CC BY
28
УДК 519.6
О.М. ЛИТВИН, О.П. НЕЧУЙВІТЕР
НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ 3Б КОЕФІЦІЄНТІВ ФУР’Є НА КЛАСІ ГЬОЛЬДЕРА З ВИКОРИСТАННЯМ КУСКОВО-СТАЛОЇ СПЛАЙН-ІНТЕРФЛЕТАЦІЇ__________________
Анотація. У статті пропонуються та досліджуються кубатурні формули обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є з використанням операторів кусково-сталої інтерфлетації на класі Гьольдера. Інформація про функцію задана її слідами на взаємоперпендикулярних площинах, лініях та значеннями функції у вузлових точках. Отримані оцінки похибки кубатурних формул.
Ключові слова: кубатурна формула, 3D коефіцієнти Фур'є, клас Гьольдера, кусково-стала сплайн-інтерфлетація.
Аннотация. В статье рассматриваются и исследуются кубатурные формулы вычисления 3D коэффициентов Фурье с использованием операторов кусочно-постоянной сплайн-интерфлетации на классе Гельдера. Информация о функции задана её следами на взаимоперпендикулярных плоскостях, линиях и значениями функции в узловых точках. Получены оценки погрешности кубатурных формул.
Ключевые слова: кубатурная формула, 3D коэффициенты Фурье, класс Гельдера, кусочнопостоянная сплайн-интерфлетация.
Abstract. Cubature formulas for computing 3D Fourier coefficients using piecewise-constant spline inter-flation operators on the Gelder ’s class are proposed and investigated in the article. Information about the function is set by its traces on mutually perpendicular planes, lines and function values in the knots. The error estimates of cubature formulas are received.
Keywords: cubature formula, 3D Fourier's coefficients, Gelder’s class, piecewise-constat spline interfla-tion.
1. Вступ
При розв’язанні задач цифрової обробки багатовимірних сигналів, математичного моделювання неперервних виробничих процесів, комп’ютерної томографії, картографії поверхні за даними її радіолокації, неруйнівного контролю на митницях, захисту інформації (підвищення продуктивності систем двоключової криптографії та комп’ютерної стеганографії) тощо, широко застосовують перетворення Фур’є, інтеграли від швидкоосцилюючих функцій, швидкі ортогональні перетворення. Тому однією з актуальних проблем є побудова кубатурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій на різних класах при використанні різних інформаційних операторів про неосцилюючий множник піді-нтегральної функції. Як дані можуть бути значення функції у вузлових точках, сліди функції на системі ліній або площин, інтеграли від наближуваної функції вздовж вибраної системи ліній або площин, що перетинають досліджуваний об’єкт.
Задачу наближеного обчислення коефіцієнтів Фур'є функцій багатьох змінних з використанням різних інформаційних операторів дозволяє ефективно розв’язувати апарат інтерлінації та інтерфлетації функцій [1]. Зокрема, в [2, 3] представлені розв’язки задачі наближеного обчислення 2D коефіцієнтів Фур'є за допомогою інтерлінації функцій у випадку, коли початкова інформація задається як значеннями функції в точках, так і її слідами на системі взаємоперпендикулярних прямих на різних класах функцій. У [4, 5] викладений загальний підхід до побудови операторів фінітного тривимірного дискретно-неперервного і дискретного перетворення Фур'є на основі методу Файлона, трилінійних сплайнів (лінійних за кожною змінною) та сплайн-інтерфлетації на класі диференційовних функцій у випадку, коли задані значення неосцилюючого множника підінтегральної функції у вузлах. Побудова кубатурної формули на основі кусково-сталої інтерфлетації на класі
© Литвин О.М., Нечуйвітер О.П., 2012
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4
Ліпшиця при даних - слідах функції на площинах, розглядається в [6]. Однією з недослі-джених задач є обчислення 3Б - коефіцієнтів Фур'є за допомогою операторів кусково-сталої сплайн-інтерфлетації різними інформаційними операторами на класі Гьольдера. Постановка задачі: для обчислення 3Б коефіцієнтів Фур'є виду
1 1 1
/^ (т, п, р) = ш /(X, у, і) 8ІП 2ртх 8ІП 2рпу 8ІП Іррійхйуйі
0 0 0 1 1 1
/2(т, п, р) = ііі /(х, у, і)со 8 2лтх со 8 2%пу со 8 2^кpIdxdydI,
0 0 0 111
/33(т, п, р) = і і і /(х, у, I)e-i2pmxe-i2шye-i2ppIdxdydI
000
побудувати кубатурні формули з використанням операторів кусково-сталої сплайн-
з
інтерфлетації на класі Гьольдера Са,Ь,Ь,1, 0 <Г 1 - класі дійсних функцій трьох змінних, визначених на О = [0,1]3 , і таких, що
|/( хЬ ^1)-/( x2, y, 1) |< Цх\ - х2\a, I / ( x, Уl, 1)-/( x, У2,1) |< Цу\ - У2\a,
\/( x, У, І1 )-/( x, У, І2 ) |< 1\21 - *2 Г / ( x1, Уl, 1)-/( x2, Уь1)-/( x1, У2,1) + / ( ^ У2,1)| < Цх1 - х2\Г\у1 - у2 |Г,
/ ( хЬ У, І1)-/( x2, У, І1)-/( x1, У, І2 ) + / ( x2, У, І2 )| < Цх1 - х2\Г\І1 - І2 |Г,
/ ( x, Уl, І1)-/( ^ У2, І1)-/( ^ Уl, І2 ) + / ( x, У2, І2 )| < ЦУ1 - У2 ПІ1 - І2 |Г,
V(X1,Уl,І1)-/(x2,Уl,І1)-/(x1,У2,І1)-/(хЬУl,І2 ) + -У ( ^ У2, І1)+ / ( x2, Уl, І2 )+ / ( x1, У2, І2 )- / ( x2, У2, І2 )|
< Цх1 - х2\Г\У1 - У2\Г\І1 - І2
<
г
у випадку, коли інформація про функцію задана її слідами на системі взаємоперпендику-лярних площин, слідами на системі взаємоперпендикулярних ліній та значеннями функції у вузлових точках. Отримати оцінки похибки кубатурних формул.
2. Кусково-сталі оператори інтерполяції, інтерлінації та інтерфлетації
Введемо такі позначення:
Хк =[хк-1/2, хк+1/2 ], = [-Уj-1/2,У]+1/2 ], =[^-І^ 28+1/2 ],
Хк = [хк-1/2,хк+1/2], ^'] = У]-1/2,У]+1/2 , ^^ =[25-1/2,2§+1/2],
Хк = [ хк -1/2, хк +1/2 ], У] = У]-1/2, У]+1/2 , =[ 25-1/2,21+1/2],
Иік(х) = < ї1 хє Хк, * () 1 0, х ї Хк, 2 (У) 1 і У є Г/, 0, у ї УІ, N і, г Є ¿5 , 0, г ї ,
%(х) = [і, х є X-, ~ к2 - (У) = I0, х ї Х-, ^ І У є у, [0, У * у-, І 35 (г) = ^і,г є ¿5, І0, г ї ¿5
%(х) = [і, х є Хк , _ [ - н2 - (у) = і0, х й Хк , 2 Iі, ує , |0, У * у/, ^35(г)= [і, г є ¿5 [0, г ї ¿5
хк = кА — —■, у; = /А ——, = 5А —А, А = к, /,5 = 1,І
к 2, У 2 5 2 І
- Аі - Аі Аі 1 ~ - 3/2
хь = кАі-------Ц у - = /Аі--Ц ¿5 = 5Аі-Ц Аі = —-, к,/,5 = 1,І3/2
к і 2 ^ 7 і 2 5 і 2 і ^3/2
__ — А2 _ — А2 _ _ А2 і — — _____ з
хк = кА2 — “^ У/ = /А2 —-^ ¿5 = 5А2 —-^ А2 = ^ к,2,5 = ^1
Розглянемо оператори:
І І Оі/(х, у, г) = ^ /(Хк, У, г)% (х), 02/(x, У, ¿) = 2 ^(^ УІ, г)І2і (У) , к=і І=і
І
О3/(x, У, ¿) = 2 /(^ У, ¿5 ^ (г) ,
5=і
і3/2 і3/2
Оі/(Х, у, ¿) = 2 /(Хк, у, ¿)% (х) , 02У(x, У, ¿) = 2 /(x, у~і, г)І2І(У) ,
к=і І=і
І3/2
03./(х У, ¿) = 2 /(x, У, ¿5 )І35 (¿), 5=і
_ І3 _ І3 _
Оі/(х, У, ¿) = 2 /(\, У, ¿)кік (х), О2/(х, У, ¿) = 2 /(х, УІ, ¿)Й2І (У) , к =і І=і
_ І3 _
03/(х У, ¿) = 2 /(x, У, ¿5 )к35(¿) . 5=і
Означення 1. Під слідом функції /(х,у, ¿) на лініях {(х,У, г): х =
к, І = і, І, 0 < 2 < і} розуміємо / (хк, Уі , ¿), 0 £ 2 £ і.
Означення 2. Під слідом функції / (х, у, ¿) на
{(х, у, г): х = хк ,0 < у < і, 0 < г < і} розуміємо / (хк, у, г), 0 < у < і, 0 < г < і.
Сліди функції на інших лініях та площинах визначаються аналогічно. Лема 1. Оператор кусково-сталої інтерфлетації
хк, У = У/,
площинах
Of (x, y, z) = Oxf (x, y, z) + Ü2f (X, y, z) + O3f (x, y, z )--°1°2 f (x, У, z)- Ü2Ü3f (x, У, z)- Ü1Ü3f (x У, z) + OlÜ2Ü3f (x У, z)
має властивість
\f (x, y, z) - Of (x, y, z)| = O
«3 a
V l У
Лема 2. Оператор кусково-сталої інтерлінації, побудований на основі інтерфлетації
Of (x, y, z ) = OiÜ2f (x, y, z) + OÜ3f (x, y, z)-OÜ2Ü3f (x, y, z ) + +O2Üif (x, y, z) + Ü2Ü3f (x, y, z )-
-O2O1Ü3f (X У, z)+ O3Ü1f (X У, z) + O3Ü2f (x, У, z)- Ü3O1O2f (x, У, z )--O1Ü2 f (XУ, z)- Ü1Ü3f(X У, z)-Ü2Ü3f (x,У, z) + Ü1Ü2Ü3f (x,У, z),
має властивість \f (X y, z) - Of (x, y, zи - O
3a
V l У
Лема 3. Оператор кусково-сталої інтерполяції, побудований на основі інтерфлетації
Of(x,y,z) - OiOjO^f (x,y,z) + OO3O2f (x,y,z)-O]O1O3f (x,y,z) + OjO^f (x,y,z) + OOOxf (x,y,z)-
-O2OlO3f (X ^ z) + O3O1O2f (X У, z) + O3O2O1f (X У, z)- O3O1O2f (x, У, z)-
-O1O2O3f (x, У, z)- O1O3O2f (x, У, z)- O2O3O1f (x У, z) + O1O2O3f (x У, z),
I - I í l
має властивість f (x, y, z) - Of (x, y, z) - O ——
1 1 /?3a
VI J
Леми l—3 доводяться безпосередньою перевіркою.
3. Кубатурна формула обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є з використанням операторів кусково-сталої інтерфлетації
Для обчислення інтегралів (т,п, Р), М- 1,2,3 пропонуються формули:
lll
ф3 (т, п, p) - Ш Of (x, y, z) sin 2pmx sin 2pny sin 2ppzdxdydz ,
0 0 0
1 1 1
>2
0 0 0
ф2(т, n, p) = III Of (x, y, z)co s 2pmxco s 2pny cos 2ppzdxdydz
111
33 1 1 1
0 0 0
F3(m, n, p) = | | | Of (x, y, z)e~i2pmxe-i2pnye~i2ppzdxdydz .
Теорема 1. Для кубатурної формули Ф^ (т, п, p) обчислення /у (т, п, p) справедли-
L і
ва така оцінка:
11 (m,n,p)-Ф^ (m,n,p)
<■
(a + 1)3 23a l3a '
Доведення. Маємо таку оцінку:
11 (т,п,р)-Ф^ (т,п,р)
III (/(х, у, 2~) - О/(X, у, 2~)) вІп 2ктх вІп 2рпу вІп 2ppzdxdydz
0 00
<
X 1 у 1 2 1
1-11-11-1 +2 1+2 "+2
<III I I I \/(X, у, 2~) - О/(X, у, 2~)\dxdydz =
к=1' =15=1 X 1 у 1 2 1
к---'-----5—
2 2 2
< ь
X 1 у 1 2 1
111+ 2 -'+ 2 5+2
III I I I IX - X-
к—1 1=1 5=1
у - у'
Ь - 25 Г dxdydz
X 1 у 1 2 1
к---'-----5----
2 2 2
III
=¿IIX
к=1 5=1 5=1
/ \ а+1
(X - )
а +1
к / \а+1
+ (x - X)
а +1
х
у
х
( уі - у )а+‘
а +1
+
/ \ а+1
(у - уі )
¿I3
у. _1 а +1
1 2
да+1 да+1
у. 1
а+1
а +1
+
а+1
д
а+1
(а +1) 2а (а +1) 2а (а +1) 2а (а + 1)3 23а 13а '
Теорема доведена.
4. Кубатурна формула обчислення 3Б коефіцієнтів Фур'є з використанням операторів кусково-сталої інтерлінації, побудованих на основі інтерфлетації
3
Для обчислення інтегралів Іи (т,п, р), т = і, 2,3 пропонуються формули:
111
Ф3 (т, п, р) = III О/(X, у, 2~) вІп 2pmx вІп 2ппу вІп 2^кpzdxdydz ,
000
111
ф2 (т, п, р) = ш О/(X, у, 2)со 8 2^кmx со 8 2ту со в 2^кpzdxdydz .
000
111
ф3 (т, п, р) = I I I О/(X, у, 2)єЧ2pmxe-i2pnye-i2ppzdxdydz .
000
3 3
Теорема 2. Для кубатурної формули Ф1 (т, п, р) обчислення ^ (т, п, р) справедлива
така оцінка:
о ^ о
11 (т,п,р)-Ф^ (т,п,р)
ь
1 3Ь
(а +1)3 23а 13а (а +1)2 22а 13а '
Доведення. Оцінимо похибку наближення
а
а
X
к
2
X
к
X
к
2
Г
у
2
2
2
у
2
1
І3 (т, п, р) - <&3 (т, п, р) =
III (/ ( х, у, г) - О/(х, у, г) ^Іп 2ртх 8Іп 2лпу 8Іп 2лpzdxdydz
0 0 0
і і і
III (/(х , у, г) - О/(х, у, г) + О/(х, у, г) - О/(х, у, г)) 8Іп 2птх 8Іп 2рпу 8Іп 2ppzdxdydz
0 0 0
і і і
Іі (т,п,р)-Ф^ (т,п,р) + Ф^(т,п,р)-Ф^ (т,п,р)
і і і
<
Ш |/(х , у, г) - О/(х, у, г)\ dxdydz +1 | | |о/(х, у, г) - О/(х, у,
г) ахауаг
0 0 0
0 0 0
За теоремою і,
Іі (т,п,р)-Ф^ (т,п,р)
<-
Ь
і
3 ~3а л3а
(а + і)3 2 І
Знайдемо оцінку Ф1 (т, п, р)-Ф1 (т, п, р)
і і і
II1
0 00
Ф3(т,п,р)-Ф3 (т,п,р )|< I 11 О/(х, у, у) - О/(х, у, г)| dxdydz =
і і і
= I II 1°і/(х , y, г) + О2/(- y, г) + О3/(x, y, г)
0 00
-ОіО2/(- y, г)- О2О3/ (- y, г)- ОіО3/(x, y, г) + ОіО2О3/(x, y, г )--ОіО2/ (x, y, г)- ОіО3/(х y, г) + ОіО2О3/ (- y, г)- О2Оі/ (x, y, г)--О2О3/ (x, У, г) + О2ОіО3/(x, У, г)- О3Оі/(х У, г)- О3О2/ (- У, г) + О3ОіО2/(x, У, г) + +ОіО2 / (х, у, г) + ОіО3 / (х, у, г) + О2О3 / (х, у, г) - ОіО2О3 / (х, у, г )| dxdydz =
і і і
= I Я \Оі/(x,У,г) + О2/(-У,г) + О3/(хУ,г)-
0 00
-ОіО2/ (x, У, г)- ОіО3/(х У, г) + ОіО2О3/ (- У, г)- О2Оі/ (x, У, г)--О2О3/(х, у, г) + О2ОіО3/(х, у, г)-030/(х, у, г)- О3О2/(х, у, г) + О3ОО2/(х, у, г )| dxdydz =
і і і
0 00
=III 1(0 - Оі02 -Оі03 + Оі0203 )/(x,У, г) + (02 - О20і - О203 + О20і03 )/(x,У, г) +
+ (О3 - О3О - О3О2 + О3ОО2) /(х, у, г) dxdydz <
і і і
< Ш |( оі - Оі02 - Оі03 + Оі0203 )/ (x, У,;
dz +
+III |(o2 -O20i -O2O3
+ O2OO3 ) f (x, y, zI dxdyd
0 00
i i i
+l II |(O3 - O3Oi - O3O2 + O3OiO2 ) f (x, y, z) dxdydz й
О ОО
x, i Уг i z_ i
І І3/2 І3/2 к+2 j + 2 s +2
йZEE I I I |(Oi - OiO2 - 0-03 + O1O2O3 ) f (x, y, z)dxdydz +
к=i j=i s=- x i y_ i z i
к— j— s —
2 2 2
x i y 1 z_ 1
І І3/2 І3/2 к+2 j+2 s +2
+ ZZZ Ill (O2 - O2Oi - O2O3 + O2OiO3 )f ( X У, z ) dxdydz +
j=i к=i s=- xr i y i z i
к— j— s —
2 2 2
xr i yr i z i
і І3/2 І3/2 к+2 j+2 2
s=i к=1 j=1 xr i ^ i z i
к — y j - ~ s—
2 2 2
+ZZZ I I I ( O3 - O3O -O3O2 + O3OiO2 ) f (x,y, z)^xdydz й
x, 1 yr 1 z 1 І І3/2 І3/2 2 j+2 s+2
к=1 j=1 s=1
x i Уг i z i
к— j— s— 2 2 2
ZZZ Ill f (Xk, У, z)-f (x , y], z)-f (x^ У, zs ) + f (^ y], z-
lz +
xr 1 y 1 z 1
І І3/2 І3/2 к+2 j+2 s+2
+ZZZ I I I |/(x,у,,z)—Уj,z)-f(xyj• zs)+/(x¿.у,-
j=1 к=1 s=1
x i y i z i
к— j— s— 2 2 2
z+
x i y i z i
І І3/2 І3/2 к+2 j+2 s+2
s=i к =i j=i x i i z i
к-- У j - s-1
2 J 2 2
+ZZZ I I I Hx,y-zs)-f(x,vzs)-f(x-y-zs)+f(xfX-
+L
x, i yr i - i
І і3/2 і3/2 к+2 j+2 s+2
Z Z Z I I I
к =i j =i s =i x i y i z i
к— j— s—
2 2 2
x i y i ] i
І І3/2 І3/2 к+2 j+2 s+2
ZZZ 111
j =i к =i s =i x i y i z i
к— j— s—
2 2 2
У - У-
X - X,-
z - zJ dxdydz +
z - zJ dxdydz +
+L
xr i yr i z i
І І3/2 і3/2 к+2 j+2 s+2
s:»:s Ill
X - X,-
s=1 к=1 j=1
y - У-
x~ i yr i z i
к— j— s— 2 2 2
z
z
s
a
a
a
a
z
да+1
'3/2/;3/2л ^1
= 3Ь Я3/2Г2 д
да
а+1
3Ь
д 2а =
(а +1)2а (а +1)2а (а +1)22
2 л2а 1
3Ь
1
Отже,
11 (т, п, р)-Ф^ (т,п, р)
<■
Ь
1 3Ь
-+—
(а +1)2 22а 13а ' 1
(а +1)3 23а 13а (а +1)2 22а 13а
. Теорема доведена.
5. Кубатурна формула обчислення 3Б коефіцієнтів Фур'є з використанням операторів кусково-сталої інтерполяції, побудованих на основі інтерфлетації
3
Для обчислення інтегралів Ім (т, п, р), м = і, 2,3 пропонуються формули:
111
ф3 (т, п, р) = ііі О/(х, у, z) 8Іп 2 лтх 8Іп 2ту 8Іп 2^кpzdxdydz ,
0 0 0 111
Ф3 (т, п, р) = ііі О/(х, у, z)co 8 2птх со 8 2рпу со 8 2ppzdxdydz,
000
111
ф3 (т, п, р) = і і і О/(х, у, z)е-і2ртхе-і2рпуе-і2ppzdxdydz .
0 0 0
Теорема 3. Для кубатурної формули Ф]3 (т, п, р) обчислення і3 (т, п, р) справедлива
така оцінка:
о __о
І^ (т,п,р)-Ф^ (т,п,р)
<
Ь
1 3Ь
-+—
1 9 Т 1
- +-----------------Ь-
(а + і)3 23а 13а (а + і)2 22а 13а (а + і)2а 13а '
3 _3
Доведення. Оцінимо похибку наближення Іі (т, п, р) -Ф1 (т, п, р) :
і і і
І33(т,п,р) -Ф3 (т,п,р)| =
ііі (/(х, у, z) - О/(х, у, z)) 8Іп 2%тх 8Іп 2лпу 8Іп 2ppzdxdydz
000
О О О ~ 'Х ~ л _ 'і
І^ (т,п,р)-Ф^ (т,п,р) + Ф^ (т,п,р)-Ф^ (т,п,р) + Ф^ (т,п,р)-Ф^ (т,п,р)
<
111
і і і
000
111
< іі! |/(х, у, z) - О/(х, у, z)| dxdydz + ііі О/(х, у, z) - О/(х, у
000
111
+і і і \о/(х, у , z) - О/(х, у, z)| dxdydz .
000
За теоремою 1 та за теоремою 2, маємо:
о ^ о
Ф^(т,п,р)-Ф^ (т,п,р) /3(т, п, р)-Ф3(т, п, р)+ І3 (т,п, р) -Ф^3 (т,п,р)
<
<-
Ь
1
(а + 1)3 23а 13а (а + 1)222а І
+-
3Ь
1
2 2а 3а
z
00 о
+ zp£pxp (z‘6‘x}f íqZq )| III + zpfyxp ( Z ‘X ) / ( ÍQ \QZ0 - lQz0 ) I lib
11 I
11 I
00 0
ooo
+ zp¿(pxp (z‘i(‘x)/І^О£оЧ) + V;)I jj j +zp¿px}J[z‘í(‘x)f^ozglo- zolàj\ JJ J >
11 і
11 і
> zptpxp\(z^‘x)/lo^OzO + {z^‘x)/zO£OlO + {z^‘x)/£OzOb+
+(z'‘x )/bzo£o - (z ‘x) fzoto£o--{z^‘x)fb£ozo-{z^‘x)f£obzo -(2^‘х)/1о£оЬ-(2^‘х)/£о1оЬ--{z‘¿‘x)f£ob-{z‘¿‘x)f£ozo-{z‘¿‘x)fzolo--{2^‘х)/£010-{2^‘х)/£010-{2^‘х)/1010-~(z‘i(‘x)fzg£o+{z‘<(‘x)flg£o+{z‘í(‘x)f£gzo+
= zpi(pxp\(z‘i(‘x)fíozOlO-{z‘í(‘x)flO£OzO + {z‘í(‘x)fzO£OlO + {z‘í(‘x)f£OzOb+ + (z‘6‘x)fzglg£0 + (z‘t‘x)ß0zQ£0-{z‘i(‘x)fz0lQ£0--{2^‘х)/£оЬ1о+{2^‘х)/Ь£о1о-{2^‘х)/£оЬ1о--(2^‘х)/£о1оЬ+(2^‘х)/1о£о1о-(2^‘х)/£о1оЬ--(z‘i(‘x)f£ozolO + {z‘¿‘x)f£OlO-{z‘¿‘x)f£OzO-{z‘¿‘x)fzOlO-
- {z ‘x)fï0zOlO +{z^ ‘X)/£0Z0 ~{z^ ‘x)f£OlO - (z ‘x)fzOlO -
-(Z‘í(‘x)/zg\g£0-(z^‘x)/zg£0 + {z^‘x)/b£0 + {z‘í(‘x)/£0]0z0-{z‘í(‘x)/£0z0+
00 0
+(z^‘x)/bzo+(z^‘x)/£olo+(z^‘x)/lgbI jj j
11 I
00 0
+(z^‘x)/bzo+(z^‘x)/£ozob-(z^‘x)/£olo+(z^‘x)/zolo\ JJ j
11 I
00 0
= zptCpxp I(z ‘t( ‘x)/o - ex)/o| J J J >
11 I
: (сІ‘и‘ш)Іф-(сІ‘и‘ш)Іф ÁMHitio оиэй}вн[
+111
0 oo
1 11
+111
o oo
|(ö3Ö - O3O1O2 ) f (x,y, z) dxdydz + 1 Ц (O3O2 - O3O2Ö ) f (x,y, z) dxdydz +
0 oo
1 1 1
|(O^ - 0^03 ) f (x, y, z )| dxdydz + I 11 1(0103 - O1O3O2 ) f ( x, y, z )| dxdydz +
o oo
1 1 1
+III 1(0203 -O2O3 Ö ) f (x, y, z)| dxdydz =
o oo
x, 1 У ? 1 z_ 1
і і3'2 і3 k+2 j+2 s +2
=s s s III
к=1 ?=1 s =1
^ y ?, z ) - f і xk, y ?, zs ) dxdydz +
x 1 У? 1 z_ 1
к— j— s — 222
x 1 z 1 У- 1
і і3'2 і3 k+2 s+2 j +2
+ss s I I 1 \f і xk, У, zs) - f і xk, У і, zs) ^fxdydz +
к=1 s =1 j =1
x 1 z„ 1 У- 1
к— s— j —
2 2 2
x ? 1 У 1 z_ 1
і3'2 і і3 k+2 j+2 s +2
+sss 1 I I |f іxk, У,, z) - f іxk, y,, zs )dxdydz +
к=1 j=1 s =1
x? 1 У l z_ 1
к— j— s — 222
+
x 1 z 1 y
і і3'2 і3 к +2 s+2 j+
S S S 1 1 I
j =1 s =1 к =1
x_ 1 z_ 1 y
к — s— j-22
+
1 z 1 У-
-5/9 -і КЛ— s+— , +-
і і3'2 і3 2 2
s s S I I I
s=1 k=1 J =1 x_ 1 z 1 y_
k— s— J -
2 2
+
x 1 z 1 y?
і і3'2 і3 k +2 s+2 j+
s s S III
s=1 j =1 к =1
x_ 1 z 1 y?
к — s— j -
2 2
+
+
x, 1 y 1 z_
і і і3 k+2 j+2 s+
S S S III
k=1 J =1 s =1 x 1 y 1 z_
к— J— s -22
x 1 z 1 y^
3 k+— s+— j +-
і і і3 2 2
S S S III
k=1 s=1 J =1 x 1 z 1 y_
k— s— J — 2 2 2
f і x У?, zs ) - f і xk, У,, zs) fàdydz +
k’S j’“s.
f і xk, У, zs) - f і xk, Уі, zs) Wdydz +
f іx, y ?, zs) - f іxk, yj?, zs)Vxdydz +
|f іxk , Уj, z) - f іxk, Уj, zs )\fxdydz +
f і xk , У, zs ) - f і xk , У J, zs ) dx^z +
X ! Z і у ! 3 к +— s+— i+—
l l І 2 2 2
+SS S J J f \f (X, уj, г,) - f (Xk, yj, zs)^fxdydz <
]-1 s-1 к-1 X_ ! Z ! У !
к — s— j—
2 2 2
X 1 У, 1 z_ 1
l l3/2 l3 + 2 j+2 s + 2
X 1 z_ 1 y_ 1
l l3/2 l3 к+2 s+2 j +2
<LS SS fff | z — Zj | dxdydz + LSS S f f f
У — У-,
dxdydz +
к-1 j-1 s -1 X 1 y_ 1 z_ 1 к— j— s — 222
X, 1 y 1 z_ 1 l3/2 l l3 к+ 2 j+2 s +2
к-1 s-1 ] -1 X 1 z^ 1 y_ 1
к— s— j —
2 2 2
X 1 ^ 1 y 1
l l3/2 l3 +2 s+ 2 j+2
+LSSS f f f | z — zj | dXdydz + LSS S f f f
X — Xr
dXdydz +
к-1 j-1 s -1
X, 1 y 1 z_ 1
к— j— s —
222
j-1 s-1 k -1
XT 1 z 1 у 1
к — s— j— 2 2 2
Xf- 1 z 1 у. 1
l l3/2 l3 +2 s+2 j + 2
+LSS S f f f
y — y-,
Xr 1 z 1 y~ 1 l l3/2 l3 к+І s+2 j+2
s-1 к-1 j -1
X, 1 z 1 y- 1
к— s— j — 2 2 2
dXdydz + lS S S fff
s-l ]-1 к-1 X_ 1 z 1 y„ 1
X — Xr
dXdydz +
X 1 y 1 z_ 1
l l l3 к+ 2 j+2 s+5
X 1 z 1 y- 1
l l l3 к+2 s+2 j +2
+LS SS f f f I z — zs | dXdydz + LSS S f f f
к-1 j-1 s-1
X 1 y 1 z_ 1
к— j— s— 222
к-1 s-1 j -1
y—у-,
dXdydz +
X 1 z 1 y_ 1
к— s— j —
2 2 2
Xr 1 z 1 у 1
l l l3 к +2 s+2 j+2
+lS SS S fff
J-1 s-1 к -1 X_ 1 z 1 у 1
к — s— j— 2 2 2
X — Xr
dXdydz <
< 6LlAl A/
*a+1 Л°+1 Aa
3/2 A "3 A2 + 3LlAl A l3------------- 9L--------------2
(a +1) 2°
9 L- 1
(a +1) 2° (a +1) 2° (a +1) 2° l3a
Отже, Теорема доведена.
7j3(m, n, p) —Ф3 (m, n, p)
L
(a + 1)3 23a l3a (a +1)2 22a l3a (a +1) 2° l
1 3L
- + —
2 ~2a «3a
1 9 1
- +----------------L-
a 3a
6. Чисельний експеримент
У [7] показано, що для функції g(u) = arccos u виконується така нерівність:
|arccos ui - arccos u2\<—;= \щ - U2I , Vui, u2 є [-1,1].
\2
3
У випадку функцій трьох змінних розглянемо функцію f (x, y, z) є C2 L L L f (x, y, z) = arccos21 xy + V1 - x2 yjl - y2 ] arccos z .
Метою експерименту є показати, що
є =
¡1 (т, и, р )-Ф3(т, и, р )
<
<
о о о ~ "2 ~ "2 о
¡1 (т,и,р)-Ф3 (т,и,р) + Фз (т,и,р)-Ф3 (т,и,р) + Фз (т,и,р)-Ф^ (т,и,р)
= Єї + Є2 + Є3 = Є . Наведемо точні значення інтегралів:
¡13(2,2,2) = -0,002335925334219 ;
¡3(3,4,5) = -0,000362439817297 .
Таблиця 1. Похибки Є1, Є2, Є3
т и р 1 Є Є2 Є3
2 2 2 4 0,000000015074464 0,000000077901728 0,000001515398551
9 0,000000000094878 0,000000006339464 0,000000011519461
16 0,000000000020418 0,0000000003243 0,000000002870743
3 4 5 4 0,000004694196629 0,000000141145485 0,000000476127751
9 0,000000000498321 0,000000001707565 0,000000004843324
16 0,000000000548796 0,000000001046461 0,000000001020178
Таблиця 2. Похибки Є, Є
т и р 1 є Є
2 2 2 4 0,00000142242236 0,000001608374742
9 0,000000005274875 0,000000017953802
16 0,000000003174624 0,000000003215461
3 4 5 4 0,000004359214362 0,000005311469864
9 0,000000002637438 0,000000007049209
16 0,000000000522513 0,000000002615435
7. Висновки
У статті пропонуються та досліджуються кубатурні формули обчислення 3Б коефіцієнтів Фур'є з використанням операторів кусково-сталої інтерфлетації на деякому класі Гьольде-
ра, визначених на О = [0,1]3 . Подається інформація про неосцилюючий множник підінтег-
ральної функції, заданий слідами на системі взаємоперпендикулярних площин, слідами на системі взаємоперпендикулярних ліній та значеннями функції у вузлових точках. У всіх випадках отримана оцінка похибки наближення 3Б коефіцієнтів Фур'є кубатурними формулами.
Питання щодо якості кубатурних формул, тобто, чи є побудовані кубатурні формули оптимальними або близькими до них, буде наступним етапом досліджень.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Литвин О.М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування / Литвин О.М. - Х.: Основа, 2002. -544 с.
2. Оптимальні алгоритми обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій та їх застосування. Т. 1. Алгоритми / [І.В. Сергієнко, В.К. Задірака, О.М. Литвин та ін.]. - К.: Наукова думка, 2011.
- 447 с.
3. Lytvyn O.N. Methods in the multivariate digital signal processing with using spline-interlineation / O.N. Lytvyn, O.P. Nechuyviter // Proc. of the IASTED International Conferences on Automation, Control, and Information Technology (ASIT 2010), (June 15 - 18 2010). - Novosibirsk, 2010. - P. 90 - 96.
4. Литвин О.М. Оператори фінітного тривимірного перетворення Фур’є / О.М. Литвин, В.М. Удовиченко // Радиоэлектроника и информатика. - 2004. - № 4 (29). - С. 130 - 133.
5. Литвин О.М. Тривимірні фінітні перетворення Фур’є та Хартлі з використанням інтерфлетації функцій / О.М. Литвин, В.М. Удовиченко // Вестник Национального технического университета «ХПИ». - Харьков, 2005. - Т. 38. - С. 90 - 130.
3
6. Литвин О.М. Потрійні інтеграли від щвидкоосцилюючих функцій на класі C2L l L та інтерфле-
тація функцій / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Інформатика та системні науки (ІСН-2010): матеріали Всеукр. конф. 18-20 березня 2010 р. / Під ред. д.ф.-м.н., проф. О.О. Ємця. - Полтава: РВВ ПУСКУ, 2010. - С. 108 - 110.
7. Gal S.G. On the preservation of global smoothness by some interpolation operators / S.G. Gal, J. Szabados // Studio, Scientiarum Mathematicarum Hungarica 35. - 1999. - N 391'1,14. - P. 397 - 414.
Стаття надійшла до редакції 26.03.2012
