CC BY
9УДК 621.391:517.518:510.52
2D КОЕФЩГСНТИ ФУР'е НА KJIACI ДИФЕРЕНЦ1ЙОВНИХ ФУНКЦ1Й ТА СПЛАЙН-1НТЕРЛ1НАЦ1Я
© Литвин О. М., Нечуйви?ер О. П.
УКРАШСЬКА 1НЖБНБРНО-ПБДАГОГ1ЧНА АКАДЕМ1Я КАФЕДРА ВИЩ01 ТА ПРИКЛАДН01 МАТЕМАТИКИ БУЛ. УНШЕРСИТЕТСЬКА 16, М. XaPKIB, 61003, УкРАША e-mail: [email protected]
Abstract. Cubature formulas of the calculation of two dimensions of Fourier's coefficients are presented by using interlineation in the case when information about function is set of lines on the class |/(r'0) (x,y)\ < M, \/ (0'r)(x,y)\ < M, / (r'r)( x,y)\ ^ M, r = 1,2. The error of the cubature formulas is evaluated by errors of quadratures formulas.
Вступ
При наближеш функцш двох змшних симетричними nupi ;ка,\ш ряду Фур'е вини-кае задача обчислення коефщентав цього ряду за допомогою шформацшних опера-TopiB р1зних тишв. В якоста даних можуть бути значения функгщ у вузлових точках, значения функгщ на лшях, штеграли вщ наближувано!' функщ!' вздовж вибрано!' си-стеми лшш, що перетннають дослщжуваний об'ект. Задачу наближеного обчислення 2D коефщентав Фур'е у випадках, коли початкова шформащя задаеться р1зними шформацшними операторами, дозволяе ефективно розв'язувати апарат штерлшагщ функцш вщиовщно [1] на р1зних класах функцш. Важливим кроком в розв'язанш тако!' задач1 е обчислення 2D коефщентав Фур'е за допомогою штерлшагщ функщй (шформащя про задаеться слщами на систем! взаемио-перпендикулярних прямих). Актуальним е питания ощнки похибки кубатурно!' формул и, а також отримання ощн-ки похибки кубатурно!' формули через вщповщш ощики похибки квадратурних формул.
В [2] - [4] розглядалась задача наближеного обчислення 2D коефщентав Фур'е за допомогою штерлшагщ функщй у випадку, коли шформащя про f (x,y) задаеться слщами на систем! взаемио-перпендикулярних прямих. Однак питания отримання ощнки похибки кубатурних формул через вщповщш ощнки похибки квадратурних формул розглядаеться вперше.
Отже, метою дано! работи е побудова кубатурних формул для обчислення 2D кое-фщентав Фур'е з використанням штерлшагщ функщй на клаш дшсних функщй двох змшних, визначених на G = [0,1]2 i таких, що |f(r'0">(x,y)\ ^ M, \f(0'г~)(х,у)\ ^ M,
(г'г")(х)у]\ ^ Ы, г = 1, 2, у випадку, коли шформащя про функщю задана И сль дами на систем! взаемно-перпендикулярних прямих хк = к А, у^ = 'А, к,' = 0,£. Довести, що ощнку похибки побудованих кубатурних формул можна отримати р1з-ними способами, зокрема, виразити через вщповщш ощнкп похибки квадратурних формул.
1. ОБЧИСЛЕННЯ КОЕФЩ1€НТЮ фур'е ФУНКЦ11 ОДН161 ЗМ1НН01
Для досягнення поставлено!' мети доводяться допохпжш твердження щодо похибки обчислення коефщентав Фур'е функгщ одше1 змшно1.
Лема 1. Нехай д (х) € С1 [0,1], \д' (х)| — М. Для функгщ одше1 змшно1 справедлива
Нбр1ВН1СТЬ!
I- 1
хк+1
/ (д (х) — Бкд (х)) вт 2птхйх
к=0
Хк
А
< М-,
< 3 '
де Бкд (х) = д (хк) х ^ — д (хк+1) х—к, х € [хк, хк+1], хк = кА, А = 1
Доведения. Нехай
О0,к (х,0 =
Справедлива нш^тупнс! нвршшсть! 1-1 ху1
/ (д (х) — Бкд (х)) вт 2птхйх
хк+1 — х А ;
х — хк -А '
хк ^ С ^ х,
х ^ С ^ хк+1,
к=0
Хк
1 Хк + 1 хк + 1
/ д' (С) С0к (х, С) йС эт 2птхйх
к=0
хк хк
<
0 1 Хк+1 Хк + 1 о 1 Хк + 1 Хк+1
1 ^ ^ л I 1 л л
/ / \д' (С)\\«0к (х,С)\^йх ^ м^ / \Сок (х,С)\^йх
к=0
хк хк
к=0
хк хк
Хк+1
М
I __ 1 Хк+1 I х
' хк+1 — х [ йС + I йС\йх
I-1
к=0
Хк+1
А
А
хк
хк
2 [' 2 1-1 А3 А2 А
М/ (хк+1 — х)(х — хк)йх = М= М1^ = М-,
к=0
к=0
хк
де \д' (х)\ ^ М.
□
Лема 2. Нехай g (x) Е C2 [0,1], \g" (x)\ < M. Для функгщ одше1 3míhho'í справедлива
HGpiBHICTb!
i-i Xk+1
/ (g (x) — Skg (x)) sin 2nmxdx
k=0
Xk
A2
< M—, 12 '
де x Е [xk,xk+i], xk = kA, A = Доведения. Нехай
G0k (x,C) =
xk+1 — x A
x - xk -A
(xk — C) , xk ^ с ^ x,
(xk+i — C) , x ^ С ^ xk+i,
тод! виконуеться ршн1сть
x - xk+1 x - xk g(x) — g (xk)-г--g (xk+i)
A
A
xk+1 x í g" (C) dC+
A
1!
Xk
Тому
X Xk + 1
+ í g'' (C) dC = í g'' (C) G0k (x,C) dC.
A
1!
Xk+1
Xk
1-1
Xk+1
/ (g (x) — Skg (x)) sin 2nmxdx
k=0
Xk
i-i
e
k=0
Xk+1
x xk+1 x xk g(x) — g (xk)-г--g (xk+i)
A
A
sin 2nmxdx
Xk
<
i Xk + 1 Xk + 1
^ ё í í \g''(C)\ Gok(x,C)
k=0
dC dx ^
Xk Xk
i Xk+1 Xk+1
i-1
< Me
k=0
GG0k (x, C) dC dx = y^
MA3 MA2
Xk Xk
k=0
12 12
□
X
2. ОЦШКА ПОХИВКИ ОВЧИСЛЕННЯ 2Б КОЕФ1Ц1€НТЮ фур'е
Нехай рк (х), Рз (у) - сплайни порядку 0,1,2,3 з властивостя-ми Рк (хр) = бкр, Рз (ув) = $3в 1
I I
О/(х,у) = ^2 / (хк,У)Рк (х) , 021 (х,у) = ^2 / (х,Уз)Рз (у) , к,] € 0А к=0 3=0
I
я1(/;х,у) = / (x'у) — ^/ (хк,у)Рк(х) = / (x'у) — 01/(x'у),
к=0 I
я2(/; х,у) = / у) —^ / (х уз)Рз (у) = / у) — 02/ (х у) ■
3=0
Оператор сплайн-штерлшант О/ (х,у) представляеться через оператори О^/ (х,у), ц = 1, 2 наступним чином:
О/ (х, у) = 01/(х, у) + О2/ (х, у) — О1О2/ (х, у).
Лема 3. Для залишку
1 1
Я (/) = ! J (/ (х,у) — О/ (х,у))^\п2птхйх ъ\п2ппуйу 00
справедлива наступна р1вшсть:
1 1
Я (/) = ! J Я1Я2/ (х,у) ъ\п2птхйх ъ\п2ппуйу.
00
Доведения. Оскшьки
/(x' у) — О/(x' у) = / (x' у) — О1/ (x' у) — О2/ (х, у) + О1О2/ (х, у) = = [I — О1 — О2 + О1О2] / (х,у) = = [1 — О1 + I — О2 + I — О1О2] / (х, у) = [(I — О1) (I — О2)] /(х, у) = Я2Я1/(х, у), то
1 1
Я (/) = ! J (/(х,у) — О/(х,у))д\п2птхйх ъ\п2ппуйу =
00 1 1
= J J Я1Я2/ (х,у) $,\п2птхйх $,\п2ппуйу.
00
□
Нехай
i
Ri(f; y) = [f (x y) — (xk ,y)Pk(x) isin 2nmxdx = 0 k=0
i
= У (f (x,y) — O1f (x, y)) sin 2nmxdx, 0
R2 (f; x) = f (x, y) — (x, yj)Pj (yЛ sin 2nnydy =
0 v j=0 )
i
= J (f (x,y) — O2f (x,y))sin2nnydy.
0
Лема 4. Для залишку R (f) справедлива наступна píbhíctb: i i
R (f ) = J j (f (x,y) — Of (x, y)) sin 2nmxdx sin 2nnydy = RR2f (x,y). 00
Доведения. Розглянемо
Ri^f (x, y) = I R2 (f; x) — R2 (f; xk)Pk (x) I sin 2nmxdx = 0 k=0
1 ( 1
/ 1 / (f (x,y) — ¿f (x'yj)Pj(y)¡sin2nnydy—
0 l v j=0 J
( f (xk ,y) — f (xk, yj)Pj Ы ) 2nnydyPk (x)2nmxdx k=0 0 j=0
j
0 j=0 1 / 1
/ w (f (x,y) — ^f ^yj)Pj(y))sin2nnydy)sin2nmxdx 0 \0 ^ j=0 ' '
- У I / /1 ■ I 1 ■ I I I >4 / . n I II II I I I I >4 / . n lili III -
- f í] J f (xk, y) — ] f (xk, yj)Pj (y)j sin 2nnydyPk (x)) sin 2nmxdx
j
0 0 j=0 1 1 1 1 i
J j f (x, y) sin 2nmx sin 2nnydxdy—j J ^^ f (x, yj)Pj (y) sin 2nnydy sin 2nmxdx—x 00 00 j=1
1 1
У^ f (xk ,y) pk (x) sin 2nmxdx sin 2nnydy+
0 0
k=0
i i
l l
+ ^^ ^^ f (xk,yj)pk (x)pj (y)sin2nmxdx sin2nnydy =
0 0 k=0 j=0
= í {f (x,y) f (xk , y) Pk (x) f (x, yj )Pj (y) + 0 0 k=0 j=0
ll
+ f (xk, yj) pk (x)pj (yH sin 2nmxdx sin 2nnydy =
k=0 j=0 i i
= J j (f (x,y) — Of (x,y))sin2nmxdx sin2nnydy = R(f). 00
Дал1 в якоста pk (x), pj (y) будемо розглядати лшшш базисш сплайни. 3. Куватурна формула обчислення 2D коефщ1€нтю Фур'е
Введемо позначення hi0(x)
0, x ^ xl,
. , x0 ^ x < xl, —A h20(y)
y—y1
y0 ^ y < Уъ
—A ' 0, У > Уи
□
' 0, x ^ xk-l
x — xk
hik (x) =
A '
x — xk+l
xk-1 ^ x < xk, xk ^ x < xk+1,
к = 1,£- 1;
—A
0, x ^ xk+i,
h2j (y)
0,
У — yj
A ,
У — yj+i —A
0, У > yj+1
У < yj-ъ yj-i < У <yj, yj < У < yj+i,
j = 1,1 — 1;
0, х ^ х-ъ | 0, y ^ ye-г,
hii(х) = { х - хе h2i{y) = \ y - y£
——, xi-1 ^ х <xi, у д , y-i ^ y <yi,
xk = кД^з = jД, Д = I.
Нехай Of (x,y) - оператор сплайн-штерлшант:
i i
Of (х,У) = f (xk ,y)h1k (x) + f (x,yj )h2j (y) - f (xk ,Уз ,z)h1k (x)h2j (У) ■
k=0 j=0 k=0 j=0
Лема 5. [1] Для Of (x,y) виконуються наступи! властивостк
1. \f(x,y) - Of(x,y)\ = o(1) = O Д) ,
V (x,y) e G = [0,1]2, r = 1, 2; 2. Of (xk ,y) = f (xk ,y), к = 0J; Of (x,yj ) = f (x,yj), j = 0J.
Для обчислення штеграл1в
1 1
I^(m,n) = J J f (x,y)sin2nmx sin2nnydxdy, 0 0 1 1
I2(m-n) = ¡J f Ш«*тх c^nydxdy,
0 0 1 1
I2(m,n) = j j f (x, y)e-i2nmxe-i2nnydxdy 00
пропонуються формул и:
1 1
^^ Ц Ofs^ydxdy,
00 1 1
**{,m n = Ц Of ^nnydxdy,
0 0 1 1
Ф*(т, n) = J j Of (x,y)e-i2nmxe-i2nnydxdy. 00
Шдставимо вираз для оператора сплайн-штерлшанта та отримаемо вщповщш куба-турш формул и, наприклад:
1 г 1
Ф?(т,п) = Е fx,,y) hk (x) sin Wd*S,n2nnydy+
k=0
+ ^^ f (x,yj) h2j (y) sin 2nnydy sin 2nmxdx 0 j=0 0
f (xk,yj) h1k (x) sin 2nmxdx h2j (y) sin 2nnydy.
k=0 j=0 0 0
Теорема 1. Для кубатурног формули Ф1 (m, n) обчислення If (m, n) справедлива на-ступна оцгнка
4M 1
R (f )1 л2г
[(г + 2)!f [(г + 2)!]2 l2r
Доведения. Маемо наступну ощнку (лема 3)
г = 1, 2.
lR(f )1
1-1 i-i x k+1
^^ ^^ / / (f (x,y) — Of (x,y))sin2nmxsin2nnydxdy
k=0 j=0
xk Vj
f- 1 1 X k + 1 yj+1 X k + 1 у + 1
i1 i 1 л л л л
^^ ^^ / / / / f (r'r\C,v) G1k (x,C) G2j (y,n) sin2nmxsin2nnydxdy
k=0 j=0
xk Vj xk Vj
G1k (x,0
xk+1 — x (xk — С)
r1
G2j (y,n)
xk+1- xk (г - -1)! '
xk — x (xk+1 — C)r-1
xk+1- xk (г — 1)!
yj+1 — y (yj — r- 1 n)
yj+1 yj (г - -1)! '
yj— y (yj+1 r- 1 — n)
k yj+1 — yj (г — 1)!
г = 1, 2.
xk < С < x, x <С < xk+1,
yj <n < y, y <П < yj+1,
1
1
Таким чином,
1 /¿_ 1 хк+1 У]+1 Х к+1 ад+1
\Я(/)\ ^ М^^ ( [ II \01к (х,0\\С2з (у,п)\¿хд,у.
_Г\ А_п о о о о
к=0 3=0
Хк уз Хк Уз
Хк+1 Хк+1
Зауважимо, що / / \С1 (х,£)\^£ =
Хк Хк
х к+1 / х _ 1 х к+1 _ 1
\хк+1 — х\ [\хк — £Г ^ + \хк — х\ Г \хк+1 — £Г ^ , ^
хк+1 — хк ] (г — 1)!
хк+1 — хк
(г — 1)!
Хк
Хк
Хк+1 / Х _ 1 Хк+1 _1
\хк+1 — х\ [(С — хкГ + \хк — х\ Г (хк+1 — ¿х
хк+1 — х^ (г — 1)!
Хк
Хк
Х к+1
Пхк+1 — х\ (£ — хк)
V хк+1 — хк г!
хк+1 — х^ (г — 1)!
Х
\хк — х\ (хк+1 — С)
Хк
хк+1 — хк г!
Хк+1
)
¿х
Хк
Х к+1 /(
хк+1 — х (х — хк) х — хк (хк+1 — х)
хк+1 — хк г!
Хк
1 I (хк+1 — х) (х — хк)
+
г+1
хк+1 — хк г!
)
¿х
г!А
г + 1
1 I (хк+1 — х)(х — хк
чГ + 1
Х к+1
Хк+1 + [ ¿х | +
Хк '
г!А
г + 1
Хк Х к+1
Хк+1
+ .1
Хк Хк
г + 1 (хк+1 — х)Г+1
г + 1
¿х
1
Аг+2 ДТ+2
+
г)
2АГ+1
г!А \(г + 1)(г + 2) (г + 1)(г + 2)) (г + 2)!'
Уз+1 Уз+1
Аналопчно обчислюються наступи! штеграли: / / \С2з (y'n)\dndy = 2+2) \ ■
Уз Уз
Тому,
|п/р,. ~ Р Р 2АГ+1 2АГ+1 ~ 4А2г М
\я(/)\ ^ М V V ------ = М-2 =-2-.
¿0 3=0 (г + 2)!(г + 2)! [(г + 2)!] [(г + 2)!]2 р
□
Х
Х
Зауваження. Доведения теореми можна здшснити на ochobí леми 4, використо-вуючи оцшки похибок квадратурних формул з леми 1 та леми 2. Тобто, при
1,
R1
^ M -3-, (лема 1), а за лемою 4 маемо lR(f)| ^ RR (f; x,y)
л2
^ М— 32
а при г = 2,
д1
^ M^ , (лема 2) i за лемою 4
|R(f )| ^ Д1Д2 (f; x,y)
~ л4
^ М— 122
M
M 14414'
Наведемо результати чисельного експеримеиту.
1. Нехай f (x,y) = f (cos (2x — 2y) — cos (2x + 2y)), тод1 if(1'0)(x,y)| ^ 2,
if(0,1)(x,y) ^ 2, |f(1'1)(x,y)1 ^ 4. Якщо обчислювати штеграл If(2,3) за
ку-
батурою Ф2 (2,3) формулою при I
19, то IR (f)l = |If(2, 3) — Ф2(2, 3)| =
= | | = .
f (x, y) f (x, y) = sin 2x sin 2y
в якоста g (u) = sin2u, u = x,y, то можна отримати наступи! результата обчислеиь при I =19 для
f-1 uk+1
У^ / (g (u) — Skg (u)) sin 2nsudu
Ri (g, u, s)
k=0
uk
1, 2,
R1 (g, x, 2) = 0.000069018217309 , R2 (g,y, 3) = 0.00004578277933 .
Отже,
R (f) | = |If (2, 3) — Ф1(2, 3) | = R (g, x, 2) • Rf (g, y, 3) =
.
2. Нехай f (x,y)
(cos (2x — 2y) + cos (2x + 2y)), тод1 |f (2'0)(x,y)| ^ 4,
|f (0'2) (x,y)| ^ 4, |f (2'2)(x,y)| ^ 16. Якщо обчислювати íhтеграл If(2,3) за кубатурою формулою Ф2(2,3) при I = 19 , то R (f)| = |If(2,3) — Ф1(2,3)| = = | | = .
f (x, y) f (x, y) = cos 2x cos 2y
в якоста g (u) = cos 2u, u = x, y , то можна отримати наступи! результати обчислеиь
f-1 uk+1
У^ / (g (u) — Skg (u)) sin 2nsudu
Ri (g,u, s)
k=0
uk
1, 2,
при I = 19 : R 1 (g, x, 2) = 0.000107489504778 , Rf (g, y, 3) = 0.000071302454184 .
г
2
Отже,
\R (f) \ = I/?(2, 3) - 3) | = h (g, x, 2) • R? (g, y, 3) = = 0.000107489504778 • 0.000071302454184 = 0.000000007664265.
Заключения
В статта пропонуються та дослщжуються кубатурш формули обчислення 2D коефщентав Фур'е з використанням штерлшагщ на клаш функцш, у яких |f(r'°^(x,y)I ^ M, |f(0'r^(x,y)I ^ M, |f(r'r^(x,y)I ^ M, r = 1, 2. 1нформащя про функ-uiio задана с. пдамп на систем! взаемно-перпендикулярних прямих. Доводиться, що ощнку похибки кубатурно!' формули можна виразити через вщповщш ощнки похиб-ки квадратурних формул. Чисельний експеримент шдтверджуе теоретичний результат. Результати дано!' роботи можуть бути використаш при доопдженш кубатурних формул обчислення 3D коефщентав Фур'е з використанням штерфлетагщ.
список л1тератури
1. Литвин О.М. 1нтерлшащя функцш та деяю l'i застосуваиия / О.М. Литвин. -Харюв.: Основа, 2002. -544 с.
2. Литвин О.М. Оптимальний за порядком точноста метод обчислення 2D коефкцентав Фур'е за допомогою штерлшацп / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвгаер // Пращ науково-техшчноТ конференцп з м1жнародною участю «Комп'ютерне моделювання в наукоемних технолопях», 18 -21 трав., 2010р., Харюв, 4.1. - 2010. - С. 211-213.
3. Литвин О.М. Про одну кубатурну формулу для обчислення 2D коефщентав Фур'е з використанням штерлшагщ функцш / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвиер // Доповвд ПАН УкраТни. - 2010. № 3. - С. 24-29.
4. Литвин О.М. Кубатурна формула для обчислення 2D коефкцентав Фур'е з використанням штерлшагщ функцш / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвиер // Вшник ХНУ. Сер1я «Математичне моделювання. 1нформацшш технологй'. Автоматизоваш системи управлшня». -2010. № 926. - С. 153-160.
Статья поступила в редакцию 06.05.2011
