CC BY
7УДК 517.5
ОПТИМАЛЬНА ЗА ПОРЯДКОМ ТОЧНОСТ1 КУБАТУРНА ФОРМУЛА ОБЧИСЛЕННЯ ПОДВШНИХ 1НТЕГРАЛ1В В1Д ШВИДКООСЦИЛЮЮЧИХ ФУНКЦ1Й ТА СПЛАЙН-1НТЕРЛ1НАЦ1Я
© Литвин О.М., Нечуйв1тер О.П.
Abstract. The article is devoted to optimal by order of exactness formulas of the evaluating of two dimensions of Fourier's coefficients with using spline-interlineation.
Задача створення 1 дослщження оптимальних алгоритьпв обчислювально!' математики е одшею 1з найскладшших задач. Це стосуеться також 1 иобудови оптимальних куба гуриих формул для обчислення кратних пгич ра. пи. Про деяю загальш тверджеиия иаближеиого обчислення кратних штегршпв дивись у робот! [1]. У [2, 3] побудивши кубатурш формули обчислення кратних штегршпв на основ! мпиапоТ ер-м!тово1 штерполяцп та сплайн-штерлшацп. У [4] розглянут! квадратурш та штер-поляцшш формули на тензорних добутках деяких клайв функцш багатьох змшних. В робот! [5] наведен! оптимальш по точноста, оптимальш по порядку точпост! та асимптотично оптимальш кубатурш формули обчислення штеграл!в вщ швидкоос-цилюючпх функцш на класах Лшшиця, диференцшовнпх функцш. Актуальною е також задача про побудову оптимальних за порядком точпоста кубатурних формул для штеграл!в вщ швидкоосцилюючих функцш з використанням штерлшацп функцш.
1. Оптимальна за порядком точностг кубатурна формула
В даннш робот! мова буде п и про побудову оптимально!' за порядком точност! кубатурш >Т формули для обчислення штеграл!в в!д швидкоосцилюючих функцш двох змшних
на основ! силайн-штерлшацп на. шпях ректангуляцп (на систем! лшш х = Xi, г = 1, Ni та у = /¡¡.J = 1, N2), де / (х, у) - належить деякому класу функцш i шформацш про функцш задана не бшыпе шж на N . шпях з [О, I]2.
УКРАШСЬКА 1нженерно-педагопчна АКАДЕМ1Я КАФЕДРА прикладно! МАТЕМАТИКИ вул. уншерситетська, 16, M. XAPKIB, 61003, УКРАША
e-mail: [email protected]
Вступ
о о
В якогп множили кубатурних формул I. \ для наближеного обчислення I (/, со) будемо розглядати множину кубатурних формул £jy, що використовують шформа-цш про / (х,у) не бшыпе шж на N . iíiiíhx. Через i? (/, w, £дг) иозначимо похибку наближеного обчислення J (/, со) кубатурною формулою £jy :
R(f,co,iN) = I(f,co)^iN.
Похибкою куба гурноТ формули iN на к. iaci F називаемо величину
R(F,co,£N) = sup \R(f,co,£N)\.
f(x)eF
Оптимальною похибкою чисельного штегрування на клай називаемо
Rn(F,cu) = in Г R(F,CÜ,£n).
ÍN GI/JV
Щоб отримати оцшку знизу величини ¡i \ (/•'. со) спочатку для фжсовано!' куба гурт н формули £n отримаемо оцшку знизу величини R (F, со, Якщо ця оцшка знизу величини R(F,lü,£n) не залежить bí/i куба гуртiÍ формули то ця ж оцшка справедлива i для величини ¡i \ (/•'. со). Для отримання оцшок знизу величини R (F, со, Íдг) використовуемо метод капелкшв, основу якого складае настуина лема.
Теорема 1. Хай / (х, у) Е 42,2) (ÍÍ), 1 < д < ос,
Щ(П)=:{/(х,у) I/i""*) (х, у) Е С (О) , О < sk <рк,к= 1 • ± >' ф р.р = (РЬР2) ■ ||/(p)||Le(n) < !}
i I (/, со) обчислюет,ъся за допомогою кубатурног формули
Nt 1(.
= / f (^k, у) sinívydy+
k=1 q
щ ni n2
j=1 0 k=1 j=1
що зводитъ I (/, со) до обчислення N ънтегралъв
i i
f(xk, y) sinojy dy, J f{x, yj) sinwa; dx, o o
k = 1,NU j = l ,N2, N = Nx + N2. Todi для похибки R (/, со, iдг) = I (/, со) — iдг справедлива формула:
i i
3 ф,у) : = J J
о о
de if (х, у)
= 0, <р(х,у)
Х=Хь
= 0, (./•;,. Щ) = 0. 1 < k < NU 1 < J < N2.
У=Уз
Оптимальна за порядком точност,{ кубатурна формула
15
Зауважения. Аналойчна лема для випадку одшех змшнох наводиться в [6].
2. Оптимальна за порядком точностг кубатурна формула
обчислення подв1йних 1нтеграл1в в1д швидкоосцилюючих
функц1й
Хай О = [0,1]2,0 = иП^, Щ = [х^,Хг1+1] х [уъ,уг2+1], % = (¿1,г2) , ¿1 = 1,^1 - 1,
¿2 = 1, -А^ — 1 . Розглянемо оператор
¿1+1 ¿2+1 Ег,о/ (х, I/) = ^ (х31>у) + ^ ? (ж'
31=11 32=12
¿1 + 1 ¿2 + 1
~ ^ ^ ^ (х31>Уп)'
31=11 32=12
(х,у) е^сО,г = (¿1, ¿2), де (х) (у)- базисш сплайни порядку 0, 1, 2, 3,...з властивостями
% (х)
}к,]11 п]2
Щ2 (у)
У=У;
'3,32-
Цей оператор мае властивост!
Ег,о/ (X, у)
.Ег,о/ (Х,у)
У=У<
= ¡(х,у)
ч
Тод! оператор Еп/ (х,у), що визначаеться р!вностями
Еп/ (х, у) = (х, у), (х, у) еПг С О буде задовольняти умовп /■.],/ (х, у) е С (О),
1(х,у)
У=У<
Еп/ (х, у)
1(х,у)
.Еп/ (х,у)
У=У<
1(х,у)
У=У<
1 називаеться кусково-полшом1альним штерлшацшним оператором, або кусково-полшом1альним штерлшантом. Вш штерлшуе функцш / (.г. //) та ТТ нем!шаш похщш на чотирьох взаемно-периендикулярних прямих - границ! II,;: при цьому на межах двох суйдшх прямокутниюв, що мають спшьш сторонп або точки; породжеш цим оператором функцп збершають неиерервш похщш до порядку п включпо. Функ-щя Ец/(х,у) мае значения в точках (х,у) е ^ С О, залежш вщ слщ1в функцп / (х, у) та 11 нормальних похщних до порядку п лише на меж! Похпбка поль ном!ально1 штерлшацп [3] в кожному з прямокутниюв II,; задовольняе неришкяъ I/ (х, у) — Ея_/ (х, у)\ < |<5г (х, у) |, (х,у) е П; с А, I = (¿1, ¿2), де С^ (х, у) «стандартна» функщя:
¿1 + 1 ¿2+1 (х,у) = 7 П " хн) ' П ~ Уз*)> е Пг'
31=4
32-12
яка використовуеться для побудови написано! вище функщТ (р(х,у). Як-що f(x,y) £ L(q'2) (fi), то \f (х,у) - Eüf (х,у)\ <\Q(x,y)\, (х./у) бО, де Q (х, у) = Qi (х, у), (х, у) £ n¿. Оцшка е найкращою у кожнш точщ х £ ÍL
Тому похибка наближення функщТ / (х,у) £ оператором Enf (х,у) у
кожпш точщ оцшюеться з огляду на значения функщТ Q (х, у) = Qi (х, у), (х, у) £ n¿.
Хай f(x,y) £ 42'2) (П),1 < q < оо, та слщи f (xh,y), f (x,yj2), ji, j2 = 1 ,M, бшьше,
Н1Ж на. N = 2М прямих. Для обчислення штегралу
/ (./'. .с) = I j f (х,у) sin шх sin ujydxdy o o
мае мшце формула:
Rn (/, u) = j J Enf (x,y) sinuj xsin ujydxdy. o o
Шдставляючи вираз для оператора-штерлшапта, отримаемо
í 1 + 1 п п
RN(f,uj)= ^^ / hjx {х) sin и xdx / / (х^, у) sin и ydy+ h=h i i
t'2 +1 П rt
+ / Hj2 (y) sin lü ydy / / (x, yj2) sinuj xdx— h=i2 o o
i i ^ 1 I 1 ^!2 I 1 f* f*
— / (x) sinuj xdx / Hj2 (y) sin и ydy.
ji=hj2=Í2 o o
Будемо
ВВажаТИ5 ТДО
f(xj1,y)sinujydy, j f(x,yj2) sinuj xdx o o
ЗадаШ ТОЧНО.
Теорема 2. Кубатурна формула Rn (/, ш) для обчислення ттегралу I (/, ш) с оптимальною за порядком, точности, при N > \ш\.
Доведения базуеться на пор1внянш ощнки знизу та зверху величины R (F, и, iN) = R (/-Г т , и, Rn (/, о>)).
Оптимальна за порядком точпоста кубатурна формула обчислення подвшних in-тегралт В1д тттвидкоосцилюючих
фупкцш з використапням штерполяцп побудовапоТ
Оптимальна за порядком точностг кубатурна формула
17
на основ1 си. тип-штор, ппацп оримуються шляхом замши одновим1рних штегршпв
£ ¡{х^1,у)втшуйу, £ /(ж, у^2) йшу х 4х о о
вщповщними квадратурними формулами, а також оптимальними.
Висновки
1. Запропонована кубатурна формула належить до класу кубатурних формул, яы зводять обчислення швидкоосцилюючих штеграл1в функщй двох шппшх ДО обчислення штвгралш В1д швидкоосцилюючих функщй одшеТ змшноТ. Це означав, що використовуючи ту або 1НТТТУ к в в др Э Т V р Н V формулу для обчислення штеграл1в вщ швидкоосцилюючих функцп одшеТ змшноТ ми можемо отримати р1зш кубатурш формули.
2. Кубатурна формула е точною на клаа / (х, у) е Ьд2,2^ (Я), 1 < д < оо, точне зн&чбння похибки досягаеться на функщях
Г (х,у) = \(х-х%) (х-х%+1)х х {"У ~ У г) {у ~ Уг+1) ^ё11 (бша^ж) sign (эшшу), (х, у) е П^ С Я.
список литературы
1. Бахвалов Н.С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестник Московского университета. - 1959. - № 4. - С. 3-18.
2. Мырзанов Ж.Е. Смешанная эрмитова интерполяция и связанные с ней кубатурные формулы // Теория приближений и смежные вопросы анализа и топологии. - Киев, 1987. - С. 68-76.
3. Литвин О.М. 1нтерлшащя функщй та деяш !! застосування. - Харшв.: Основа, 2002. - 544 с.
4. Смоляк С. А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций // Докл. АН СССР. - 1963. - 148, - С. 1042-1045.
5. Задирака В.К., Мельникова С.С. Цифровая обработка сигналов. - Киев.: Наукова Думка, 1993. -294 с.
6. Жилейкин Я.М., Кукаркин А.Б. Приближенное вычислении интегралов от быстроосциллирую-щих функций: Учебно-практическое пособие. - М.: МГУ. - 1987. - 99 с.
Статья поступила в редакцию 20.04-2008
