CC BY
11УДК 621.391:517.518:510.52
НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ПОДВ1ЙНИХ 1НТЕГРАЛ1В ЗВИКОРИСТАННЯМЛАГРАНЖЕВО1ПОЛ1НОМ1АЛЬНО1
1НТЕРЛШАЦП
© О. М. Литвин, О. П. Нечуйвггер
украшська 1нженерно-педагог1чна академ1я кафедра вищо! та прикладно! математики вул. ун1верситетська 16, м. харк1в, 61003, укра!на e-mail: [email protected]
Abstract. Formula of the evaluating of multiple integrals with using Lagrange polynomial interlineation was submitted. Cubature formula is investigated in the case when information about function is set of values on lines in G = [—1,1]2 on the class of functions with condition | f (pi'p2\x,y) | 6 M. The estimation of error of approaching of the cubature formula is presented.
Вступ
Задача наближеного обчислення кратних штеграл1в е одшею з найбшьш важ-ливих задач обчислювально!' математики. Однак на цей час виникае необхщшсть наближеного обчислення штеграл1в вщ функцш багатьох змшних за допомогою ш-формацшних оператор1в р1зних тишв. В якост даних можуть бути значення функцп у вузлових точках, ошди функцш на систем1 взаемноперпендикулярних лшш або пло-щин. Таку задачу ефективно дозволяе розв'язувати апарат штерлшацп функцш [1]. В роботах [1], [2] у випадку, коли iнформащя про функщ ю задана у вузлових точках, проведено пор вняння наближеного обчислення нтегралу в д функц ' двох зм нних за кубатурою формулою центральних прямокутниюв та мшаною кубатурною формулою центральних прямокутникiв за точшстю та кiлькiстю використано!' шформацп. В цих же роботах наведений алгоритм розв'язання задачi наближеного обчислення штегралу вiд функци двох змшних з використанням класичних базисних сплайшв, а також з використанням сплайн-штерлшацп функцiй. Доведено, що для досягнення одше1 i ж точност кубатурнi формули, що використовують сплайн-штерлшащю використовують на порядок меншу юльюсть значень шдштегрально2 функци порiв-няно з класичними кубатурними формулами. Не дослщженим залишилось питання побудови кубатурних формул з використанням лагранжевоТ полiномiальноl штерль нацп. Це питання е важливим i актуальним, оскiльки шдшмае питання оптимального вибору вузлiв або лшш, при побудовi кубатурних формул обчислення штегралу вщ функцп двох змшних.
Постановка задачк побудувати кубатурну формулу наближеного обчислення ш-тегралу в1д функцш двох змшних з використанням лагранжево!' полшом1ально!' ш-терлшацп функцш на клас дшсних функцш, визначених на О = [—1,1]2 1 таких, що |/(Р1,Р2) (х, у) | 6 М, у випадку, коли шформащя про функцш задана на лшях. Отримати оцшку похибки кубатурно!' формули.
1. НАйКРАЩА В Ьд[-1, 1]2, д = 1, 1, 2 ЛАГРАНЖЕВА ПОЛ1НОМ1АЛЬНА
1НТЕРЛ1НАЦ1Я
Наведемо деяю теореми.
Теорема 1. [3] Нехай д(и) 2 Сг(I), I = [0,1], 1 6 г 6 п, Ьп-1д(и) — гнтерполяцгй-ний полгном Лагранжа степеня п — 1 функцгг д(и), гз властивостями
г-и
Ьп-1д(г) = ^2 д(гк)4-1,к^), 4-1,*!(и) = П , — и , к =1,п.
11 . , ик иi
к=1 i=1,i=k
Тодг для залишку Кпд(и) := д(и) — Ьп-1 д(г) справедливе гнтегральне зображення
Япд(и) = £п-1,к(и) / д(г)(т)(ик Т^Л
к=1 (г —1)!
гк
-¿т.
При знаходженш найкращо!' в Ьд [ — 1,1]2, д = 1,1, 2 лагранжево!' полшом1ально!' штерлшащ!' на систем1 взаемно перпендикулярних прямих ошд враховувати, що:
1) залишок штерлшащ! дор1внюе операторному добутков1 залишюв по кожнш змшнш окремо;
2) полшоми степеня п з найменшим в1дхиленням в1д нуля в метрищ Ьд [ — 1,1] — це полшоми з коефщентом одиниця при старшому степеш, що е розв'язком екстремально! задач1
тах *2[-1,1]
п- 1
ип — и*
*=0
! тт , д = 1,
со,...,с„_1
1
п1
ип — ]>>к и*
к=0
сИ ! тш , 1 6 д < 1.
ео,...,сп-1
Для них справедлива наступна теорема.
г
1
д
Теорема 2. [2] При q = 1,1, 2 полгномами найкращого наближення е вгдповгдно полтоми Чебишова 1-го роду
^ . . cos(n х arceos t) TnXt) = ( 2n--),
полтоми Чебишова 2-го роду
, . sin ((n + 1) arceos t)
Tn'l(t) = 2vr—12 ,
полтоми Лежандра
n!
T-(t) = (£jT dtn(t2 - 1)n
Це означае, що при побудов1 полшом1альних штерлшантав треба вибирати прям1 штерлшацп' x = x¿, i = 1,m; y = yj, j = 1,n, так, щоб числа x¿, i = 1,m; yj, j = 1,n, були коренями вщповщних полшом1в з найменшим в1дхиленням. Зокрема, при q = 1 справедлива наступна теорема.
@ Pl +Р2
Теорема 3. [1] Нехай p = (pi,p2), f (xi,X2) 2 Cp(J2), J = [-1,1],
SxÍ1
Bp = {g(x)|g 2 CP(J2), Dpg = 0}, E(f) — величинанайкращогонаближення функцй множимою Bp за нормою || ■ || = || ■ ||Li(j2); g* 2 Bp — елементнайкращого наближення; xij1 = cos(¿i^/(pi + 1)), ¿i = 1,pi , x2i2 = cos(i2^/(p2 + 1)), i2 = 1,p2 — нулг полгномгв Чебишова 2-го роду вгдповгдно степеня pi та p2:
. . sin(m + 1)6 Um(t) = —1 . . ; , cos6 = t, m = 0,1,..., Sin 6
lkpkik — базиснг полтомиЛагранжа, lkpkik (xki'fc) = Siki',
Pi P2
g*(x) = f (xi
il, x2)lipiii (xi) + f (xi,x2i2 )l2p2Í2 Ы- (1)
il = i i2 = i Pi P2
/ y 7 y f (xiii ,x2i2 )lipiii (xi)l2p2i2 (x2).
il = i i2 = i
Для f (x) icHye единий найближчий до f (x) за нормою || ■ || елемент g* 2 Bp i цей елемент мае вигляд (1) тобто е штерлшантом, який штерлшуе f (x) на лшях xfc = xkik, ifc = 1,pk; k = 1, 2. Залишок наближення функцй' f (x) найкращим елемен-том, мае наступний вид.
f (x) - g*(x) = ^ ^) f (Pi'P2)(6,6), (б,ы 2 j2, (2)
де (£1, £2) — деяка точка, що залежить в1д (х\, х2) 2 32. Тому найменше значення ве-
2 Pfc
личини к f (х) — д*(х) к досягаеться на тих д*, для яких величина П П (хк — Хкгк)
к=1 ¿ь = 1
е найменшою. Цю умову задовольняють полшоми, вузли яких е нулями полшом1в Че-бишова 2-го роду.
2. Кубатурна формула наближеного обчислення КРАТНОГО 1нтегралу з використанням лагранжево'1 пол1ном1Ально'1
шТЕРЛшАЦп функщй
Для наближеного обчислення штегралу
11
I ^ ) = ^ У f (х1,х2)<1х1дьх2 -1 -1
пропонуеться кубатурна формула
11
I ^) = J У Lf (х1,х2 )^х^х2, -1 -1
де
Р1 Р2
Lf (Х1,Х2) = ^ f (Х1г1 ,Х2)Ьр1Ъ1 (Х1) + ^ f (Xl,X2¿2 (х2)
¿1 = 1 ¿2 = 1 Р1 Р2
(Х1г1 ,Х2г2 )11р1г1 (xl)l2p2¿2 (х2) •
¿1 = 1 ¿2 = 1
В розгорнутому вигляд1 кубатурна формула мае вид:
Ж1г-|+1 Х2г2 + 1
Р1 5.+ 2+
^ )=^ / ^¿1 (Х1^Х1 / f (Х1г1 ,Х2)^Х2+
х1г1 х2г2
р2 Х2г2+1 Х1г1 + 1
+ У^ / ^¿2 (Х2)<1х2 f (х1,Х2г2 )^Х1 —
¿2=1
х2г2 х1г1
х 1г1+1 X 2г2 + 1
Р1 Р2 1 2
^^ ^^(x1¿1 , ^¿2) / 11р^ (х1)^х1 / 12р2¿2 (х2)^х2.
¿1 > ^¿2
¿1 = 1 ¿2 = 1
х1г1 х2г2
Теорема 4. Справедлива наступна оцгнка похибки наближення ттегралу I(f) кубатурою формулою I (f)
Mpip2^2
I (f) - I (f)
6
2pi+p2 (p + l)!(p2 + 1)1' Доведення. Знайдемо оцшку похибки наближення. Маемо
I (f) - I (f)
6
i i
6 / \f (xi,X2) - Lf (xi,x2)\dxidx2
P1 P2
H E
il = i Í2 = i
-i -i
xii1 + 1 X2i2 + 1
Upi (xi)Up2 (x2) f (P1,P2)(A t ) 2P1+P2 pi!p2l f (ti't2)
dxidx2 6
x1¿1 x2¿2
I1¡1 +1 X2i2+1
P1 P2 Z 1 Z 2
6
12 M 1 2
i1 = i i2 = i S У
\UP1 (xi ) \\ UP2 (x2 )\ 2P1+P2 pi1p2!
dxidx2 =
x1¿1 x2¿2
M
P1 P2
i1¡1 +1
X2i2 + 1
2P1+P2Pi 1p2! ^
/ \Up1 (xi)\dxi \Up2 (x2)\dx2
M
X
X1i
X2i2
P1 P2
* e i:
i1 = i Í2 = i
X1i1+1
X1i
sin ((pi + 1) arceos xi)
y/l—xi
dx1
2p1+p2 pi!p2!
dx2 6
6
M
2p1+p2 pi!p2[
P1 P2 P1 P2
i1 = i ¿2 = i
X1i1 +1
x1i1
M
К
P1 P2
2P1+P2pi Ы S (2 Í1 = ii2 = i
M
arccos x1
i1 = i i2 = P1 P2
X2i2+1 / sin ((p2 + 1) arccos x2)
J X2i2 л/1 - x2
dx1 X2i2+1 dx2
1 - x2 J y/1 - x2 X2i2
X1Í1+1 x1i1 - arccosx/j X2i2 + 1 X2i2
11// (arceos x i1 — arceos x i1+i)(arccosx2Í2 — arceos x2i2+i) 2p1+p2pi!p2! ^^ ^^
= i i2 = i
M ^ ^ / k¿i к (ii + 1)\/ n¡2 к (Í2 + 1)\ = i^ VPi + 1 - Pi + W U2 + 1 - P2 + w =
2P1+P2^pi + 1 pi + 1 y VP2 + 1 P2 + 1
i1 = ii2 =
M
P1 P2 E E
кк
Mpip2K2
2p1+p2pi !p2! ^ pi + 1 p2 + 1 2P1+P2 (pi + 1)!(p2 + 1)!' Теорема доведена.
□
1
1
3. ЧИСЕЛЬНИЙ ЕКСПЕРИМЕНТ
Для функцп
f (Xi,X2) = cos (xi + £2) ,
у ЯК01
If(Р1'Рз) (Ж1,Ж2)| 6 1,
наведемо в таблиц наближеш значення штеграл1в за кубатурною формулою I (f). Точне значення
ii
I (f ) = j J f (xi,x2)dxidx2 = 2.83229367309428. -1 -1
Оцшку похибки наближення штегралу I(f) кубатурою формулою I (f), знайдену теоретично позначимо, через
2
2Р1+p2 (pi + 1)!(p2 + 1)!'
Таблица 1. Наближене обчислення штегралу I(f) за кубатурою формулою I(f).
Pi = Р2 = i I (f) I (f) - I (f)
2 2.82707748909675 0.005216183997534 0.068538919452009
3 2.83228683047443 0.000006842619856 0.002409571386985
4 2.83229271424136 0.000000958852927 0.000042836824658
5 2.83229367288868 0.000000000205606 0.000000464809295
6 2.83229367305887 0.000000000035412 0.000000003414925
7 2.83229367309428 1.3 ■ 10-i5 0.000000000018157
ЗАКЛЮЧЕННЯ
На цей час актуальною е задача наближеного обчислення штеграл1в в1д функцш багатьох змшних у випадку, коли в якост даних можуть бути сл1ди функцш на си-стем1 взаемноперпендикулярних л1н1й. Таку задачу ефективно дозволяе розв'язувати апарат штерлшащ! функцш. В робот розглянута кубатурна формула наближеного обчислення штегралу в1д функцш двох змшних з використанням лагранжево!' поль ном1ально1 штерлшащ!' функцш на клас дшсних функцш, визначених на С = [-1,1]2 1 таких, що |/(Р1'Р2) (ж, у) | 6 М. Отримана ощнка похибки кубатурно!' формули. Чи-сельний експеримент шдтверджуе теоретичний результат.
Побудована кубатурна формула е першим кроком в досл1дженн1 питання оптимального вибору вузл1в, лшш, площин при побудов1 кубатурних формул наближеного обчислення, як кратних штеграл1в, так 1 штеграл1в в1д швидкоосцилюючих функцш багатьох змшних.
Список Л1ТЕРАТУРИ
1. Литвин О.М. Лнтерлшащя функц1й та деяш 11 застосування / О.М. Литвин. — Харшв.: Основа, 2002. — 544 с.
2. Литвин О.М. Методи обчислень. Додатков1 роздши. Навчальний пошбник / О.М. Литвин. — К.: Наукова думка, 2005. — 331 с.
3. Литвин О.М. Интерполирование функций. Учеб. пособ. / О.М. Литвин. —Киев: Учеб.-метод. каб. высш. образования (УМК ВО), 1988. — 31 с.
Статья поступила в редакцию 27.12.2011
