ДВОИЧНЫЕ БАЗИСНЫЕ СПЛАЙНЫ В КРАТНОМАСШТАБНОМ АНАЛИЗЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2021. Т. 21, вып. 4. С. 458-471

Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2021, vol. 21, iss. 4, pp. 458-471

https://mmi.sgu.ru https://doi.org/10.18500/1816-9791-2021-21-4-458-471

Научная статья УДК 517.98

Двоичные базисные сплайны в кратномасштабном анализе

С. А. Чумаченко

Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Россия, 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, д. 83

Чумаченко Сергей Алексеевич, аспирант кафедры математического анализа, https://orcid.org/ 0000-0001-7088-3740, [email protected]

Аннотация. B-сплайны были введены Карри и Шёнбергом. Построенные на равномерной сетке и определенные в терминах сверток, такие сплайны порождают КМА Рисса. В статье рассмотрены сплайны фп, которые получаются n-кратным интегрированием функции Уолша с номером 2п — 1. Эти сплайны в статье названы двоичными базисными сплайнами. Ранее было доказано, что двоичные базисные сплайны образуют базис в пространстве функций, непрерывных на отрезке [0,1] и обращающихся в 0 за его пределами. В статье доказывается, что каждый двоичный базисный сплайн будет масштабирующей функцией и порождает кратномасштабный анализ (Vn), который не является риссовским. Тем не менее будет указан порядок приближения функций из пространств Соболева подпространствами (Vn). Ключевые слова: базисные сплайны, гладкая интерполяция, кратномасштабный анализ, пространства Соболева

Для цитирования: Чумаченко С. А. Двоичные базисные сплайны в кратномасштабном анализе // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2021. Т. 21, вып. 4. С. 458-471. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2021-21-4-458-471

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0)

Article

Binary basic splines in MRA S. A. Chumachenko

Saratov State University, 83 Astrakhanskaya St., Saratov 410012, Russia

Sergei A. Chumachenko, https://orcid.org/0000-0001-7088-3740, chumachenkosergei@ gmail.ru

Abstract. B-splines were introduced by Carry and Schoenberg. Constructed on a uniform mesh and defined in terms of convolutions, such splines generate a Riesz MRA. We constructed splines varphin, where n is the order of integration of the Walsh function with the number 2n — 1. We called these splines binary basic splines. We know that binary basic splines form a basis in the space of functions that are continuous on the segment [0,1] and 0 outside of it. We proved that binary basic splines are a scaling function and generate an MRA of (Vn) which is not a Riesz MRA. The order of approximation was determined by subspaces from Sobolev spaces. Keywords: basic splines, smooth interpolation, multi-resolution analysis, Sobolev spaces

For citation: Chumachenko S. A. Binary basic splines in MRA. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2021, vol. 21, iss. 4, pp. 458-471 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2021-21-4-458-471

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0)

Введение

B-сплайны являются важным инструментом в теории интерполяции (см. [1-3]) и вейвлет анализе (см. [4-7]). В работах [8,9] определены базисные сплайны как интегралы от функций Уолша, которые в дальнейшем были названы двоичными базисными сплайнами. Двоичные базисные сплайны второй степени изучены в [10]. В настоящей работе рассмотрены двоичные базисные сплайны произвольной степени. Доказывается, что каждый такой сплайн является масштабирующей функцией и порождает неортогональный КМА. Это означает, что любую функцию из L2(R) можно приблизить сколь угодно точно подпространствами Vn, порожденными двоичным базисным сплайном. Для случая, когда приближаемая функция принадлежит пространствам Соболева, указана оценка погрешности по норме пространства L2i

1. Двоичный базисный сплайн и его свойства

Определим функции Радемахера гк следующим образом. Для Ь е [0,1) положим

ro(t)

1, t е [о, 2), -1, t е [ 2, 1).

Продолжим г0(Ь) периодически на [0, с периодом 1. Если к е М, то положим

гк (Ь) = го (2к Ь).

Таким образом, функции Радемахера гк (к е М0 = {0} Ц М) определены на полупрямой. Мы будем рассматривать их на отрезке [0,1], полагая равными нулю вне отрезка [0,1]. Нам понадобится также функция Радемахера г-1 (х) = г0( 1 х). Символом Д(к) будем обозначать двоичный полуинтервал ранга к, т.е.

дЮ =

i i + 1 2' 2k

Очевидно, что rk(t) постоянна на любом полуинтервале Д

(k+1)

i + 1

2k+^ 2k+1

и на

каждом полуинтервале Д^ = д2'k+1) U Д2kk+l) принимает знак +1 на левой половине и —1 на правой. Если n е N имеет двоичное разложение

n = 2ni + 2n2 + • • • + 2ns (ni > П2 > • • • > ns ^ 0),

то функции Уолша в нумерации Пэли определяются равенством

Wn (t) = Гщ (t) Гп2 (t) . . . Tns (t), Wo (t) = 1.

В этом случае

n— 1

W2n — 1 (x) = f] Tk(x). (1)

k=0

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2021. Т. 21, вып. 4 Для / е Ц[0,1]) определим оператор интегрирования

X

I/(*) = У /(*) м (х е [0,1]).

0

Определение 1. Двоичным базисным сплайном N-й степени от п-й функции Уолша будем называть функцию (рисунок)

Q(n, N) INW2n-i(x), x G [0,1],

Фи,М (x)

0,

x G [0,1],

(2)

где Q(n, N) — нормирующий коэффициент функции (x) в пространстве C[0,1],

n, N G N, N ^ n.

—a

^n,N (x)

Рис. График функции ^n,N(x) / Fig. Graph of a function ^n,N(x)

При N = n — 1 данная система будет базисом Рисса в L2 (см. [11]). Далее рассмотрим случай N = n, но для начала выведем несколько общих свойств для произвольного N.

Замечание 1. Функция ^n,N(x) имеет непрерывные производные до порядка N — 1 включительно.

Замечание 2. ф1;1(x) совпадает с точностью до множителя с образующей функцией системы Фабера - Шаудера.

Теорема 1. Нормирующий коэффициент вычисляется следующим образом:

Q(n,N) = 2 2"w+3N-N2-2, 1 < N < n. (3)

Доказательство приведено в работе [12].

2. Двоичный базисный сплайн и масштабирующее уравнение

Лемма 1. Для функции фп^(x) справедливо равенство

Фп+1,п (x) = Фп,п (2x) — Фп,п (2x — 1). (4)

Доказательство. Заметим, что rk(x) = rk-1 (2x) + rk-1 (2x — 1). Тогда, используя (2), получим

Фп+Ux) = Q(n + 1, n)ro (x)In (W2"-1 (2x) + W2"-1 (2x — 1)).

(5)

a

—p*-

С. А. Чумаченко. Двоичные базисные сплайны в кратномасштабном анализе Однако

x

In(W2n-1 (2x) + W2n-1 (2x - 1}) = In-1 y (W-1 (2t) + W2n-1 (2t - 1)) dt

I

n-1

0

( min(x, ! ) max( 2 ,x)

2 ^ ------i(2t)d(2t) + -2

\ 0 2 11

2 I ^2П_1 (2Ь)^(2Ь) + 2 / ^2п-1 (2* - 1) ¿(2* - 1)

1

2 >

2»д(п,п)(^"-(2х) + -• (6)

Подставим (6) в (5)

(х) = ^(п + 1, п)г0(х) п) • 2П (2х) + - 1)) =

_ д(п + 1,п) _1 " ^(п,п) • 2

Используя (3), получим

— ((2x) - (2x - 1)) .

2(п+1)п+3п —п2-2

^(п + 1,п) 1 2 2 1 (2п2+2п+3п-п2 — 2) —(2п2+3п —п2 —2)—2п о

д(п, п) • 2™ = 22п2+зп2-п2^ • ^ = 2 = = •

Следовательно, (х) = (2х) — (2х — 1) ^. □

Лемма 2. Справедливо следующее равенство:

1 2п-1 1 / Ь \ 1

V'«.,«. (х) = -(2х — 0) + £ —7V»,» ( 2х — - + —V»,» (2х — 1) • (7)

¿=1 ^ '

Доказательство. При п = 1, по замечанию 2, принимает вид функции Фабера - Шаудера. Для нее масштабирующее уравнение действительно имеет вид

^1,1 (х) = 1 ^1,1 (2х — 0) + 4^1,1 (2х — 0 + 1 ^1,1 (2х — 1).

Пусть (7) выполнено для п = т — 1, т. е.

^т_1,ш_1 (х) = ^т_1,ш_1 (2х — 0) +

2т—1 _1 1 ( * \ 1 + Е ^^т_1,т_Л 2х — ^т_1,ш_1(2х — 1).

¿=1 4 7

Покажем, что оно выполнено при п = т. Очевидно, что

^т_1,т_1 (2х) — ^т_1,т_1 (2х — 1) ^т_1,т_1 (4х — 0) +

2т-1-1

1=1

-1 1 ( t \ 1 \ + 52 ^т-1>т-^4х - ^ - ^ + ^т-1>т-1 (4х - 4) ^

^т-у) + 2^=1 ^т-1>т-1 (4х - 2) ) -

^т-1>т-1 (4х - 2) +

В (8) добавим и вычтем слагаемые

1 21 1 /

^ш-1>ш-1 (4х - 1) + 52, ^т-1>т-^4х

2т-1

1+

2

После перегруппировки получим

^т-1>т-1 (4х - 3) •

^т-1>т-1 (2х) - ^т-1>т-1 (2х - 1)

- (^т-1>т-1 (4х - 0) - ^то_1>то_1 (4х - 1)) +

2т~ 1 ( ( 1 \ ( *

+ 12 ^ ^т-1>т-^4х - - ^т-1>т-1 4х - ^ - 1

2

(^т-1>т-1 (4х - 2) - ^т-1>т-1 (4х - 3)) +

2т—1_1

+ Е (^-1^-1 (4х - ^ - 2) - ^т-1>т-^4х - ^ - 3

+

(8)

¿=1

2т-2

(^т-1>т-1 (4х - 3) - ^т-!^-! (4х - 4)) •

Используя равенство (4), получаем

^ш>т-1(х) Г)т-1 ^т>т-1 (2х

2т-1

+ 52 2т-2^>т-1 (2х - + ^^т>т-1 (2х - 1). ¿=1

Проинтегрируем обе части:

+

^т>ш-1 (х)^х = ( —— ^т>т-1 (2х) +

2т_1 ^

+ Е ^^т>т-1 (2х - + ^^>т-1 (2х - ^^2х

Применяя (3), получим равенство

^т>т-1 / / \ ^т>т-П 1 / /п \ ,

Тт1т (х) = —- — ^т>т (2х) +

°т>г

О V 2?

т>т

I

2

1

2

1

1

2m — 1

2 1 * 7 t \ 1

2 —1 1 ( t \ 1

+ Е ^( 2X — ^ ) + 2m— 1) t=1 4 7

Таким образом,

1 2 —1 1 / t \ 1 (x) = ^^m,m(2x) + ^ ^—Г( 2x — ) + ^(2X — 1)'

t=1 ^ '

Пусть Fn,N(x) = (2n) . Теорема 2.

2n — 1

1 21 1 1 Fn,n (x) = - Fn,n (2x — 0)+£ — Fn,n (2x — t) + - Fn,n (2x — n).

□

2n-1 2 t=1

Доказательство этой теоремы напрямую следует из леммы 2.

3. Преобразование Фурье и кратномасштабный анализ

Лемма 3. Определим преобразование Фурье равенством

сс

/(w) = / f (^)e—dx.

-с

Тогда

{ 1 n х N

Fn,N (w) = 2—N-n—N—1 • — Q(n, N) (1 — e—J] (1 — e—2'.

VnW k=1

Доказательство. Найдем преобразование Фурье функции . Так как = 0 для всех x е (0,1), то, интегрируя по частям, получаем

с 1

VVN(w)= / (x)e—dx = Q(n,N)J ^—1 (x)e—2dx =

-с o

1 1

= Q(n,N) W2n—1 (x)d [——1— e—22™x] = Q(n,N) / IN—1 W2n—1(x)e—2™ dx = J V—2inw / 2inw J

o

1

Q(n,N) /—2W2n—1 (x)e—2™dx = • • • = 2inw J J

o

(^Ъ) Q(n, N) J W2n—1 (x)e—dx.

1

Вычислим |^2п-1 (х)е-2п'"Х ^х. Разобьем отрезок [0,1] на 2" полуинтервалов о

длины -1 • На каждом таком полуинтервале Д^ = 2

^2п-1 (х) постоянна. Поэтому

/ ^ \

—, к + 1 функция Уолша 2"' 2" /

I ^2п-1 (х)е-2п'"Х^х = ^ ^п-1 (Д^ I е-2п'"Х^х

0 !=0 V 2п /

1 2п-1

2п-1

2Гпи

^ (^2п-1 (д<п)) ■ (е-2''-£ - е-2*'" !=0

2п-1

^ / . („)\

(1 _ е £ -1 (д^) е-2п'"

2Гпи -

!=0

Далее будем использовать (1), объединяя соседние отрезки. На первом шаге:

^(и) = ( т— ) О(п, N) (1 - е) х

ч2Гпи

2п-1-1

£ (^2„-1 -1 (д<п)) (е-''"- е-''"Ш±1 !=0

(-> \ N +1 92 -1

О(п, N) (1 - е■ £ (ж2п_1 (Д<п)) е-""= ...

г\( ЛП " 2п1 -1

^ ^ - е^ П (1 - е^ ^- ■ £ ((Д* О е-"")

(1 \ N+1 "-1

—) О(п,N)(1 - еП ^ - е=Г) . 7 !=0

Теперь вычислим (и):

(и) = ^ (и) = 2"^ (2"и) 1 \

/ 1 \ N +1 " ,

2"-^+1)("+1) / \ д(п} N) (1 - е-2п'") Ц (1 - е-2'п

к=1

/ 1 NN+1 " ч

( Г— 1 О(п, N) (1 - е-2п'") П (Ч - е-2*. □

!=1

_ 2-N"—N -1 I х \ гл( ^ Л7Л 2п'"\ 1 | / 1 2к п'"

Обозначим для краткости ¥(х) := ¥п>п(х) и образуем подпространства

= (2 Т ¥ (2т х + к ).

Теорема 3. Совокупность (Ут), т е образует КМА, т. е. выполнены аксиомы:

A1) Ут с Ут+1; A2) ите^ ^т = (Я); A3)Г\те^ ^т = {0}.

Доказательство. Функция ^(х) — масштабирующая, имеет компактный носитель. Так как

п+1

)_п2 —n—l| 1 \ „^ ^Л (1 1 I / 1 пгш

/ 1 \ П+1 п / X

М = _п_1 Л <Э(п, п) (1 — е-2™) П (1 — е-2*

к=1

2\"+1 (1_ \п+! п_1 / , х п_к

0(п,п)(1+ е_(1 + е

/ г—п

к=1

( 2 \ п+1 (1 — е_п«и \ п+1

= 2 2

пи / V 2г

к=0

(0 \ п+1 ,1 п— 1

А ) • ЯП (е^ д(п, п) (1 + е_-Щ (1 + е_

7 к=0

= 2_п2 _п_1 ■( ^^У ^ е 0(п,п) (1 + е_™) П /1 + е_- ^''

\ 2 / к=0

и ^(0) = 0, следовательно, учитывая [13, с. 20], (Ут)те^ образуют обобщенный КМА. □

4. Приближение подпространствами в метрике Соболева

Определение 2. Пусть /, д е ¿2 (М). Выражение

[/,9] М = £ / (и + к) 9 (и + к)

кеъ

называют скобочным произведением.

Определение 3. Пусть 5 > 0. Множество

Ж? (М) = {/ е ¿2 (М) : ||/|к|(М) = || (1 + | • 1Г /1к(М) <

называют пространством Соболева.

Определение 4. Пусть / е ¿2 (М), /т,к(х) = 2т/ (2тх + к). Оператор

вт : / ^ ^ (/, (т,к) (т,к

ке^

называют квазиинтерполяционным.

Определение 5. Оператор вт доставляет аппроксимацию порядка Ь е М+, если для всех / е Ж*(М)

||/ — вт/|к (М) = 0(2_т< )•

Лемма 4. Пусть функция / е ¿2 (М) удовлетворяет условиям:

1) [(,(] существенно ограничена;

2) [(,(] — |(|2 = 0(| • |2*); 3) 1 — |(|2 = 0(| • г)•

Тогда вт доставляет аппроксимацию порядка Ь1 = шт(Ь, 2Ь0). Здесь символ

/ = 0(| • ) означает, что Нш |/(х)| < С, С > 0.

| х | *

Доказательство леммы 4 приведено в [13, с. 18-21].

Лемма 5. Для любого п е М0

п+1

(ctg(x}}(n) = £ a? ctg k (x), (9)

k=0

где

^ = - ((k - 1} аП-! + (k + 1} an+0 , (10)

lO = 0, a! = 1, am

При этом

ak

aO = 0, a! = 1, ami = 0, am+2 = 0, а^+з = 0, m = 1,2,3... (11)

аП+1 = (—1)n n!, (12)

а также для всех n, k G N

a2n = a2n+1 = a2n+1 = 0. (13)

Доказательство. Доказываем по индукции. Пусть n = 0. Тогда

(ctg x}(0) = ctg x

и, очевидно, соотношения (9)—( 13) выполнены.

Предположим, что они выполнены для n = t. Докажем для n = t + 1. Имеем

(ctg x}(t+1) = ((ctg x}(t))' = ßr a¡¿ ctg k (xA =

\k=0 )

/n+1 \

d s akctgk(x} ,,. л /t+i \

= 4tg X} ' • ^ = (g kan ctg k-1 (,}) • (-1 - ct,2x) ,

что доказывает утверждения (9)-(10).

Из этих утверждений очевидно, что at+1 = - ((t + 1}at+1 + (t + 3}at+3), но at+3 = 0, следовательно, at+2 = (t + 1}at+1 = (t + 1}!, что доказывает утверждение (12).

Наконец, если t = 2m, то для любых k G N

a2m++11 = -(2k}a2m - (2k + 2}a2m+2.

Но на предыдущем шаге индукции было доказано, что a2m = 0 для любого k G N, следовательно, a2m+11 = 0. Далее аналогично поступим и для t = 2k + 1, таким образом, утверждение (13) тоже доказано. □

Лемма 6. Справедливо следующее равенство:

2 Q2 (n,n} 1

+ k}

kGZ

22n2+2n+2 (2n + 1}!

n 0 2n+2

2^L -2^ 4 2

(1 - е-2™") 2 П(1 - e-2t£ akn+1ctg k(пШ}

t=1 k=0

Доказательство. Имеем

2

+ к)

О(п,п)

О2 (п,п)

ЕО (п

22п2+^

22"2+2п+2

1

п (и + к)

/ 1 \ "+1 " / \ ( _1_ | (л е-2п'("+!)) ^Г Л _ -2*п'("+0 \

2^ пг (и + к)) 11 е V1 е /

\2"+2 о " / \

I (1 - е-2п«("+!^2 Д Л - е-2*п'("+!) \ 7 ¿=1

Учитывая 1 - е-2*п'("+!) = 1 - е-2*п'" при к е * е М, получим

Е|^(и + к)

И

2 = О2(п,п)

= 22п2+2"+2

(Л - е-2""ГП (1 - е-2^^ [-¿-к,

¿=1

2п+2

' п(и + к)

В свою очередь,

£

1

2п+2

кеъ

Учитывая (9), получим

х + пк

(2п + 1)! ^х2"+1

ctg (х).

о2 ( ) 1 "2 2"+2

Е^Ки + к)|2=|Ш ■ (Л - е-2П''")2П (1 - е-2'£4"+^ !(пи)

М V ¿=1 !=0

Определим функцию ("(х) = С"¥">" = С"¥, где С" =

2 п22+п

□

Очевидно, (х)

О(п,п)

удовлетворяет масштабирующему уравнению и, значит, функция порождает КМА Из лемм 3 и 6 следует, что

1

(и) = 2П2^ '(Ж^ - е-П(1 -

"

!=1

(и + к)|2= —

2"2 +"+2 (2п + 1)!

-2кп'"

" / \ 2 2"+2 (1 - е-2п'") 2П (1 - е-2'п'") ^ а^1 ctg * (пи)

,-2п'ш\ 2 - п'"

!=1 ' ¿=0

Теорема 4 (теорема о порядке аппроксимации). Семейство операторов вт, т е Z, построенных по функции (х), доставляет аппроксимацию порядка 1.

Доказательство. Воспользуемся леммой 6. Во-первых, скобочное произведение [(", ("] существенно ограничено. Во-вторых,

1

1

2"2+"+2 (2п+1)!

2"+2

(1 - е-2п'") ^ (1 - е !=1

2 2"+2

* (пи)

1

2"2 +"+2

1

(1 - е-2п'") ^ (1 -

пги

¿=0

,-2кп'"^ 2

1

е

1

1

Так как

получим

п— 1

1 — е_2п= (1 — е_2пгш) • П (1 +

к=1

_2к пгш

[(п,(п] — |(п|2 I =

1

X

2п2 +п+2 1

п к

(1 — е_2п^) 2 ^ (1 — е_2п^) 2 ^ (1 +

к=1

(2п +1)!

2п+2

£ ' (пи)

¿=0

(пи)

¿=1 \ 2п+2

3_2*

X

П/1 + е_2'п'ш )

¿=1

X

1

А(и)

(2п + 1)! 1

^ А(и)

2п+2

+

1 /1 — е_2пг^ \ 2п+2

2п2 +п+2 ^ я1п (пи) у

2п+2

Е а2п+1 есв' (пи) вт2п+2_ (пи) ¿=0

2п+2

Е а?п+1 есв^(пи) вт2п+2_ (пи) ¿=0

Е а2п+1 еов' (пи) вт2п_ (пи) ¿=0

£ а,2п+1 есв^(пи)вт2п+2_ (пи)

X

я1п(пи)

2п+2

пи

(2п + 1)!

я1п(пи)

пи

1

¿=2п+1

, яш2 (пи)

(2п + 1)! v ;

/ . / и 2п+2

( Б1п(пи) \

2п+2

+

<

пи

Воспользовавшись условиями (12) и (13), получим

[(п,(п] — |(п|2 I ^ А(и)х

X

2п

£ а2п+1 есв^ (пи) вт2п_ (пи)

2/„, .Л ¿=0

я1п (пи)

(2п + 1)!

+

(2п +1)! 2п+2 / \

т-77 • соя +2(пи)

(2п + 1)! v ;

я1п(пи)

пи

2п+2

А (и)

Вп(и) • 1я1п2(пи) I + 1ео82п+2(пи)| —

я1п(пи) 2п+2

пи

Воспользуемся соотношениями

е«ж — е егх + е

Я1П х =-, еоя х =-

2г 2

-,гж |

Тогда

Я1П х

егх (1 — е_2гх) 2г

Аналогично доказывается

е«ж(1 — е 2гх) = 2г я1п х, 1 — е = 2г я1п хе 1 - е_гх = 2г я1п х • е

_ г™ х — -¿ж

1 + е = 2 соя - • е 2 .

(14)

(15)

Следовательно, 0 < А(ш)

1 1 _ е—2пгш 2п+2

2п2 +п+2 8Ш (ПШ)

П (1 + е-2к)

к=1

2(п—к)

1 2 8Ш (ПШ) 2п+2

2п2 +п+2 8Ш (ПШ)

п— 1

<

1

2п2+п+2

С другой стороны,

2

2п+2

п—1

П(2 ■1)

I (2 008 (2к—1 ПШ)):

22п+2+(п—1)п

к=1

2(п—к)

<

к=1

2п2 +п+2

1.

Вп(ш)

Применяя (10), получим

2п

£ 008* (ПШ) 81П2П—^ (ПШ)

¿=0

(2п + 1)!

2п £ «Г1

< ¿=0

(2п + 1)!

2п 2п+1 2п+1

£|(* - 1)а2—11 + |(* +1К2+11 £ 2* |а2п | 2 (2п + 1) £ |а2п |

Вп (ш) <

¿=0

<

¿=0

<

Таким образом, Наконец,

|0082П+2 (пш) | -

(2п +1)! (2п +1)!

8Ш2(ПШ)| • В (Ш)) < Сш2.

(2п + 1)!

¿=0 < 2(2п+1)

8т(пш) 2п+2 0082п+2 (ПШ) - 1 + 1 - 8ш(пш) 2п+2

ПШ ПШ

(0082П+2 (ПШ)) - (0082 (ПШ) + 81П2 (ПШ)) П + 1 -

8т(пш) 2п+2

ПШ

<

<

0082п+2 (ПШ) - 008П(ПШ) - 81П2 (пШ^ (с£ 0082(п—к) (ПШ) 8Ш2к—2 (ПШ))

+

1

^оо (—1)к (пш)2к+1

'к=0 (2к+1)!

к=1 (пш);

+

ПШ

2п+2

<

<

- 008П(ПШ) • 81П2(ПШ) - 8Ш2(ПШ) ^ 0082(п—к) (ПШ) 8Ш2к—2(ПШ))

к=1

1

+

1-

+

2п+2

,к=0

(2к + 1)!

(пш)

2к

<

< 8Ш2 (ПШ)

008П(ПШ) + ^ 0082(п—к) (ПШ) 81п2к—2 (ПШ))

к=1

+

+ 1 - £

¿1 (2k + «

Таким образом, [<£n, <£n] — |<£n|2 = O(u2). Наконец,

)\ 2n+1 / ^ \

)§ fe

^ Cu2.

1 — |<£n

1 -

1

1

2n+2

2n2 +n+2 V niu

(1 — e-2^(l —

fc=i

—2kniw

2

1

1

1e

—2niw\ 2n+2 n—1

2n2+n+2

nu

k=1

П 1 +

, x2(n—k) —2kпгш \

Используя (14) и (15), окончательно получим

1 —

1

^ 7 k=1

—2k

2(n—k)

Так как |eix| = 1, то

|1 — |2 I =

1

1

2n2 +n+2

. / x\2n+2 n—1

Sinn(UU) ) 22n+2 ■ 2"(n—1) Д (cos(n—k) (2k—1 nu))

(. / 4\ 2n+2 n—1

^ n(cos(-k) (2k—1 nu))2 .

' k=0

n—1

Так как fl (cos(n—k) (2k—1 nu)) ^ 1 при u ^ 0, то |1 — |<£n|2| = O(u2). Следова-

k=0

тельно, вт доставляет аппроксимацию порядка min(1,2) = 1. □

Список литературы

1. Schoenberg I. J. On spline functions (with a supplement by T. N. E. Greville) // Inequalities I / ed. O. Shisha. New York : Academic Press, 1967. P. 255-291.

2. де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. Москва : Радио и связь, 1985. 304 с.

3. Алберг Дж, Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. Москва : Мир, 1972. 320 с.

4. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. Москва : АФЦ, 1999. 550 с.

5. Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А. Теория всплесков. Москва : Физматлит, 2006. 616 с.

6. Battle G. A block spin construction of ondelettes. Part 1: Lemarie functions // Communications in Mathematical Physics. 1987. Vol. 110, iss. 4. P. 601-615. https: //doi.org/10.1007/BF01205550

7. Lemarie P.-G., Meyer Y. Ondelettes et bases Hilbertiennes // Revista Matematica Iberoamericana. 1986. Vol. 2, iss. 1-2. P. 1-18.

8. Чумаченко С. А. Об одном из аналогов системы Фабера - Шаудера // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 53. Казань : Изд-во Казанского математического общества ; Изд-во Академии наук РТ, 2016. С. 163-164.

9. Чумаченко С. А. Двоичные масштабирующие сплайн функции // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 54. Казань : Изд-во Казанского математического общества ; Изд-во Академии наук РТ, 2017. С. 403.

t

1

e

10. Лукомский С. Ф., Мушко М. Д. О двоичных базисных сплайнах 2-й степени // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2018. T. 18, вып. 2. C. 172-182. https://doi.org/10.18500/ 1816-9791-2018-18-2-172-182

11. Лукомский С. Ф., Терехин П. А., Чумаченко С. А. Хаосы Радемахера в задачах построения сплайновых аффинных систем // Математические заметки. 2018. Т. 103, № 6. C. 863-874. https://doi.org/10.4213/mzm11654

12. Чумаченко С. А. Гладкие аппроксимации в C[0,1] // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2020. T. 20, вып. 3. C. 326-342. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2020-20-3-326-342

13. Zhao H. Mathematics in Image Processing. IAS/Park City Mathematics Series, 2013. Vol. 19. 245 p. https://doi.org/10.1090/pcms/019

References

1. Schoenberg I. J. On spline functions (with a supplement by T. N. E. Greville). In: O. Shisha, ed. Inequalities I. New York, Academic Press, 1967, pp. 255-291.

2. de Boor C. A Practical Guide to Spline. (American Mathematical Society, vol. 27). New York, Springer-Verlag, 1978. 348 p. (Russ. ed.: Moscow, Radio i svyaz', 1985. 304 p.).

3. Ahlberg J. H., Nilson E. N., Walsh J. L. The Theory of Splines and Their Applications. (Mathematics in Science and Engineering: A Series of Monographs and Textbooks, Vol. 38). Academic Press, 1967. 296 p. (Russ. ed.: Moscow, Mir, 1972. 320 p.).

4. Kashin B. S., Saakian A. A. Ortogonal'nye riady [Ortogonal Series]. Moscow, AFC, 1999. 550 p. (in Russian).

5. Novikov I. Ya., Protasov V. Yu., Skopina M. A. Wavelet Theory. (Translations of Mathematical Monographs, vol. 239). Providence, American Mathematical Society, 2011. 506 p. (Russ. ed.: Moscow, Fizmatlit, 2006. 616 p.).

6. Battle G. A block spin construction of ondelettes. Part 1: Lemarie functions. Communications in Mathematical Physics, 1987, vol. 110, iss. 4, pp. 601-615. https://doi.org/10. 1007/BF01205550

7. Lemarie P.-G., Meyer Y. Ondelettes et bases Hilbertiennes. Revista Matemática Iberoamericana, 1986, vol. 2, iss. 1-2, pp. 1-18.

8. Chumachenko S. A. One analogue of Faber- Schauder system. Trudy matematicheskogo tsentra imeni N. I. Lobachevskogo. Vol. 53. Kazan, 2016, pp. 163-164 (in Russian).

9. Chumachenko S. A. Binary-scaling spline functions. Trudy matematicheskogo tsentra imeni N. I. Lobachevskogo. Vol. 54. Kazan, 2017, pp. 403 (in Russian).

10. Lukomskii S. F., Mushko M. D. On binary B-splines of second order. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2018, vol. 18, iss. 2, pp. 172-182 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2018-18-2-172-182

11. Lukomskii S. F., Terekhin P. A., Chumachenko S. A. Rademacher chaoses in problems of constructing spline affine systems. Mathematical Notes, 2018, vol. 103, iss. 6, pp. 863-874. https://doi.org/10.4213/mzm11654

12. Chumachenko S. A. Smooth approximation in C[0,1]. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2020, vol. 20, iss. 3, pp. 326-342 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2020-20-3-326-342

13. Zhao H. Mathematics in Image Processing. IAS/Park City Mathematics Series, 2013, vol. 19. 245 p. https://doi.org/10.1090/pcms/019

Поступила в редакцию / Received 13.06.2021 Принята к публикации / Accepted 24.07.2021 Опубликована / Published 30.11.2021