниченными возможностями здоровья // Динамика систем, механизмов и машин. 2016. Т. 2, № 1. С. 229-236.
3. Выроцкова В. В. Социально-психологические факторы развития детей дошкольного возраста // Современная зарубежная психология. 2015. Т. 4, № 1. С. 6-14. URL: http://psyjournals.ru/jmfp/2015/n1/76173.shtml (дата обращения: 01.04.2017).
4. Devyatkov V, Alfimtsev A. Optimal fuzzy aggregation of secondary attributes in recognition problems // The 16th International Conference in Central Europe on Computer Graphics, Visualization and Computer Vision'2008. University of West Bohemia, Campus Bory, Plzen-Bory, Czech Republic. P. 33-39.
5. Карелина И. О. Эмоциональные нарушения в дошкольном возрасте и их коррекция / И. О. Карелина. М.: ВЛАДОС, 2000. 248 с.
6. Cuiping Z., Guangda S. Human face recognition: A survey // Journal of Image and Graphics. 2000. № 11. P. 103111.
7. Cootes T., Taylor C., Cooper D. Active shape models-their training and application // Computer Vision and Image Understanding. 1995. № 61. P. 38-59.
8. Viola P., Jones M. Robust Real Time Object Detection // 8th IEEE International Conference on Computer Vision. Vancouver, 2001. P. 151-155.
9. Sujun Z. Facial Expression Recognition Algorithm Based on Active Shape Model and Gabor Wavelet // Journal of Henan University (Natural Science). 2010. № 9. P. 40-45.
10. Guo G. D., Dyer C. R. Learning from examples in the small sample case: face expression recognition // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part B (Cybernetics). 2005. Vol. 35, Is. 3. P. 477-488.
11. Ян Си. Автоматическое распознавание эмоций пользователя для организации интеллектуального интерфейса // Молодежный научно-технический вестник. 2013. № 9. URL: http://sntbul.bmstu.ru/doc/616498.html (дата обращения: 06.10.2016 г).
12. Kang Z., Landry S. J. An eye movement analysis algorithm for a multielement target tracking task: Maximum transition-based agglomerative hierarchical clustering // IEEE Transactions on Human-Machine Systems. 2015. Vol. 45, № 1. Р. 13-24.
13. Wojciechowski A., Fornalzyk K. Single web camera robust interactive eye-gaze tracking method // Bulletin of The Polish Academy of Sciences Technical Sciences. 2015. Vol. 63, No 4. DOI: 10.1515/bpasts-2015-0100.
14. Cherif Z. R., Nait-Ali A., Motsch J., Krebs M. An adaptive calibration of an infrared light device used for gaze tracking // IMTC-2002. Proceedings of the 19th IEEE Instrumentation and Measurement Technology Conference. URL: http://ieeexplore.ieee.org/document/1007096/citations (дата обращения: 02.10.2016).
15. Ince I. F., Kim J. W. A 2D eye gaze estimation system with lowresolution webcam images // EURASIP Journal on Advances in Signal Processing. 2011, 2011:40 (дата обращения: 02.10.2016).
16. Guestrin E. D., Eizenman E. General theory of remote gaze estimation using the pupil center and corneal reflections // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. 2006. Vol. 53, Is. 6. P. 1124-1133.
УДК 519.62+519.65+519.715
ПРИМЕНЕНИЕ СПЛАЙН-ВЕЙВЛЕТОВ ДЛЯ АНАЛИЗА ВЫХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ МНОГОМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Ю. И. Битюков, Ю. И. Денискин, Г.Ю. Денискина
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), г. Москва, Россия
DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-4-117-127
Аннотация - Системы дифференциальных уравнений возникают в задачах механики, физики, техники, управления и т.д. В статье представлен алгоритм численного решения системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, основанныый на сплайн-вейвлетах на отрезке. Представленный алгоритм обобщает известный метод, основанный на вейвлетах Хаара, которые являются частным случаем сплайн-вейвлетов. Результаты статьи применяются для анализа выходных процессов многомерных нестационарных линейных систем управления.
Ключевые слова: сплайн-вейвлет, дифференциальные уравнения, многомерные нестационарные линейные системы управления.
I. Введение
Многие математические приложения требуют численной аппроксимации решений дифференциальных уравнений. Один из методов построения такой аппроксимации основан на вейвлетах Хаара. Различным применениям этих вейвлетов было посвящено огромное количество работ. Среди них много работ посвящено применению их к приближенному решению интегральных и дифференциальных уравнений, как линейных так и нелинейных [1-5]. Поскольку вейвлеты Хаара ортогональны, система линейных уравнений для нахождения вейвлет-коэффициентов приближения получается разреженной. К сожалению, при решении интегральных уравнений, приближения получаются кусочно -постоянными, а при решении дифференциальных уравнений класс гладкости приближения будет на единицу меньше порядка дифференциального уравнения. Такие недостатки можно устанить применением сплайн-вейвлет, частным случаем которых и являются вейвлеты Хаара. Посредством сплайн-вейвлет можно строить приближения любого класса гладкости. При этом следует заметить, что сплайн-вейвлеты в общем случае - это полуортогональная система, но, как показано в статье [6], система линенйых уравнений для определения вейвлет-коэффициентов приближения является псевдоразреженной, т.е. содержит большое количество элементов, близких к нулю. Применению сплайн-вейвлет к построению приближений любого класса гладкости решений линейных систем дифференциальных уравнений и посвящена данная статья.
II. Постановка задачи
Пусть дана линейная система дифференциальных уравнений = au(t)Xj + a12(t)x2 +... + alm (t)xm + f (t);
X 2 = a 2i(t) X1 + a 22 (t) X2 + . + a 2m (t) Xm + f2(t)'; (1)
*m = aml (t)X1 + am2 (t)x2 + — + amm (t)Xm + fm (tX
и заданы начальные условия
X1 (t0 ) = x10, x2 (t0 ) = x20, — , xm (t0 ) = xm0 ■
(2)
Будем предполагать, что aj, f i e C[t0; t1] для всех i, j = 1,2,., m . Требуется построить приближения любого класса гладкости Cn[t0;t1] решения системы (1), удовлетворяющего начальному условию (2).
III. Теория 1. Сплайн-вейвлеты на отрезке
В этом разделе мы кратко рассмотрим подход к построению вейвлет-систем на отрезке, предложенный в работе [7]. Пусть действительная функция р принадлежит действительному пространству Z2 (R), удовлетворяет равенству
рх) =42£икр(2х — к), uk e R (3)
keZ
и имеет компактный носитель, содержащийся в отрезке [a; b]. Обозначим Pjk (х) = 2 2 р(2j х — к) х e [a; b]. Функция р в теории вейвлетов называется масштабирующей, а равенство (3) - масштабным соотношением [8], [9]. Ясно, что отличными от нуля на отрезке [a; b] будет лишь конечное число таких функций. Пусть для определенности это будут функции Pj 0,Pj ъ...,р. . Если рассмотреть линейные пространства
Vj = lin^j 0,Pj 1,... ,р^и dimVj = nj , то, в силу равенства (3) будет выполняться V0 с V1 с... с Z2 [a; b].
n .—1
j
Поэтому Pj—1k = £ Ps,kPj,s. Как в [7] введем обозначения
¿=0
Г Л ( \п — 1, П _,—1
ф; (х) = ^ (х) (х) —1 (х)^ = \Pskkол=0 '— •
Тогда Фу_1 = фр. Обозначим символом ортогональное дополнение к пространству У^ в
пространстве V ■. Поскольку Уу = VJ_1 ® Wj—1 и Wj■—1 с Vj, то Wj—1 конечномерное пространство
wj = иМ
—1
-1|, dimWj = т, и = X. функции шзыгаотм гейвдатами а
' J ¿=0
пространства W^ называются вейвлет-пространствами [8], [9]. Снова введем в рассмотрение матрицы [7] *, (х) =
^ ( i V —1,т. .—1
¥jo0(X),YjЛ(x), —1(х)^ О, = ЪиЛ=0к=0 j—1 .
Тогда *, 1 = Ф ,■ О ,■. Следует заметить, что п, + т, = п. Пусть / е 1?(Х) и П, : I (X) ^ V. Тогда
п . —1 п . . —1 т ■ . —1
^ - С,-
П,/ = X = П,-1/ + Пм/ = X ^Р-и + X ^-и^-и. к=0 к=0 к=0
Данное равенство можно переписать в матричном виде, если ввести в рассмотрение векторы
С, =
,с 1
I,п ■—1
-1 ]
У г У
_|| , Б, = I dj 0, ..., ^^ . Первый вектор описывает приближение функции / , а
второй вектор представляет собой вейвлет-коэффициенты, которые характеризуют отклонение П/ от П ■ / . Как показано в [7], имеет место равенство Су = Р^С^ + По данному равенству можно восстановить
приближение П ■ / по более грубому приближению П/ и вейвлет-коэффицентам.
Поскольку линейные операторы (проекторы) V ^ V-1, V ^ WW_1 определяются некоторыми матрицами А ,, В , , то С ,-1= А , С,, Б,-1= В , С, .
Под вейвлет-преобразованием функции / будем понимать нахождение векторов С,Б,Б, ■••,Б-у. Матрицы О ■ и р известны как фильтры синтеза. Матрицы А ■ и В^ известны как фильтры анализа. Множество {А ■, В ^, Р ■, О ■} называется банком фильтров
Как показано в работе [7], между матрицами А,, В, и Р, , О, существует следующая связь
Г А, ,
В
;;}=(р, о ■ V1.
Посмотрим теперь, как определить матрицу О . Введем следующее обозначение. Если
Г = (/]_,■■■,/г) ё = ёг) некоторые векторы, то ,ё)] = ((/,)).г.=1 - матрица скалярных
I г
',.)=
произведений. Как показано в работе [7], матрица О, удовлетворяет следующему уравнению
1
РТ [(ф ,, Ф,)] О,=0.
Перейдем теперь к сплайн-вейвлетам на отрезке. Определим В-сплайны порядка п, как свертку [10]
IX х е [0;1),
N = N 1* Ы0, Ы0(х) = ■, п п-1 0 0 10, х й [0;1).
Как показано в [11], если определить функцию (р(х) = N (х), то она удовлетворяет равенству
П+1 ^+1 р(2х — к), где ^+1=-^+^ 2п п+1 к!(п +1 - к)!
функции р(х) = Ип (х), а именно, справедливы следующие результаты.
Лемма 1. Функция р(х) = N (х) определяет последовательность подпространств
р(х) = XX "+1 р(2х — к), где Сьп+1 =-+—!— . В статье [12] представлен банк фильтров, соответствующий
п
к=0
^0 Сгал с..., = ^-п,рj_n+l,.■■,рjЛja{n+l)—]
пространства Т}[0;а(п +1)],а = 1,2,. такую, что \\Уа ^ = 12[0; а(п +1)]
а, ,=0
сл0
21а(п+1)—1 I
Лемма 2. Имеет место равенство ^ <р^к (х) = 22,х е [0;а(п +1)]. Если Уа у = Уа 1—1 ®Wа 1—1,
к=—п
dim Wа ._х=2]-ха(п +1).
к+1
п
ПУсть К,к = / ып(г)ып— > т = — п,...,п,к = 0,1,...,п и ю1к = юк1 = г,5:
к ь=п—!+1
_ к _ ^а(п+1)+п
ь=0
0г к = вki = —кь, 1 ^ г ^ к ^ п. Введем в рассмотрение вектор р е Я2 а(п ) п, который определим равенством
С11+1 . Сп+1 Сп+1 . Сп+1 Сп+1 0 0.0) , п — 2к;
,(сп+1 Сп+1 .••Сп+1 Сп+1 Сп+1.С„+1 Сп+1 , п — 2к + 1
Определим оператор сдвига Яь : Ят ^ Ят следующим правилом
|(0..0 а1.ат—ь)г, т > ь ^ 0; = •!/ ч а= (al,...,ат) .
[(аи+1.ат 0.--0)\ —т<ь<а
Если | ь т, то Яьа = 0 .
Лемма 3.Матрицы Р- и [(ф,ф)] для последовательности подпространств Уа0с Уа1с... имеют вид
р (Я—пр Я—п+2р . ^п—2+2 ;а(п+1)р)
2 2
[(ф,Ф,)] = . ^ ч Яч . я . п ,ч и . ,
14 1 ( 1 п 4 14 2 ;а(п+1)—п—1 1 п) '
где ^ = ^ ... д„—+ ... д„ 0...0)г, и = (0...0 д„ ... 0М ... ^)г,
Ч = (Чп Чп—1.41 40 Ч1-Чп—1 Чп 0-0У еЯ21а(п+1)+п, ^ = (мп(.),Мп(.— к))
__1 .
Матрица, транспонированная к Ту = /Г[(Фу,Фу)] = 2 2(^ ь)2=1 sа(и+1)+и, 2 а(п+1)+п , имеет вид
где
1 1 ^ 1 =1,Ь =
Т =~~Г [^ "'Ьп w Я2^" Я21 а (п+1)—2п—2 W Ь21—а^Н-Г"^—^(«+1)+« )
2 2
W = (рТЯ—2пЧ р^Ч.-.рЧ^ 0.0^ еЯ^а(п+1)+п ,
Ц- = ((Я—п+2!—2 р)Т dl .(Я— п+2!—2 р)Т dn 0.0^+ (Яп о Я—3,^—! = 1,., п,
= (0.0 (Я— п+2! р)ти1 .(Я—п+2! р)тип)" + (Я—п оЯ—п+21 ! = 21—1 а(и + 1),.,И — 1 + 21—1а(п +1). Используя лемму 3, в статье [12] найдены 21—1а(п +1) линейно независимых решений
=(й1ь,И2ь,...,^,)Т системы линейн^тх уравнений =0. Эти решения и представляют собой
столбцы матрицы 01 = ^^ . Столбцы ^ выбирались таким образом, чтобы функции
21 а (п+1)+п
(х) = Ф1 (х)Ъь = ^ И^ п+(!—1)(х), по возможности представляли собой сдвинутые версии
!=1
одной функции, т.е. имели бы одну форму (за исключением, конечно, граничных вейвлетов). Введем сокращенные обозначения для матриц, составленных из элементов матрицы Т :
/ \
т,
г \
,■ ... Г. ,■
Ыт
Г. ; ...
¿к ,Л ¿к ^т )
Для внутренних вейвлетов (носитель содержится в отрезке [0; а(п +1)])
Ь, ^...Дй^п-и,.,,0,.,0)Т,5 = п + 1..,2~1а(п +1)-п,
где Т
Г 5-п,.,5+2п Ь, , лТ _ Л
Решения, соответствующие граничным вейвлетам, были выбраны следующим образом. Для 5 = 1,2,.,п
положим
Ь =(0,...,0Д.,..., й^*.,0,.,0)Т
где
т
Г 1,.,5+2п V
\(Й5,5Й25+2«,5) =0. ДлЯ
5 = 2-' 1а(п +1) — п +1,.,^-' 1а(п +1) положим Ь5 = (0,...,0,й25-п-15,...,й 7-1
Т
5-п....,п+2^ 1а(п+1) 25 — п — 1,.,2-1а(п +1) + п + 5у
2j 1а(п+1)+п+5,5
(й й )Т
("2s-n-1.s ^ й^-/-1а(п+1)+п+5,5) .
,0,...,0У , где
Следующая лемма очевидна.
Лемма 4. Пусть / е 12[0;п +1], тогда П,/ = Ф,С*, где С*. =[(Ф,,Ф,)]—1[(/,Ф,)].
Пусть 0, = (м ), где Ь5 = [й/
111.2. Интегралы от сплайн-вейвлетов
Т
. Согласно результатам предыдущего
2 (п+1)+п,5
раздела,
25 + 2п
У,-1,5 (х) = X КР^-Т* ¿-^Х 5 = 1,.,
1 = 5
25+2 п
У,—1,5 (х)= X hlsPj,-n+l-l(x), 5 = п + 1,.,2-1(п +1) — п
1 = 25 — п—1 / 1(п + 1) + п + 5
7. 1\ - . 1 <->/-1
—1 (п+1)+п+5
У-1,5 (х)= X Й>Л-п+¿-/(х), 5 = 2j-1(п +1) - п +-1(п + 1).
1=25— п —1
Так же как и в работах [1-5], для удобства, введем следующие обозначения
Щ (x) = Pol—n—l.1 = 1,2,—,2п +1,
Щ (х) = е (х), I = 2j (п +1) + п + 5,! = 0,1,., 5 = (п +1).
На рис. 1 представлены графики некоторых функций щ1 для случая п = 5 .
(4)
(5)
(6)
Рис. 1. Графики функций щ для п = 5
п
Пусть ' ^ 0, П3 : 12[0; п +1] ^ VJ - проектор и М = 2'(п +1) + п . Обозначим Н3 = (н>1
^) и
введем в рассмотрение матрицу скалярных произведений [(Н , Н )] . В лемме 3 представлены матрицы скалярных произведений [(Фк ,Фк)] для всех к = 0,1,.. Замечая, что Чк = Фк+10к+1
"к ,Фк
[(Ч, Чк)] = 0Т+1[(Фк+1,Фк+1)]0к+1, мы получаем матрицу
[(Н', Н' )] =
[(Ф0, Ф0)] 0
0
0
ОТ [(Ф1, Ф1Щ 0 00
ч 0 0 0 ... ОТ[(Ф',Ф')]0',)
М
Так как У3 = У0 ФW0 ФУ1 ®...©WJ—1, то для / е Х2[0; п +1] имеем П3/ = Хс^г = Н 3 С 3 где
1=1
С = (е 1 . СМ У . Как и в работах [1-5] определим функции
х х 1 х
(х) = ^(0^, (х) = ¡V (0^ = -¡(х — ^^№, V = 1,2,. (7)
0 0 '0 Согласно определению функций м>! и равенствам (4) - (6), функция 1 (х) представляет собой линейную
х
комбинацию функций т1'V (х) = ¡(х — t)V Дп (211 —
Лемма 5. Имеет место следующее рекуррентное соотношение
1 (х) = -
"+1 21 / \ — Мп (—ь) + —- (ттп^+^х) — тЦ1^ х))
+1 V + 1х '
где
тс^ (х) =
(х — а)^1 — (х — Ь)^1
V +1
0, если [а;Ь] = [0;х] п
если [а;Ь] = [0; х] п ь ь +1
ь ь +1
21 21 = 0.
= 0;
(8)
(9)
.21 21
Доказательство. По свойству В-сплайнов [10], имеет место равенство М'п(х)= М^(х) — М^(х—1). Следовательно, по формуле интегрирования по частям, получаем
т0у (х) = —
(х — t)
V + 1
V+1
-Мп (2 и — ь)
г (х — ^
+ 21 ¡ (-(Мп—! (2 Ч — ь) — Мп—1 (2 Ч — ь — 1))Л =
• V + 1
0 0
V + 1 V ■
Равенство (9) очевидно. Лемма доказана.
Формулы (8), (9) позволяют находить значение функции т^ (х) в любой точке без интегрирования. Итак,
— ¿1 д, М + +,(х) — х))
V +1 V + 1 л '
для I = 1,2,. ,2п +1 получаем
I (х) = - Т00^1 (х), I = 1,2,... ,2п +1.
V'
Для I = 21 (п +1) + п + ь, 1 =0,1,., ь = 1,.,^-' (п +1) получаем
1+1 2 2 2 п
(х) = X Ц-п+г—1(х), ь = 1,.,п; 1+1
ъ 2 2ь+2п
(х) = — X *£1т£1,—'п+г—11(х), ь = п +(п +1) —
V'
п;
!=2ь—п—1
^+1,1 (х)
1+1
"У 21 (п+1)+п+5
V'
X И£1т&1,—п+г—1 (х), ь = 21 (п +1) — п +1,.. „21 (п +1).
!=2ь—п—1
0
х
2
Полученные равенства справедливы при всех v = 0,1,..
III. 3. Применение сплайн-вейвлетов к решению линейных систем дифференциальных уравнений
В проекционных методах решения линейных уравнений рассматриваются два уравнения [13]; первое в полном нормированном пространстве X
Kx = x-Hx = f, (10)
а второе в его полном подпространстве X j
KjXj - Xj -AHj.Xj. = j (П)
где H - непрерывный линейный оператор в X, H - непрерывный линейный оператор в X ■ и П ■ -непрерывный линейный оператор, проектирующий X на Xj , т.е. П ■ (X) = Xj, П ■ ° П ■ = П ■ . Уравнение (10) называется точным, а уравнение (11) - приближенным. При этом предполагается, что выполнены условия: 1. (Условие близости операторов H и H) Для любого x^ е Xj выполняется ||пуНху- — HjXj|| <Pj||xj||. 2. (Условие хорошей аппроксимации элементов вида Hx элементами из Xj) Для любого x е X существует
x е Xj такой, что ||Hx — xjl <p1j||x||. 3. (Условие хорошей аппроксимации свободного члена точного
уравнения) Существует элемент fj е Xj такой, что ||f — /j|| < р2,j||f||. В отличие от предыдущих условий, p2j. здесь, вообще говоря, зависит от f. Как показано в [13], если оператор K имеет непрерывный обратный,
уравнение (10) имеет решение и lim Pj =0, lim Pij =0, lim p2j- =0, то lim x — xj =0, где xj -
j
решение уравнения (11), а x - решение уравнения (10).
Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений (1)-(2). Без ограничения общности можно считать, что t0 = 0, ^ = n +1, где n е N . Введем обозначение y (t) = xci (t). Тогда, с учетом условий (2),
t
получаем x, (t) = xi0 + Jy, (т)йт . Систему (1) можно переписать в виде
0
t
= f(a.
У2 = J(ö2l(t)У1 (?) + Ö22(t)У2 (?) + " • + a2m (t)Ут + g2 (t);
у\ I (а\\(7)У\ (г) + а12 ()у2 (Г) + " • + а\ т
(7) Ут (фт + Я\(/);
(12)
Ут I (ат\ ат2 тт т т
0
т 7
где (7) = ^ (7) + ^а^ (7)Xj0. Полученную систему перепишем в матричном виде у(7) = Гл(/)у(г)^г +
/ =1 о
где У = (у . ут)г, О = . ётУ, Л = а)тт. В качестве полного нормированного пространства
качестве его полного подпространства рассмотрим Xj = (V/ У" ■ Пусть Пт : X ^ Xj определен равенством
пт(У) = (п/у1 . П/Ут)г . Обозначим Лг- = (аг,\ . аг,т)Т е X - I -ю строку матрицы Л . Операторы К: X ^ X, Н: X ^ X и Н/ : X/ ^ X/ определим равенствами
(КУ)(7) = У(0 - ]л(0у(г)А?Г, (НУ)(7) = ]а(/)у(Г)А?Г, Ну. = П т о Н, о о
Условие близости операторов Н и Н выполняется с р =0. Пусть У е X и
рассмотрим пространство X = (L2([0;n +1]))m = L2([0;n +1])x.xL2([0;n +1]), с нормой
m
2
2 , а в
i=1
Yj (t) =
t t
JC^A^t)) r Y(z)dz . J (njAm (t)) r Y(r)dr
V 0 0
e (V,)m ■
Тогда p1J =(n +1)
£||а, — ПmАг| . Ясно, что lim p , =0. Следовательно, условие хорошей
аппроксимации элементов вида НУ элементами из (у) также выполняется. Наконец, для произвольного
G - G Jh
G e X, G Ф 0 возьмем G, = П™G, а p2,j = -—г—г—- . Тогда lim p2,j = 0.
Решение приближенного уравнения
¡з — пт о н,' - п'
Yj - nm оHYj = nmG, (13)
будем искать в виде
(mm m лг
Yj =
£ctwt (t)
£cM+i w, (t) — £c
(m— 1)M+,w, (t)
V i=1 i=1 i=1 У
где М = 2' (« +1) + п . Тогда уравнение (13) можно переписать в виде системы линейных уравнений для определения неизвестных вейвлет-коэффициентов
М М т
ХС(ь—1)м+г (Щ, Щ ) = ХХС(к—1)М+г (аьк#1,-, Щ) + , ЩX ь = 1,., m, 1 = 1,., М. !=1 !=1 к=1
М
Приближенное решение системы (1) имеет вид хь 3 (^ = Хс(ь—1)Мг (t) + хь 0, ь = 1,2,., т .
г=1
IV. Результаты экспериментов Многомерные нестационарные системы описываются уравнениями состояния и выхода х(0 = Л(?)х(?) + Б(?Ж?), х(0) = Х0 (14)
у(0 = Ь(?)х(?), (15)
где х = (х1 ... хт) - т-мерный вектор состояния; g = (§1 ... gr У - г-мерный вектор входных
воздействий; у = (у ... ук^ - к-мерный вектор выхода; t - время; Л^) = (аг 1 ^, Б(t) = (ьг ^,
М0 = (hj(t) - матрицы размеров тхт, т*г, к*т соответственно. Под анализом выходного процесса
понимается поиск закона изменения вектора состояния и вектора выхода по заданному входному сигналу. Приближенное решение системы (14) будем искать в виде
М
хь,' ^)= ХС(ь—1)М(t) + XS'0, ь = 1,2,., m,
г =1
где х0 = (х1 0 ... хт0^ и коэффициенты сь находятся из системы линейных уравнений
п М М
X Х(акА,г,Ща)%—1 )М+г + Х(ак,— Щг, Ща)с(к—1 )М+г
s
= 1,s ¿ki = 1 i = 1
= —£(ak,s' wa)Xs,0 —£(bk,s8s> W X k = —.n> a = 1>->M■
s=1 s=1
Пример 1. Рассмотрим нестационарную систему автоматического управления, поведение которой описывается дифференциальным уравнением
5
Хак (0 х(к = g (0,
лк ( к=0
где коэффициенты ак (}) определяются из следующего выражения:
i=1
a0(t) '0,5596 1,8918 2,5825 1,7855 0,6277 0,0909 ^ ( 1 ^
ai (t) 0,7113 2,3843 3,222 2,1975 0,7588 0,1065 t
a2(t) 0,3717 1,2333 1,6449 1,1038 0,3728 0,0507 t2
a3(t) 0,1002 0,3278 0,43 0,2827 0,093 0,0122 t3
a4(t) 0,014 0,0449 0,0576 0,0369 0,0118 0,0015 t4
, a5(t) , ^0,0008 0,0025 0,0031 0,0019 0,006 0,00007, 115 J
Найти реакцию системы на входное воздействие
g(t) = (85,7661 + 338,5984t + 497,0437t2 + 406,9496t3 + 186,9354t4 + 46,7809t5 + 4,8258t 6)e~4t. Начальные условия нулевые. Интервал исследования [0;5] с.
Решение. Так как начальные условия нулевые, приближенное решение данной задачи будем искать в виде
м
г (t) = s (t), где коэффициенты c1,..., cM определяются из системы линейных уравнений
s =1
2J (n+1)+П f
s =1
a5ws + £ak#5-
Л
5-k,s, wl
k=0
= (g, wj), l = 1,.,2J (n +1) + n.
На рис. 2 показаны графики третьего и пятого приближений х2(:) (пунктирная линия), х4(?) (сплошная линия) и график сеточной функции {(/,, ~)} (точки), полученной методом Рунге - Кутты.
Рис. 2. Графики приближений х2(:) (пунктирная линия), х4(:) (сплошная линия) и график сеточной функции {(:■ ,хг-)} (точки), полученной методом Рунге - Кутты
Пример 2. Поведение линейной нестационарной системы описывается следующей системой дифференциальных уравнений
чЛ
( x(t) V ( t2 1-1Y x(t) Y
U (t)) +1 t -12 JUoJ
t2
t t -t
Найти реакцию системы на входное воздействие
gj(t)= 0,23315158t9 - 3,89665t8 + 26,4309725t7 ■
1t
0Y g1(t)
I g2(t)
■ 93,4794t6 + 183,95t5
■ 200,83t4 + 122,255277t3-
50,135386t2 + 13,095959t - 2,8237;
g2(t) = - 0,071962459t13 + 1,3465024t12 - 10,98105044t11 + 51,1908385t10 -- 150,5098287t9 + 291,295256t8 - 378,61242t7 + 336,683591t6 - 213,9681871t5 + +106,48891/4 - 47,3676t3 + 19,56997t2 - 3,863587t - 0,0004283 для начальных условий x(0) = -1, y(0)=2 на временном интервале [0;2] с.
x
c
s
Решение. Приближенное решение будем искать в виде х3 ^) = —1 + Хе'^ ь (t), у3 (t) = 2 + ХсМ+^ ь (t), где
ь=1
ь =1
М = 2 (п +1) + п , а коэффициенты сь, ь = 1,2,.,2М определяются из системы линейных уравнений
п+1
Хс, (Щ , Щ ) — ¡ 12#1 (t)Щ ^)dt — ХсМ+ь ¡ (1 — (t)Щ ^)dt =
( 0 У 0
п+1
¡ (t2g1 (t) — t2 + 2(1 — t))щ ^I = 1,2,.,М;
0
М п+1 М Г п+1
Х^ ¡ (1 +1 а И а + ХсМ+ь ¡ (t — 12)#1,ь (t )Щ (t — (Щ, Щ)
0 ( 0
+1
¡ (2t2 — t +1 — g1(t) — tg2 ^))Щ ^I = 1,2,.,М.
п+1
На рис. 3 показаны графики первого и третьего приближений х0(^), у0(0 (пунктирная линия), х2 (t), у2 (t) (сплошная линия) и графики сеточных функций {(^,~г)}, {(ti,~г)} (точки), полученные методом Рунге -Кутты.
Рис. 3. Графики приближений: (а) х0 (/) (пунктирная линия), х2 (?) (сплошная линия) и график сеточной функции {(1{)} (точки), полученной методом Рунге - Кутты; (Ь) у0 (/) (пунктирная линия), у2 (}) (сплошная линия) и график сеточной функции {(ti, у.)} (точки), полученной методом Рунге - Кутты
0
V. Выводы и заключение
В этой статье мы рассмотрели применение сплайн-вейвлетов для приближенного решения линейных систем дифференциальных уравнений и, как приложение, для анализа выходных процессов многомерных линейных нестационарных систем управления. В качестве новизны данной работы можно отметить получение конечных формул для приближений любого класса гладкости Cn решений систем линейных дифференциальных уравнений посредством применения сплайн-вейвлетов, построенных на основе В-сплайна произвольного порядка n . Известные методы, основанные на вейвлетах Хаара, получаются из представленных в данной статье при n = 0.
Список литературы
1. Lepik U. Numerical solution of evolution equations by the Haar wavelet method // Appl. Math. Comput. 2007. Vol. 185. P. 695-704.
2. Lepik U. Haar wavelet method for solving higher order differential equations // Int. J. Math. Comput. 2008. Vol. 1. P. 84-94.
3. Lepik U. Application of the Haar wavelet transform to solving integral and differential equations // Proc. Estonian Acad. Sci. Phys. Math. 2007. Vol. 56. P. 28-46.
4. Lepik U. Numerical solution of differential equations using Haar wavelets // Math. Comput. Simul. 2005. Vol. 68. P. 127-143.
5. Lepik U., Hein H. Haar wavelets with applications. Springer, 2014. 207 p.
6. Блатов И. А., Рогова Н. В. Полуортогональные сплайновые вейвлеты и метод Галеркина численного моделирования тонкопроволочных антенн // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2013. Т. 53, № 5. С. 727-736.
7. Finkelstein, A. Multiresolution curves // SIGGRAPH '94 Proceedings of the 21st annual conference on Computer graphics and interactive techniques. 1994. P. 261-268.
8. Frazier Michael W. An introduction to wavelets through linear algebra. Springer, 1999. 503 p.
9. Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А. Теория всплесков. М.: Физматлит, 2005. 612 с.
10. Смоленцев Н. К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MatLab. М.: ДМК Пресс, 2005. 303 c.
11. Charles К. Chui An introduction to wavelets. Academic press, 1991. 412 p.
12. Bityukov Yu. I., Akmaeva V. N. The use of wavelets in the mathematical and computer modelling of manufacture of the complex-shaped shells made of composite materials // Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming and Computer Software. 2016. Vol. 9, no. 3. P. 5-16.
13. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.
УДК 691.311:001.891.573
МОДЕЛЬ СМЕШЕНИЯ ДЛЯ ПРОИЗВОДСТВА АНГИДРИТОВЫХ СТРОИТЕЛЬНЫХ КАРКАСНО-МОНОЛИТНЫХ МОДУЛЕЙ ПОМЕЩЕНИЙ
Н. В. Замятин1, О. Н. Русина2, Ю. М. Федорчук2, Г. В. Смирнов1
'Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, г. Томск, Россия 2Национальный исследовательский Томский политехнический университет, г. Томск, Россия
DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-4-127-132
Аннотация - В статье представлены результаты математического моделирования процесса смешения, происходящего в растворобетоносмесителе на производстве строительных изделий из отхода химических производств - техногенного ангидрита. Определено оптимальное время смешения для достижения однородности строительной смеси с целью получения качественной конкурентоспособной продукции. Модель идеального смешения веществ впервые применялась для технологического процесса изготовления фторангидритовых строительных изделий.
Ключевые слова: техногенный ангидрит, фторангидрит, математическое моделирование, модель идеального смешения.
